Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFaktöriyel Kavramı

Birden büyük bir nn tam sayısı için,

(n+1)!−n!(n−1)!+(n−2)!=90\frac{(n+1)! - n!}{(n-1)! + (n-2)!} = 90

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, nn değeri kaçtır?

  1. A
    8
  2. B
    9
  3. 10Cevap
  4. D
    11
  5. E
    12

Cevap

10
Kesirli ifadenin payı n!n! parantezine alındığında n⋅n!n \cdot n!, paydası (n−2)!(n-2)! parantezine alındığında ise n⋅(n−2)!n \cdot (n-2)! elde edilir. Bu değerler oranlandığında nn çarpanları sadeleşir ve geriye kalan n!(n−2)!\frac{n!}{(n-2)!} ifadesi açıldığında n(n−1)=90n(n-1) = 90 denklemi oluşur. Çarpımları 90 olan ardışık iki pozitif tam sayı 10 ve 9 olduğundan, nn değeri 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki (n+1)!−n!(n+1)! - n! ifadesini ortak çarpan parantezine almak amacıyla en küçük terim olan n!n! cinsinden yazıp paranteze alalım.
(n+1)⋅n!−n!=n!⋅(n+1−1)=n⋅n!(n+1) \cdot n! - n! = n! \cdot (n + 1 - 1) = n \cdot n! elde edilir.
Faktöriyelli ifadelerde toplama veya çıkarma işlemlerini gerçekleştirmek için terimler en küçük faktöriyel cinsinden yazılıp ortak paranteze alınır.
2
Payda kısmındaki (n−1)!+(n−2)!(n-1)! + (n-2)! ifadesini en küçük terim olan (n−2)!(n-2)! cinsinden yazıp ortak paranteze alalım.
(n−1)⋅(n−2)!+(n−2)!=(n−2)!⋅(n−1+1)=n⋅(n−2)!(n-1) \cdot (n-2)! + (n-2)! = (n-2)! \cdot (n - 1 + 1) = n \cdot (n-2)! elde edilir.
Payda kısmındaki ifadeyi de sadeleştirmeye hazırlamak amacıyla benzer şekilde en küçük faktöriyel teriminin parantezine alırız.
3
Elde edilen pay ve payda değerlerini kesirde yerine koyup sadeleştirelim.
n⋅n!n⋅(n−2)!=n!(n−2)!=n⋅(n−1)⋅(n−2)!(n−2)!=n⋅(n−1)\frac{n \cdot n!}{n \cdot (n-2)!} = \frac{n!}{(n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-2)!} = n \cdot (n-1) ifadesine ulaşılır.
Kesrin pay ve paydasındaki ortak nn çarpanları sadeleşir. Ardından kalan n!n! ifadesi (n−2)!(n-2)! çarpanını içerecek şekilde açılarak sadeleştirme tamamlanır.
4
n⋅(n−1)=90n \cdot (n-1) = 90 denklemini çözerek pozitif tam sayı olan nn değerini bulalım.
n⋅(n−1)=10⋅9=90n \cdot (n-1) = 10 \cdot 9 = 90 eşitliğinden n=10n = 10 olarak bulunur.
Çarpımları 90 olan ardışık iki pozitif tam sayıdan büyük olanı nn, küçük olanı ise n−1n-1'dir. Buradan büyük sayı olan nn, 10 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli İfadelerde Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Sadeleştirme
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel Kavramı

Bu konudan daha fazla soru