Examkin

Soru

Zorluk: ZorFaktöriyel Kavramı
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
x!−y!=119⋅y!x! - y! = 119 \cdot y!
eşitliğini sağlayan x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçt��r?
  1. A
    15
  2. B
    239
  3. C
    248
  4. 254Cevap
  5. E
    259

Cevap

Farklı x+yx + y toplamlarının alabileceği değerlerin toplamı 254'tür.
Doğru cevap olan değer, denklem düzenlendiğinde elde edilen x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120 eşitliğini sağlayan tüm geçerli pozitif tam sayı ikililerinin (x=120,y=119x=120, y=119), (x=6,y=3x=6, y=3) ve (x=5,y=1x=5, y=1) toplamları olan 239, 9 ve 6 sayılarının toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde ortak terimleri bir araya getirmek için −y!-y! ifadesini eşitliğin sağ tarafına atalım.
x!=119⋅y!+y!  ⟹  x!=120⋅y!x! = 119 \cdot y! + y! \implies x! = 120 \cdot y! elde edilir.
Faktöriyelli ifadeleri sadeleştirmek ve oranlamak için ortak paranteze alma işlemi uygulanır.
2
Eşitliğin her iki tarafını y!y! ifadesine bölerek oranlayalım.
x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120 elde edilir.
x!x! ifadesinin y!y! cinsinden açılımını yaparak ardışık sayıların çarpımı biçiminde yazmak.
3
xx ve yy pozitif tam sayılar olduğundan, x!y!=x⋅(x−1)⋅⋯⋅(y+1)=120\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdot \dots \cdot (y+1) = 120 eşitliğini sağlayan ardışık çarpan gruplarını belirleyelim.
120 sayısı şu şekillerde ardışık pozitif tam sayıların çarpımı olarak yazılabilir:
1) Tek çarpan: 120120 (Bu durumda x=120x = 120 ve y+1=120  ⟹  y=119y+1 = 120 \implies y = 119 olur. x,y∈Z+x, y \in \mathbb{Z}^+ şartını sağlar. x+y=120+119=239x+y = 120 + 119 = 239)
2) Üç ardışık çarpan: 6⋅5⋅4=1206 \cdot 5 \cdot 4 = 120 (Bu durumda x=6x = 6 ve y+1=4  ⟹  y=3y+1 = 4 \implies y = 3 olur. x,y∈Z+x, y \in \mathbb{Z}^+ şartını sağlar. x+y=6+3=9x+y = 6 + 3 = 9)
3) Dört ardışık çarpan: 5⋅4⋅3⋅2=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 (Bu durumda x=5x = 5 ve y+1=2  ⟹  y=1y+1 = 2 \implies y = 1 olur. x,y∈Z+x, y \in \mathbb{Z}^+ şartını sağlar. x+y=5+1=6x+y = 5 + 1 = 6)
120'nin ardışık pozitif tam sayı çarpan kombinasyonlarını bulmak.
4
Olası diğer durumları kontrol edelim.
5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 yazıldığında x=5x = 5 ve y+1=1  ⟹  y=0y+1 = 1 \implies y = 0 olur. Ancak soruda yy'nin pozitif tam sayı olması gerektiği belirtildiğinden bu durum elenir. Başka ardışık çarpan grubu da yoktur.
Soruda verilen küme tanımına (pozitif tam sayı) göre sınırları ve uç durumları kontrol etmek.
5
Elde edilen farklı x+yx + y değerlerini toplayalım.
239+9+6=254239 + 9 + 6 = 254 bulunur.
Farklı x+yx+y toplamlarının toplamını bulmak.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramında sadeleştirme ve ardışık sayı çarpımları şeklinde yazma kuralları.
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel Kavramı

Bu konudan daha fazla soru