Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyonlarda Tanım ve Değer Bulma

Bir ff fonksiyonu,

f(x)=x2−4x−12+19−∣x−2∣f(x) = \sqrt{x^2 - 4x - 12} + \frac{1}{\sqrt{9 - |x - 2|}}

kuralı ile verilmiştir.

Buna göre, bu fonksiyonun en geniş tanım kümesinde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?

  1. A
    18
  2. B
    -14
  3. 20Answer
  4. D
    24
  5. E
    48

Answer

20
Doğru cevap 20'dir. Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için x2−4x−12≥0x^2 - 4x - 12 \ge 0 ve 9−∣x−2∣>09 - |x - 2| > 0 koşullarının her ikisi de sağlanmalıdır. Buradan en geniş tanım kümesi (−7,−2]∪[6,11)(-7, -2] \cup [6, 11) olarak elde edilir. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı ise 20'dir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci kareköklü ifadenin tanımlı olma koşulunu belirleme.
x2−4x−12≥0  ⟹  (x−6)(x+2)≥0  ⟹  x≤−2x^2 - 4x - 12 \ge 0 \implies (x-6)(x+2) \ge 0 \implies x \le -2 veya x≥6x \ge 6.
Çift dereceli köklü ifadelerin tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olması gerekir.
2
İkinci rasyonel ve kareköklü ifadenin tanımlı olma koşulunu belirleme.
9−∣x−2∣>0  ⟹  ∣x−2∣<9  ⟹  −9<x−2<9  ⟹  −7<x<119 - |x - 2| > 0 \implies |x - 2| < 9 \implies -9 < x - 2 < 9 \implies -7 < x < 11.
Hem çift dereceli köklü ifadenin tanımlı olması hem de paydanın sıfırdan farklı olması için kök içindeki ifadenin sıfırdan kesinlikle büyük olması gerekir.
3
İki koşulun kesişimini alarak en geniş tanım kümesini bulma.
x∈(−7,−2]∪[6,11)x \in (-7, -2] \cup [6, 11).
Fonksiyonun her iki kısmının da aynı anda tanımlı olması için elde edilen aralıkların kesişimi alınmalıdır.
4
Bu kümedeki tam sayıları belirleme ve toplama.
Tanım kümesindeki tam sayılar: −6,−5,−4,−3,−2,6,7,8,9,10-6, -5, -4, -3, -2, 6, 7, 8, 9, 10. Bu sayıların toplamı: −20+40=20-20 + 40 = 20.
Tanım kümesinde yer alan tam sayıların toplamı sorulduğu için bu değerlerin toplamı hesaplanır.

Key Concept

Bir fonksiyonun reel sayılarda tanımlı olması için kareköklü ifadelerin içinin negatif olmaması ve paydanın sıfır olmaması gerekir.

Hints

1
Her iki ifadenin de ayrı ayrı reel sayılarda tanımlı olabilmesi için gereken koşulları yazın.
2
Birinci ifadenin tanımlı olması için x2−4x−12≥0x^2 - 4x - 12 \ge 0, ikinci ifadenin tanımlı olması için ise 9−∣x−2∣>09 - |x-2| > 0 olmalıdır. Bu eşitsizlikleri çözüp kesiştirin.
3
Bulduğunuz kesişim aralığı (−7,−2]∪[6,11)(-7, -2] \cup [6, 11) olmalıdır. Bu aralıktaki tam sayıları listeleyip toplayın.

Practice More

Benzer şekilde köklü ve mutlak değerli ifadelerin paydada yer aldığı tanım kümesi sorularını çözerek pratik yapabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlarda Tanım ve Değer Bulma

More questions from this topic