Pozitif bir n tam sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı T(n), farklı asal çarpanları… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Pozitif bir $n$ tam sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı $T(n)$ , farklı asal çarpanlarının çarpımı ise $Ç(n)$ ile gösterilmektedir.

Örneğin; $12 = 2^2 \cdot 3^1$ olduğundan $T(12) = 2 + 3 = 5$ ve $Ç(12) = 2 \cdot 3 = 6$ olur.

Buna göre,

Ç(n) - T(n) = 15

eşitliğini sağlayan iki basamaklı en büyük

n

doğal sayısının rakamları toplamı kaçtır?

Cevap: 14

Cevap

Koşulu sağlayan en büyük iki basamaklı n sayısı 68 olduğundan rakamları toplamı 14'tür.

Koşulu sağlayan en büyük iki basamaklı n sayısı 68'dir ve rakamları toplamı 14 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

n sayısının farklı asal çarpan sayısı olan k değerine göre Ç(n) - T(n) ifadesinin durumu incelenir.

k = 1 için Ç(n) - T(n) = 0 olur. k >= 3 için en küçük durum olan {2, 3, 5} asalları için Ç(n) - T(n) = 30 - 10 = 20 > 15 olur. Dolay��sıyla n sayısının tam olarak 2 farklı asal çarpanı olmalıdır.

Çözümün hangi asal çarpan sayısında aranacağını tespit etmek.

k = 2 durumunda farklı p ve q asal sayıları için pq - (p + q) = 15 denklemi çözülür.

pq - p - q = 15 ifadesinin her iki tarafına 1 eklenirse (p - 1)(q - 1) = 16 elde edilir. p < q kabul edilirse 16'nın çarpanlarından p = 2 ve q = 17 tek asal çözümdür.

n sayısının asal çarpanlarının hangileri olduğunu belirlemek.

Asal çarpanları 2 ve 17 olan, n = 2^a * 17^b formatındaki iki basamaklı sayılar bulunur.

b = 1 ve a = 1 için n = 34, b = 1 ve a = 2 için n = 68 bulunur. Diğer durumlar iki basamaklı sınırını aşar. En büyük değer 68'dir.

Koşulu sağlayan en büyük iki basamaklı n sayısını elde etmek.

Elde edilen en büyük n sayısının rakamları toplamı hesaplanır.

n = 68 için rakamlar toplamı 6 + 8 = 14 bulunur.

Soruda istenen nihai değere ulaşmak.

Anahtar Kavram

Asal çarpanlara ayırma ve iki bilinmeyenli tamsayı denklemlerinin çözümü

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru