Examkin

Question

Difficulty: MediumKombinasyon

A={1,2,3,4,5,6,7,8}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} kümesinin 44 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde en az iki çift sayı bulunur?

  1. A
    36
  2. 53Answer
  3. C
    69
  4. D
    90
  5. E
    11

Answer

En az iki çift sayı bulunduran alt kümelerin sayısı 53'tür.
Doğru cevaba ulaşmak için kümedeki tek ve çift sayılar ayrılır. 4 tek ve 4 çift sayı vardır. 4 elemanlı alt kümelerde en az iki çift sayı olması istendiğinden, kümede 2, 3 veya 4 çift sayı bulunabilir. Bu durumlar ayrı ayrı hesaplanır: 2 çift ve 2 tek sayı seçimi (42)×(42)=36\binom{4}{2} \times \binom{4}{2} = 36 farklı şekilde, 3 çift ve 1 tek sayı seçimi (43)×(41)=16\binom{4}{3} \times \binom{4}{1} = 16 farklı şekilde, 4 çift sayı seçimi ise (44)=1\binom{4}{4} = 1 farklı şekilde yapılır. Bu üç durum toplanarak 36+16+1=5336 + 16 + 1 = 53 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Kümedeki tek ve çift sayıları belirleme
Tek sayılar: {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\} (4 adet), Çift sayılar: {2,4,6,8}\{2, 4, 6, 8\} (4 adet)
Kombinasyon hesaplamalarında kullanılacak grupların eleman sayılarını tespit etmek için.
2
En az iki çift sayı içeren 4 elemanlı alt kümelerin durumlarını belirleme
Durum 1: 2 çift ve 2 tek sayı. Durum 2: 3 çift ve 1 tek sayı. Durum 3: 4 çift ve 0 tek sayı.
'En az iki çift' koşulunu sağlayan tüm olası senaryoları ayrık durumlar olarak incelemek için.
3
Her bir durum için kombinasyon hesaplama
Durum 1: (42)×(42)=6×6=36\binom{4}{2} \times \binom{4}{2} = 6 \times 6 = 36. Durum 2: (43)×(41)=4×4=16\binom{4}{3} \times \binom{4}{1} = 4 \times 4 = 16. Durum 3: (44)×(40)=1×1=1\binom{4}{4} \times \binom{4}{0} = 1 \times 1 = 1.
Belirlenen senaryoların her biri için kaç farklı seçim yapılabileceğini bulmak için.
4
Durumların sonuçlarını toplayarak toplam sayıyı bulma
36+16+1=5336 + 16 + 1 = 53
Ayrık durumların toplamı, koşulu sağlayan tüm alt kümelerin sayısını verir.

Key Concept

Kombinasyon (Seçim) ve Ayrık Durumların Toplanması

Hints

1
Kümedeki elemanları tek ve çift sayılar olarak iki gruba ayırarak işe başlayın.
2
4 elemanlı bir alt kümede 'en az iki çift sayı' bulunması, kümede 2, 3 veya 4 çift sayı olabileceği anlamına gelir.
3
İkinci bir yol olarak tüm 4 elemanlı alt kümelerin sayısından, hiç çift sayı içermeyen veya sadece 1 çift sayı içeren alt kümelerin sayısını çıkarabilirsiniz.

Practice More

Benzer mantıkla, aynı kümenin en çok iki çift sayı içeren 4 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Tüm durumlar yöntemini kullanabiliriz. Kümenin tüm 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı (84)=70\binom{8}{4} = 70'tir. İstenmeyen durumlar: 1) Hiç çift sayı olmaması (4 tek sayı): (44)×(40)=1\binom{4}{4} \times \binom{4}{0} = 1. 2) Sadece 1 çift sayı olması (1 çift, 3 tek sayı): (41)×(43)=16\binom{4}{1} \times \binom{4}{3} = 16. İstenen durum sayısı = Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar = 70−(1+16)=5370 - (1 + 16) = 53 olarak bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Kombinasyon

More questions from this topic