Examkin

Soru

Zorluk: ZorMutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Bir kimya laboratuvarındaki hassas sıcaklık ölçümlerinde AA, BB ve CC termometrelerinin ölçtüğü s��caklık değerleri sırasıyla aa, bb ve cc gerçel sayılarıdır. Bu ölçüm değerleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* AA termometresi sıfırın altında bir sıcaklık değerini, BB ve CC termometreleri ise sıfırın üstünde sıcaklık değerlerini göstermektedir.
* CC termometresinin gösterdiği sıcaklık değeri, BB termometresinin gösterdiği değerden daha büyüktür.
* AA ile BB termometrelerinin gösterdiği sıcaklık değerlerinin farkının mutlak değeri, CC termometresinin gösterdiği değerin mutlak değerinin yarısına eşittir.
* BB ile CC termometrelerinin gösterdiği sıcaklık değerlerinin farkının mutlak değeri, AA termometresinin gösterdiği değerin mutlak değerinin 33 katına eşittir.

Buna göre, aa, bb ve cc değerleri için
∣a−c∣+∣b−c∣∣a∣+∣b∣\frac{|a - c| + |b - c|}{|a| + |b|}
ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 4

Cevap

İstenen ifadenin değeri 4'tür.
Verilen sıcaklık değerlerinin işaretleri ve aralarındaki büyüklük ilişkileri incelendiğinde, a<0<b<ca < 0 < b < c eşitsizliği elde edilir. Bu sıralamaya dayanarak mutlak değerli ifadeler dışarı çıkarıldığında a=−ba = -b ve c=4bc = 4b eşitliklerine ulaşılır. İstenen oranda tüm değişkenler bb cinsinden yazılıp sadeleştirildiğinde oran 4 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bilgileri kullanarak aa, bb ve cc değişkenlerinin işaretlerini ve sıralamasını belirleyin.
a<0<b<ca < 0 < b < c
AA sıfırın altında (a<0a < 0), BB ve CC sıfırın üstündedir (b>0b > 0, c>0c > 0) ve c>bc > b olduğu belirtilmiştir.
2
Verilen sözel ifadeleri mutlak değerli denklemler haline getirin.
∣a−b∣=∣c∣2|a - b| = \frac{|c|}{2} ve ∣b−c∣=3∣a∣|b - c| = 3|a|
İki değer arasındaki farkın mutlak değeri aralarındaki uzaklığı belirtir. Başlangıç noktasına olan uzaklık ise sayının kendisinin mutlak değeridir.
3
Tanımlanan eşitsizliklere göre mutlak değerleri dışarı çıkarın.
b−a=c2  ⟹  c=2b−2ab - a = \frac{c}{2} \implies c = 2b - 2a ve c−b=3(−a)  ⟹  c=b−3ac - b = 3(-a) \implies c = b - 3a
a<ba < b olduğundan ∣a−b∣=b−a|a - b| = b - a; b<cb < c olduğundan ∣b−c∣=c−b|b - c| = c - b; c>0c > 0 olduğundan ∣c∣=c|c| = c ve a<0a < 0 oldu��undan ∣a∣=−a|a| = -a olur.
4
Elde edilen iki cc ifadesini birbirine eşitleyerek aa ile bb arasındaki ilişkiyi bulun.
2b−2a=b−3a  ⟹  b=−a2b - 2a = b - 3a \implies b = -a (yani a=−ba = -b)
İki farklı yolla ifade edilen cc değerleri birbirine eşit olmak zorundadır.
5
a=−ba = -b ilişkisini kullanarak cc'yi sadece bb cinsinden yazın.
c=b−3(−b)=4bc = b - 3(-b) = 4b
c=b−3ac = b - 3a denkleminde aa yerine −b-b yazılmıştır.
6
Soruda istenen oranı bb cinsinden yazarak hesaplayın.
a=−ba = -b ve c=4bc = 4b için:

∣a−c∣=∣−b−4b∣=∣−5b∣=5b|a - c| = |-b - 4b| = |-5b| = 5b

∣b−c∣=∣b−4b∣=∣−3b∣=3b|b - c| = |b - 4b| = |-3b| = 3b

∣a∣=∣−b∣=b|a| = |-b| = b

∣b∣=b|b| = b

Buradan,
5b+3bb+b=8b2b=4\frac{5b + 3b}{b + b} = \frac{8b}{2b} = 4

olarak bulunur.
b>0b > 0 olduğu için mutlak değerli ifadeler dışarıya pozitif katsayılarla çıkar.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin tanımı gereği, bir ifadenin içi negatif ise dışarıya eksi ile çarpılarak, pozitif ise aynen çıkarılır. Sayı doğrusu üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık bu iki noktanın farkının mutlak değeriyle ifade edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru