Examkin

Question

Difficulty: MediumKombinasyon

Bir kütüphanede 55 farklı roman ve 44 farklı tarih kitabı bulunmaktadır. Bir öğrenci, bu kitaplar arasından en az 22 tanesi roman olmak üzere toplam 33 kitap seçecektir.

Buna göre, bu öğrenci kitap seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

  1. A
    40
  2. B
    70
  3. 50Answer
  4. D
    84
  5. E
    140

Answer

En az iki romanın bulunduğu durumların toplam sayısı olan 50
En az 2 roman seçilmesi istendiği için iki farklı durum mevcuttur. İlk durum, 5 romandan 2'sinin ve 4 tarih kitabından 1'inin seçilmesidir ki bu (52)×(41)=40\binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 40 farklı yol sunar. İkinci durum ise 5 romandan 3'ünün seçilmesidir ki bu da (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı yol sunar. Bu iki alternatif durumun toplamı 40+10=5040 + 10 = 50 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
En az 2 roman seçilmesi koşuluna uygun olası durumları belirlemek.
Seçim 2 farklı durumda gerçekleşebilir: (2 Roman ve 1 Tarih kitabı) veya (3 Roman).
Toplam 3 kitap seçilecektir ve bu kitaplardan en az 2'sinin roman olması istenmektedir.
2
2 roman ve 1 tarih kitabının seçilebileceği durum sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplamak.
(52)×(41)=10×4=40\binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 10 \times 4 = 40 farklı şekilde seçilebilir.
5 roman arasından 2 roman ve 4 tarih kitabı arasından 1 tarih kitabı seçilir. Bu seçimler bağımsız ve eş zamanlı olduğundan çarpılır.
3
3 romanın seçilebileceği durum sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplamak.
(53)×(40)=10×1=10\binom{5}{3} \times \binom{4}{0} = 10 \times 1 = 10 farklı şekilde seçilebilir.
5 roman arasından 3 roman seçilir ve hiç tarih kitabı seçilmez.
4
Bulunan durum sayılarını toplayarak toplam farklı seçim sayısını elde etmek.
40+10=5040 + 10 = 50 farklı şekilde seçim yapılabilir.
Belirlenen iki durum birbirinin alternatifi (ayrık olaylar) olduğu için durum sayıları toplanır.

Key Concept

Kombinasyon (Seçim) ve Toplama-Çarpma Kuralları

Hints

1
En az 2 roman seçimi, ya tam olarak 2 roman ya da 3 roman seçilebileceği anlamına gelir.
2
Her iki durum için ayrı ayrı kombinasyon hesaplamalı ve bu durumları toplamalısınız.
3
5 romandan 2 ve 4 tarih kitabından 1 seçimi için (52)×(41)\binom{5}{2} \times \binom{4}{1}, 5 romandan 3 seçimi için ise (53)\binom{5}{3} kombinasyonunu kullanabilirsiniz.

Practice More

Benzer şekilde, en az bir tarih kitabının seçilmesi koşuluyla oluşturulabilecek grupların sayısını hesaplayarak kombinasyon mantığınızı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Tüm olası 3 kitap seçimlerinden, içinde hiç roman olmayan veya sadece 1 roman olan durumları çıkararak da sonuca ulaşabiliriz. Tüm durumlar: (93)=84\binom{9}{3} = 84. Hiç roman olmama durumu (3 tarih kitabı): (43)=4\binom{4}{3} = 4. Sadece 1 roman olma durumu (1 roman, 2 tarih kitabı): (51)×(42)=5×6=30\binom{5}{1} \times \binom{4}{2} = 5 \times 6 = 30. İstenmeyen durumlar toplamı: 4+30=344 + 30 = 34. Sonuç: 84−34=5084 - 34 = 50 olur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Kombinasyon

More questions from this topic