Examkin

Question

Difficulty: MediumFonksiyonlarda Tanım ve Değer Bulma
Her nn pozitif tam sayısı için tanımlı bir ff fonksiyonu
f(n+1)−f(n)=1n2+nf(n+1) - f(n) = \frac{1}{n^2 + n}
bağıntısın�� sağlamaktadır.
f(1)=2f(1) = 2 olduğuna göre, f(4)f(4) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    54\frac{5}{4}
  2. B
    35\frac{3}{5}
  3. 114\frac{11}{4}Answer
  4. D
    74\frac{7}{4}
  5. E
    4120\frac{41}{20}

Answer

114\frac{11}{4}
Fonksiyonun ardışık terimleri arasındaki farkları veren bağıntı adım adım kullanıldığında f(4)=114f(4) = \frac{11}{4} değeri elde edilir. Alternatif olarak, bağıntı f(n+1)−f(n)=1n−1n+1f(n+1) - f(n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} şeklinde yazılarak taraf tarafa toplandığında f(4)−f(1)=1−14=34f(4) - f(1) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} elde edilir. Buradan f(4)=2+34=114f(4) = 2 + \frac{3}{4} = \frac{11}{4} bulunur.

Step-by-Step Solution

1
n=1n = 1 için bağıntıda yerine yazarak f(2)f(2) değerini bulalım.
f(2)−f(1)=11(2)⇒f(2)−2=12⇒f(2)=52f(2) - f(1) = \frac{1}{1(2)} \Rightarrow f(2) - 2 = \frac{1}{2} \Rightarrow f(2) = \frac{5}{2}
Bağıntıda bir sonraki terimi elde etmek için başlangıç terimi kullanılır.
2
n=2n = 2 için bağıntıda yerine yazarak f(3)f(3) değerini bulalım.
f(3)−f(2)=12(3)⇒f(3)−52=16⇒f(3)=156+16=166=83f(3) - f(2) = \frac{1}{2(3)} \Rightarrow f(3) - \frac{5}{2} = \frac{1}{6} \Rightarrow f(3) = \frac{15}{6} + \frac{1}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}
Bir önceki adımda elde edilen değer yerine yazılarak zincirleme işlem devam ettirilir.
3
n=3n = 3 için bağıntıda yerine yazarak f(4)f(4) değerini elde edelim.
f(4)−f(3)=13(4)⇒f(4)−83=112⇒f(4)=3212+112=3312=114f(4) - f(3) = \frac{1}{3(4)} \Rightarrow f(4) - \frac{8}{3} = \frac{1}{12} \Rightarrow f(4) = \frac{32}{12} + \frac{1}{12} = \frac{33}{12} = \frac{11}{4}
Son adımda aranan f(4)f(4) değerine ulaşmak için hesaplamalar tamamlanır.

Key Concept

Fonksiyonlarda Tanım ve Değer Bulma (Teleskopik Toplam)

Hints

1
Soruyu çözmek için n=1n = 1, n=2n = 2 ve n=3n = 3 değerlerini sırasıyla bağıntıda yerine yazarak adım adım ilerleyebilirsiniz.
2
Bağıntıyı f(n+1)−f(n)=1n(n+1)f(n+1) - f(n) = \frac{1}{n(n+1)} şeklinde düzenleyip taraf tarafa toplamayı deneyin.
3
1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} basit kesirlere ayırma özdeşliğini kullanarak terimlerin birbirini götürmesini sağlayabilirsiniz.

Practice More

Benzer şekilde tanımlanan çarpımsal (teleskopik çarpım) fonksiyon sorularını inceleyerek bu yöntemi pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

f(n+1)−f(n)=1n−1n+1f(n+1) - f(n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} şeklinde yazılabilir. n=1,2,3n=1, 2, 3 için bu eşitlikleri alt alta yazıp toplarsak:
(f(2)−f(1))+(f(3)−f(2))+(f(4)−f(3))=(1−12)+(12−13)+(13−14)(f(2)-f(1)) + (f(3)-f(2)) + (f(4)-f(3)) = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})
Sol tarafta ortadaki terimler, sağ tarafta ise aradaki kesirler birbirini sadeleştirir:
f(4)−f(1)=1−14=34f(4) - f(1) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
f(1)=2f(1) = 2 olduğundan, f(4)=2+34=114f(4) = 2 + \frac{3}{4} = \frac{11}{4} elde edilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlarda Tanım ve Değer Bulma

More questions from this topic