Examkin

Question

Difficulty: MediumKombinasyon

10 soruluk bir sınavda bir öğrencinin ilk 4 sorudan en az 3'ünü seçmek şartıyla toplam 6 soru cevaplaması gerekmektedir. Buna göre, bu öğrenci cevaplayacağı soruları kaç farklı şekilde seçebilir?

  1. A
    80
  2. B
    100
  3. 95Answer
  4. D
    210
  5. E
    24

Answer

Bu öğrenci cevaplayacağı soruları 95 farklı şekilde seçebilir.
Öğrencinin ilk 4 sorudan en az 3'ünü seçmesi gerektiği için iki farklı senaryo mevcuttur. İlk senaryoda ilk gruptan 3, ikinci gruptan 3 soru seçilir ve bu seçim (43)⋅(63)=4⋅20=80\binom{4}{3} \cdot \binom{6}{3} = 4 \cdot 20 = 80 farklı yolla gerçekleşir. İkinci senaryoda ilk gruptan 4, ikinci gruptan 2 soru seçilir ve bu seçim (44)⋅(62)=1⋅15=15\binom{4}{4} \cdot \binom{6}{2} = 1 \cdot 15 = 15 farklı yolla gerçekleşir. Bu iki bağımsız senaryonun toplamı olan 95 değeri doğru yanıtı verir.

Step-by-Step Solution

1
İlk 4 sorudan tam olarak 3 sorunun seçildiği 1. durumu hesaplamak.
İlk 4 sorudan 3 soru (43)=4\binom{4}{3} = 4 farklı şekilde seçilir. Toplam 6 soruya tamamlamak için kalan 6 sorudan da 3 soru seçilmelidir. Bu seçim ise (63)=20\binom{6}{3} = 20 farklı şekilde yapılır. Çarpma kuralı gereği, bu durum için toplam seçim sayısı: 4⋅20=804 \cdot 20 = 80 olur.
Koşuldaki 'en az 3' ifadesi, tam olarak 3 sorunun ilk gruptan seçilme olasılığını içerir.
2
İlk 4 sorunun tamamının (4 sorunun da) seçildiği 2. durumu hesaplamak.
İlk 4 sorunun 4'ü de (44)=1\binom{4}{4} = 1 farklı şekilde seçilir. Toplam 6 soruya tamamlamak için kalan 6 sorudan 2 soru seçilmelidir. Bu seçim ise (62)=15\binom{6}{2} = 15 farklı şekilde yapılır. Çarpma kuralı gereği, bu durum için toplam seçim sayısı: 1⋅15=151 \cdot 15 = 15 olur.
'En az 3' koşulu, ilk gruptan 4 sorunun da seçilebileceğini belirtir.
3
Elde edilen bağımsız iki durumun sonuçlarını toplamak.
Toplam farklı seçim sayısı: 80+15=9580 + 15 = 95 bulunur.
Farklı durumlar birbirine alternatif (bağımsız) olduğu için toplama kuralı uygulanır.

Key Concept

Kombinasyon hesaplamalarında 'en az' koşulu içeren problemlerin alt durumlara ayrılarak çözülmesi ve saymanın toplama/çarpma kurallarının uygulanması.
Rate this question

Topics

Kombinasyon

More questions from this topic