Examkin

Question

Difficulty: MediumFonksiyonlarda Tanım ve Değer Bulma
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx ve yy gerçel sayısı için
f(x+y)=f(x)+f(y)+3xyf(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=2f(1) = 2 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

  1. A
    9
  2. B
    12
  3. 15Answer
  4. D
    24
  5. E
    -3

Answer

Doğru cevap 15'tir.
Fonksiyon kuralında x=1,y=1x = 1, y = 1 yazıldığında f(2)=7f(2) = 7 bulunur. Ardından x=2,y=1x = 2, y = 1 yazılarak f(3)=f(2)+f(1)+6f(3) = f(2) + f(1) + 6 bağıntısından 7+2+6=157 + 2 + 6 = 15 sonucuna doğru şekilde ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyon kuralında x=1x = 1 ve y=1y = 1 yazılır.
f(2)=f(1)+f(1)+3(1)(1)f(2) = f(1) + f(1) + 3(1)(1) denklemi elde edilir.
f(3)f(3) değerini bulmak için geçiş basamağı olan f(2)f(2) değerinin hesaplanması gerekir.
2
Verilen f(1)=2f(1) = 2 değeri denklemde yerine yazılır.
f(2)=2+2+3=7f(2) = 2 + 2 + 3 = 7 olarak bulunur.
Hesaplanan bu ara değer bir sonraki adımda kullanılacaktır.
3
Fonksiyon kuralında x=2x = 2 ve y=1y = 1 yazılır.
f(3)=f(2)+f(1)+3(2)(1)f(3) = f(2) + f(1) + 3(2)(1) denklemi elde edilir.
f(3)f(3) değerine doğrudan ulaşmak için uygun değerler seçilmiştir.
4
f(2)=7f(2) = 7 ve f(1)=2f(1) = 2 değerleri yerine konularak işlem tamamlanır.
f(3)=7+2+6=15f(3) = 7 + 2 + 6 = 15 bulunur.
Dört işlem kuralları doğru uygulanarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Fonksiyonlarda değer bulma ve fonksiyonel denklemleri çözme

Hints

1
İstenen f(3)f(3) değerine doğrudan ulaşmak yerine öncelikle geçiş basamağı olarak f(2)f(2) değerini hesaplamayı deneyin.
2
f(2)f(2) değerini elde etmek için fonksiyon eşitliğinde xx ve yy değişkenlerinin her ikisine de 11 değerini verin.
3
f(2)=7f(2) = 7 bulduktan sonra, f(3)f(3) değerine ulaşmak için eşitlikte x=2x = 2 ve y=1y = 1 yazarak çözüme gidin.

Practice More

Benzer bir yöntemle f(x⋅y)=f(x)+f(y)f(x \cdot y) = f(x) + f(y) şeklindeki logaritmik özellik gösteren fonksiyonlarda değer bulma sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Fonksiyonun genel kuralı f(x)=ax2+bxf(x) = ax^2 + bx formundadır. f(x+y)=a(x+y)2+b(x+y)=ax2+bx+ay2+by+2axyf(x+y) = a(x+y)^2 + b(x+y) = ax^2 + bx + ay^2 + by + 2axy olduğundan, 2a=3  ⟹  a=3/22a = 3 \implies a = 3/2 olur. f(1)=a+b=2  ⟹  3/2+b=2  ⟹  b=1/2f(1) = a + b = 2 \implies 3/2 + b = 2 \implies b = 1/2 bulunur. Buradan genel kural f(x)=32x2+12xf(x) = \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}x olarak elde edilir. x=3x=3 için f(3)=272+32=15f(3) = \frac{27}{2} + \frac{3}{2} = 15 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlarda Tanım ve Değer Bulma

More questions from this topic