Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖnermeler ve Bağlaçlar
aa ve bb sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere,
p:a>0q:b<0r:a+b<0\begin{aligned} p&: a > 0 \\ q&: b < 0 \\ r&: a + b < 0 \end{aligned}
önermeleri veriliyor.
(p∧q)⇒r(p \wedge q) \Rightarrow r

önermesi yanlış olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

  1. A
    a⋅b>0a \cdot b > 0
  2. B
    ∣a∣<∣b∣|a| < |b|
  3. C
    ∣a∣>∣b∣|a| > |b|
  4. ∣a∣≥∣b∣|a| \geq |b|Cevap
  5. E
    a−b<0a - b < 0

Cevap

Mutlak değer a büyük veya eşittir mutlak değer b
Koşullu önermenin yanlış çıkması için ön koşulun doğru, sonucun yanlış olması gerekir. Buradan pp ve qq doğru olmalıdır; yani a>0a > 0 ve b<0b < 0 durumları geçerlidir. Sonuç önermesi rr yanlış olduğuna göre, a+b<0a + b < 0 eşitsizliğinin olumsuzu olan a+b≥0a + b \geq 0 ifadesi doğru kabul edilmelidir. Pozitif olan aa sayısı mutlak değerine, negatif olan bb sayısı ise mutlak değerinin ters işaretlisine eşittir. Bu iki ifade toplam eşitsizliğine yazıldığında mutlak değer a büyük veya eşittir mutlak değer b eşitsizliği daima sağlanmış olur.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullu önermenin doğruluk değerini çözümleme
p∧q≡1p \wedge q \equiv 1 ve r≡0r \equiv 0
İse bağlacının yanlış çıkması (X⇒Y≡0X \Rightarrow Y \equiv 0) yalnızca hipotezin doğru (X≡1X \equiv 1) ve hükmün yanlış (Y≡0Y \equiv 0) olması durumunda gerçekleşir.
2
Bileşen önermelerin doğruluk değerlerini belirleme
p≡1p \equiv 1 ve q≡1q \equiv 1
p∧q≡1p \wedge q \equiv 1 olduğundan, ve bağlacının özelliğinden dolayı her iki bileşen önerme de doğru olmalıdır. Buradan a>0a > 0 ve b<0b < 0 elde edilir.
3
Hüküm önermesinin olumsuzunu alma
a+b≥0a + b \geq 0
r≡0r \equiv 0 olduğundan, a+b<0a + b < 0 önermesi yanlıştır. Bir eşitsizliğin değili alındığında yön değiştirir ve sınır noktası dahil edilir.
4
Elde edilen işaret bilgilerini mutlak değerle ilişkilendirme
∣a∣≥∣b∣|a| \geq |b|
a>0a > 0 olduğu için a=∣a∣a = |a| ve b<0b < 0 olduğu için b=−∣b∣b = -|b| yazılabilir. Bu değerler a+b≥0a + b \geq 0 eşitsizliğinde yerine konduğunda ∣a∣−∣b∣≥0  ⟹  ∣a∣≥∣b∣|a| - |b| \geq 0 \implies |a| \geq |b| sonucu elde edilir.

Anahtar Kavram

Önermeler ve Bağlaçlar
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Önermeler ve Bağlaçlar

Bu konudan daha fazla soru