Examkin

Soru

Zorluk: ZorYaş Problemleri

Kaan, Melis ve Ömer isimli üç arkadaşın bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Kaan, Melis'in bugünkü yaşına geldiğinde; Ömer'in yaşı, Kaan'ın o günkü yaşının 22 katından 1212 eksik olacaktır.
* Ömer, Melis'in bugünkü yaşına geldiğinde; Kaan ile Melis'in yaşları toplamı, Ömer'in o günkü yaşının 33 katına eşit olacaktır.

Buna göre, bu üç arkadaşın bugünkü yaşlarını en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1Ömer'in bugünkü yaşı
  2. 2Kaan'ın bugünkü yaşı
  3. 3Melis'in bugünkü yaşı

Cevap

Ömer'in bugünkü yaşı < Kaan'ın bugünkü yaşı < Melis'in bugünkü yaşı
Kurulan denklemler sonucunda K=2O¨K = 2Ö ve M+O¨=12M + Ö = 12 bağıntılarına ulaşılır. Kaan'ın Melis'in yaşına gelebilmesi M>KM > K olmasını gerektirir. Buradan M>2O¨M > 2Ö eşitsizliği yazılır ve MM yerine 12−O¨12 - Ö yazıldığında O¨<4Ö < 4 sınırına ulaşılır. Yaşlar pozitif tam sayı olmak zorunda olduğundan Ömer'in yaşı en fazla 3 olabilir. Bu durumda Kaan'ın yaşı en fazla 6, Melis'in yaşı ise en az 9 olur. Dolayısıyla yaşların küçükten büyüğe sıralaması kesin olarak Ömer, Kaan, Melis şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Kaan (KK), Melis (MM) ve Ömer'in (O¨Ö) bugünkü yaşlarını değişken kabul ederek ilk bilgiyi denkleme dökelim.
Kaan, Melis'in yaşına geldiğinde geçen süre M−KM - K yıldır. Bu sürenin sonunda Kaan MM yaşında, Ömer ise O¨+M−KÖ + M - K yaşında olur. Kurulan denklem: O¨+M−K=2M−12  ⟹  M+K−O¨=12Ö + M - K = 2M - 12 \implies M + K - Ö = 12 olur.
İlk durumdaki yaş ilişkisini ve zaman geçişini matematiksel olarak ifade etmek.
2
İkinci bilgiyi kullanarak zaman geçişini hesaplayıp denklem kuralım.
Ömer, Melis'in yaşına geldiğinde geçen süre M−O¨M - Ö yıldır. Bu sürenin sonunda Ömer MM yaşında, Kaan K+M−O¨K + M - Ö yaşında ve Melis M+M−O¨=2M−O¨M + M - Ö = 2M - Ö yaşında olur. Kurulan denklem: (K+M−O¨)+(2M−O¨)=3M  ⟹  K+3M−2O¨=3M  ⟹  K=2O¨(K + M - Ö) + (2M - Ö) = 3M \implies K + 3M - 2Ö = 3M \implies K = 2Ö olur.
İkinci durumdaki yaş ilişkisini ve zaman geçişini matematiksel olarak ifade etmek.
3
Elde edilen iki denklemi birleştirerek yaşlar arasındaki kesin eşitsizlikleri bulalım.
K=2O¨K = 2Ö ifadesini birinci denklemde yerine yazalım: M+2O¨−O¨=12  ⟹  M+O¨=12M + 2Ö - Ö = 12 \implies M + Ö = 12 elde edilir. Kaan, Melis'in yaşına gelebildiğine göre Melis Kaan'dan büyüktür (M>KM > K). Buradan M>2O¨M > 2Ö yazılır. M=12−O¨M = 12 - Ö ifadesini eşitsizlikte yerine koyarsak 12−O¨>2O¨  ⟹  12>3O¨  ⟹  O¨<412 - Ö > 2Ö \implies 12 > 3Ö \implies Ö < 4 elde edilir.
Bilinmeyenlerin sınır koşullarını belirleyerek sıralamayı kesinleştirmek.
4
Eşitsizlikleri ve yaşların pozitif tam sayı olma koşulunu değerlendirerek sıralamayı yapalım.
O¨Ö bir pozitif tam sayı olduğundan O¨<4Ö < 4 koşuluna göre alabileceği değerler 1,2,31, 2, 3 olabilir. Her durumda K=2O¨K = 2Ö olduğundan K>O¨K > Ö olur. Ayrıca M=12−O¨M = 12 - Ö ve O¨<4Ö < 4 olduğundan en küçük O¨Ö değeri için bile M≥9M \geq 9 olur ki bu da M>KM > K şartını her zaman sağlar. Sonuç olarak sıralama O¨<K<MÖ < K < M şeklindedir.
Yaşların büyüklük sıralamasını nihai sonuca ulaştırmak.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde zaman geçişi ile yaş farkının sabit kalması ve eşitsizlik analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Yaş Problemleri

Bu konudan daha fazla soru