Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMutlak Değerli Eşitsizlikler

Bir havaalanındaki bagaj teslim ünitesinde valizlerin ağırlıkları ölçülmektedir. Bu ünitede ağırlığı xx kg olan bir valizin standart ağırlık olan 2020 kg'dan farkının mutlak değeri, bu valizin ağırlığının 44 kg eksiğinin yarısından küçük veya eşittir.

Bu koşulu sağlayan valizler 'kabul edilebilir ağırlıkta' olarak tanımlandığına göre, kabul edilebilir ağırlıktaki bir valizin ağırlığının (xx) alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 443≤x≤36\frac{44}{3} \leq x \leq 36Cevap
  2. B
    443<x<36\frac{44}{3} < x < 36
  3. C
    12≤x≤3612 \leq x \leq 36
  4. D
    8≤x≤168 \leq x \leq 16
  5. E
    16≤x≤3616 \leq x \leq 36

Cevap

443≤x≤36\frac{44}{3} \leq x \leq 36 aralığı
Verilen sözel koşullara göre yazılan ∣x−20∣≤x−42|x - 20| \leq \frac{x - 4}{2} eşitsizliğinde, mutlak değer kuralı gereğince iki durum incelenir. Üst sınır için yapılan x−20≤x−42x - 20 \leq \frac{x - 4}{2} çözümünden x≤36x \leq 36 elde edilir. Alt sınır için yapılan −x−42≤x−20-\frac{x - 4}{2} \leq x - 20 çözümünden ise x≥443x \geq \frac{44}{3} bulunur. Soruda küçük veya eşitlik durumu belirtildiği için sınır değerleri çözüme dahildir ve en geniş aralık 443≤x≤36\frac{44}{3} \leq x \leq 36 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Sözel olarak verilen ifadeyi matematiksel bir eşitsizlik formuna dönüştürmek
∣x−20∣≤x−42|x - 20| \leq \frac{x - 4}{2}
Valizin ağırlığının 20 kg'dan farkının mutlak değeri ∣x−20∣|x - 20|, valiz ağırlığının 4 eksiğinin yarısı ise x−42\frac{x - 4}{2} şeklinde ifade edilir. Bu iki ifade 'küçük veya eşit' sembolüyle bağlanır.
2
Mutlak değerli eşitsizlik özelliğini kullanarak ifadeyi iki yönlü eşitsizlik olarak açmak
−x−42≤x−20≤x−42-\frac{x - 4}{2} \leq x - 20 \leq \frac{x - 4}{2}
∣a∣≤b|a| \leq b biçimindeki eşitsizlikler −b≤a≤b-b \leq a \leq b şeklinde açılır. Bu açılımın tanımlı olabilmesi için x−42≥0⇒x≥4\frac{x-4}{2} \geq 0 \Rightarrow x \geq 4 olmalıdır.
3
Eşitsizliğin sağ tarafını çözerek üst sınırı belirlemek
x≤36x \leq 36
x−20≤x−42⇒2(x−20)≤x−4⇒2x−40≤x−4⇒x≤36x - 20 \leq \frac{x - 4}{2} \Rightarrow 2(x - 20) \leq x - 4 \Rightarrow 2x - 40 \leq x - 4 \Rightarrow x \leq 36 elde edilir.
4
Eşitsizliğin sol tarafını çözerek alt sınırı belirlemek
x≥443x \geq \frac{44}{3}
−x−42≤x−20⇒−(x−4)≤2(x−20)⇒−x+4≤2x−40⇒44≤3x⇒x≥443-\frac{x - 4}{2} \leq x - 20 \Rightarrow -(x - 4) \leq 2(x - 20) \Rightarrow -x + 4 \leq 2x - 40 \Rightarrow 44 \leq 3x \Rightarrow x \geq \frac{44}{3} elde edilir.
5
Bulunan sınırları birleştirerek çözüm kümesini yazmak
443≤x≤36\frac{44}{3} \leq x \leq 36
Bulunan her iki sınır (x≤36x \leq 36 ve x≥443x \geq \frac{44}{3}) birleştirilir. Alt sınır olan 443≈14,67\frac{44}{3} \approx 14,67 değeri x≥4x \geq 4 başlangıç koşulunu sağladığı için en geniş aralık 443≤x≤36\frac{44}{3} \leq x \leq 36 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin açılım kuralları ve rasyonel ifadeler içeren eşitsizliklerin çözümü
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru