Kombinasyon Practice Questions — ALES

Question 1Question →

Bir şirkette çalışan 4 yazılımcı ve 5 tasarımcı arasından 4 kişilik bir proje ekibi oluşturulacaktır. Ekipte en az bir yazılımcı ve en az bir tasarımcı bulunması zorunlu olduğuna göre, bu ekip kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

120

125

126

600

115

Show answer & explanation

Answer: 120

Answer

En az bir yazılımcı ve en az bir tasarımcı içeren 4 kişilik ekiplerin sayısı 120 farklı şekilde oluşturulabilir.

Koşulları sağlayan ekip sayısını bulmak için tüm olası 4 kişilik grupların sayısından (

126

), sadece yazılımcıların olduğu (

1

) ve sadece tasarımcıların olduğu (

5

) gruplar çıkarılır. Böylece geriye kalan

120

grupta kesinlikle en az bir yazılımcı ve en az bir tasarımcı bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Tüm olası 4 kişilik ekiplerin sayısını hesaplamak

C(9,4) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126

Kısıtlamasız toplam seçim sayısını bulmak için 9 kişiden 4 kişi seçilir.

2

Kısıtlamaları ihlal eden istenmeyen durumların sayısını hesaplamak

Sadece yazılımcılardan oluşan durum sayısı:

C(4,4) = 1

. Sadece tasarımcılardan oluşan durum sayısı:

C(5,4) = 5

. İstenmeyen toplam durum sayısı:

1 + 5 = 6

.

Ekipte en az bir yazılımcı ve en az bir tasarımcı olması gerektiğinden, tamamen yazılımcılardan veya tamamen tasarımcılardan oluşan ekipler istenmeyen durumlardır.

3

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarmak

126 - 6 = 120

İstenen koşulları sağlayan durum sayısını elde etmek için tüm olası seçimlerden kuralı ihlal edenleri çıkarırız.

Key Concept

Kombinasyon (Seçim) ve İstenmeyen Durumların Çıkarılması Yöntemi

Question 2Question →

Bir kütüphanede $5$ farklı roman ve $4$ farklı tarih kitabı bulunmaktadır. Bir öğrenci, bu kitaplar arasından en az $2$ tanesi roman olmak üzere toplam $3$ kitap seçecektir.

Buna göre, bu öğrenci kitap seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

40

70

50

84

140

Show answer & explanation

Answer: 50

Answer

En az iki romanın bulunduğu durumların toplam sayısı olan 50

En az 2 roman seçilmesi istendiği için iki farklı durum mevcuttur. İlk durum, 5 romandan 2'sinin ve 4 tarih kitabından 1'inin seçilmesidir ki bu

\binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 40

farklı yol sunar. İkinci durum ise 5 romandan 3'ünün seçilmesidir ki bu da

\binom{5}{3} = 10

farklı yol sunar. Bu iki alternatif durumun toplamı

40 + 10 = 50

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

En az 2 roman seçilmesi koşuluna uygun olası durumları belirlemek.

Seçim 2 farklı durumda gerçekleşebilir: (2 Roman ve 1 Tarih kitabı) veya (3 Roman).

Toplam 3 kitap seçilecektir ve bu kitaplardan en az 2'sinin roman olması istenmektedir.

2

2 roman ve 1 tarih kitabının seçilebileceği durum sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplamak.

\binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 10 \times 4 = 40

farklı şekilde seçilebilir.

5 roman arasından 2 roman ve 4 tarih kitabı arasından 1 tarih kitabı seçilir. Bu seçimler bağımsız ve eş zamanlı olduğundan çarpılır.

3

3 romanın seçilebileceği durum sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplamak.

\binom{5}{3} \times \binom{4}{0} = 10 \times 1 = 10

farklı şekilde seçilebilir.

5 roman arasından 3 roman seçilir ve hiç tarih kitabı seçilmez.

4

Bulunan durum sayılarını toplayarak toplam farklı seçim sayısını elde etmek.

40 + 10 = 50

farklı şekilde seçim yapılabilir.

Belirlenen iki durum birbirinin alternatifi (ayrık olaylar) olduğu için durum sayıları toplanır.

Key Concept

Kombinasyon (Seçim) ve Toplama-Çarpma Kuralları

Hints

1

En az 2 roman seçimi, ya tam olarak 2 roman ya da 3 roman seçilebileceği anlamına gelir.

2

Her iki durum için ayrı ayrı kombinasyon hesaplamalı ve bu durumları toplamalısınız.

3

5 romandan 2 ve 4 tarih kitabından 1 seçimi için

\binom{5}{2} \times \binom{4}{1}

, 5 romandan 3 seçimi için ise

\binom{5}{3}

kombinasyonunu kullanabilirsiniz.

Practice More

Benzer şekilde, en az bir tarih kitabının seçilmesi koşuluyla oluşturulabilecek grupların sayısını hesaplayarak kombinasyon mantığınızı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Tüm olası 3 kitap seçimlerinden, içinde hiç roman olmayan veya sadece 1 roman olan durumları çıkararak da sonuca ulaşabiliriz. Tüm durumlar:

\binom{9}{3} = 84

. Hiç roman olmama durumu (3 tarih kitabı):

\binom{4}{3} = 4

. Sadece 1 roman olma durumu (1 roman, 2 tarih kitabı):

\binom{5}{1} \times \binom{4}{2} = 5 \times 6 = 30

. İstenmeyen durumlar toplamı:

4 + 30 = 34

. Sonuç:

84 - 34 = 50

olur.

Estimated Time:1m 30s

Question 3Question →

Bir spor kulübünde $5$ koşucu ve $3$ atlayıcı olmak üzere toplam $8$ atlet bulunmaktadır. Bu atletler arasından bir yarışma için $4$ kişilik bir grup oluşturulacaktır. Oluşturulacak grupta en az $2$ koşucu bulunması gerektiğine göre, bu grup kaç farklı şekilde seçilebilir?

70

65

360

60

32

Show answer & explanation

Answer: $65$

Answer

Grup

65

farklı şekilde seçilebilir.

Grupta en az

2

koşucu bulunması koşulu;

2

koşucu ve

2

atlayıcı,

3

koşucu ve

1

atlayıcı ya da

4

koşucu ve

0

atlayıcı seçilmesi durumlarını gerektirir. Bu durumların kombinasyonları sırasıyla

30

,

30

ve

5

olarak hesaplanır ve toplandığında

65

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Koşulları sağlayan grupları belirleme

Grupta en az

2

koşucu olması istendiğinden,

4

kişilik grupta

2

koşucu ve

2

atlayıcı,

3

koşucu ve

1

atlayıcı veya

4

koşucu ve

0

atlayıcı bulunabilir.

En az

2

koşucu koşulu, koşucu sayısının

2

,

3

veya

4

olabileceği anlamına gelir.

2

Her durum için kombinasyon hesaplama

2 koşucu ve 2 atlayıcı seçimi:

C(5,2) \times C(3,2) = 10 \times 3 = 30

, 3 koşucu ve 1 atlayıcı seçimi:

C(5,3) \times C(3,1) = 10 \times 3 = 30

, 4 koşucu ve 0 atlayıcı seçimi:

C(5,4) \times C(3,0) = 5 \times 1 = 5

Sıralama önemsiz olup sadece seçim yapıldığı için kombinasyon formülü uygulanır.

3

Farklı durumların sonuçlarını toplama

30 + 30 + 5 = 65

farklı seçim yapılabilir.

Farklı olasılıklar veya durumlar toplama kuralı ile birleştirilir.

Key Concept

Kombinasyon hesaplamalarında belirli kısıtlar altında seçim yapma ve toplama/çarpma kurallarını uygulama.

Question 4Question →

Bir üniversitede dönem başında açılan $9$ seçmeli dersten $3$ 'ü aynı gün ve aynı saatte verilmektedir.

Bu dersler arasından haftalık ders programında çakışma olmayacak şekilde $4$ ders seçmek isteyen bir öğrenci, bu seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

60

75

90

120

126

Show answer & explanation

Answer: 75

Answer

Seçim çakışma olmayacak şekilde 75 farklı şekilde yapılabilir.

Öğrenci, haftalık programda çakışma olmaması için aynı saatte verilen

3

dersten en fazla

1

tanesini seçebilir. Bu durumda iki geçerli senaryo vardır: Çakışan derslerden hiçbirinin seçilmemesi (kalan

6

dersten

4

'ü seçilir,

\binom{6}{4} = 15

durum) veya çakışan derslerden tam

1

tanesinin seçilmesi (çakışan

3

dersten

1

'i ve çakışmayan

6

dersten

3

'ü seçilir,

\binom{3}{1} \times \binom{6}{3} = 60

durum). Bu iki durumun toplamı olan

75

sonucu doğru yanıttır.

Step-by-Step Solution

1

Çakışan ve çakışmayan ders gruplarını belirleme

Toplam

9

dersin

3

tanesi aynı saatte verilmektedir (çakışan grup). Geriye kalan

9 - 3 = 6

ders ise çakışmamaktadır (çakışmayan grup).

Derslerin çakışma durumlarına göre gruplandırılması, seçim senaryolarını doğru analiz etmek için gereklidir.

2

Hiçbir çakışan dersin seçilmediği durumu hesaplama

Seçilecek

4

dersin tamamı çakışmayan

6

ders arasından seçilir:

\binom{6}{4} = 15

durum.

Aynı saatte çakışan derslerden hiçbirinin programa dahil edilmediği geçerli durumu bulmak için.

3

Çakışan derslerden tam olarak 1 tanesinin seçildiği durumu hesaplama

Çakışan

3

dersten

1

tane ve çakışmayan

6

dersten

3

tane seçilir:

\binom{3}{1} \times \binom{6}{3} = 3 \times 20 = 60

durum.

Aynı saatte çakışan derslerden en fazla 1 tane seçilebileceği için tam 1 ders seçilen durumu bulmak için.

4

Toplam geçerli durum sayısını bulma

Toplam seçim sayısı =

15 + 60 = 75

durumdur.

Tüm olası geçerli senaryoların toplamını alarak nihai sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Kısıtlı Kombinasyon (Grup Seçimi ve Durum Analizi)

Hints

1

Aynı saatte verilen

3

dersten aynı anda en fazla kaç tanesini seçebileceğinizi düşünün.

2

Aynı saatte verilen derslerden ya hiç seçmemelisiniz ya da tam olarak

1

tane seçmelisiniz. Bu iki durumu ayrı ayrı hesaplayıp toplayabilirsiniz.

3

Hiç çakışan seçilmeyen durum:

\binom{6}{4}

. Sadece

1

çakışan seçilen durum:

\binom{3}{1} \times \binom{6}{3}

. Bu iki değeri toplayın.

Practice More

Benzer mantıkla çalışan ama bu kez en az bir tane çakışan dersin seçilmesinin zorunlu olduğu bir senaryo tasarlayarak kendinizi test edebilirsiniz.

Alternative Method

Tüm olası seçimlerden, istenmeyen (çakışma yaratan) durumları çıkarabilirsiniz. Toplam durum

\binom{9}{4} = 126

'dır. İstenmeyen durumlar, çakışan derslerden

2

tane seçilmesi (

\binom{3}{2} \times \binom{6}{2} = 45

) ve çakışan derslerden

3

tane seçilmesidir (

\binom{3}{3} \times \binom{6}{1} = 6

). Tüm durumlardan bu istenmeyenleri çıkardığımızda:

126 - (45 + 6) = 75

sonucuna ulaşırız.

Estimated Time:1m 30s

Question 5Question →

10 soruluk bir sınavda bir öğrencinin ilk 4 sorudan en az 3'ünü seçmek şartıyla toplam 6 soru cevaplaması gerekmektedir. Buna göre, bu öğrenci cevaplayacağı soruları kaç farklı şekilde seçebilir?

80

100

95

210

24

Show answer & explanation

Answer: 95

Answer

Bu öğrenci cevaplayacağı soruları 95 farklı şekilde seçebilir.

Öğrencinin ilk 4 sorudan en az 3'ünü seçmesi gerektiği için iki farklı senaryo mevcuttur. İlk senaryoda ilk gruptan 3, ikinci gruptan 3 soru seçilir ve bu seçim

\binom{4}{3} \cdot \binom{6}{3} = 4 \cdot 20 = 80

farklı yolla gerçekleşir. İkinci senaryoda ilk gruptan 4, ikinci gruptan 2 soru seçilir ve bu seçim

\binom{4}{4} \cdot \binom{6}{2} = 1 \cdot 15 = 15

farklı yolla gerçekleşir. Bu iki bağımsız senaryonun toplamı olan 95 değeri doğru yanıtı verir.

Step-by-Step Solution

1

İlk 4 sorudan tam olarak 3 sorunun seçildiği 1. durumu hesaplamak.

İlk 4 sorudan 3 soru

\binom{4}{3} = 4

farklı şekilde seçilir. Toplam 6 soruya tamamlamak için kalan 6 sorudan da 3 soru seçilmelidir. Bu seçim ise

\binom{6}{3} = 20

farklı şekilde yapılır. Çarpma kuralı gereği, bu durum için toplam seçim sayısı:

4 \cdot 20 = 80

olur.

Koşuldaki 'en az 3' ifadesi, tam olarak 3 sorunun ilk gruptan seçilme olasılığını içerir.

2

İlk 4 sorunun tamamının (4 sorunun da) seçildiği 2. durumu hesaplamak.

İlk 4 sorunun 4'ü de

\binom{4}{4} = 1

farklı şekilde seçilir. Toplam 6 soruya tamamlamak için kalan 6 sorudan 2 soru seçilmelidir. Bu seçim ise

\binom{6}{2} = 15

farklı şekilde yapılır. Çarpma kuralı gereği, bu durum için toplam seçim sayısı:

1 \cdot 15 = 15

olur.

'En az 3' koşulu, ilk gruptan 4 sorunun da seçilebileceğini belirtir.

3

Elde edilen bağımsız iki durumun sonuçlarını toplamak.

Toplam farklı seçim sayısı:

80 + 15 = 95

bulunur.

Farklı durumlar birbirine alternatif (bağımsız) olduğu için toplama kuralı uygulanır.

Key Concept

Kombinasyon hesaplamalarında 'en az' koşulu içeren problemlerin alt durumlara ayrılarak çözülmesi ve saymanın toplama/çarpma kurallarının uygulanması.

Question 6Question →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ kümesinin $4$ elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde en az iki çift sayı bulunur?

36

53

69

90

11

Show answer & explanation

Answer: 53

Answer

En az iki çift sayı bulunduran alt kümelerin sayısı 53'tür.

Doğru cevaba ulaşmak için kümedeki tek ve çift sayılar ayrılır. 4 tek ve 4 çift sayı vardır. 4 elemanlı alt kümelerde en az iki çift sayı olması istendiğinden, kümede 2, 3 veya 4 çift sayı bulunabilir. Bu durumlar ayrı ayrı hesaplanır: 2 çift ve 2 tek sayı seçimi

\binom{4}{2} \times \binom{4}{2} = 36

farklı şekilde, 3 çift ve 1 tek sayı seçimi

\binom{4}{3} \times \binom{4}{1} = 16

farklı şekilde, 4 çift sayı seçimi ise

\binom{4}{4} = 1

farklı şekilde yapılır. Bu üç durum toplanarak

36 + 16 + 1 = 53

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Kümedeki tek ve çift sayıları belirleme

Tek sayılar:

\{1, 3, 5, 7\}

(4 adet), Çift sayılar:

\{2, 4, 6, 8\}

(4 adet)

Kombinasyon hesaplamalarında kullanılacak grupların eleman sayılarını tespit etmek için.

2

En az iki çift sayı içeren 4 elemanlı alt kümelerin durumlarını belirleme

Durum 1: 2 çift ve 2 tek sayı. Durum 2: 3 çift ve 1 tek sayı. Durum 3: 4 çift ve 0 tek sayı.

'En az iki çift' koşulunu sağlayan tüm olası senaryoları ayrık durumlar olarak incelemek için.

3

Her bir durum için kombinasyon hesaplama

Durum 1:

\binom{4}{2} \times \binom{4}{2} = 6 \times 6 = 36

. Durum 2:

\binom{4}{3} \times \binom{4}{1} = 4 \times 4 = 16

. Durum 3:

\binom{4}{4} \times \binom{4}{0} = 1 \times 1 = 1

.

Belirlenen senaryoların her biri için kaç farklı seçim yapılabileceğini bulmak için.

4

Durumların sonuçlarını toplayarak toplam sayıyı bulma

36 + 16 + 1 = 53

Ayrık durumların toplamı, koşulu sağlayan tüm alt kümelerin sayısını verir.

Key Concept

Kombinasyon (Seçim) ve Ayrık Durumların Toplanması

Hints

1

Kümedeki elemanları tek ve çift sayılar olarak iki gruba ayırarak işe başlayın.

2

4 elemanlı bir alt kümede 'en az iki çift sayı' bulunması, kümede 2, 3 veya 4 çift sayı olabileceği anlamına gelir.

3

İkinci bir yol olarak tüm 4 elemanlı alt kümelerin sayısından, hiç çift sayı içermeyen veya sadece 1 çift sayı içeren alt kümelerin sayısını çıkarabilirsiniz.

Practice More

Benzer mantıkla, aynı kümenin en çok iki çift sayı içeren 4 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Tüm durumlar yöntemini kullanabiliriz. Kümenin tüm 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı

\binom{8}{4} = 70

'tir. İstenmeyen durumlar: 1) Hiç çift sayı olmaması (4 tek sayı):

\binom{4}{4} \times \binom{4}{0} = 1

. 2) Sadece 1 çift sayı olması (1 çift, 3 tek sayı):

\binom{4}{1} \times \binom{4}{3} = 16

. İstenen durum sayısı = Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar =

70 - (1 + 16) = 53

olarak bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 7Question →

Bir hastanede kurulacak 4 kişilik bir araştırma ekibi için 3 kardiyolog ve 4 nörolog aday gösterilmiştir. Bu ekipte en az bir kardiyolog ve en az bir nörolog bulunması zorunludur. Ayrıca adaylar arasında yer alan Kardiyolog Dr. Ahmet ile Nörolog Dr. Mehmet aynı ekipte birlikte çalışmak istememektedir. Buna göre, bu araştırma ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

14

19

24

25

34

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Ekip 24 farklı şekilde oluşturulabilir.

Doğru cevap 24'tür. En az bir kardiyolog ve en az bir nörolog içeren tüm 4 kişilik grupların sayısı 34'tür. Bu gruplardan Dr. Ahmet ve Dr. Mehmet'in birlikte yer aldığı 10 grup çıkarıldığında geriye istenen şartları sağlayan 24 farklı grup kalır.

Step-by-Step Solution

1

Tüm adaylar arasından en az bir kardiyolog ve en az bir nörolog bulunan 4 kişilik ekiplerin toplam sayısını bulmak.

Toplam ekip sayısı

34

olur.

Hiçbir kısıtlama olmadan 7 kişiden 4 kişi

C(7,4) = 35

farklı ��ekilde seçilir. Ancak en az bir kardiyolog ve en az bir nörolog olması gerektiğinden, sadece nörologlardan oluşan durum çıkarılmalıdır. Sadece nörologlardan oluşan durum sayısı

C(4,4) = 1

olduğundan,

35 - 1 = 34

durum elde edilir.

2

Dr. Ahmet ve Dr. Mehmet'in birlikte bulunduğu durumların sayısını hesaplamak.

Birlikte bulundukları durum sayısı

10

olur.

Dr. Ahmet ve Dr. Mehmet ekibe seçildiğinde, ekipte zaten en az bir kardiyolog ve en az bir nörolog bulunma şartı sağlanmış olur. Kalan 2 kişi, bu iki doktor dışındaki 5 aday arasından

C(5,2) = 10

farklı şekilde seçilir.

3

Tüm durumlardan Dr. Ahmet ve Dr. Mehmet'in birlikte bulunduğu durumları çıkarmak.

Geçerli ekip sayısı

24

olarak bulunur.

İstenen koşul bu iki doktorun birlikte çalışmaması olduğundan, tüm uygun durumlardan birlikte bulundukları durumlar çıkarılır.

Key Concept

Kısıtlı kombinasyon hesaplamaları ve küme dışlama yöntemi.

Kombinasyon

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes