Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKarışım Problemleri

Bir çay firması, bergamot aroması oranları kütlece %20\%20 ve %50\%50 olan sırasıyla A ve B türü iki çaydan belirli miktarlarda karıştırarak yeni bir harman elde ediyor. Bu harmanın bir kısmı dökülerek yerine dökülen miktarda B türü çay ekleniyor. Harmanın %40\%40'ı dökülüp yerine aynı miktarda B türü çay eklendiğinde elde edilen yeni harmanın bergamot aroması oranı kütlece %44\%44 oluyor. Elde edilen ilk harman karışımında A türü çaydan 80 gram80\text{ gram} kullanıldığına göre, son harman karışımındaki toplam B türü çay miktarı kaç gramdır?

Cevap: 192 gram

Cevap

Son harman karışımındaki toplam B türü çay miktarı 192 gramdır.
Yapılan hesaplamalarda ilk karışımın bergamot oranının %40 olduğu, buradan hareketle B çayının miktarının A çayının 2 katı (160 gram) olduğu belirlenmiştir. Dökülen %40'lık kısım sonrasında kalan B çayına (96 gram) eklenen 96 gram B çayı eklendiğinde son miktar 192 gram olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk harmanın toplam kütlesine MM, bergamot yüzdesine ise PP diyelim. Harmanın %40\%40'ı döküldüğünde geriye kalan %60\%60'lık kısmın (0,6M0,6M) bergamot oranı hâlâ %P\%P'dir. Dökülen %40\%40'lık kısım (0,4M0,4M) yerine %50\%50 bergamot içeren B çayı eklenmektedir. Son karışımın bergamot oranı %44\%44 olduğuna göre yüzde denklemini kuralım.
0,6M⋅P100+0,4M⋅50100=M⋅44100⇒0,6P+20=44⇒0,6P=24⇒P=400,6M \cdot \frac{P}{100} + 0,4M \cdot \frac{50}{100} = M \cdot \frac{44}{100} \Rightarrow 0,6P + 20 = 44 \Rightarrow 0,6P = 24 \Rightarrow P = 40. İlk harmanın bergamot oranı %40\%40 olarak bulunur.
Karışımdan bir miktar döküldüğünde kalan kısmın konsantrasyonu (yüzdesi) değişmez. Dökülen miktar kadar yeni madde eklendiğinde toplam kütle başlangıçtaki değere eşit kalır.
2
İlk harmanı oluşturmak için kullanılan A çayının miktarına xx gram, B çayının miktarına yy gram diyelim. A çayının bergamot oranı %20\%20, B çayının bergamot oranı %50\%50 ve oluşan ilk harmanın bergamot oranı %40\%40 olduğuna göre karışım denklemini yazalım.
20x+50y=40(x+y)⇒20x+50y=40x+40y⇒10y=20x⇒y=2x20x + 50y = 40(x + y) \Rightarrow 20x + 50y = 40x + 40y \Rightarrow 10y = 20x \Rightarrow y = 2x. B çayının miktarının, A çayının miktarının 2 katı olduğu bulunur.
İki farklı karışımın birleştirilmesiyle elde edilen yeni karışımın oranı, bileşenlerin miktarlarıyla ağırlıklı ortalaması alınarak bulunur.
3
Başlangıçtaki A çayı miktarı x=80 gramx = 80\text{ gram} olarak verildiğine göre, başlangıçtaki B çayı miktarını (yy) ve toplam karışım miktarını (MM) hesaplayalım.
y=2⋅80=160 gramy = 2 \cdot 80 = 160\text{ gram} B çayı kullanılmıştır. Toplam başlangıç karışımı M=80+160=240 gramM = 80 + 160 = 240\text{ gram} olur.
Bir önceki adımda elde edilen y=2xy = 2x bağıntısı kullanılarak başlangıçtaki bileşenlerin gerçek kütleleri hesaplanır.
4
Karışımın %40\%40'ı döküldüğünde, başlangıçtaki B çayının da %40\%40'ı dökülür ve geriye %60\%60'ı kalır. Dökülen toplam karışım miktarı kadar (240⋅0,40=96 gram240 \cdot 0,40 = 96\text{ gram}) saf B çayı karışıma eklenir. Son durumdaki toplam B çayı miktarını hesaplayalım.
Kalan B çayı: 160⋅0,60=96 gram160 \cdot 0,60 = 96\text{ gram}. Eklenen B çayı: 96 gram96\text{ gram}. Son durumdaki B çayı miktarı: 96+96=192 gram96 + 96 = 192\text{ gram} olarak bulunur.
Homojen karışımlarda dökülen oran doğrultusunda her bir bileşenden aynı oranda kayıp yaşanır. Eklenen saf bileşen doğrudan o bileşenin kütlesine eklenir.

Anahtar Kavram

Karışım problemlerinde kısmi dökme ve yerine saf bileşen ekleme işlemlerinde kütle dengesi ve ağırlıklı yüzde ortalaması hesabı.

Alternatif Yöntem

Oran-orantı veya kaldıraç (ters orantı) yöntemi kullanılabilir. %20'lik A çayı ile %50'lik B çayı karıştırıldığında %40'lık bir karışım elde ediliyorsa, karışım oranının %20'ye olan uzaklığı 20 birim, %50'ye olan uzaklığı 10 birimdir. Ters orantı gereği B çayından 2k2k miktar alınırken A çayından kk miktar alınmalıdır. Buradan x=80x = 80 ise y=160y = 160 bulunur. Dökme ve ekleme işlemlerinde ise doğrudan B çayı üzerinden kütle takibi yapılarak sonuca ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Karışım Problemleri

Bu konudan daha fazla soru