Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPozitif ve Negatif Sayılar
xx ve yy gerçel sayıları için,
x2⋅y≤0x^2 \cdot y \le 0
x−y>0x - y > 0
olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. yy negatif bir sayıdır.
II. x2−y>0x^2 - y > 0 dır.
III. x⋅y<0x \cdot y < 0 dır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. Yalnız IICevap
  3. C
    Yalnız III
  4. D
    I ve II
  5. E
    II ve III

Cevap

Yalnız II ifadesinin yer aldığı seçenek doğrudur.
Yalnız II ifadesi doğrudur. x=0x = 0 iken y<0y < 0 olduğundan x2−y=−y>0x^2 - y = -y > 0 elde edilir. x≠0x \ne 0 iken x2>0x^2 > 0 ve y≤0  ⟹  −y≥0y \le 0 \implies -y \ge 0 olduğundan x2−y=x2+(−y)>0x^2 - y = x^2 + (-y) > 0 toplamı her zaman pozitif olur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk eşitsizliği analiz etme
x2⋅y≤0x^2 \cdot y \le 0 eşitsizliğinde x2≥0x^2 \ge 0 olduğundan, ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olması için ya x=0x = 0 olmalı ya da y≤0y \le 0 olmalıdır.
Her gerçel sayının karesi en az sıfır olduğu için çarpımın işaretini di��er çarpan belirler veya çarpanlardan biri sıfırdır.
2
x=0x = 0 durumunu inceleme
x=0x = 0 ise ikinci eşitsizlikte yerine yazıldığında 0−y>0  ⟹  y<00 - y > 0 \implies y < 0 bulunur. Bu durumda xx nötr (sıfır) iken yy negatif bir sayıdır.
x−y>0x - y > 0 eşitsizliğinde xx yerine 00 yazarak yy'nin sınırını bulmak.
3
x≠0x \ne 0 durumunu inceleme
x≠0x \ne 0 ise x2>0x^2 > 0 olur. Buradan y≤0y \le 0 elde edilir. İkinci eşitsizlikten x>yx > y bulunur. Eğer y=0y = 0 ise x>0x > 0 (pozitif) olur. Eğer y<0y < 0 ise xx pozitif veya sıfır veya yy'den büyük bir negatif sayı olabilir.
x2x^2'nin kesinlikle pozitif olduğu durumda yy'nin alabileceği değer aralığını ve xx ile ilişkisini belirlemek.
4
Öncülleri tek tek değerlendirme
I. yy her zaman negatif değildir; örneğin x=1,y=0x=1, y=0 durumunda yy nötrdür. II. x=0x = 0 ise x2−y=−y>0x^2 - y = -y > 0 (çünkü y<0y < 0). x≠0x \ne 0 ise x2>0x^2 > 0 ve −y≥0-y \ge 0 olduğundan x2−y>0x^2 - y > 0 her zaman doğrudur. III. x=−1,y=−2x = -1, y = -2 için x⋅y=2>0x \cdot y = 2 > 0 olabildiğinden çarpım her zaman negatif değildir.
Elde edilen tüm olası değer çiftlerini öncüllere uygulayarak doğruluklarını kontrol etmek.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda işlemler, sıfırın nötrlüğü ve çift kuvvetlerin işareti
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Pozitif ve Negatif Sayılar

Bu konudan daha fazla soru