Bir otomobil sürücüsü, 360\text{ km} uzunluğundaki bir seyahatinin ilk yarısını saatte ort… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bir otomobil sürücüsü, $360\text{ km}$ uzunluğundaki bir seyahatinin ilk yarısını saatte ortalama $v_1$ hızıyla, kalan yarısını ise saatte ortalama $v_2$ hızıyla tamamlamıştır.

Sürücü, tüm yolculuk boyunca ortalama hızını, bu iki hızın aritmetik ortalaması olan $\frac{v_1 + v_2}{2}$ formülüyle hesaplamıştır. Ancak otomobilin yol bilgisayarı, seyahatin gerçek ortalama hızını (toplam yolun toplam süreye oranı) hesaplamış ve sürücünün bulduğu değerden $10\text{ km/sa}$ daha az olduğunu göstermiştir.

$v_2 = 2v_1$ olduğuna göre, yol bilgisayarının gösterdiği gerçek ortalama hız kaç $\text{km/sa}$ 'tir?

A
60
B
75
80Cevap
D
90
E
120

Cevap

Yol bilgisayarının gösterdiği gerçek ortalama hız

80\text{ km/sa}

'tir.

Toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle elde edilen gerçek ortalama hız formülü uygulandığında gerçek hızın

80\text{ km/sa}

olduğu görülür. Aritmetik ortalama ile hesaplanan

90\text{ km/sa}

değeri gerçek değerden

10\text{ km/sa}

fazladır.

Adım Adım Çözüm

Yolun ilk yarısı ve ikinci yarısı için geçen süreleri

v_1

cinsinden ifade edelim.

Yolun tamamı

360\text{ km}

olduğuna göre, her bir yarı

180\text{ km}

uzunluğundadır.

v_2 = 2v_1

olduğuna göre, ilk yarı için geçen süre

t_1 = \frac{180}{v_1}

saat ve ikinci yarı için geçen süre

t_2 = \frac{180}{v_2} = \frac{180}{2v_1} = \frac{90}{v_1}

saat olur.

Toplam süreyi tek bir değişken cinsinden yazarak gerçek ortalama hızı hesaplamak.

Yol bilgisayarının hesapladığı gerçek ortalama hızı (

V_{\text{gerçek}}

)

v_1

cinsinden bulalım.

V_{\text{gerçek}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Süre}} = \frac{360}{t_1 + t_2} = \frac{360}{\frac{180}{v_1} + \frac{90}{v_1}} = \frac{360}{\frac{270}{v_1}} = \frac{360 \cdot v_1}{270} = \frac{4v_1}{3}

olarak bulunur.

Gerçek ortalama hız, toplam mesafenin seyahat süresine bölünmesiyle bulunur.

Sürücünün hesapladığı hız ile gerçek hız arasındaki farkı kullanarak bir denklem kuralım ve

v_1

değerini bulalım.

Sürücünün hesapladığı hız:

V_{\text{sürücü}} = \frac{v_1 + 2v_1}{2} = 1,5v_1 = \frac{3v_1}{2}

'dir. İki hız değeri arasındaki fark

10\text{ km/sa}

olduğundan:

\frac{3v_1}{2} - \frac{4v_1}{3} = 10

Paydalar eşitlendiğinde (6'da):

\frac{9v_1 - 8v_1}{6} = 10 \Rightarrow \frac{v_1}{6} = 10 \Rightarrow v_1 = 60\text{ km/sa}

elde edilir.

Sürücünün tahmini ile gerçek değer arasındaki fark ilişkisini kullanarak bilinmeyen hızı çözmek.

Bulunan

v_1

değerini yerine yazarak gerçek ortalama hızı hesaplayalım.

V_{\text{gerçek}} = \frac{4 \cdot 60}{3} = 80\text{ km/sa}

bulunur.

Gerçek ortalama hız ifadesinde

v_1

değerini yerine yazarak sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, seyahat edilen toplam mesafenin bu seyahatte geçen toplam süreye bölünmesiyle bulunur. Hızların aritmetik ortalaması, yalnızca süreler eşit olduğunda gerçek ortalama hıza eşit olur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru