Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyonlarda Tanım ve Değer Bulma

Her x≠1x \neq 1 gerçel sayısı için tanımlı bir ff fonksiyonu

f(x)+2f(11−x)=xf(x) + 2f\left(\frac{1}{1-x}\right) = x

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

  1. 23\frac{2}{3}Answer
  2. B
    −23-\frac{2}{3}
  3. C
    43\frac{4}{3}
  4. D
    13\frac{1}{3}
  5. E
    22

Answer

İki bölü üç
Verilen fonksiyonel ilişkide girdilerin döngüsel bir yapıya (2→−1→12→22 \rightarrow -1 \rightarrow \frac{1}{2} \rightarrow 2) sahip olduğu belirlenir. Bu girdiler sırasıyla denklemde yerine yazılarak üç bilinmeyenli üç denklem elde edilir. Bu sistem rasyonel sayılarda dört işlem kurallarına dikkat edilerek çözüldüğünde aranılan değer iki bölü üç olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemde x=2x = 2 yazılır.
f(2)+2f(−1)=2f(2) + 2f(-1) = 2 elde edilir.
İlk olarak sorulan f(2)f(2) değerini içeren bir eşitlik oluşturmak hedeflenir.
2
Elde edilen yeni terim olan f(−1)f(-1) değerini bulmak için genel denklemde x=−1x = -1 yazılır.
f(−1)+2f(12)=−1f(-1) + 2f(\frac{1}{2}) = -1 elde edilir.
f(−1)f(-1) terimini içeren ve sistemi çözmemizi sağlayacak ikinci bir denklem kurmak gerekir.
3
Elde edilen yeni terim olan f(12)f(\frac{1}{2}) değerini bulmak için genel denklemde x=12x = \frac{1}{2} yazılır.
f(12)+2f(2)=12f(\frac{1}{2}) + 2f(2) = \frac{1}{2} elde edilir.
Girdilerin 2→−1→12→22 \rightarrow -1 \rightarrow \frac{1}{2} \rightarrow 2 şeklinde bir döngü oluşturduğunu görerek sistemi kapatmak amaçlanır.
4
Üçüncü denklemden f(12)=12−2f(2)f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2f(2) çekilerek ikinci denklemde yerine yazılır.
f(−1)+2(12−2f(2))=−1  ⟹  f(−1)=4f(2)−2f(-1) + 2(\frac{1}{2} - 2f(2)) = -1 \implies f(-1) = 4f(2) - 2 bulunur.
Denklem sistemindeki bilinmeyen sayısını azaltmak için yerine koyma yöntemi uygulanır.
5
Bulunan f(−1)f(-1) ifadesi ilk denklemde yerine yazılarak f(2)f(2) hesaplanır.
f(2)+2(4f(2)−2)=2  ⟹  9f(2)−4=2  ⟹  9f(2)=6  ⟹  f(2)=23f(2) + 2(4f(2) - 2) = 2 \implies 9f(2) - 4 = 2 \implies 9f(2) = 6 \implies f(2) = \frac{2}{3} bulunur.
Tek bilinmeyenli denklemi çözerek doğrudan hedeflenen f(2)f(2) değerine ulaşılır.

Key Concept

Fonksiyonel denklemlerde değişkenlerin yerine uygun değerler yazılarak lineer denklem sistemleri oluşturma ve çözme.

Hints

1
Soruda doğrudan f(2)f(2) değerini sorduğu için ilk olarak x=2x = 2 değerini denklemde yerine yazmayı deneyin.
2
x=2x = 2 yazdığınızda karşınıza çıkan f(−1)f(-1) değerini bulmak için bu sefer x=−1x = -1 yazarak yeni bir denklem oluşturun.
3
x=12x = \frac{1}{2} yazdığınızda tekrar f(2)f(2) terimine ulaştığınızı göreceksiniz. Elde ettiğiniz bu 3 denklemi taraf tarafa veya yerine koyma metoduyla çözün.

Practice More

Benzer döngüsel yapıya sahip f(x)+f(1−x)=x2f(x) + f(1-x) = x^2 veya f(x)+3f(−x)=x+1f(x) + 3f(-x) = x+1 gibi fonksiyonel denklemleri çözerek yöntemi pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Genel olarak g(x)=11−xg(x) = \frac{1}{1-x} dönüşümü yapıldığında g(g(x))=x−1xg(g(x)) = \frac{x-1}{x} ve g(g(g(x)))=xg(g(g(x))) = x olduğu görülür. Dolayısıyla f(x)+2f(g(x))=xf(x) + 2f(g(x)) = x genel denkleminde sırasıyla xx, g(x)g(x) ve g(g(x))g(g(x)) yazılarak f(x)f(x) fonksiyonunun genel kuralı f(x)=x−2g(x)+4g(g(x))9f(x) = \frac{x - 2g(x) + 4g(g(x))}{9} şeklinde bulunabilir. Burada x=2x=2 yazılarak doğrudan sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlarda Tanım ve Değer Bulma

More questions from this topic