All practice questions

Question 41Question →

Bir kırtasiyeci, bir adet sırt çantasını başlangıçta maliyeti üzerinden $\%40$ kârla satmaktadır. Satışların az olması nedeniyle bu çanta satış fiyatı üzerinden $\%10$ indirimle satılmaya başlanmıştır. Daha sonra enflasyon sebebiyle çantanın maliyeti $\%20$ oranında artmıştır. Kırtasiyeci, çantayı indirimli satış fiyatıyla satmaya devam ettiğine göre, son durumdaki kârı başlangıçtaki maliyetinin yüzde kaçıdır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Son durumdaki kâr başlangıç maliyetinin

\%6

'sıdır.

Başlangıç maliyeti

100

TL alındığında,

\%40

kârla satış fiyatı

140

TL olur. Bu fiyat üzerinden

\%10

indirim yapıldığında yeni satış fiyatı

126

TL'ye düşer. Maliyet enflasyonla

\%20

artarak

120

TL olduğunda, kâr

126 - 120 = 6

TL olur. Bu kâr başlangıç maliyeti olan

100

TL'nin

\%6

'sıdır.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıç maliyetini belirleyip

\%40

kârlı satış fiyatını hesaplamak.

İlk satış fiyatı

140

TL olarak bulunur.

Başlangıç maliyeti

100

TL kabul edildiğinde,

\%40

kâr eklenerek ilk satış fiyatına ulaşılır.

2

Satış fiyatı üzerinden yapılan

\%10

indirimi uygulamak.

İndirimli satış fiyatı

126

TL olarak elde edilir.

Satış fiyatından satış fiyatının

\%10

'u çıkarılarak yeni satış fiyatı belirlenir.

3

Enflasyon nedeniyle artan yeni maliyeti hesaplamak.

Yeni maliyet

120

TL olarak bulunur.

Maliyet

\%20

oranında artırıldığı için başlangıçtaki

100

TL'lik maliyet

120

TL olur.

4

Son durumdaki kârı ve bu kârın başlangıç maliyetine oranını hesaplamak.

Elde edilen kâr

6

TL'dir ve bu değer başlangıç maliyetinin

\%6

'sına karşılık gelir.

Son durumdaki kâr miktarı (

126 - 120 = 6

TL) başlangıç maliyeti olan

100

TL'ye oranlanır.

Key Concept

Kâr, zarar, indirim ve maliyet artışı içeren çok adımlı yüzde problemlerinin çözümü.

Question 42Question →

Bir ofisi Merve tek başına $8$ saatte, Selin ise tek başına $24$ saatte temizleyebilmektedir. Buna göre, ikisi birlikte çalışarak bu ofisi kaç saatte temizlerler?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Merve ve Selin birlikte çalışarak bu ofisi 6 saatte temizlerler.

İşçilerin bir saatlik çalışma hızları sırasıyla

\frac{1}{8}

ve

\frac{1}{24}

olup, bu iki hız toplandığında saatlik ortak çalışma hızı

\frac{1}{6}

olarak bulunur. İşin tamamı bu hızın tersi olan 6 saatte tamamlanır.

Step-by-Step Solution

1

İşçilerin bir saatte yaptıkları iş oranlarını belirleme.

Merve 1 saatte işin

\frac{1}{8}

'ini, Selin ise

\frac{1}{24}

'ünü tamamlar.

Bir işin tamamı

t

sürede bitiyorsa, birim zamanda o işin

\frac{1}{t}

'si yapılır.

2

İki işçinin birlikte 1 saatte yapacağı toplam iş oranını bulma.

\frac{1}{8} + \frac{1}{24} = \frac{3}{24} + \frac{1}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}

Birlikte çalışma durumunda bireysel hızlar toplanarak toplam hız elde edilir.

3

Toplam süreyi hesaplama.

6 saat

Birlikte 1 saatte işin

\frac{1}{6}

'sını yaptıklarına göre, işin tamamını bitirmeleri için 6 saat gerekir.

Key Concept

Birlikte çalışan işçilerin birim zamanda yaptığı iş miktarının toplanması.

Question 43Question →

Yüzey alanı $144\pi\text{ birim}^2$ olan bir kürenin hacmi kaç $\pi\text{ birim}^3$ tür?

Show answer & explanation

Answer: 288

Answer

Kürenin hacmi

288\pi\text{ birim}^3

olup, sorulan katsayı değeri 288'dir.

Kürenin yüzey alanı formülü

4\pi r^2 = 144\pi

eşitliğinden

r^2 = 36

ve

r = 6\text{ birim}

bulunur. Bu yarıçap değeri hacim formülünde (

V = \frac{4}{3}\pi r^3

) yerine yazılırsa, hacim

V = \frac{4}{3}\pi (6^3) = 288\pi\text{ birim}^3

olarak elde edilir. Dolayısıyla cevap 288'dir.

Step-by-Step Solution

1

Yüzey alanı formülünden kürenin yarıçapını hesaplayın.

r = 6\text{ birim}

Kürenin yüzey alanı

4\pi r^2

formülü ile hesaplanır.

4\pi r^2 = 144\pi

eşitliği ç��züldüğünde

r = 6

elde edilir.

2

Yarıçapı kullanarak kürenin hacmini hesaplayın.

V = 288\pi\text{ birim}^3

Kürenin hacmi

V = \frac{4}{3}\pi r^3

formülü ile hesaplanır. Yarıçap yerine 6 yazıldığında

V = \frac{4}{3}\pi (6^3) = 288\pi

elde edilir.

Key Concept

Kürenin yüzey alanı ve hacmi formüllerinin doğrudan uygulanması

Question 44Question →

Bir kenar uzunluğu $12$ birim olan bir $ABCDA'B'C'D'$ küpünde, $P$ noktası $[AC]$ yüzey köşegeni üzerinde ve $Q$ noktası $[C'D']$ ayrıtı üzerindedir.

$|AP| = 8\sqrt{2}$ birim ve $|D'Q| = 5$ birim olduğuna göre, $P$ ve $Q$ noktaları arasındaki en kısa uzaklık ( $|PQ|$ ) kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

P ve Q noktaları arasındaki en kısa uzaklık 13 birimdir.

Q noktasının taban düzlemindeki dik izdüşümü Q' olmak üzere, |QQ'| = 12 birimdir. Taban düzlemi olan ABCD karesinde P noktasının koordinatları (8, 8) ve Q' noktasının koordinatları (5, 12) olarak bulunur. Bu iki nokta arasındaki uzaklık Pisagor bağıntısı ile |PQ'| = 5 birim olarak elde edilir. QQ' doğrusu taban düzlemine dik olduğundan, P Q' Q dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanarak |PQ|^2 = 5^2 + 12^2 = 169 bağıntısından en kısa uzaklık 13 birim olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Q noktasının taban düzlemine (ABCD yüzeyine) olan dik izdüşüm noktasını belirleyin.

İzdüşüm noktası Q' olup, [CD] ayrıtı üzerindedir. D köşesine uzaklığı 5 birimdir ve düşey yükseklik |QQ'| = 12 birimdir.

Üç boyutlu uzayda uzaklık hesabı yapabilmek için noktaları aynı düzleme indirgemek ve düşey bileşeni belirlemek gerekir.

2

P noktasının kenarlara olan uzaklıklarını veya koordinatlarını bulun.

|AP| = 8\sqrt{2} birim ve ABCD bir kare olduğundan, A köşesini orijin (0,0) olarak kabul edersek P noktasının koordinatları (8, 8) olur.

Karede köşegen üzerindeki bir noktanın kenarlara olan uzaklıkları, 45-45-90 dik üçgeninin kenar özelliklerine göre belirlenir.

3

Taban düzlemindeki P ve Q' noktaları arasındaki yatay uzaklığı Pisagor bağıntısı ile hesaplayın.

P(8,8) ve Q'(5,12) noktaları arasındaki uzaklık |PQ'|^2 = (8-5)^2 + (12-8)^2 = 3^2 + 4^2 = 25 olup buradan |PQ'| = 5 birim bulunur.

Düzlemdeki iki nokta arasındaki mesafe, dik bileşenlerinin farkının kareleri toplamının kareköküyle bulunur.

4

P Q' Q dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak |PQ| değerini bulun.

|PQ|^2 = |PQ'|^2 + |QQ'|^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 olup, buradan |PQ| = 13 birim elde edilir.

QQ' doğrusu taban düzlemine dik olduğundan PQ' doğrusuna da diktir ve P Q' Q bir dik üçgendir.

Key Concept

Küp içinde noktalar arası uzaklık hesaplanırken dik izd��şüm yöntemi ve üç boyutlu Pisagor teoreminin uygulanması.

Question 45Question →

Sıfırdan farklı gerçel say��lar kümesi üzerinde $\oplus$ ve $\otimes$ işlemleri,

a \oplus b = a \cdot b - 2

a \otimes b = \frac{a}{b} + 1

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

(x \oplus 4) \otimes 3 = 5

eşitliğini sağlayan

x

değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3.5

Answer

Eşitliği sağlayan

x

değeri

3.5

olmalıdır.

Verilen işlemlere göre öncelikle parantez içindeki

x \oplus 4

ifadesi

4x - 2

olarak belirlenir. Ardından bu ifade

\otimes

işleminin sol tarafına yazılarak

\frac{4x - 2}{3} + 1 = 5

denklemi elde edilir. Buradan

\frac{4x - 2}{3} = 4 \implies 4x - 2 = 12 \implies 4x = 14 \implies x = 3.5

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Parantez içi olan

x \oplus 4

ifadesini tanımlanan kurala göre açmak

4x - 2

İşlem önceliği gereği önce parantez içindeki ifadenin değerini belirlememiz gerekir.

2

Elde edilen ifadeyi

\otimes

işleminde yerine yazarak denklemi kurmak

\frac{4x - 2}{3} + 1 = 5

Birinci bileşen olan

4x - 2

ile ikinci bileşen olan 3 sayısına

\otimes

işleminin tanımı uygulanır.

3

Oluşan birinci dereceden denklemi çözmek

x = 3.5

Bilinmeyeni yalnız bırakmak amacıyla sırasıyla toplama, çarpma ve bölme işlemlerinin tersi uygulanarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Özel Tanımlı İşlemler

Question 46Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde

\oplus

ve

\otimes

işlemleri,

a \oplus b = a \cdot b - 2(a + b)

a \otimes b = a^2 - b^2

biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,

(x \oplus 4) \otimes 8 = 80

eşitliğini sağlayan

x

gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -20

Answer

Eşitliği sağlayan

x

gerçel sayılarının çarpımı -20'dir.

Denklem adımları takip edildiğinde dıştaki işlemden

A^2 = 144

elde edilir. Bu durum

A = 12

ve

A = -12

olmak üzere iki farklı durum ortaya çıkarır. Her iki durum için içteki

\oplus

işlemi çözüldüğünde

x = 10

ve

x = -2

değerlerine ulaşılır. Bu değerlerin çarpımı ise -20 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Parantez içindeki ifadeye değişken atayarak dıştaki işlemi uygulamak

A^2 = 144

denkleminden

A = 12

veya

A = -12

elde edilmesi

Eşitliği adım adım çözebilmek için öncelikle dıştaki

\otimes

işlemini çözümlemek gerekir.

2

A = 12

için içteki

\oplus

işlemini uygulamak ve denklemi çözmek

x = 10

elde edilmesi

Birinci olası

A

değeri i��in

x

bilinmeyenini bulmak.

3

A = -12

için içteki

\oplus

işlemini uygulamak ve denklemi çözmek

x = -2

elde edilmesi

İkinci olası

A

değeri için

x

bilinmeyenini bulmak.

4

Elde edilen

x

değerlerini çarpmak

10 \cdot (-2) = -20

elde edilmesi

Soruda bizden istenen değerlerin çarpımını bulmak.

Key Concept

Özel tanımlı işlemler yardımıyla bilinmeyenli denklemlerin çözülmesi ve iki kare farkı/kareköklü denklemlerin uygulanması.

Question 47Question →

Taban alanı $144\text{ cm}^2$ ve yüksekliği $8\text{ cm}$ olan düzgün kare dik piramit, taban düzlemine paralel bir düzlemle kesilerek iki parçaya ayrılıyor. Elde edilen kesik piramidin hacmi, üstte kalan küçük piramidin hacminin 7 katı olduğuna göre, kesik piramidin toplam yüzey alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

Show answer & explanation

Answer: 360

Answer

Kesik piramidin toplam yüzey alanı

360\text{ cm}^2

dir.

Kesik piramidin hacminin üstteki piramidin hacmine oranı 7 olduğundan, küçük piramidin hacminin büyük piramidin hacmine oranı

1/8

olur. Hacimler oranının küp kökü benzerlik oranını verdiğinden benzerlik oranı

1/2

olarak bulunur. Buradan kesit kenarı

6\text{ cm}

ve kesit alanı

36\text{ cm}^2

hesaplanır. Piramidin yan yüz yüksekliği Pisagor teoreminden

10\text{ cm}

bulunduğundan, kesik piramidin yanal yüz yüksekliği

5\text{ cm}

olur. 4 adet yanal yamuk yüzeyin alanı

180\text{ cm}^2

ve taban alanları toplamı

144 + 36 = 180\text{ cm}^2

olduğundan, toplam yüzey alanı

360\text{ cm}^2

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Hacim ilişkisinden yararlanarak benzerlik oranını belirleyin.

Kesik piramidin hacmi üstteki piramidin hacminin 7 katı ise, tüm piramidin hacmi üstteki piramidin hacminin

1 + 7 = 8

katıdır. Buradan hacimler oranı

\frac{V_{\text{küçük}}}{V_{\text{tüm}}} = \frac{1}{8}

olur. Benzerlik oranı

k

ise,

k^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow k = \frac{1}{2}

bulunur.

Paralel düzlemle kesilen piramitlerde benzerlik oranının küpü, hacimler oranına eşittir.

2

Kesit alanını ve kesit ayrıt uzunluğunu hesaplayın.

Ana piramidin taban alanı

144\text{ cm}^2

olduğuna göre, taban kenarı

a = \sqrt{144} = 12\text{ cm}

'dir. Benzerlik oranı

k = \frac{1}{2}

oldu��undan, kesit karesinin bir kenarı

b = k \cdot a = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\text{ cm}

olur. Üst taban alanı ise

S_{\text{üst}} = 6^2 = 36\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Benzer şekillerde uzunluklar benzerlik oranıyla, alanlar ise benzerlik oranının karesiyle değişir.

3

Piramidin yan yüz yüksekliğini bulun.

Taban karesinin ağırlık merkezinden bir kenara olan dik uzaklık

\frac{a}{2} = 6\text{ cm}

'dir. Piramidin yüksekliği

H = 8\text{ cm}

olduğuna göre, dik üçgende Pisagor teoremi uygulanarak yan yüz yüksekliği

h_y = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Piramidin yüksekliği, taban kenarının orta noktasına birleştirildiğinde yan yüz yüksekliği ile dik üçgen oluşturur.

4

Kesik piramidin yan yüz yüksekliğini ve yanal alan��nı hesaplayın.

Benzerlik oranı

k = \frac{1}{2}

olduğundan, kesik piramidin yan yüz yüksekliği de ana yan yüz yüksekliğinin yarısı kadar olup

h_{y,\text{kesik}} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\text{ cm}

olur. Kesik piramidin yanal yüzeyi 4 adet eş yamuktan oluşur. Bir yamuğun alanı

A = \frac{a+b}{2} \cdot h_{y,\text{kesik}} = \frac{12+6}{2} \cdot 5 = 45\text{ cm}^2

'dir. Toplam yanal alan ise

Y_{\text{alan}} = 4 \cdot 45 = 180\text{ cm}^2

bulunur.

Kesik piramidin yanal alanı, taban kenarları

a

ve

b

, yüksekliği

h_{y,\text{kesik}}

olan 4 adet yamuğun alanları toplamıdır.

5

Kesik piramidin toplam yüzey alanını hesaplayın.

Toplam Yüzey Alanı = Alt Taban Alanı + Üst Taban Alanı + Yanal Alan =

144 + 36 + 180 = 360\text{ cm}^2

elde edilir.

Kesik piramidin toplam yüzey alanı, alt taban, üst taban ve yan yüzleri oluşturan yamukların alanlarının toplamına eşittir.

Key Concept

Piramitlerde benzerlik oranı, hacimler oranının küp köküne eşittir. Kesik piramidin yüzey alanı hesaplanırken alt taban, üst taban ve yanal alanları oluşturan yamuk alanlarının toplamı dikkate alınır.

Question 48Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde $\Delta$ ve $*$ işlemleri,

a \Delta b = 3a - 2b

a * b = 2a + b - 3

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

(x * 4) \Delta 5 = 11

eşitliğini sağlayan

x

gerçel sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Eşitliği sağlayan x gerçel sayısı 3'tür.

Doğru cevap 3'tür. Denklemde dıştaki \Delta işlemi uygulandığında parantez içindeki ifadenin değeri 7 olarak bulunur. Ardından parantez içindeki * işlemi uygulandığında x değeri 3 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

(x * 4) ifadesini y değişkeniyle temsil etme

y = x * 4 olsun. Denklem y \Delta 5 = 11 olur.

İşlem önceliğine göre dıştaki işlemi çözerek adım adım ilerlemek için parantez içi geçici olarak tek bir değişken kabul edilir.

2

\Delta i��leminin tanımını uygulayarak y değerini bulma

3y - 2(5) = 11 \Rightarrow 3y - 10 = 11 \Rightarrow 3y = 21 \Rightarrow y = 7

\Delta işleminin tanımı a \Delta b = 3a - 2b şeklindedir; burada birinci bileşen a yerine y ve ikinci bileşen b yerine 5 yazılmıştır.

3

* işleminin tanımını uygulayarak x değerini bulma

x * 4 = 7 \Rightarrow 2x + 4 - 3 = 7 \Rightarrow 2x + 1 = 7 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3

* işleminin tanımı a * b = 2a + b - 3 şeklindedir; burada birinci bileşen a yerine x ve ikinci bileşen b yerine 4 yazılarak sonuç 7'ye eşitlenmiştir.

Key Concept

Özel tanımlı işlemler ve denklem çözümü

Question 49Question →

Terim sayısı 40 olan ve 3'er 3'er artan bir $A$ aritmetik dizisinin ilk terimi 10'dur. Terim sayısı 30 olan ve 4'er 4'er artan bir $B$ aritmetik dizisi ile $A$ dizisinin ortak elemanlarının oluşturduğu küme 6 elemanlıdır. Buna göre, $B$ dizisinin ilk teriminin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 50

Answer

B dizisinin ilk teriminin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri 50'dir.

B dizisinin ilk terimi 50 olduğunda, A ve B dizilerinin kesişim aralığı [50, 127] olur. Bu aralıktaki ortak elemanlar 58, 70, 82, 94, 106 ve 118 olup tam olarak 6 tanedir.

Step-by-Step Solution

1

A dizisinin son terimini hesaplama

Son terim = 127

Terim sayısı formülünden son terim bulma: İlk terim + (Terim sayısı - 1) * Artış miktarı

2

B dizisinin son terimini ifade etme

Son terim = b + 116

İlk terimi b, terim sayısı 30 ve artış miktarı 4 olan dizinin son terimi b + 29 * 4 = b + 116 olur.

3

Ortak elemanların artış miktarını bulma

Artış miktarı = 12

Farklı iki aritmetik dizinin ortak elemanları, artış miktarlarının EKOK'u olan EKOK(3, 4) = 12 farkla artan yeni bir aritmetik dizi oluşturur.

4

Ortak eleman sayısı 6 olacak şekilde aralık sınırlarını belirleme

Kesişim aralığında tam olarak 6 tane ortak eleman bulunması koşulu

En küçük ortak eleman c ise, c + 60 kesişim aralığında olmalı ancak c - 12 ve c + 72 bu aralığın dışında kalmalıdır.

5

Olası c ve b değerlerini analiz etme

En küçük pozitif b değeri için b = 50 olarak bulunur.

Aralık analizinden c değerinin 58, 61, 64 veya 67 olabileceği görülür. b'nin en küçük pozitif değeri c = 58 için b = 50 olarak elde edilir.

Key Concept

İki aritmetik dizinin kesişim kümesinin eleman sayısını (terim sayısını) aralık sınırları ve modüler aritmetik yardımıyla belirleme

Question 50Question →

Aşağıdaki tabloda sayılar belirli bir mantıksal kurala göre yerleştirilmiştir.

1. Sütun	2. Sütun	3. Sütun
$3$	$5$	$16$
$4$	$7$	$22$
$6$	$9$	$?$

Buna göre, tablodaki soru işareti ( $?$ ) yerine gelmesi gereken sayı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Soru işareti yerine gelmesi gereken sayı 30'dur.

Tablonun her satırında ilk iki sütundaki sayıların toplamının iki katı, üçüncü sütundaki sayıyı vermektedir. Üçüncü satır için bu kural uygulandığında

(6 + 9) \times 2 = 30

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

İlk satırdaki sayılar arasındaki ilişkiyi belirleyin.

Birinci ve ikinci sütundaki sayıların toplamının iki katı üçüncü sütundaki sayıyı vermektedir:

(3 + 5) \times 2 = 16

.

Ör��ntünün genel kuralını bulmak için ilk satırı analiz ediyoruz.

2

Aynı kuralı ikinci satırda test edin.

İkinci satır için kuralı uyguladığımızda:

(4 + 7) \times 2 = 22

elde edilir. Kural doğrulanmıştır.

Kuralın tüm satırlarda tutarlı olduğunu doğrulamak gerekir.

3

Kuralı üçüncü satıra uygulayarak bilinmeyen değeri bulun.

Üçüncü satırda birinci sütundaki

6

ile ikinci sütundaki

9

sayılarını toplayıp

2

ile çarparız:

(6 + 9) \times 2 = 15 \times 2 = 30

.

Soru işaretinin değerini bulmak için doğrulanmış kuralı hedef satıra uyguluyoruz.

Key Concept

Sayı tablosunda satır bazlı örüntü kuralı bulma

Estimated Time:1m 0s

Question 51Question →

Rakamları birbirinden farklı

ABC

ve

BAC

üç basamaklı doğal sayıları için

ABC - BAC = 270

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük $ABC$ sayısı ile en küçük $ABC$ sayısının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1378

Answer

Koşulları sağlayan en büyük

ABC

sayısı 968, en küçük

ABC

sayısı ise 410 olup, bu iki sayının toplamı 1378'dir.

Basamak çözümleme yöntemiyle

ABC - BAC = 90(A-B) = 270

denklemi çözüldüğünde

A - B = 3

elde edilir. Yüzler basamağının sıfır olamayacağı kuralı ve rakamların farklı olması kısıtlamasıyla en büyük sayı 968, en küçük sayı ise 410 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 1378 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Sayıları çözümleyerek fark ifadesini basitleştirin.

ABC - BAC = 90(A - B)

Basamak çözümlemesi yaparak basamak değerlerinin farkını bulmak için.

2

Bulunan fark ifadesini verilen sayısal değere eşitleyerek rakamlar arasındaki farkı bulun.

A - B = 3

Verilen fark değerinden rakam ilişkisini tespit etmek için.

3

Sayıların üç basamaklı olma şartını dikkate alarak olası rakam çiftlerini listeleyin.

(A, B) \in \{(4, 1), (5, 2), (6, 3), (7, 4), (8, 5), (9, 6)\}

ABC

ve

BAC

sayılarının yüzler basamağındaki

A

ve

B

sıfır olamaz.

4

Rakamları farklı olma koşulunu kullanarak en büyük

ABC

sayısını oluşturun.

ABC = 968

En büyük

A = 9

ve

B = 6

için

C

rakamı

9

ve

6

olamayacağından en fazla

8

seçilebilir.

5

Rakamları farklı olma koşulunu kullanarak en küçük

ABC

sayısını oluşturun.

ABC = 410

En küçük

A = 4

ve

B = 1

için

C

rakamı

4

ve

1

olamayacağından en az

0

seçilebilir.

6

Bulunan en büyük ve en küçük sayıları toplayın.

968 + 410 = 1378

İstenen toplam değerini bulmak için.

Key Concept

Basamak çözümleme ve verilen kısıtlamalar altında en büyük/en küçük sayıları oluşturma.

Question 52Question →

Bir $ABCD$ yamuğunda $[AB] \parallel [CD]$ 'dir. Yamuğun $[AD]$ kenarı üzerinde bir $E$ noktası ve $[BC]$ kenarı üzerinde bir $F$ noktası alınarak tabanlara paralel bir $[EF]$ doğru parçası çiziliyor. $|CD| = 2\text{ cm}$ , $|AB| = 8\text{ cm}$ ve $|EF| = 7\text{ cm}$ 'dir. $EFCD$ yamuğunun yüksekliği, $ABFE$ yamuğunun yüksekliğinden $8\text{ cm}$ daha fazla olduğuna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

Yamuğun alanı 60 cm² dir.

Yamuğun yan kenarları uzatıldığında elde edilen benzerlikten, tabanlara paralel

[EF]

segmentinin yamuğun yüksekliklerini

\frac{h_1}{h_2} = \frac{|EF| - |CD|}{|AB| - |EF|}

oranında böldüğü görülür. Buradan yükseklikler oranı

5

bulunur. Yükseklikler farkı

8\text{ cm}

olduğundan, küçük yamuğun yüksekliği

2\text{ cm}

, büyük yamuğun yüksekliği

10\text{ cm}

ve toplam yükseklik

12\text{ cm}

olarak bulunur. Alan formülü uygulandığında alan

60\text{ cm}^2

çıkmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Tabanlara paralel çizilen

[EF]

doğrusu ile oluşan alt ve üst yamukların yükseklikleri arasındaki oranı bulmak için benzerlik kuralını uygulayalım.

h_1 = 5h_2

oranı elde edilir.

Yamuğun paralel olmayan yan kenarları uzatıldığında elde edilen benzer üçgenlerin yükseklik oranları, taban farklarının oranına eşittir:

\frac{h_1}{h_2} = \frac{|EF| - |CD|}{|AB| - |EF|} = \frac{7 - 2}{8 - 7} = 5

.

2

Yükseklikler arasındaki farkı kullanarak her bir yamuğun yüksekliğini hesaplayalım.

h_2 = 2\text{ cm}

ve

h_1 = 10\text{ cm}

bulunur.

Soruda

EFCD

yamuğunun yüksekliğinin

ABFE

yamuğunun yüksekliğinden

8\text{ cm}

fazla olduğu verilmiştir (

h_1 - h_2 = 8

). Bulduğumuz

h_1 = 5h_2

eşitliği yerine yazılırsa,

5h_2 - h_2 = 8 \Rightarrow 4h_2 = 8 \Rightarrow h_2 = 2\text{ cm}

olur.

3

Yamuğun toplam yüksekliğini bulalım.

h = 12\text{ cm}

Yamuğun toplam yüksekliği, iki alt yamuğun yüksekliklerinin toplamına eşittir:

h = h_1 + h_2 = 10 + 2 = 12\text{ cm}

.

4

Hesaplanan toplam yükseklik ve taban uzunlukları ile

ABCD

yamuğunun alanını bulalım.

\text{Alan} = 60\text{ cm}^2

Yamuğun alan formülü

\text{Alan} = \frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \cdot h

şeklindedir. Değerleri yerine koyduğumuzda

\text{Alan} = \frac{8 + 2}{2} \cdot 12 = 5 \cdot 12 = 60\text{ cm}^2

bulunur.

Key Concept

Yamukta tabanlara paralel çizilen bir doğrunun yüksekliği bölme oranı ve yamukta alan formülü.

Question 53Question →

6'şar 6'şar artan ardışık pozitif tam sayılardan oluşan bir sayı dizisinin ilk terimi 10, son terimi ise $x$ 'tir. Bu dizinin terim sayısı $\frac{x}{8} + 3$ olduğuna göre, bu dizideki tüm sayıların toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 686

Answer

Dizideki tüm sayıların toplamı 686'dır.

Ardışık sayılarda terim sayısı formülü uygulandığında, ilk terimi 10, son terimi

x

ve artış miktarı 6 olan dizinin terim sayısı

\frac{x - 10}{6} + 1

olur. Bu ifadeyi paydaları eşitleyerek düzenlediğimizde

\frac{x - 4}{6}

elde ederiz. Soruda verilen terim sayısı ifadesi olan

\frac{x}{8} + 3

(yani

\frac{x + 24}{8}

) ile bu ifadeyi birbirine eşitlediğimizde

8(x - 4) = 6(x + 24)

denklemini elde ederiz. Sadeleştirmeler yapıldığında

4x - 16 = 3x + 72 \Rightarrow x = 88

bulunur. Buradan terim sayısı

14

olarak hesaplanır. Dizideki sayıların toplamı ise terim sayısı ile ortalama terimin çarpımı olan

14 \times \frac{10 + 88}{2} = 686

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Terim sayısı formülünü yazarak dizinin terim sayısını

x

cinsinden ifade edelim.

Terim Sayısı =

\frac{x - 10}{6} + 1 = \frac{x - 4}{6}

Ardışık sayılarda terim sayısı formülü:

\text{Terim Sayısı} = \frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1

şeklindedir.

2

Elde ettiğimiz terim sayısı ifadesini soruda verilen

\frac{x}{8} + 3

ifadesine eşitleyip

x

bilinmeyenini çözelim.

x = 88

\frac{x - 4}{6} = \frac{x + 24}{8} \Rightarrow 8(x - 4) = 6(x + 24) \Rightarrow 4(x - 4) = 3(x + 24) \Rightarrow 4x - 16 = 3x + 72 \Rightarrow x = 88

elde edilir.

3

x = 88

değerini kullanarak dizinin terim sayısını hesaplayalım.

Terim Sayısı = 14

\text{Terim Sayısı} = \frac{88}{8} + 3 = 11 + 3 = 14

veya

\frac{88 - 10}{6} + 1 = 14

bulunur.

4

Terim sayısı, ilk terim ve son terimi kullanarak dizideki sayıların toplamını bulalım.

Toplam = 686

Ardışık sayıların toplamı formülü:

\text{Toplam} = \text{Terim Sayısı} \times \frac{\text{İlk Terim} + \text{Son Terim}}{2} = 14 \times \frac{10 + 88}{2} = 14 \times 49 = 686

olur.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve terimler toplamı formüllerinin cebirsel denklemlerle ilişkilendirilmesi.

Estimated Time:1m 30s

Question 54Question →

Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı, üç basamaklı bir

ABC

doğal sayısı ile iki basamaklı

AB

,

BC

ve

CA

doğal sayıları için

ABC = 4 \cdot (AB + BC + CA) - 5

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan $ABC$ doğal sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 875

Answer

Bu koşulu sağlayan

ABC

doğal sayısı 875'tir.

Verilen denklem çözümlenip sadeleştirildiğinde

56A + 5 = 34B + 43C

eşitliğine ulaşılır. Rakamların sıfırdan farklı ve birbirinden farklı olması kısıtlaması altında bu denklemi sağlayan tek değer kümesi

A=8, B=7, C=5

şeklindedir. Bu rakamlarla oluşturulan üç basamaklı sayı 875'tir.

Step-by-Step Solution

1

Sayıları basamak değerlerine göre çözümleme

ABC = 100A + 10B + C

,

AB = 10A + B

,

BC = 10B + C

,

CA = 10C + A

Denklemdeki basamak yapısını matematiksel olarak ifade etmek için

2

��özümlenmiş ifadeleri denklemde yerine koyarak sadeleştirme

56A + 5 = 34B + 43C

Bilinmeyenler arasındaki ilişkiyi daha basit bir formda incelemek için

3

Rakamların alabileceği değer sınırlarını (1-9 arası ve birbirinden farklı) kullanarak denklemi çözme

A = 8

,

B = 7

,

C = 5

Sıfırdan farklı ve birbirinden farklı rakamlar kısıtına uyan tam sayı çözümlerini bulmak için

4

Bulunan rakamları birleştirerek

ABC

sayısını oluşturma

ABC = 875

İstenen üç basamaklı sayıyı elde etmek için

Key Concept

Basamak çözümlemesi ve rakam kısıtları altında Diophantine (tam sayı) denklemlerinin çözümü

Question 55Question →

Bir mağaza, tanesini $200\text{ TL}$ 'ye mal ettiği bir sırt çantasını $\%40$ kârla etiketlemiştir. Bu sırt çantası etiket fiyatı üzerinden $\%10$ indirimle satıldığına göre, mağazanın bu çantanın satışından elde ettiği kâr yüzdesi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 26

Answer

Sırt çantasının satışından elde edilen son kâr yüzdesi %26'dır.

Sırt çantasının maliyeti

200\text{ TL}

'dir.

\%40

kârlı etiket fiyatı

200 \times 1{}4 = 280\text{ TL}

olur. Bu etiket fiyatı üzerinden yapılan

\%10

indirim

28\text{ TL}

'ye karşılık gelir ve indirimli satış fiyatı

280 - 28 = 252\text{ TL}

olarak bulunur. Mağazanın elde ettiği kâr

252 - 200 = 52\text{ TL}

'dir. Kâr yüzdesi ise maliyete göre hesaplandığından

\frac{52}{200} = \%26

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Sırt çantasının etiket fiyatını hesaplamak.

280\text{ TL}

Maliyet fiyatına

\%40

kâr eklenerek başlangıçtaki etiket fiyatı belirlenir.

2

Uygulanan indirim miktarını hesaplamak.

28\text{ TL}

İndirim etiket fiyatı üzerinden yapılacağı için

280\text{ TL}

'nin

\%10

'u hesaplanır.

3

İndirimli satış fiyatını bulmak.

252\text{ TL}

Etiket fiyatından indirim miktarı çıkarılarak nihai satış fiyatı elde edilir.

4

Maliyet üzerinden kâr yüzdesini hesaplamak.

26

Satış fiyatı (

252\text{ TL}

) ile maliyet (

200\text{ TL}

) arasındaki fark olan

52\text{ TL}

kâr, maliyet fiyatına oranlanarak yüzdeye dönüştürülür.

Key Concept

Ardışık kâr ve indirim uygulamalarında toplam kâr veya zararı maliyet fiyatı üzerinden yüzde olarak hesaplama.

Question 56Question →

Bir toptancı, bir ürünü perakendeciye $\%20$ kârla satmaktadır. Perakendeci ise bu ürünü toptancıdan aldığı fiyat üzerinden $\%50$ zamla etiketleyip etiket fiyatı üzerinden $\%10$ indirimle satmaktadır. Buna göre, perakendecinin nihai satış fiyatı üzerinden satılan bu üründen elde edilen toplam kâr, toptancının başlangıçtaki alış maliyetinin yüzde kaçıdır?

Show answer & explanation

Answer: 62

Answer

Elde edilen toplam kâr, başlangıçtaki maliyetin

\%62

'sidir.

Başlangıç maliyeti

100x

olan bir ürünün ardışık kâr, zam ve indirim işlemlerinden sonraki nihai satış fiyatı

162x

olarak bulunur. Elde edilen toplam kâr

162x - 100x = 62x

olur ve bu tutar başlangıç maliyetinin

\%62

'sine eşittir.

Step-by-Step Solution

1

Toptancının başlangıçtaki alış maliyetini değişken cinsinden belirleme

Alış maliyeti =

100x

Yüzde hesaplamalarını kolaylaştırmak için başlangıç maliyetine

100x

değeri verilir.

2

Toptancının perakendeciye satış fiyatını (perakendecinin maliyetini) hesaplama

Perakendecinin maliyeti =

120x

Toptancı

\%20

kârla sattığı için maliyet

1,20

ile çarpılır.

3

Perakendecinin belirlediği etiket fiyatını bulma

Etiket fiyatı =

180x

Perakendeci kendi maliyeti üzerinden

\%50

zam yaptığı için

120x \times 1,50 = 180x

olur.

4

Nihai satış fiyatını hesaplama

Nihai satış fiyatı =

162x

Etiket fiyatı üzerinden

\%10

indirim uygulandığı için

180x \times 0,90 = 162x

elde edilir.

5

Toplam kârı ve bunun başlangıç maliyetine oranını hesaplama

Toplam kâr =

62x

, kâr oranı =

\%62

Toplam kâr, nihai satış fiyatından başlangıç maliyetinin çıkarılmasıyla bulunur (

162x - 100x = 62x

) ve bu değer başlangıç maliyeti olan

100x

üzerinden

\%62

'ye eşittir.

Key Concept

Ardışık yüzde ve kâr-zarar hesaplamaları

Question 57Question →

Taban kenar uzunluğu $6\sqrt{3}\text{ cm}$ olan düzgün üçgen dik piramidin yanal yüz yüksekliği $5\text{ cm}$ 'dir. Buna göre, bu piramidin hacmi kaç $\sqrt{3}\text{ cm}^3$ tür?

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Doğru cevap 36'dır.

Taban kenarı

6\sqrt{3}\text{ cm}

olan eşkenar üçgenin yüksekliği

9\text{ cm}

'dir. Ağırlık merkezinin kenara uzaklığı bu yüksekliğin üçte biri olup

3\text{ cm}

'dir. Yanal yüz yüksekliği

5\text{ cm}

ve ağırlık merkezinin kenara uzaklığı

3\text{ cm}

olan dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulandığında piramidin yüksekliği

4\text{ cm}

bulunur. Taban alanı

27\sqrt{3}\text{ cm}^2

olan piramidin hacmi

V = \frac{1}{3} \times 27\sqrt{3} \times 4 = 36\sqrt{3}\text{ cm}^3

olarak elde edilir. Hacmin

\sqrt{3}

'e oranı

36

'dır.

Step-by-Step Solution

1

Tabanı oluşturan eşkenar üçgenin yüksekliğini hesaplamak

Taban yüksekliği

9\text{ cm}

olarak bulunur.

Ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığını bulabilmek için önce tabanın kendi yüksekliğini bulmamız gerekir.

2

Ağırlık merkezinin kenara olan dik uzaklığını bulmak

Ağırlık merkezinin bir kenara uzaklığı

3\text{ cm}

olarak bulunur.

Eşkenar üçgende ağırlık merkezi yüksekliği kenardan 1 birim, köşeden 2 birim uzakl��kta olacak şekilde

1:2

oranında böler.

3

Piramidin cisim yüksekliğini hesaplamak

Cisim yüksekliği

4\text{ cm}

olarak bulunur.

Cisim yüksekliği, ağırlık merkezinin kenara uzaklığı ve yanal yüz yüksekliği arasında oluşan dik üçgende Pisagor teoremi uygulanır.

4

Taban alanını hesaplamak

Taban alanı

27\sqrt{3}\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Eşkenar üçgenin alan formülü

\frac{a^2\sqrt{3}}{4}

uygulanır.

5

Piramidin hacmini hesaplamak

Piramidin hacmi

36\sqrt{3}\text{ cm}^3

olarak bulunur.

Piramit hacim formülü olan

V = \frac{1}{3} \times \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik}

kullanılır.

Key Concept

Düzgün piramitlerin hacmi ve yükseklik bağıntıları

Question 58Question →

Bir kırtasiyeci, tanesini $10\text{ TL}$ 'den satın aldığı kalemleri $\%60$ kârla fiyatlandırarak etiketlemiştir. Bu kırtasiyeci, düzenlediği bir kampanya kapsamında müşterilerine '3 kalem alana 4. kalem bedava' fırsatı sunmaktad��r. Bu kampanyadan yararlanarak 4 adet kalem alan bir müşterinin yaptığı bu alışverişten kırtasiyecinin elde ettiği kâr oranı yüzde kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Kırtasiyecinin bu satıştan elde ettiği kâr oranı %20'dir.

Kırtasiyeci müşteriye 4 kalem vermiş olup bu kalemlerin toplam maliyeti

40\text{ TL}

'dir. Müşteri ise 3 kalemin fiyatını ödemiştir, yani toplam gelir

48\text{ TL}

'dir. Bu durumda kırtasiyeci

8\text{ TL}

kâr elde etmiştir.

8\text{ TL}

kârın

40\text{ TL}

maliyete oranı

\frac{8}{40} = \%20

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Bir adet kalemin etiket fiyatını hesaplama

Etiket fiyatı =

10 \times 1{}60 = 16\text{ TL}

Kalemlerin etiket fiyatı maliyet üzerinden %60 kâr payı eklenerek belirlenmiştir.

2

Kampanyalı satıştan elde edilen toplam geliri (ciroyu) hesaplama

Toplam Gelir =

3 \times 16 = 48\text{ TL}

Müşteri 4 kalem alıp sadece 3 kalemin ücretini ödemektedir.

3

Satılan 4 kalemin toplam maliyetini hesaplama

Toplam Maliyet =

4 \times 10 = 40\text{ TL}

Hediye edilen kalem de dahil olmak üzere toplamda 4 kalem verilmiştir ve her birinin maliyeti 10 TL'dir.

4

Kâr oranını yüzde olarak hesaplama

Kâr Oranı =

\frac{48 - 40}{40} \times 100 = \%20

Elde edilen net kâr tutarının toplam maliyete oranı kâr yüzdesini verir.

Key Concept

Kampanyalı ve hediyeli satışlarda toplam maliyet ve toplam gelir üzerinden net kâr yüzdesi hesaplama

Question 59Question →

Bir dışbükey $ABCD$ dörtgeninde, $A$ ve $C$ köşelerine ait iç açıortayların kesişmesiyle oluşan dar açının ölçüsü $18^\circ$ dir. $B$ köşesindeki iç açının ölçüsü $112^\circ$ olduğuna göre, $D$ köşesindeki iç açının ölçüsünün alabileceği en küçük değer derece cinsinden kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 76

Answer

D köşesindeki iç açının alabileceği en küçük değer

76^\circ

dir.

Karşı köşelerin iç açıortayları arasındaki dar açı formülü olan

\theta = \frac{|m(\widehat{B}) - m(\widehat{D})|}{2}

bağıntısı kullanıldığında,

|112^\circ - m(\widehat{D})| = 36^\circ

eşitliğine ulaşılır. Buradan

m(\widehat{D})

açısı

76^\circ

veya

148^\circ

değerlerini alabilir. Soruda bu açının alabileceği en küçük değer sorulduğundan doğru cevap

76^\circ

olur.

Step-by-Step Solution

1

Açıortaylar arasındaki dar açı form��lünü yazma

Bir dışbükey dörtgende karşı iki köşenin iç açıortayları arasındaki dar açının ölçüsü

\theta = \frac{|m(\widehat{B}) - m(\widehat{D})|}{2}

bağıntısı ile bulunur.

Soruda verilen açıortaylar arası açı ilişkisini kullanarak

D

açıs��na ulaşmak.

2

Verilen değerleri formülde yerine yazarak denklem elde etme

18^\circ = \frac{|112^\circ - m(\widehat{D})|}{2} \Rightarrow |112^\circ - m(\widehat{D})| = 36^\circ

denklemi elde edilir.

D

aç��sının alabileceği değerlerin sınırlarını belirlemek.

3

Mutlak değerli denklemi çözerek olası açı değerlerini hesaplama

Denklemin çözümü iki farklı durum üretir:
- Birinci durum:

112^\circ - m(\widehat{D}) = 36^\circ \Rightarrow m(\widehat{D}) = 76^\circ

- İkinci durum:

m(\widehat{D}) - 112^\circ = 36^\circ \Rightarrow m(\widehat{D}) = 148^\circ

Bu iki değerden en küçük olanı

76^\circ

olarak bulunur.

D

açısının alabileceği en küçük değeri seçmek.

Key Concept

Bir dışbükey dörtgende karşı iki köşenin iç açıortayları arasında kalan dar açının ölçüsü, diğer iki köşenin iç açılarının farkının mutlak değerinin yarısına eşittir.

Question 60Question →

Gerçel sayılar kümesinde

\Delta

ve

*

işlemleri,

a \Delta b = a \cdot b - 2(a + b)

a * b = 3a - b

biçiminde tanımlanmaktadır.

Buna göre,

(x * 1) \Delta 4 = 8

eşitliğini sağlayan

x

değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Eşitliği sağlayan

x

değeri 3'tür.

Tanımlanan işlemler sırasıyla uygulandığında dıştaki işlemin sonucu

x * 1 = 8

olarak bulunur. Ardından içteki işlem tanımı uygulandığında

3x - 1 = 8

denklemi elde edilir ve buradan

x = 3

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

x * 1

ifadesine geçici olarak

A

değişkeni atanır ve

A \Delta 4 = 8

denklemi kurulur.

A \Delta 4 = A \cdot 4 - 2(A + 4) = 8

Dıştaki işlemi çözerek içteki ifadenin değerine ulaşmak.

2

Elde edilen denklem düzenlenerek

A

değeri yalnız bırakılır.

2A - 8 = 8 \implies 2A = 16 \implies A = 8

Bilinmeyen

A

değerini hesaplamak.

3

A = x * 1

eşitliğinde

A

yerine 8 yazılarak

x

değişkenine bağlı denklem elde edilir ve çözülür.

3x - 1 = 8 \implies 3x = 9 \implies x = 3

*

işleminin tanımını uygulayıp hedef bilinmeyen olan

x

değerini bulmak.

Key Concept

Özel tanımlı işlem sembollerini cebirsel ifadelere dönüştürerek adım adım denklem çözme.

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept