x bir gerçel sayı olmak üzere, |x - 2| < 4 |2x - a| \leq 3 \neşitsizlik sistemini sağlayan… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

$x$ bir gerçel sayı olmak üzere,

|x - 2| < 4

|2x - a| \leq 3

eşitsizlik sistemini sağlayan yalnızca 3 farklı

x

tam sayı değeri vardır.

Buna göre, $a$ pozitif tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevap: 29

Eşitsizlik sistemini sağlayan pozitif a tam sayılarının alabileceği değerlerin toplamı 29'dur.

Birinci eşitsizlikten elde edilen x tam sayıları

\{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}

kümesidir. İkinci eşitsizlik ise x'i

\frac{a-3}{2}

ile

\frac{a+3}{2}

arasına kısıtlar. Bu iki aralığın kesişiminde tam olarak 3 tam sayı bulunmasını sağlayan pozitif a değerleri

2, 4, 6, 8

ve uç sınır koşulunun elendiği

9

değeridir. Toplamları 29 eder.

Birinci mutlak değerli eşitsizlik çözülerek x değişkeninin değer aralığı ve bu aralıktaki tam sayılar belirlenir.

-2 < x < 6

aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar:

-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

Sistemin ortak çözümü için x'in sınırlarını bilmemiz gerekir.

İkinci mutlak değerli eşitsizlik çözülerek x değişkeninin a cinsinden kapalı aralığı bulunur.

\frac{a - 3}{2} \leq x \leq \frac{a + 3}{2}

aralığı elde edilir.

a parametresine bağlı olarak x'in hangi aralıkta değer alacağını görmek gerekir.

a pozitif tam sayısı için tek tek deneme yapılarak aralıktaki tam sayıların birinci eşitsizliğin sınırlarıyla kesişimi incelenir.

a = 2, 4, 6, 8

ve özellikle sınır değerini test eden

a = 9

için ortak tam sayı sayısı tam olarak 3 adet çıkmaktadır.

Her bir a değeri için x tam sayılarının ortak kümedeki eleman sayısının 3 olup olmadığını test etmek gerekir.

Bulunan a değerleri toplanır.

2 + 4 + 6 + 8 + 9 = 29

elde edilir.

Soruda a pozitif tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı istenmiştir.

Mutlak değerli eşitsizlik sistemlerinde sınır değerlerin ve kesişim kümelerinin analizi

Soru