Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bir teknoloji firmasında çalışan tüm personel; Ar-Ge (AA), Üretim (U¨Ü) ve Pazarlama (PP) departmanlarının en az birinde görev almaktadır. Bu firmadaki departmanlarda çalışan personel sayılarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Ar-Ge departmanında 24, Üretim departmanında 22, Pazarlama departmanında ise 20 personel çalışmaktadır.
* Ar-Ge ve Üretim departmanlarının her ikisinde de çalışan personel sayısı, Üretim ve Pazarlama departmanlarının her ikisinde de çalışan personel sayısına eşittir.
* Her üç departmanda birden çalışan personel sayısı 3'tür.
* Sadece bir departmanda çalışan toplam personel sayısı, tam olarak iki departmanda çalışan toplam personel sayısına eşittir.

Buna göre, bu teknoloji firmasında çalışan toplam personel sayısı kaçtır?

  1. A
    38
  2. 41Cevap
  3. C
    44
  4. D
    45
  5. E
    47

Cevap

Toplam personel sayısı 41'dir.
Üç kümenin eleman sayılarından yola çıkılarak kurulan denklem sisteminde taraf tarafa toplama yapıldığında, sadece bir departmanda çalışanlar ile tam olarak iki departmanda çalışanların toplam sayısı 19 olarak elde edilir. Tüm firmadaki çalışanların sayısı bu iki grubun toplamı ile her üç departmanda da çalışan 3 kişinin toplamına eşit olduğundan doğru yanıt 19 + 19 + 3 = 41'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Departmanları temsil eden kümeleri Venn şeması bölgelerine göre harflendirelim.
Sadece Ar-Ge, Üretim ve Pazarlama departmanlarında çalışanlar sıras��yla a,b,ca, b, c olsun. Sadece iki departmanda çalışanlar; Ar-Ge ve Üretim için xx, Üretim ve Pazarlama için yy, Ar-Ge ve Pazarlama için zz olsun. Her üç departmanda çalışanların sayısı ise w=3w = 3 olarak verilmiştir.
Sorudaki sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürebilmek için.
2
Departmanlardaki toplam personel sayılarını veren denklemleri kuralım.
Ar-Ge: a+x+z+3=24  ⟹  a+x+z=21a + x + z + 3 = 24 \implies a + x + z = 21
Üretim: b+x+y+3=22  ⟹  b+x+y=19b + x + y + 3 = 22 \implies b + x + y = 19
Pazarlama: c+y+z+3=20  ⟹  c+y+z=17c + y + z + 3 = 20 \implies c + y + z = 17
Her departmanın kendi çalışan kümesinin eleman sayılarını cebirsel olarak ifade etmek için.
3
Soruda verilen diğer koşulları denkleştirip değişkenleri sadeleştirelim.
Ar-Ge ve Üretim'de çalışanlar (x+3x + 3) ile Üretim ve Pazarlama'da çalışanlar (y+3y + 3) eşit olduğundan x=yx = y olur. Sadece bir departmanda çalışanlar ile tam iki departmanda çalışanlar eşit olduğundan a+b+c=x+y+z=Sa + b + c = x + y + z = S tanımlaması yapılır.
Bilinmeyen sayısını azaltarak ortak bir SS toplamı elde etmek için.
4
Elde edilen üç temel denklemi taraf tarafa toplayarak SS değerini bulalım.
(a+x+z)+(b+x+y)+(c+y+z)=21+19+17  ⟹  (a+b+c)+2(x+y+z)=57(a + x + z) + (b + x + y) + (c + y + z) = 21 + 19 + 17 \implies (a + b + c) + 2(x + y + z) = 57. Buradan S+2S=57  ⟹  3S=57  ⟹  S=19S + 2S = 57 \implies 3S = 57 \implies S = 19 bulunur.
Sadece bir departmanda çalışanlar (a+b+ca+b+c) ile tam iki departmanda çalışanların (x+y+zx+y+z) toplam sayılarını belirlemek için.
5
Tüm firmadaki toplam personel sayısını (birleşim kümesini) hesaplayalım.
s(A∪U¨∪P)=(a+b+c)+(x+y+z)+w=19+19+3=41s(A \cup Ü \cup P) = (a + b + c) + (x + y + z) + w = 19 + 19 + 3 = 41 bulunur.
Tüm bölgelerin toplamının birleşim kümesinin eleman sayısını vermesi kuralını uygulamak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri ile Denklem Sistemleri

Alternatif Yöntem

Kümelerin birleşim formülü kullanılarak da soru çözülebilir:
s(A∪U¨∪P)=s(A)+s(U¨)+s(P)−[s(A∩U¨)+s(U¨∩P)+s(A∩P)]+s(A∩U¨∩P)s(A \cup Ü \cup P) = s(A) + s(Ü) + s(P) - [s(A \cap Ü) + s(Ü \cap P) + s(A \cap P)] + s(A \cap Ü \cap P)

Bu formülde verilen değerler yerlerine yazıldığında:
s(A∪U¨∪P)=24+22+20−[(x+3)+(y+3)+(z+3)]+3s(A \cup Ü \cup P) = 24 + 22 + 20 - [(x + 3) + (y + 3) + (z + 3)] + 3
s(A∪U¨∪P)=66−(x+y+z+9)+3=60−(x+y+z)s(A \cup Ü \cup P) = 66 - (x + y + z + 9) + 3 = 60 - (x + y + z)

x+y+z=19x + y + z = 19 bulduğumuz için, toplam personel sayısı 60−19=4160 - 19 = 41 olarak elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru