Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

Kenar uzunluğu aa birim olan kare şeklindeki bir kartonun üzerine, kenarları bu kartonun kenarlarına paralel olacak şekilde kenar uzunluğu bb birim olan kare şeklinde bir fotoğraf yapıştırılıyor.

Kartonun üzerinde fotoğrafın dışında kalan bölgenin alanı 3232 birimkare, karton ile fotoğrafın çevrelerinin toplamı ise 3232 birimdir.

Buna göre, kartonun bir kenar uzunluğu ile fotoğrafın bir kenar uzunluğunun çarpımı (a⋅ba \cdot b) kaç birimkaredir?

  1. A
    8
  2. 12Cevap
  3. C
    15
  4. D
    16
  5. E
    20

Cevap

Kartonun bir kenar uzunluğu ile fotoğrafın bir kenar uzunluğunun çarpımı 12 birimkaredir.
Doğru cevap 12'dir. Çevreler toplamından a+b=8a+b = 8 elde edilir. İki kare farkı özdeşliği (a2−b2=(a−b)(a+b)=32a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) = 32) kullanılarak a−b=4a-b = 4 bulunur. Buradan a=6a=6 ve b=2b=2 değerlerine ulaşılır ve bu iki değerin çarpımı 6⋅2=126 \cdot 2 = 12 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kartonun ve fotoğrafın çevreleri ile alanları arasındaki ilişkileri belirten denklemleri yazın.
Kartonun çevresi 4a4a, fotoğrafın çevresi 4b4b olduğundan çevreler toplamı 4a+4b=32⇒a+b=84a + 4b = 32 \Rightarrow a + b = 8 olur. Fotoğrafın dışında kalan alan ise iki karenin alanları farkına eşittir: a2−b2=32a^2 - b^2 = 32.
Problemde verilen sözel ifadeleri matematiksel eşitliklere dönüştürmek için.
2
İki kare farkı özdeşliğini kullanarak a−ba-b farkını bulun.
a2−b2=(a−b)(a+b)=32a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) = 32 eşitliğinde a+b=8a+b = 8 değeri yerine yazıldığında (a−b)⋅8=32⇒a−b=4(a-b) \cdot 8 = 32 \Rightarrow a - b = 4 elde edilir.
a⋅ba \cdot b değerine ulaşmak için gerekli olan a−ba-b farkını hesaplamak amacıyla iki kare farkı özdeşliğinden yararlanılır.
3
a+b=8a+b = 8 ve a−b=4a-b = 4 eşitliklerini kullanarak a⋅ba \cdot b çarpımını elde edin.
Bu iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa 2a=12⇒a=62a = 12 \Rightarrow a = 6 bulunur. a+b=8a + b = 8 eşitliğinden b=2b = 2 olur. Buradan a⋅b=6⋅2=12a \cdot b = 6 \cdot 2 = 12 elde edilir. Alternatif olarak, (a+b)2−(a−b)2=4ab(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab özdeşliği kullanılırsa: 82−42=4ab⇒64−16=4ab⇒48=4ab⇒ab=128^2 - 4^2 = 4ab \Rightarrow 64 - 16 = 4ab \Rightarrow 48 = 4ab \Rightarrow ab = 12 bulunur.
İstenen a⋅ba \cdot b çarpımının sayısal değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

İki kare farkı özdeşliği (a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)) ve tam kare ifadelerin ilişkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

Bu konudan daha fazla soru