Examkin

Question

Difficulty: MediumFonksiyonlarda Tanım ve Değer Bulma
f(x)=x−1x+1f(x) = \frac{x-1}{x+1}

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre,

f(2)⋅f(3)⋅f(4)⋯f(19)f(2) \cdot f(3) \cdot f(4) \cdots f(19)

çarpımının sonucu kaçtır?

  1. 1190\frac{1}{190}Answer
  2. B
    1380\frac{1}{380}
  3. C
    120\frac{1}{20}
  4. D
    110\frac{1}{10}
  5. E
    195\frac{1}{95}

Answer

Çarpımın sonucu 1/190'dır.
Soruda verilen fonksiyon tanımında değişkenler yerine koyulduğunda çarpım ifadesinde pay kısmında 3'ten 18'e kadar olan sayılar, payda kısmında ise yine 3'ten 18'e kadar olan sayılar yer alır. Bu sayılar sadeleştiğinde geriye sadece pay kısmında 2 ve payda kısmında 380 kalır. Bu ifadenin sadeleştirilmesiyle doğru cevap olan 1/190 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen fonksiyon tanımında x yerine sırasıyla 2'den 19'a kadar olan tam sayıları yazıp değerleri bulalım.
f(2)=13f(2) = \frac{1}{3}, f(3)=24f(3) = \frac{2}{4}, f(4)=35f(4) = \frac{3}{5}, ..., f(18)=1719f(18) = \frac{17}{19}, f(19)=1820f(19) = \frac{18}{20} elde edilir.
Çarpımdaki terimlerin matematiksel ifadelerini belirlemek için.
2
Bulduğumuz değerleri yan yana yazarak çarpım ifadesini oluşturalım.
13⋅24⋅35⋅46⋯1719⋅1820\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{6} \cdots \frac{17}{19} \cdot \frac{18}{20}
Sadeleşen terimleri ve geriye kalan çarpanları net olarak görebilmek için.
3
Pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştirelim.
Pay kısmındaki 3'ten 18'e kadar olan sayılar ile payda kısmındaki 3'ten 18'e kadar olan sayılar birbirini götürür. Geriye pay kısmında 1⋅2=21 \cdot 2 = 2, payda kısmında ise 19⋅20=38019 \cdot 20 = 380 kalır.
Ardışık terimlerin sadeleşme örüntüsünü uygulamak için.
4
Elde edilen kesri en sade haline getirelim.
2380=1190\frac{2}{380} = \frac{1}{190}
Nihai çarpım sonucuna ulaşmak için.

Key Concept

Fonksiyonlarda Değer Bulma ve Çarpımsal Sadeleştirme Örüntüleri

Hints

1
Fonksiyonda x yerine sırasıyla 2, 3, 4 değerlerini yazarak ilk birkaç terimi elde edin.
2
Elde ettiğiniz rasyonel ifadeleri yan yana çarparak hangi terimlerin birbirini sadeleştirdiğini gözlemleyin.
3
Sadeleşme sonrasında pay kısmında baştaki iki terimin payının, payda kısmında ise sondaki iki terimin paydasının kaldığına dikkat edin.

Practice More

Benzer şekilde ardışık terimlerin sadeleştiği toplam veya çarpım örüntülerini içeren rasyonel fonksiyon sorularını çözerek bu pratik yöntemi pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Alternatif olarak, çarpım sembolü özellikleri kullanılarak pay ve payda ayrı ayrı faktöriyel cinsinden yazılabilir: Pay kısmı 18!, payda kısmı ise 20!/2 şeklinde ifade edilerek sadeleştirme yapılabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlarda Tanım ve Değer Bulma

More questions from this topic