Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Her aa ve bb gerçel sayısı için ∣a−b∣=∣a∣−∣b∣|a - b| = |a| - |b| eşitliği yalnızca a≥b≥0a \ge b \ge 0 koşulu sağlandığında geçerlidir.

Cevap: Cevap

Cevap

İfade yanlıştır. Verilen eşitlik yalnızca a≥b≥0a \ge b \ge 0 durumunda değil, aynı zamanda a≤b≤0a \le b \le 0 durumunda da sağlanır.
İfadenin yanlış olmasının nedeni, verilen eşitliğin negatif gerçel sayılar için de (örneğin a≤b≤0a \le b \le 0 koşulunda) geçerli olmasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak ifadenin sağlanma koşulunu belirleyelim.
∣a−b∣2=(∣a∣−∣b∣)2⇒a2−2ab+b2=a2−2∣ab∣+b2⇒ab=∣ab∣|a - b|^2 = (|a| - |b|)^2 \Rightarrow a^2 - 2ab + b^2 = a^2 - 2|ab| + b^2 \Rightarrow ab = |ab| elde edilir.
Mutlak değerli ifadelerin karesini almak, mutlak değer dışına çıkarmayı kolaylaştırır.
2
Eşitliğin sol tarafının tanımlı olabilmesi için sağ tarafın negatif olmaması gerektiğini kontrol edelim.
∣a∣−∣b∣≥0⇒∣a∣≥∣b∣|a| - |b| \ge 0 \Rightarrow |a| \ge |b| olmalıdır.
Mutlak değerli bir ifadenin sonucu asla negatif olamaz.
3
Elde edilen ab=∣ab∣ab = |ab| ve ∣a∣≥∣b∣|a| \ge |b| koşullarını birlikte değerlendirelim.
ab≥0ab \ge 0 olmalıdır, yani aa ve bb aynı işaretli (veya en az biri sıfır) olmalıdır. ∣a∣≥∣b∣|a| \ge |b| koşuluyla birleştirildiğinde; pozitif sayılar için a≥b≥0a \ge b \ge 0 ve negatif sayılar için a≤b≤0a \le b \le 0 koşulları elde edilir.
Eşitliğin geçerli olduğu tüm durumları belirlemek için.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin fark özelliği ve işaret analizine göre dışarı çıkma kuralları.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru