Examkin

Question

Difficulty: Very hardFonksiyonlarda Tanım ve Değer Bulma
f(x)=x2−4x−5∣x−2∣−3f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 4x - 5}{|x-2| - 3}}

fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    R∖[−1,5]\mathbb{R} \setminus [-1, 5]
  2. B
    [−1,5][-1, 5]
  3. R∖{−1,5}\mathbb{R} \setminus \{-1, 5\}Answer
  4. D
    R∖{5}\mathbb{R} \setminus \{5\}
  5. E
    R\mathbb{R}

Answer

R∖{−1,5}\mathbb{R} \setminus \{-1, 5\} kümesi
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin negatif olmaması ve paydanın sıfır olmaması gerekir. Paydayı sıfır yapan değerler x=−1x = -1 ve x=5x = 5 sayılarıdır. Bu iki değer dışındaki tüm gerçel sayılar için, hem pay hem de paydanın işaretleri her aralıkta aynı olduğundan (her ikisi de ya pozitif ya da negatif), bölümlerinin sonucu daima pozitiftir. Bu nedenle fonksiyon −1-1 ve 55 dışındaki tüm gerçel sayılar için tanımlıdır.

Step-by-Step Solution

1
Kökün içindeki ifadenin tanımlılık şartlarını belirleme
Fonksiyonun gerçel sayılarda tanımlı olması için karekökün içerisindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması ve rasyonel ifadenin paydasının sıfırdan farklı olması gerekir. Yani, x2−4x−5∣x−2∣−3≥0\frac{x^2 - 4x - 5}{|x-2| - 3} \geq 0 ve ∣x−2∣−3≠0|x-2| - 3 \neq 0 olmalıdır.
Gerçel sayılar kümesinde çift dereceli köklü ifadelerin içi negatif olamaz ve rasyonel ifadelerin paydası sıfır olamaz.
2
Paydayı sıfır yapan kritik noktaları bulma
∣x−2∣−3=0⇒∣x−2∣=3|x-2| - 3 = 0 \Rightarrow |x-2| = 3 olur. Buradan x−2=3⇒x=5x-2 = 3 \Rightarrow x = 5 ve x−2=−3⇒x=−1x-2 = -3 \Rightarrow x = -1 elde edilir. Dolayısıyla, x≠5x \neq 5 ve x≠−1x \neq -1 olmalıdır.
Paydayı sıfır yapan değerler rasyonel ifadeyi tanımsız kılar.
3
Pay ve paydayı oluşturan ifadeleri çarpanlarına ayırma ve mutlak değer aralıklarına göre inceleme
Pay kısmı: x2−4x−5=(x−5)(x+1)x^2 - 4x - 5 = (x-5)(x+1) olarak çarpanlarına ayrılır. Mutlak değerli paydayı incelemek için iki durum ele alınır: 1) x>2x > 2 için: Payda x−2−3=x−5x-2-3 = x-5 olur. Bu durumda rasyonel ifade (x−5)(x+1)x−5=x+1\frac{(x-5)(x+1)}{x-5} = x+1 haline gelir. x>2x > 2 ve x≠5x \neq 5 için x+1>3>0x+1 > 3 > 0 olduğundan ifade daima pozitiftir. 2) x≤2x \leq 2 için: Payda 2−x−3=−(x+1)2-x-3 = -(x+1) olur. Bu durumda rasyonel ifade (x−5)(x+1)−(x+1)=−(x−5)=5−x\frac{(x-5)(x+1)}{-(x+1)} = -(x-5) = 5-x haline gelir. x≤2x \leq 2 ve x≠−1x \neq -1 için 5−x≥3>05-x \geq 3 > 0 olduğundan ifade yine daima pozitiftir.
Mutlak değerli ifadelerin işareti, içlerinin pozitif veya negatif olmasına göre değiştiği için parça parça inceleme yapılması gerekir.
4
Elde edilen sonuçları birleştirerek en geniş tanım kümesini oluşturma
x≠−1x \neq -1 ve x≠5x \neq 5 koşullarını sağlayan tüm gerçel sayılar için rasyonel ifade daima pozitif çıkmaktadır. Bu durumda fonksiyonun en geniş tanım kümesi R∖{−1,5}\mathbb{R} \setminus \{-1, 5\} olarak bulunur.
Tüm gerçel sayılardan sadece paydayı sıfır yapan (tanımsızlık yaratan) noktaların çıkarılmasıyla en geniş tanım aralığı elde edilir.

Key Concept

Bir fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulurken rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerlerin dışlanması ve çift dereceli köklü ifadelerin içinin sıfırdan büyük veya eşit olmasının sağlanması.

Hints

1
Köklü bir ifadenin tanımlı olabilmesi için kökün içinin negatif olmaması, rasyonel bir ifadenin tanımlı olması için ise paydanın sıfır olmaması gerekir.
2
Payı çarpanlarına ayırıp paydayı sıfır yapan mutlak değerli denklemin köklerini bulun. Ardından x>2x > 2 ve x≤2x \leq 2 durumları için paydayı mutlak değer dışına çıkararak rasyonel ifadeyi sadeleştirin.
3
Rasyonel ifadenin payı (x−5)(x+1)(x-5)(x+1) şeklindedir. Payda ise x>2x > 2 için x−5x-5, x≤2x \leq 2 için −(x+1)-(x+1) olur. Bu sadeleştirmeleri yaparak her iki aralıkta da ifadenin işaretinin pozitif olduğunu görün.

Practice More

Benzer şekilde içinde mutlak değer ve rasyonel ifadeler barındıran farklı köklü fonksiyonların tanım kümelerini bularak bilginizi pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Rasyonel ifadenin işaret tablosu yapılabilir. Payın kökleri −1-1 ve 55'tir. Paydanın kökleri de ∣x−2∣=3⇒x=5|x-2|=3 \Rightarrow x=5 ve x=−1x=-1'dir. Hem payın hem de paydanın kökleri aynı olduğundan, bu noktalar çift katlı kök gibi davranır (sadeleşme nedeniyle) ve işaret tablosunda −1-1 ve 55 noktalarından geçerken işaret değişmez. Her iki kök de paydayı sıfır yaptığı için tanım kümesinden çıkarılır.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlarda Tanım ve Değer Bulma

More questions from this topic