Examkin

Soru

Zorluk: ZorPozitif ve Negatif Sayılar

Bir sayı doğrusu üzerindeki nötr (işaretsiz) başlangıç noktasına olan uzaklıkları sırasıyla 4, 6 ve 9 birim olan xx, yy ve zz gerçel sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler verilmiştir:
* x5⋅y2⋅z3<0x^5 \cdot y^2 \cdot z^3 < 0
* y⋅z>0y \cdot z > 0
* x−y>0x - y > 0

Buna göre,
−x2−(−y)2z−(−z)2+86\frac{-x^2 - (-y)^2}{z - (-z)^2 + 86}
ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 13

Cevap

İfadenin değeri 13'tür.
Verilen eşitsizlikler analiz edildiğinde x=4x = 4, y=−6y = -6 ve z=−9z = -9 değerleri elde edilir. Bu değerler rasyonel ifadede işlem önceliklerine ve parantezli/parantezsiz üs alma kurallarına dikkat edilerek yerine yazıldığında pay −52-52, payda −4-4 bulunur. Bölme işleminin sonucunda 13 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıç noktasına olan uzaklık tanımından faydalanarak değişkenlerin mutlak değerlerini belirlemek.
∣x∣=4|x| = 4, ∣y∣=6|y| = 6 ve ∣z∣=9|z| = 9 elde edilir.
Bir gerçel sayının başlangıç noktasına (sıfır noktasına) olan uzaklığı o sayının mutlak değerine eşittir.
2
x5⋅y2⋅z3<0x^5 \cdot y^2 \cdot z^3 < 0 eşitsizliğini incelemek.
xx ve zz gerçel sayıları zıt işaretlidir (x⋅z<0x \cdot z < 0).
y≠0y \neq 0 olduğundan y2>0y^2 > 0 olur. Çarpımın negatif olması için x5⋅z3<0x^5 \cdot z^3 < 0 olmalıdır, bu da xx ile zz'nin zıt işaretli olmasını gerektirir.
3
y⋅z>0y \cdot z > 0 eşitsizliğini incelemek.
yy ve zz gerçel sayıları aynı işaretlidir.
İki gerçel sayının çarpımının pozitif olması için ikisinin de aynı işaretli olması gerekir.
4
İşaret ilişkilerini birleştirmek.
xx ile yy gerçel sayıları zıt işaretlidir.
xx ile zz zıt, yy ile zz aynı işaretli olduğundan xx ile yy mutlaka zıt işaretli olmalıdır.
5
x−y>0x - y > 0 eşitsizliğini kullanmak.
x>0x > 0 ve y<0y < 0 bulunur.
Zıt işaretli iki sayının farkının pozitif çıkması için büyük olan sayının (xx) pozitif, küçük olan sayının (yy) negatif olması gerekir.
6
Tüm değişkenlerin kesin değerlerini bulmak.
x=4x = 4, y=−6y = -6 ve z=−9z = -9 olur.
y<0y < 0 ve yy ile zz aynı işaretli olduğundan z<0z < 0 olur. Mutlak değer büyüklükleri kullanılarak değerler belirlenir.
7
Bulunan değerleri istenen ifadede yerine yazıp hesaplamak.
13 elde edilir.
Pay: −x2−(−y)2=−(4)2−(6)2=−16−36=−52-x^2 - (-y)^2 = -(4)^2 - (6)^2 = -16 - 36 = -52. Payda: z−(−z)2+86=−9−(9)2+86=−90+86=−4z - (-z)^2 + 86 = -9 - (9)^2 + 86 = -90 + 86 = -4. Sonuç: −52−4=13\frac{-52}{-4} = 13 olur.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda dört işlem kuralları, üs alma işlemleri ve mutlak değer yardımıyla işaret analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Pozitif ve Negatif Sayılar

Bu konudan daha fazla soru