Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBire Bir ve Örten Fonksiyonlar
Gerçel sayılar kümesinin birer alt kümesinde tanımlı
f:[3,∞)→[a,∞)f: [3, \infty) \rightarrow [a, \infty)
f(x)=x2−4x+kf(x) = x^2 - 4x + k
fonksiyonu bire bir ve örtendir.
f(5)=12f(5) = 12

olduğuna göre, aa kaçtır?

  1. A
    3
  2. 4Cevap
  3. C
    7
  4. D
    8
  5. E
    10

Cevap

Doğru cevap 4 değeridir.
Fonksiyonun tanım kümesi [3, \infty) olup, bu aralıkta f(x) = x^2 - 4x + 7 fonksiyonu sürekli artandır. Bu nedenle en küçük değerini x = 3 noktasında alır. Fonksiyonun örten olması için değer kümesinin alt sınırı olan a sayısı, bu en küçük değer olan f(3) = 4 değerine eşit olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen f(5) = 12 eşitliğini kullanarak k sabitini bulalım.
k = 7
f(5) = 5^2 - 4(5) + k = 12 denkleminden 25 - 20 + k = 12 ve buradan k = 7 elde edilir. Dolayısıyla f(x) = x^2 - 4x + 7 olur.
2
Fonksiyonun bire birliğini tepe noktası yardımıyla inceleyelim.
Fonksiyon [3, \infty) aralığında artandır ve bire birdir.
f(x) = x^2 - 4x + 7 parabolünün tepe noktasının apsisi r = 2'dir. Parabol [2, \infty) aralığında artan olduğundan, bu aralığın alt kümesi olan [3, \infty) aralüğında da artandır ve dolayısıyla bire birdir.
3
Fonksiyonun örtenliğini kullanarak a değerini belirleyelim.
a = 4
f(x) artan bir fonksiyon olduğundan [3, \infty) aralığındaki en küçük değerini x = 3 noktasında alır. Örtenlik gereği değer kümesi görüntü kümesine eşit olmalıdır. Bu yüzden görüntü kümesinin en küçük elemanı olan f(3) değeri, değer kümesinin alt sınırı olan a sayısına eşit olmalıdır. Buradan a = f(3) = 3^2 - 4(3) + 7 = 4 bulunur.

Anahtar Kavram

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru