Examkin

Question

Difficulty: MediumKombinasyon

Bir üniversitede dönem başında açılan 99 seçmeli dersten 33'ü aynı gün ve aynı saatte verilmektedir.

Bu dersler arasından haftalık ders programında çakışma olmayacak şekilde 44 ders seçmek isteyen bir öğrenci, bu seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

  1. A
    60
  2. 75Answer
  3. C
    90
  4. D
    120
  5. E
    126

Answer

Seçim çakışma olmayacak şekilde 75 farklı şekilde yapılabilir.
Öğrenci, haftalık programda çakışma olmaması için aynı saatte verilen 33 dersten en fazla 11 tanesini seçebilir. Bu durumda iki geçerli senaryo vardır: Çakışan derslerden hiçbirinin seçilmemesi (kalan 66 dersten 44'ü seçilir, (64)=15\binom{6}{4} = 15 durum) veya çakışan derslerden tam 11 tanesinin seçilmesi (çakışan 33 dersten 11'i ve çakışmayan 66 dersten 33'ü seçilir, (31)×(63)=60\binom{3}{1} \times \binom{6}{3} = 60 durum). Bu iki durumun toplamı olan 7575 sonucu doğru yanıttır.

Step-by-Step Solution

1
Çakışan ve çakışmayan ders gruplarını belirleme
Toplam 99 dersin 33 tanesi aynı saatte verilmektedir (çakışan grup). Geriye kalan 9−3=69 - 3 = 6 ders ise çakışmamaktadır (çakışmayan grup).
Derslerin çakışma durumlarına göre gruplandırılması, seçim senaryolarını doğru analiz etmek için gereklidir.
2
Hiçbir çakışan dersin seçilmediği durumu hesaplama
Seçilecek 44 dersin tamamı çakışmayan 66 ders arasından seçilir: (64)=15\binom{6}{4} = 15 durum.
Aynı saatte çakışan derslerden hiçbirinin programa dahil edilmediği geçerli durumu bulmak için.
3
Çakışan derslerden tam olarak 1 tanesinin seçildiği durumu hesaplama
Çakışan 33 dersten 11 tane ve çakışmayan 66 dersten 33 tane seçilir: (31)×(63)=3×20=60\binom{3}{1} \times \binom{6}{3} = 3 \times 20 = 60 durum.
Aynı saatte çakışan derslerden en fazla 1 tane seçilebileceği için tam 1 ders seçilen durumu bulmak için.
4
Toplam geçerli durum sayısını bulma
Toplam seçim sayısı = 15+60=7515 + 60 = 75 durumdur.
Tüm olası geçerli senaryoların toplamını alarak nihai sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Kısıtlı Kombinasyon (Grup Seçimi ve Durum Analizi)

Hints

1
Aynı saatte verilen 33 dersten aynı anda en fazla kaç tanesini seçebileceğinizi düşünün.
2
Aynı saatte verilen derslerden ya hiç seçmemelisiniz ya da tam olarak 11 tane seçmelisiniz. Bu iki durumu ayrı ayrı hesaplayıp toplayabilirsiniz.
3
Hiç çakışan seçilmeyen durum: (64)\binom{6}{4}. Sadece 11 çakışan seçilen durum: (31)×(63)\binom{3}{1} \times \binom{6}{3}. Bu iki değeri toplayın.

Practice More

Benzer mantıkla çalışan ama bu kez en az bir tane çakışan dersin seçilmesinin zorunlu olduğu bir senaryo tasarlayarak kendinizi test edebilirsiniz.

Alternative Method

Tüm olası seçimlerden, istenmeyen (çakışma yaratan) durumları çıkarabilirsiniz. Toplam durum (94)=126\binom{9}{4} = 126'dır. İstenmeyen durumlar, çakışan derslerden 22 tane seçilmesi ((32)×(62)=45\binom{3}{2} \times \binom{6}{2} = 45) ve çakışan derslerden 33 tane seçilmesidir ((33)×(61)=6\binom{3}{3} \times \binom{6}{1} = 6). Tüm durumlardan bu istenmeyenleri çıkardığımızda: 126−(45+6)=75126 - (45 + 6) = 75 sonucuna ulaşırız.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Kombinasyon

More questions from this topic