Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyonlarda Tanım ve Değer Bulma
Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her n≥1n \geq 1 için
f(n+1)=f(n)−1f(n)+1f(n+1) = \frac{f(n) - 1}{f(n) + 1}
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=3f(1) = 3 olduğuna göre, f(2026)f(2026) değeri kaçtır?

  1. 12\frac{1}{2}Answer
  2. B
    3
  3. C
    -2
  4. D
    −13-\frac{1}{3}
  5. E
    2

Answer

Yarım (bir bölü iki)
Fonksiyonun ilk terimlerinden başlanarak yapılan hesaplamada f(1)=3f(1)=3, f(2)=1/2f(2)=1/2, f(3)=−1/3f(3)=-1/3, f(4)=−2f(4)=-2 ve f(5)=3f(5)=3 değerleri bulunur. Beşinci adımda ilk değere geri dönüldüğü için fonksiyon değerlerinin her 4 adımda bir kendini tekrarladığı (periyodun 4 olduğu) görülür. İstenen f(2026)f(2026) değerini bulmak amacıyla 20262026 indisi 44 periyoduna bölünür ve kalan 22 olarak elde edilir. Dolayısıyla aranan değer, ikinci terim olan yarım değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1
İlk terimden başlayarak sonraki terimleri hesaplamak.
f(1)=3f(1) = 3 verilmiştir. Buradan f(2)=3−13+1=24=12f(2) = \frac{3-1}{3+1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} bulunur.
Yinelemeli fonksiyon kuralını kullanarak ardışık değerleri elde etmek gerekir.
2
Daha sonraki terimleri hesaplayarak bir örüntü aramak.
f(3)=12−112+1=−1232=−13f(3) = \frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}+1} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{3} ve f(4)=−13−1−13+1=−4323=−2f(4) = \frac{-\frac{1}{3}-1}{-\frac{1}{3}+1} = \frac{-\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}} = -2 bulunur.
Fonksiyonun periyodik davranışını ortaya çıkarmak için yeterli sayıda adım hesaplanmalıdır.
3
Periyodun başlangıcını tespit etmek.
f(5)=−2−1−2+1=−3−1=3f(5) = \frac{-2-1}{-2+1} = \frac{-3}{-1} = 3 elde edilir. Görüldüğü gibi f(5)=f(1)=3f(5) = f(1) = 3 olmuştur.
İlk terime geri dönüldüğü an örüntünün periyodunun 4 olduğu anlaşılır.
4
İndisi periyoda bölerek kalana göre değeri bulmak.
20262026 sayısı 44'e bölündüğünde kalan 22 olur (2026=4×506+22026 = 4 \times 506 + 2). Bu durumda f(2026)=f(2)=12f(2026) = f(2) = \frac{1}{2} olarak elde edilir.
Periyodik dizilerde herhangi bir terimin değeri, indisin periyoda bölümünden kalan ile eşleşen temel terimin değerine eşittir.

Key Concept

Yinelemeli (periyodik) fonksiyonlarda değer bulma

Hints

1
Fonksiyonun ardışık değerlerini (f(1)f(1), f(2)f(2), f(3)f(3)...) sırayla hesaplayarak değerlerin nasıl değiştiğini inceleyin.
2
Değerlerin belirli bir adımdan sonra kendini tekrar edip etmediğini (periyodik olup olmadığını) kontrol edin.
3
f(5)f(5) değerini hesapladığınızda elde ettiğiniz sonuç ile f(1)f(1) arasındaki ilişkiye dikkat ederek periyodu belirleyin ve 2026 indisini bu periyoda bölün.

Practice More

Benzer bir mantıkla f(1)=2f(1) = 2 ve f(n+1)=11−f(n)f(n+1) = \frac{1}{1-f(n)} olarak tanımlanan bir fonksiyonun f(100)f(100) değerini bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Alternatif olarak, fonksiyon f(n)=cot⁡(θ)f(n) = \cot(\theta) dönüşümü ile trigonometrik olarak da incelenebilir. cot⁡(2θ)\cot(2\theta) veya benzeri formüllerle ardışık açısal değişimler gözlemlenebilir, ancak temel aritmetik adımları izlemek çok daha pratik ve hızlı bir yoldur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlarda Tanım ve Değer Bulma

More questions from this topic