Examkin

Soru

Zorluk: ZorHız ve Hareket Problemleri

Bir kargo firmasına ait drone, rüzgarsız bir havada yatay doğrultuda saatte v kmv\text{ km} sabit hızla uçabilmektedir. Rüzgarın doğudan batıya doğru saatte 30 km30\text{ km} sabit hızla estiği bir günde bu drone, A noktasından doğusunda bulunan B noktasına gitmiş ve hiç zaman kaybetmeden tekrar A noktasına dönmüştür. Dronun bu gidiş-dönüş yolculuğundaki ortalama hızı saatte 45 km45\text{ km} olduğuna göre, rüzgarsız havadaki hızı olan vv kaç km/sa\text{km/sa}'tir?

  1. A
    15
  2. B
    45
  3. 60Cevap
  4. D
    75
  5. E
    90

Cevap

Dronun rüzgarsız havadaki hızı saatte 60 km'dir.
Ortalama hız harmonik ortalama formülüyle hesaplandığında Vort=2⋅v1⋅v2v1+v2V_{ort} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2} bağıntısından 45=v2−900v45 = \frac{v^2 - 900}{v} denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif kökü v=60v = 60 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dronun rüzgarlı havada gidiş ve dönüş yönlerindeki hızlarını belirleme.
v1=v−30 km/sav_1 = v - 30\text{ km/sa} (rüzgara karşı gidiş), v2=v+30 km/sav_2 = v + 30\text{ km/sa} (rüzgar yönünde dönüş).
Rüzgar doğudan batıya estiğinden, doğudaki B noktasına giderken hızı r��zgar hızı kadar azalır; dönerken ise rüzgar hızı kadar artar.
2
Gidiş-dönüş yolculuğu için ortalama hız formülünü kurma.
Vort=2⋅v1⋅v2v1+v2=45V_{ort} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2} = 45
Aynı yol gidilip dönüldüğünde ortalama hız, gidiş ve dönüş hızlarının harmonik ortalamasına eşittir.
3
Elde edilen denklemde hız ifadelerini yerine yazıp sadeleştirme yapma.
2(v−30)(v+30)(v−30)+(v+30)=45  ⟹  2(v2−900)2v=45  ⟹  v2−900v=45\frac{2(v-30)(v+30)}{(v-30)+(v+30)} = 45 \implies \frac{2(v^2 - 900)}{2v} = 45 \implies \frac{v^2 - 900}{v} = 45
Paydadaki terimler sadeleşerek denklemi çözülebilir bir ikinci derece denklem haline getirir.
4
İkinci dereceden denklemi düzenleme ve çarpanlarına ayırma.
v2−45v−900=0  ⟹  (v−60)(v+15)=0v^2 - 45v - 900 = 0 \implies (v - 60)(v + 15) = 0
Denklemin köklerini bulmak için çarpımları −900-900 ve toplamları −45-45 olan −60-60 ve +15+15 sayıları seçilir.
5
Fiziksel olarak anlamlı kökü seçerek hızı belirleme.
v=60 km/sav = 60\text{ km/sa}
Hız değeri negatif olamayacağından (v≠−15v \neq -15), pozitif değer olan v=60v = 60 dronun rüzgarsız havadaki hızı olarak belirlenir.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız ve Rüzgar/Akıntı Etkisiyle Hareket
Bu soruyu puanla

Konular

Hız ve Hareket Problemleri

Bu konudan daha fazla soru