Examkin

Problemler

889 soru

Tüm türler889Çoktan seçmeli593Sayısal232Eşleştirme29Sıralama35
Soru 881Soru →

Bir kırtasiyeci, tanesi abab TL olan kalemlerden en fazla 15 tane alabilmektedir. Bu kırtasiyecinin parasıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Tanesi 12 TL olan defterlerden alsaydı, cebindeki tüm parayla en fazla 30 tane alabilirdi ve hiç parası artmazdı.
* Kalemin birim fiyatı olan abab, iki basamaklı bir doğal sayıdır.

Buna göre, kalemin birim fiyatının rakamları toplamı olan a+ba + b ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Kalemin birim fiyatının rakamları toplamının alabileceği en küçük değer 5'tir.
Kırtasiyecinin toplam parası 360 TL'dir. Tanesi abab TL olan kalemlerden en fazla 15 tane alınabilmesi 15×ab≤360<16×ab15 \times ab \leq 360 < 16 \times ab eşitsizliğiyle ifade edilir. Buradan 22,5<ab≤2422,5 < ab \leq 24 elde edilir. İki basamaklı abab doğal sayısı bu aralıkta 23 veya 24 olabilir. Rakamları toplamının en küçük değeri ise 23 sayısı için 2 + 3 = 5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kırtasiyecinin cebindeki toplam parayı bulalım.
Toplam para 12×30=36012 \times 30 = 360 TL'dir.
Defterlerin tanesi 12 TL'dir ve bu defterlerden en fazla 30 tane alındığında para tam yetmektedir.
2
Kalemin fiyatı olan abab için eşitsizlikleri kuralım.
15×ab≤360<16×ab15 \times ab \leq 360 < 16 \times ab eşitsizliği elde edilir.
Kırtasiyeci cebindeki 360 TL ile bu kalemlerden en fazla 15 tane alabildiğine göre, 15 kalemin fiyatı 360 TL'den küçük veya eşit olmalı, ancak 16 kalemin fiyatı 360 TL'yi aşmalıdır.
3
Eşitsizlik sistemini çözerek abab iki basamaklı sayısının değer aralığını belirleyelim.
22,5<ab≤2422,5 < ab \leq 24 aralığı bulunur.
15×ab≤360  ⟹  ab≤2415 \times ab \leq 360 \implies ab \leq 24 ve 16×ab>360  ⟹  ab>22,516 \times ab > 360 \implies ab > 22,5 eşitsizlikleri çözüldüğünde bu aralık ortaya çıkar.
4
abab iki basamaklı doğal sayısının alabileceği değerleri bulalım ve en küçük rakamlar toplamını hesaplayalım.
ab=23ab = 23 veya ab=24ab = 24 olabilir. En küçük rakamlar toplamı 2+3=52 + 3 = 5 olur.
22,5<ab≤2422,5 < ab \leq 24 aralığındaki iki basamaklı doğal sayılar 23 ve 24'tür. Bu sayıların rakamları toplamı sırasıyla 2+3=52+3=5 ve 2+4=62+4=6 olduğundan en küçük değer 5'tir.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen kısıtları (en fazla/en az durumlarını) eşitsizlikler yardımıyla modelleme ve iki basamaklı sayıların çözümlenmesi.
Soru 882Soru →

Bir fabrikada üretilen A ve B marka iki farklı metal parçanın ağırlıkları sırasıyla iki basamaklı abab ve baba gramdır. Bu parçalarla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A marka parçalardan 4 adet, B marka parçalardan ise 5 adet boş bir kutuya konulduğunda kutudaki parçalar��n toplam ağırlığı 342 gram olmaktadır.
* Kutudaki A marka parçaların toplam ağırlığı, B marka parçaların toplam ağırlığından fazladır.

Buna göre, bir adet A marka parça ile bir adet B marka parçanın ağırlıkları farkı kaç gramdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Bir adet A marka parça ile bir adet B marka parçanın ağırlıkları farkı 9 gramdır.
A ve B marka parçaların ağırlıkları çözümlenip toplam ağırlık denklemine yerleştirildiğinde 5a+6b=385a + 6b = 38 eşitliği elde edilir. Bu eşitliği sağlayan tek sıfırdan farklı rakam ikilisi a=4a = 4 ve b=3b = 3 değerleridir. Bu durumda ağırlıklar 43 gram ve 34 gram olur. A marka parçaların toplam ağırlığı (4×43=1724 \times 43 = 172 gram), B marka parçaların toplam ağırlığından (5×34=1705 \times 34 = 170 gram) fazla olduğu için tüm koşullar sağlanır. İki parçanın ağırlıkları farkı 9 gramdır.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B marka parçaların ağırlıkları olan abab ve baba iki basamaklı sayılarını çözümleyelim.
ab=10a+bab = 10a + b ve ba=10b+aba = 10b + a olarak yazılır.
İki basamaklı sayıların basamak değerlerini belirlemek için basamak çözümlemesi yapılır.
2
Kutudaki toplam ağırlık denklemini kuralım ve sadeleştirelim.
4(10a+b)+5(10b+a)=342  ⟹  45a+54b=342  ⟹  5a+6b=384(10a + b) + 5(10b + a) = 342 \implies 45a + 54b = 342 \implies 5a + 6b = 38 elde edilir.
A marka parçalardan 4 adet, B marka parçalardan 5 adet kullanıldığı belirtilmiştir.
3
aa ve bb sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere 5a+6b=385a + 6b = 38 eşitliğini sağlayan değerleri bulalım.
b=3b = 3 için 5a=20  ⟹  a=45a = 20 \implies a = 4 bulunur. Diğer rakam değerleri için eşitlik sağlanmaz.
aa ve bb değerleri abab ve baba iki basamaklı sayılarının baş rakamları olduğundan sıfırdan farklı birer rakam olmak zorundadır.
4
Kutudaki parçaların ağırlık koşulunu (4×ab>5×ba4 \times ab > 5 \times ba) kontrol edelim.
4×43=1724 \times 43 = 172 gram ve 5×34=1705 \times 34 = 170 gramdır. 172>170172 > 170 olduğundan koşul sağlanır.
Soruda kutudaki A marka parçaların toplam ağırlığının B marka parçalardan fazla olduğu verilmiştir.
5
Birer adet A ve B marka parçaların ağırlıkları farkını hesaplayalım.
∣ab−ba∣=∣43−34∣=9|ab - ba| = |43 - 34| = 9 gram olarak bulunur.
Bizden istenen birer adet parçanın ağırlıkları farkıdır.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri ve Denklem Kurma
Soru 883Soru →

Bir kahve dükkanı, müşterilerine her kahve alışverişinde dijital bir kart üzerinden pul vermektedir. Bu dükkandaki kampanya ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Müşteriler satın aldıkları her 11 bardak kahve için 11 pul kazanmaktadır.
* Müşteriler biriktirdikleri her 66 pul karşılığında 11 bardak hediye kahve alabilmektedir. Hediye edilen kahveler için kartta pul birikmemektedir.
* Kartında başlangıçta hiç pul bulunmayan bir müşteri, bu dükkandan belirli sayıda kahve satın almış ve biriktirdiği pullarla hediye kahvelerini de alarak toplam 5858 bardak kahve içmiştir.

Son durumda bu müşterinin kartında 22 pul kaldığına göre, müşteri ücretsiz içtiği hediye kahveler dışında kaç bardak kahve satın almıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Müşteri, hediye kahveler dışında toplam 50 bardak kahve satın almıştır.
Toplam içilen kahve sayısı satın alınan kahveler (xx) ve hediye kahvelerin (yy) toplamıdır: x+y=58x + y = 58. Kazanılan toplam pul sayısı xx olup, hediye kahveler için harcanan pul sayısı 6y6y'dir. Kalan pul sayısı 22 olduğuna göre x−6y=2x - 6y = 2 bağıntısı bulunur. Bu iki denkleminin ortak çözümünden y=8y = 8 ve satın alınan kahve sayısı x=50x = 50 olarak elde edilir. Dolayısıyla 50 değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Satın alınan kahve sayısına xx, hediye alınan kahve sayısına yy diyerek değişkenleri belirleme.
Satın alınan kahve sayısı xx, hediye kahve sayısı yy olmak üzere toplam kahve sayısı x+y=58x + y = 58 olur.
Problemdeki toplam kahve sayısını veren denklemi kurmak için.
2
Kazanılan ve harcanan pul miktarları arasındaki ilişkiyi kurarak ikinci denklemi yazma.
Satın alınan her kahve için 1 pul kazanıldığından toplam xx pul kazanılır. Her hediye kahve için 6 pul harcandığından toplam 6y6y pul harcanır. Kalan pul sayısı 2 olduğundan x−6y=2x - 6y = 2 elde edilir.
Kalan pul sayısı üzerinden satın alınan ve hediye kahve sayıları arasındaki ikinci bağıntıyı bulmak için.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözme.
x=6y+2x = 6y + 2 ifadesini ilk denklemde yerine yazarsak: (6y+2)+y=58  ⟹  7y+2=58  ⟹  7y=56  ⟹  y=8(6y + 2) + y = 58 \implies 7y + 2 = 58 \implies 7y = 56 \implies y = 8 bulunur. Buradan satın alınan kahve sayısı x=6(8)+2=50x = 6(8) + 2 = 50 olarak elde edilir.
Müşterinin satın aldığı kahve sayısını (xx) hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürme ve iki bilinmeyenli denklem sistemlerini çözme.

Alternatif Yöntem

Toplam kahve sayısı olan 58'den kalan 2 pul çıkarılarak 56 kahve üzerinden oran-orantı kurulabilir. 6 satın alınan kahveye karşılık 1 hediye kahve kazanıldığı (toplam 7 kahve) düşünülürse, 56/7=856 / 7 = 8 hediye kahve alınmıştır. Buradan satın alınan kahve sayısı 58−8=5058 - 8 = 50 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 884Soru →

Bir kargo firmasında A ve B tipi olmak üzere toplam 48 adet boş kargo kutusu bulunmaktadır. A tipi kutuların her biri en fazla 15 paket, B tipi kutuların her biri ise en fazla 20 paket alabilmektedir.

Bu firmadaki paketlerin tamamı kutulara yerleştirilecektir:
- Sadece A tipi kutuların tamamı ve B tipi kutuların bir kısmı tam dolu olacak şekilde yerleştirildiğinde boş kalan B tipi kutu sayısı, tüm B tipi kutuların sayısının yarısı olmaktadır.
- Sadece B tipi kutuların tamamı ve A tipi kutuların bir kısmı tam dolu olacak şekilde yerleştirildiğinde boş kalan A tipi kutu sayısı, kullanılan A tipi kutu sayısından 6 eksik olmaktadır.

Buna göre, bu firmada kutulara yerleştirilen toplam paket sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 630

Cevap

Toplam paket sayısı 630'dur.
Toplam kutu sayısı A+B=48A+B=48 olup, her iki durumdaki paket sayısı eşitliği kurulduğunda 3A−4B=183A-4B=18 denklemi elde edilir. Bu denklem sistemi çözüldüğünde A=30A=30 ve B=18B=18 bulunur. Buradan toplam paket sayısı 15⋅30+10⋅18=63015 \cdot 30 + 10 \cdot 18 = 630 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kutu sayılarını belirlemek için değişkenleri tanımlama ve toplam kutu sayısı denklemini yazma.
AA ve BB sırasıyla A ve B tipi kutuların sayısı olmak üzere, A+B=48A + B = 48 elde edilir.
Toplam kutu sayısı 48 olarak verilmiştir.
2
Birinci senaryodaki toplam paket sayısını veren denklemi oluşturma.
Boş kalan B tipi kutu sayısı B2\frac{B}{2} olduğundan kullanılan B kutu sayısı da B2\frac{B}{2} olur. Toplam paket sayısı: P=15A+20⋅B2=15A+10BP = 15A + 20 \cdot \frac{B}{2} = 15A + 10B olarak bulunur.
A tipi kutuların tamamı ve B tipi kutuların yarısı tam doldurulmuştur.
3
İkinci senaryodaki kullanılan A tipi kutu sayısını belirleme ve toplam paket sayısı denklemini yazma.
Boş kalan A kutu sayısı Abos¸=Adolu−6A_{\text{boş}} = A_{\text{dolu}} - 6 ve toplam A kutusu sayısı Abos¸+Adolu=AA_{\text{boş}} + A_{\text{dolu}} = A olduğundan, 2Adolu−6=A⇒Adolu=A+622A_{\text{dolu}} - 6 = A \Rightarrow A_{\text{dolu}} = \frac{A + 6}{2} olur. Toplam paket sayısı: P=20B+15⋅A+62P = 20B + 15 \cdot \frac{A + 6}{2} olarak bulunur.
B tipi kutuların tamamı ve A tipi kutuların bir kısmı doldurulmuştur.
4
İki farklı senaryodaki paket sayılarını birbirine eşitleyerek kutu sayılarını bulma.
15A+10B=20B+15⋅A+6215A + 10B = 20B + 15 \cdot \frac{A + 6}{2} denkleminden 3A−4B=183A - 4B = 18 elde edilir. A+B=48⇒A=48−BA + B = 48 \Rightarrow A = 48 - B ifadesi yerine yazıldığında 3(48−B)−4B=18⇒144−7B=18⇒7B=126⇒B=183(48 - B) - 4B = 18 \Rightarrow 144 - 7B = 18 \Rightarrow 7B = 126 \Rightarrow B = 18 ve A=30A = 30 bulunur.
Her iki durumda da yerleştirilen toplam paket sayısı sabittir.
5
Bulunan kutu sayılarını kullanarak toplam paket sayısını hesaplama.
P=15(30)+10(18)=630P = 15(30) + 10(18) = 630 olarak bulunur.
Herhangi bir senaryodaki paket sayısı denkleminde kutu sayıları yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemleri yardımıyla sayı problemlerini modelleme ve çözme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 885Soru →

Bir kitap evinde, yeni gelen kitap kolilerini açmak ve raflara dizmek için AA ve BB marka iki otomatik barkod okuma cihazı kullanılmaktadır. Bu cihazların barkod okuma hızları ve çalışma süreleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* AA cihazı dakikada 12 kitabın barkodunu okumaktadır.
* BB cihazı dakikada 8 kitabın barkodunu okumaktadır.

Bu iki cihaz aynı anda çalışmaya başladıktan bir süre sonra BB cihazı durdurulmuş ve AA cihazı tek başına 15 dakika daha çalışarak o günkü tüm kitapların barkod okuma işlemini tamamlamıştır.

Bu işlem boyunca toplam 480 kitabın barkodu okunduğuna göre, barkod okuma işlemi toplam kaç dakika sürmüştür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Barkod okuma işlemi toplam 30 dakika sürmüştür.
İki cihazın birlikte çalıştığı süreye xx dakika dersek, AA cihazı toplam x+15x + 15 dakika çalışmış olur. Toplam barkodlanan kitap sayısı 12(x+15)+8x=48012(x+15) + 8x = 480 denkleminden 20x=30020x = 300 ve x=15x = 15 bulunur. Toplam süre ise x+15=30x + 15 = 30 dakikadır.

Adım Adım Çözüm

1
Cihazların birlikte çalıştığı süreyi bir değişken ile tanımlama ve A cihazının toplam çalışma süresini belirleme.
İki cihazın birlikte çalıştığı süre xx dakika olsun. Bu durumda BB cihazı xx dakika çalışırken, AA cihazı hem ortak sürede hem de tek başına çalıştığı 15 dakikalık sürede aktif olduğundan toplam x+15x + 15 dakika çalışmıştır.
Problemde verilen bilgileri kullanarak denklem kurmak için zaman değişkenlerini belirlemek gerekir.
2
Cihazların okuduğu toplam kitap sayısını veren denklemi kurma.
AA cihazının okuduğu kitap sayısı 12×(x+15)12 \times (x + 15), BB cihazının okuduğu kitap sayısı 8×x8 \times x olur. Toplam kitap sayısı: 12(x+15)+8x=48012(x + 15) + 8x = 480 olarak yazılır.
Her bir cihazın birim zamandaki barkod okuma hızı ile çalışma süresi çarpılarak toplam üretilen iş miktarı bulunur.
3
Denklemi çözerek ortak çalışma süresi olan xx değerini bulma.
12x+180+8x=480  ⟹  20x+180=480  ⟹  20x=300  ⟹  x=1512x + 180 + 8x = 480 \implies 20x + 180 = 480 \implies 20x = 300 \implies x = 15 dakika.
Ortak çalışma süresi olan xx değişkeninin sayısal değerini elde etmek.
4
Barkod okuma işleminin toplam süresini hesaplama.
Toplam süre = Ortak süre + AA'nın tek başına çalışma süresi = x+15=15+15=30x + 15 = 15 + 15 = 30 dakika.
Soruda bizden istenen toplam işlem süresine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde denklem kurma ve zaman-kapasite ilişkisi.
Soru 886Soru →

Bir şehirdeki akıllı bisiklet paylaşım sisteminde kullanıcıların bisikleti kiraladıkları ve teslim ettikleri istasyonlara göre puan kazanma ve kaybetme durumları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

İşlem Tipiİstasyon DurumuPuan Etkisi
KiralamaBoş İstasyon+15 Puan
KiralamaDiğer İstasyonlar0 Puan
Teslim EtmeDolu İstasyon-10 Puan
Teslim EtmeDiğer İstasyonlar0 Puan

Bir gün boyunca bu sistemi kullanan ve başlangıçta 120120 puanı olan Tarık, gün içinde toplam 88 defa kiralama ve 88 defa teslim etme işlemi gerçekleştirmiştir.

Günün sonunda Tarık'ın toplam puanı 185185 olduğuna göre, Tarık en fazla kaç defa dolu bir istasyona bisiklet teslim etmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Tarık'ın dolu bir istasyona yaptığı teslimat sayısı en fazla 4 olabilir.
Tarık'ın puan değişim denklemi 3x−2y=133x - 2y = 13 olarak kurulur. Tarık en fazla 88 kiralama yapabildiği için x≤8x \le 8 olmalıdır. Bu koşullarda yy değerinin alabileceği en büyük doğal sayı değeri 44 (x=7x = 7 için) olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Tarık'ın gün sonundaki net puan değişimini hesaplama.
Başlangıç puanı 120120, gün sonu puanı 185185 olduğuna göre net puan değişimi: 185−120=+65185 - 120 = +65 puandır.
Sistemin puanlama etkilerini eşitleyeceğimiz hedef değeri bulmak için.
2
Değişkenleri tanımlama ve doğrusal denklemi kurma.
Boş istasyondan yapılan kiralama sayısı xx, dolu istasyona yapılan teslim sayısı yy olsun. Bu durumda puan değişimi: 15x−10y=6515x - 10y = 65 olur. Denklemin her iki tarafı 55 ile sadeleştirildiğinde 3x−2y=133x - 2y = 13 elde edilir.
Değişkenler arasındaki ilişkiyi en basit matematiksel formda ifade etmek için.
3
Problemin sınır koşullarını belirleme.
Tarık toplamda 88 kiralama ve 88 teslimat yaptığından, 0≤x≤80 \le x \le 8 ve 0≤y≤80 \le y \le 8 olmalıdır. Ayrıca xx ve yy birer doğal sayı olmak zorundadır.
Değişkenlerin alabileceği değerlerin fiziksel sınırlarını belirlemek için.
4
Denklemi sağlayan tam sayı çiftlerini bulma ve en büyük y değerini belirleme.
2y=3x−13  ⟹  y=3x−1322y = 3x - 13 \implies y = \frac{3x - 13}{2} ifadesinde yy değerinin doğal sayı olması için 3x−133x - 13 çift, yani xx tek sayı olmalıdır. x≥5x \ge 5 ve x≤8x \le 8 koşulunu sağlayan tek sayılar 55 ve 77'dir. Eğer x=5x = 5 ise y=1y = 1 olur. Eğer x=7x = 7 ise y=4y = 4 olur. Bu durumda yy değeri en fazla 44 olabilir.
Koşulları ve sınırları sağlayan en büyük teslimat değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı ve Denklem Kurma Problemleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 887Soru →

Bir mobil oyun firması, oyuncularına yönelik hazırladığı bir etkinlikte dağıtılmak üzere iki farklı hediye paketi tasarlamıştır. Bu paketlerin içerikleriyle ilgili bilgiler aşağıda verilmiştir:

* Altın Paketi: İçerisinde 8 adet altın ve 3 adet elmas bulunmaktadır.
* Platin Paketi: İçerisinde 15 adet altın ve 2 adet elmas bulunmaktadır.

Etkinlik kapsamında bu paketlerden toplam 40 adet dağıtılmıştır. Dağıtılan bu paketlerdeki toplam altın sayısı, toplam elmas sayısının 3 katından 10 eksiktir.

Buna göre, dağıtılan paketlerden kaç tanesi Altın Paketi'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 37

Cevap

Altın Paketi sayısı 37'dir.
Doğru denklem sistemi (x+y=40x + y = 40 ve 8x+15y=3(3x+2y)−108x + 15y = 3(3x + 2y) - 10) kurulup çözüldüğünde Altın Paketi sayısı 37 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
De��işkenlerin tanımlanması ve toplam paket sayısı denkleminin kurulması
Altın Paketi sayısı xx, Platin Paketi sayısı yy olsun. Toplam paket sayısı 40 olduğundan: x+y=40x + y = 40 elde edilir.
Soru kökündeki toplam paket sayısını matematiksel ifadeye dökmek için.
2
Toplam altın ve elmas sayılarının paket sayıları cinsinden yazılması
Bir Altın Paketi'nde 8 altın ve 3 elmas, bir Platin Paketi'nde ise 15 altın ve 2 elmas bulunduğundan; toplam altın say��sı G=8x+15yG = 8x + 15y, toplam elmas sayısı ise D=3x+2yD = 3x + 2y olur.
Paketlerin içerik miktarlarını toplam değişkenler halinde ifade etmek için.
3
Toplam altın ve elmas sayıları arasındaki ilişkinin denkleme dökülmesi ve sadeleştirilmesi
Altın sayısının elmas sayısının 3 katından 10 eksik olduğu belirtildiğinden:
G=3D−10G = 3D - 10
8x+15y=3(3x+2y)−108x + 15y = 3(3x + 2y) - 10
8x+15y=9x+6y−108x + 15y = 9x + 6y - 10
x−9y=10x - 9y = 10 elde edilir.
Verilen sözel ilişkiyi cebirsel bir denklem haline getirmek için.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözülmesi
x+y=40  ⟹  x=40−yx + y = 40 \implies x = 40 - y ifadesini diğer denklemde yerine koyalım:
(40−y)−9y=10(40 - y) - 9y = 10
40−10y=10  ⟹  10y=30  ⟹  y=340 - 10y = 10 \implies 10y = 30 \implies y = 3
Altın Paketi sayısı: x=40−3=37x = 40 - 3 = 37 olarak bulunur.
Bilinmeyen değerleri belirlemek için yerine koyma yöntemini kullanmak.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemlerinin kurulması ve çözülmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 888Soru →

Bir kargo teslimat noktasında bulunan akıllı dolapta yan yana dizilmiş toplam 4040 adet boş bölme vardır. Bu bölmelerin bir kısmı küçük boy, geri kalanı ise büyük boydur.
- Küçük boy bölmelerin her birine en fazla 44 paket,
- Büyük boy bölmelerin her birine en fazla 1010 paket
konulabilmektedir. Dolaptaki tüm bölmeler tam kapasiteyle doldurulduğunda toplam 220220 paket yerleştirilebilmektedir.

Ancak dolaptaki bölmelerin bir kısmının arızalı olduğu fark edilmiş ve arızalı olan bu bölmelere hiç paket konulmamıştır. Arızalı olmayan bölmelerin tamamı ise tam kapasite doldurularak bu bölmelere toplam 160160 paket yerleştirilmiştir.

Arızalı olan bölmelerin toplam sayısı, arızalı olmayan k��çük boy bölmelerin sayısından 88 eksiktir.

Buna göre, arızalı olan büyük boy bölme sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Arızalı olan büyük boy bölme sayısı 2'dir.
Arızalı olan büyük boy bölme sayısı, toplam büyük boy bölme sayısı olan 10'dan, aktif olan büyük boy bölme sayısı olan 8'in çıkarılmasıyla 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam küçük boy (SS) ve büyük boy (LL) bölme sayılarını bulmak için denklem kurup çözeriz.
Küçük boy bölme sayısı S=30S = 30, büyük boy bölme sayısı L=10L = 10 olarak bulunur.
Toplam bölme sayısı 40 ve tam kapasite paket sayısı 220'dir. Buradan S+L=40S + L = 40 ve 4S+10L=2204S + 10L = 220 denklemleri elde edilir. İlk denklemi −4-4 ile çarpıp taraf tarafa toplarsak 6L=60  ⟹  L=106L = 60 \implies L = 10 ve S=30S = 30 bulunur.
2
Arızalı olmayan (aktif) küçük boy (SaktifS_{aktif}) ve büyük boy (LaktifL_{aktif}) bölmelerin sayılarını ilişkilendiren denklemleri kurarız.
2Saktif+5Laktif=802S_{aktif} + 5L_{aktif} = 80 ve 2Saktif+Laktif=482S_{aktif} + L_{aktif} = 48 denklemleri elde edilir.
Aktif bölmelerin paket kapasitesi 160'tır (4Saktif+10Laktif=160  ⟹  2Saktif+5Laktif=804S_{aktif} + 10L_{aktif} = 160 \implies 2S_{aktif} + 5L_{aktif} = 80). Arızalı olan bölmelerin toplam sayısı (BB), toplam bölme sayısından aktif olanların çıkarılmasıyla bulunur (B=40−Saktif−LaktifB = 40 - S_{aktif} - L_{aktif}). Bu sayının, aktif küçük bölme sayısından 8 eksik olduğu verilmiştir (B=Saktif−8B = S_{aktif} - 8). Buradan 40−Saktif−Laktif=Saktif−8  ⟹  2Saktif+Laktif=4840 - S_{aktif} - L_{aktif} = S_{aktif} - 8 \implies 2S_{aktif} + L_{aktif} = 48 elde edilir.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözeriz.
Laktif=8L_{aktif} = 8 ve Saktif=20S_{aktif} = 20 bulunur.
2Saktif+5Laktif=802S_{aktif} + 5L_{aktif} = 80 denkleminden 2Saktif+Laktif=482S_{aktif} + L_{aktif} = 48 denklemini çıkardığımızda 4Laktif=32  ⟹  Laktif=84L_{aktif} = 32 \implies L_{aktif} = 8 elde edilir. Bu değer yerine yazıldığında 2Saktif+8=48  ⟹  2Saktif=40  ⟹  Saktif=202S_{aktif} + 8 = 48 \implies 2S_{aktif} = 40 \implies S_{aktif} = 20 olur.
4
Arızalı büyük boy bölme sayısını hesaplarız.
Arızalı büyük boy bölme sayısı 10−8=210 - 8 = 2 olarak bulunur.
Toplam büyük boy bölme sayısı 10 olup, bunlardan 8 tanesi aktif (arızalı olmayan) durumdadır.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli denklem sistemleri kurma ve çözme

Alternatif Yöntem

Bölme sayılarını tek değişken cinsinden yazarak da çözüme ulaşabiliriz. Toplam büyük boy bölme sayısına xx dersek, küçük boy bölme sayısı 40−x40-x olur. Toplam kapasite denkleminden 10x+4(40−x)=220  ⟹  6x+160=220  ⟹  x=1010x + 4(40-x) = 220 \implies 6x + 160 = 220 \implies x = 10 olarak bulunur. Aktif bölmeler için de benzer şekilde tek değişkenli denklem kurulabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 889Soru →

Bir masa oyununda oyuncular başlangıç noktasından itibaren her turda ellerindeki piyonu ya 33 birim ileri ya da 22 birim geri hareket ettirmektedir. Bu oyunda toplam 4040 tur hamle yapan bir oyuncunun piyonu, başlangıç noktasından en az 4545 birim ileri bir noktada durmuştur. Buna göre, bu oyuncunun yaptığı geri hamle sayısı en fazla kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Geri hamle sayısı en fazla 15'tir.
İleri hamle sayısı xx ve geri hamle sayısı yy için x+y=40x + y = 40 ve 3x−2y≥453x - 2y \geq 45 bağıntıları yazılır. İlk denklemden x=40−yx = 40 - y ifadesi eşitsizlikte yerine yazıldığında 120−5y≥45120 - 5y \geq 45 elde edilir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde −5y≥−75  ⟹  y≤15-5y \geq -75 \implies y \leq 15 bulunur. Dolayısıyla geri hamle sayısı en fazla 15 olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
İleri hamle sayısını xx, geri hamle sayısını yy olarak değişkenlerle tanımlamak ve toplam hamle sayısı denklemini kurmak.
x+y=40  ⟹  x=40−yx + y = 40 \implies x = 40 - y
Toplam hamle sayısını tek bir bilinmeyen cinsinden ifade ederek çözümü kolaylaştırmak.
2
Piyonun son konumunu veren eşitsizliği kurmak ve xx yerine 40−y40 - y yazarak tek bilinmeyenli eşitsizliği elde etmek.
3x−2y≥45  ⟹  3(40−y)−2y≥45  ⟹  120−5y≥453x - 2y \geq 45 \implies 3(40 - y) - 2y \geq 45 \implies 120 - 5y \geq 45
Piyonun başlangıç noktasından en az 45 birim ileri gitmesi koşulunu matematiksel olarak ifade etmek.
3
Eşitsizliği çözerek geri hamle sayısı olan yy için üst sınırı belirlemek.
−5y≥−75  ⟹  y≤15-5y \geq -75 \implies y \leq 15
Negatif bir sayıya bölerken eşitsizliğin yön değiştireceğini dikkate alarak yy'nin alabileceği en büyük tam sayı değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bilinmeyenli eşitsizliklerin sayı problemlerine uygulanması ve sınır değerlerinin bulunması.
ÖncekiSayfa 45 / 45
Problemler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 45 | Examkin