Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayı olmak üzere; a, b ve c birer tam sayıdır. * a \cdot… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayı olmak üzere; $a$ , $b$ ve $c$ birer tam sayıdır.

* $a \cdot b^2 < 0$
* $b^3 \cdot c \le 0$
* $a \cdot b \cdot c = 0$
* $a + b + c = -7$
* $a^2 - b^2 = 21$

olduğuna göre, $a^2 - b^3 + c$ ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 33

İfadenin doğru değeri 33'tür.

Verilen öncüllerden

a \cdot b^2 < 0

ifadesi

a < 0

b \neq 0

olmasını gerektirir.

a \cdot b \cdot c = 0

eşitliğinde

a

b

sıfırdan farklı olduğundan nötr (işaretsiz) sayı olan

c = 0

olmalıdır. Buradan

a+b=-7

a^2-b^2=21 \implies a-b=-3

elde edilir. Denklem sistemi çözüldüğünde

a=-5

b=-2

bulunur. İstenen

a^2 - b^3 + c

ifadesi ise

(-5)^2 - (-2)^3 + 0 = 25 - (-8) = 33

olarak hesaplanır.

a \cdot b^2 < 0

eşitsizliğini incelemek.

a < 0

b \neq 0

olduğu bulunur.

Bir tam sayının karesi daima sıfırdan büyük veya eşittir. Çarpımın negatif olabilmesi için

b^2 > 0

a < 0

olmalıdır.

a \cdot b \cdot c = 0

eşitliğini ve sıfırın nötr olma özelliğini kullanmak.

c = 0

olduğu belirlenir.

a \neq 0

b \neq 0

olduğundan, çarpımın sıfır olmasını sağlayan tek sayı olan

c

değeri nötr (işaretsiz) sıfır sayısı olmalıdır.

b^3 \cdot c \le 0

koşulunu kontrol etmek.

Koşulun sağlandığı görülür.

c = 0

için

b^3 \cdot 0 = 0 \le 0

ifadesi her zaman doğrudur.

a + b + c = -7

a^2 - b^2 = 21

denklemlerini çözmek.

a = -5

b = -2

bulunur.

c = 0

olduğundan

a + b = -7

olur. İki kare farkı özdeşliğinden

(a-b)(a+b) = 21 \implies (a-b)(-7) = 21 \implies a-b = -3

elde edilir. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde

a = -5

b = -2

bulunur.

a < 0

koşulu da sağlanmaktadır.

a^2 - b^3 + c

ifadesinin değerini hesaplamak.

33 bulunur.

(-5)^2 - (-2)^3 + 0 = 25 - (-8) = 33

işlemi yapılarak sonuca ulaşılır.

Pozitif ve negatif sayılarda işaret incelemesi, sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olma özelliği ve iki kare farkı özdeşliği ile ilişkilendirilmesi.

Soru