\mathbb{Z}^+ pozitif tam sayılar kümesi ve \mathbb{Z} tam sayılar kümesi olmak üzere, p(x,… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

$\mathbb{Z}^+$ pozitif tam sayılar kümesi ve $\mathbb{Z}$ tam sayılar kümesi olmak üzere,

p(x, y): "x^2 - y < 4"

q(x, y): "x + y^2 \leq 5"

açık önermeleri tanımlanıyor.

Buna göre, $(x, y) \in \mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}$ olmak üzere, $p(x, y) \wedge q(x, y)$ açık önermesinin doğruluk kümesinin eleman say��sı kaçtır?

A
$5$
$6$ Cevap
C
$7$
D
$9$
E
$11$

Cevap

Doğruluk kümesinin eleman sayısı 6'dır.

Doğruluk kümesinin eleman sayısı altı olarak bulunur. Her iki eşitsizliği de sağlayan pozitif tam sayı

x

ve tam sayı

y

ikilileri sırasıyla

(1, -2)

(1, -1)

(1, 0)

(1, 1)

(2, 1)

(1, 2)

'dir. Burada

y = 2

için

x

'in alabileceği değerler

x^2 < 6

eşitsizliğinden

1

2

iken,

x \leq 5 - 2^2 = 1

koşulu nedeniyle sadece

x = 1

değeri kabul edilir ve

(2, 2)

ikilisi elenir.

Adım Adım Çözüm

İki açık önermenin de doğru olmasını sağlayan

(x, y)

ikililerini bulmak için eşitsizlikleri düzenleyelim.

Birinci eşitsizlikten

y > x^2 - 4

ve ikinci eşitsizlikten

x \leq 5 - y^2

elde edilir.

Eşitsizlikleri tek bir değişken cinsinden ifade etmek sınırları belirlemeyi kolaylaştırır.

x

'in pozitif tam sayı olması (

x \geq 1

) şartını kullanarak

y

'nin alabileceği tam sayı değerlerini sınırlandıralım.

x \geq 1

x \leq 5 - y^2

olduğundan,

1 \leq 5 - y^2 \Rightarrow y^2 \leq 4

elde edilir. Buradan

y

tam sayısı

-2, -1, 0, 1, 2

değerlerini alabilir.

y

değişkeninin alabileceği değer aralığını daraltarak sonlu sayıda durum incelemesi yapmak.

y

'nin her bir olası değeri için

y > x^2 - 4

(yani

x^2 < y + 4

) ve

x \leq 5 - y^2

eşitsizliklerini sağlayan pozitif tam sayı

x

değerlerini belirleyelim.

Aşağıdaki tabloda görüldüğü gibi her bir

y

değeri için

x

değerleri bulunur:

$y$ Değeri	$x^2 < y + 4$ Koşulu	$x \leq 5 - y^2$ Koşulu	Geçerli $x$ Değerleri	Oluşan İkililer
$-2$	$x^2 < 2$	$x \leq 1$	$1$	$(1, -2)$
$-1$	$x^2 < 3$	$x \leq 4$	$1$	$(1, -1)$
$0$	$x^2 < 4$	$x \leq 5$	$1$	$(1, 0)$
$1$	$x^2 < 5$	$x \leq 4$	$1, 2$	$(1, 1), (2, 1)$
$2$	$x^2 < 6$	$x \leq 1$	$1$	$(1, 2)$

Tüm olası

y

değerleri için

x

çözümlerini sistematik olarak bulmak.

Bulunan tüm geçerli

(x, y)

sıralı ikililerini listeleyelim ve sayalım.

Doğruluk kümesi

\{(1, -2), (1, -1), (1, 0), (1, 1), (2, 1), (1, 2)\}

olup eleman sayısı

6

'dır.

Ortak çözüm kümesinin eleman sayısını belirlemek.

Anahtar Kavram

Açık Önermelerin Doğruluk Kümelerini Bulma

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru