Problemler

270 questions

Question 161Question

Bir çiçekçi elindeki gülleri her vazoda 33 veya 44 gül olacak şekilde vazolara yerleştiriyor. 33 gül yerleştirdiği vazo sayısı, 44 gül yerleştirdiği vazo sayısının 22 katından 55 eksiktir.

Çiçekçi bu gülleri her vazoda 55 gül olacak şekilde yerleştirseydi toplam vazo sayısı 66 azalacaktı.

Buna göre, çiçekçinin elindeki toplam gül sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6565

Answer

Çiçekçinin elindeki toplam gül sayısı 6565'tir.
Kurulan 10x15=15x5510x - 15 = 15x - 55 denklemi çözüldüğünde x=8x = 8 bulunur. Buradan toplam gül sayısı 10815=6510 \cdot 8 - 15 = 65 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenleri tanımlama
44 gül yerleştirilen vazo sayısına xx dersek, 33 gül yerleştirilen vazo sayısı 2x52x - 5 olur.
Problemdeki '3 gül yerleştirilen vazo sayısı, 4 gül yerleştirilen vazo sayısının 2 katından 5 eksiktir' ifadesini matematiksel olarak modellemek için.
2
İlk durumdaki toplam vazo ve gül sayılarını ifade etme
Toplam vazo sayısı: x+(2x5)=3x5x + (2x - 5) = 3x - 5. Toplam gül sayısı: 4x+3(2x5)=10x154 \cdot x + 3 \cdot (2x - 5) = 10x - 15 olur.
Güllerin vazolara dağılımından yola çıkarak toplam gül sayısını veren cebirsel ifadeyi bulmak için.
3
İkinci durumdaki toplam gül sayısını ifade etme
İkinci durumda vazo sayısı 66 azaldığından yeni vazo sayısı: (3x5)6=3x11(3x - 5) - 6 = 3x - 11 olur. Her vazoda 55 gül olduğuna göre toplam gül sayısı: 5(3x11)=15x555 \cdot (3x - 11) = 15x - 55 olur.
Güllerin her vazoda 5 adet olması durumundaki toplam sayıyı veren yeni ifadeyi oluşturmak için.
4
Denklemleri eşitleme ve çözme
10x15=15x555x=40x=810x - 15 = 15x - 55 \Rightarrow 5x = 40 \Rightarrow x = 8 bulunur.
Toplam gül sayısı her iki durumda da aynı olduğundan bu iki ifadeyi birbirine eşitleyerek vazo sayısını bulmak için.
5
Toplam gül sayısını hesaplama
Gül sayısı: 10815=6510 \cdot 8 - 15 = 65 bulunur.
Bulunan xx değerini gül sayısı formülünde yerine koyup toplam adedi hesaplamak için.

Key Concept

Sayı Problemleri

Alternative Method

Seçeneklerdeki sayılar üzerinden giderek deneme yanılma yöntemiyle de doğru cevaba ulaşılabilir. Örneğin toplam gül sayısı 6565 ise; her vazoda 55 gül olması durumunda 1313 vazo gerekir. Diğer durumda ise vazo sayısı 13+6=1913 + 6 = 19 olmalıdır. 44 gül içeren vazo sayısına xx dersek, 33 gül içeren vazo sayısı 19x19 - x olur. Toplam gül sayısı 4x+3(19x)=x+57=654x + 3(19 - x) = x + 57 = 65 buradan x=8x = 8 bulunur. 33 gül içeren vazo sayısı 198=1119 - 8 = 11 olur. Bu değerler '11=2(8)511 = 2(8) - 5' koşulunu sağladığı için cevap doğrulanmış olur.
Estimated Time:1m 30s
Question 162Question

Bir lojistik firmasında çalışan Ahmet, ağırlıkları 15 kg15\text{ kg} ve 25 kg25\text{ kg} olan paketlerden toplam 4040 adetini bir kargo aracına yükleyecektir. Ahmet, bu yükleme sonucunda aracın taşıma kapasitesi olan 820 kg820\text{ kg} ağırlığa tam olarak ulaşılacağını hesaplamıştır.

Ancak yükleme sırasında Ahmet;
* Yanlışlıkla 15 kg15\text{ kg}'lık bazı paketlerin yerine 25 kg25\text{ kg}'lık paketler,
* 25 kg25\text{ kg}'lık bazı paketlerin yerine de 15 kg15\text{ kg}'lık paketler yüklemiştir.

Yükleme bittiğinde toplam paket sayısının yine 4040 olduğu, fakat aracın toplam yükünün 860 kg860\text{ kg} geldiği görülmüştür.

Yanlışlıkla 15 kg15\text{ kg}'lık paket yerine yüklenen 25 kg25\text{ kg}'lık paket sayısı, 25 kg25\text{ kg}'lık paket yerine yüklenen 15 kg15\text{ kg}'lık paket sayısının 33 katı olduğuna göre; son durumda araçta toplam kaç adet 15 kg15\text{ kg}'lık paket vardır?

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

Son durumda araçta toplam 14 adet 15 kg'lık paket vardır.
Planlanan paket sayıları denklem sistemi çözülerek 15 kg15\text{ kg}'lık paketler için 1818, 25 kg25\text{ kg}'lık paketler için 2222 olarak bulunur. Yüklemedeki hatalardan kaynaklanan net ağırlık artışı 860820=40 kg860 - 820 = 40\text{ kg}'dır. Yanlışlıkla 15 kg15\text{ kg} yerine 25 kg25\text{ kg} yüklenen paket sayısı aa, 25 kg25\text{ kg} yerine 15 kg15\text{ kg} yüklenen paket sayısı bb olduğunda 10a10b=40    ab=410a - 10b = 40 \implies a - b = 4 elde edilir. a=3ba = 3b olduğu bilindiğine göre b=2b = 2 ve a=6a = 6 bulunur. Son durumdaki 15 kg15\text{ kg}'lık paket sayısı 18a+b=186+2=1418 - a + b = 18 - 6 + 2 = 14 olarak bulunur. Bu nedenle 14 değeri doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Planlanan paket sayıları için denklem sistemini kurun ve çözün.
Planlanan 15 kg15\text{ kg}'lık paket sayısı 1818, 25 kg25\text{ kg}'lık paket sayısı 2222 olarak bulunur.
Hatalı yükleme öncesindeki başlangıç durumunu belirlemek için.
2
Yüklemedeki hatalardan kaynaklanan ağırlık değişimini ve bu değişimin denklemini yazın.
860820=40 kg860 - 820 = 40\text{ kg} artış gerçekleşmiştir. Bu durum 10a10b=40    ab=410a - 10b = 40 \implies a - b = 4 denklemini verir.
15 kg15\text{ kg} yerine 25 kg25\text{ kg} yüklenen her paket ağırlığı 10 kg10\text{ kg} artırırken, 25 kg25\text{ kg} yerine 15 kg15\text{ kg} yüklenen her paket ağırlığı 10 kg10\text{ kg} azaltır.
3
Hatalı yüklenen paketlerin oranını kullanarak paket sayılarını bulun.
a=3ba = 3b eşitliği ab=4a - b = 4 denkleminde yerine yazıldığında b=2b = 2 ve a=6a = 6 elde edilir.
Hatalı yüklenen paketlerin adetlerini tek tek belirlemek için.
4
Son durumdaki 15 kg15\text{ kg}'lık paket sayısını hesaplayın.
186+2=1418 - 6 + 2 = 14 adet paket.
Başlangıçtaki pakete, eksilen ve eklenen paketlerin etkisini uygulayarak nihai sayıyı bulmak için.

Key Concept

Sayı problemlerinde denklem kurma ve bilinmeyenlerin değişimi üzerindeki etkileri analiz etme

Alternative Method

Denklemleri kurduktan sonra seçenekleri deneyerek de doğru cevaba ulaşılabilir. Örneğin, son durumda 15 kg'lık paket sayısının 14 olduğu seçenekten yola çıkılarak sırasıyla planlanan ve değişen paket sayıları doğrulanabilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 163Question

Bir tüccar, bir ürünü toptancıdan satın alırken ödediği birim maliyetin %20\%20 artması üzerine, bu ürünün satış fiyatına %15\%15 zam yapmıştır. Tüccarın zamdan sonraki kâr oranı, zamdan önceki kâr oranına göre 5 yüzde puan azalmıştır. Buna göre, tüccarın bu ürünün zamdan önceki satışından elde ettiği kâr oranı yüzde kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Zamdan önceki kâr oranı %20'dir.
Başlangıç maliyeti 100x100x ve kâr oranı %p\%p kabul edildiğinde, maliyet %20\%20 artarak 120x120x olur. Satış fiyatı ise %15\%15 zamlanarak 115x+1,15px115x + 1,15px olur. Yeni kâr oranı, yeni kâr miktarının (1,15px5x1,15px - 5x) yeni maliyete (120x120x) bölünmesiyle 1,15p51,2\frac{1,15p - 5}{1,2} olarak hesaplanır. Eski kâr oranı ile yeni kâr oranı arasındaki fark 5 yüzde puana eşitlendiğinde p1,15p51,2=5p - \frac{1,15p - 5}{1,2} = 5 denklemi kurulur. Bu denklem çözüldüğünde başlangıçtaki kâr oranı %20\%20 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Ürünün başlangıçtaki maliyetini ve kâr oranını değişkenlerle ifade etmek.
Maliyet 100x100x ve kâr oranı %p\%p olsun. Bu durumda başlangıçtaki satış fiyatı S1=100x+pxS_1 = 100x + px olur.
Değişimleri matematiksel olarak modellemek için temel bir başlangıç noktası belirlemek gerekir.
2
Maliyet artışı ve satış zammı sonrası yeni maliyet ve yeni satış fiyatını hesaplamak.
Yeni maliyet M2=120xM_2 = 120x ve yeni satış fiyatı S2=(100x+px)1,15=115x+1,15pxS_2 = (100x + px) \cdot 1,15 = 115x + 1,15px olur.
Zam sonrası kâr oranını bulabilmek için güncel maliyet ve satış fiyatı değerlerine ihtiyaç duyulur.
3
Yeni durumdaki kâr oranını veren ifadeyi yazmak.
Yeni kâr oranı S2M2M2100=1,15p51,2\frac{S_2 - M_2}{M_2} \cdot 100 = \frac{1,15p - 5}{1,2} olarak bulunur.
Kâr oranı, kâr miktarının maliyete bölünmesiyle elde edilen oransal değerdir.
4
Kâr oranları arasındaki farkı veren denklemi kurup çözmek.
p1,15p51,2=5p - \frac{1,15p - 5}{1,2} = 5 denklemi çözüldüğünde 1,2p1,15p+5=6    0,05p=1    p=201,2p - 1,15p + 5 = 6 \implies 0,05p = 1 \implies p = 20 elde edilir.
İki durum arasındaki kâr oranı farkının 5 yüzde puan olduğu bilgisi kullanılarak başlangıçtaki kâr oranı belirlenir.

Key Concept

Maliyet, kâr oranı ve satış fiyatı arasındaki ilişkilerin yüzde hesapları kullanılarak modellenmesi.

Hints

1
Başlangıç maliyetini 100x100x ve başlangıç kâr oranını %p\%p olarak seçerek işe başlayın.
2
Yeni maliyeti %20\%20 artırarak 120x120x yapın. Yeni satış fiyatını ise eski satış fiyatını (100x+px100x + px) %15\%15 artırarak bulun. Yeni kâr oranının bu iki değer arasındaki farkın yeni maliyete oranı olduğunu unutmayın.

Practice More

Benzer şekilde kâr oranının arttığı veya enflasyon oranına göre reel kârın hesaplandığı soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Maliyet ve satış fiyatı için somut değerler verilerek de çözüm denenebilir. Örneğin başlangıç maliyeti 100 TL kabul edilirse, kâr oranı %20 olduğunda satış fiyatı 120 TL olur. Maliyet %20 artışla 120 TL'ye, satış fiyatı %15 zamla 138 TL'ye yükselir. Bu durumda yeni kâr miktarı 18 TL olur ve yeni kâr oranı 18/120 = %15 bulunur. Kâr oranı %20'den %15'e düşerek tam 5 yüzde puan azalmış olur. Bu da %20 değerinin doğru olduğunu doğrular.
Estimated Time:2m 30s
Question 164Question

Bir tüccar, maliyeti 100 TL100\text{ TL} olan bir ürünü başlangıçta %60\%60 kârla satmaktadır. Enflasyon nedeniyle ürünün maliyeti %20\%20 artmıştır. Tüccar, bu maliyet artışını karşılamak amacıyla başlangıçtaki satış fiyatına %25\%25 zam yapmış; ancak satışların azalması üzerine zamlı fiyat üzerinden %10\%10 indirim uygulamıştır. Buna göre, tüccarın son durumdaki kârı, ürünün ilk maliyeti üzerinden yüzde kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

60
Ürünün başlangıçtaki maliyeti 100 TL100\text{ TL}'dir. %60\%60 kârla satış fiyatı 160 TL160\text{ TL} olur. Maliyetin %20\%20 artmasıyla yeni maliyet 120 TL120\text{ TL}'ye yükselir. Satış fiyatına yapılan %25\%25 zamla yeni satış fiyatı 200 TL200\text{ TL} (160×1,25160 \times 1,25) olur. Bu fiyat üzerinden uygulanan %10\%10 indirimle son satış fiyatı 180 TL180\text{ TL} (200×0,90200 \times 0,90) olarak belirlenir. Son durumdaki net kâr 180120=60 TL180 - 120 = 60\text{ TL}'dir. Bu kâr miktarının ürünün ilk maliyeti olan 100 TL100\text{ TL}'ye oranı ise %60\%60 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İlk satış fiyatını belirleme
Ürünün başlangıçtaki maliyeti 100 TL100\text{ TL} ve ilk kâr oranı %60\%60 olduğundan, ilk satış fiyatı 100+100×0,60=160 TL100 + 100 \times 0,60 = 160\text{ TL} olur.
Soruda verilen zam ve indirimlerin uygulanacağı başlangıç fiyatını bulmak için.
2
Enflasyon sonrası yeni maliyeti hesaplama
Maliyet %20\%20 arttığı için yeni maliyet 100+100×0,20=120 TL100 + 100 \times 0,20 = 120\text{ TL} olur.
Son durumdaki kârı bulabilmek için güncel maliyet değerine ihtiya�� vardır.
3
Zamlı satış fiyatını hesaplama
İlk satış fiyatı olan 160 TL160\text{ TL}'ye %25\%25 zam yapıldığında yeni satış fiyatı 160+160×0,25=200 TL160 + 160 \times 0,25 = 200\text{ TL} olur.
Maliyet artışı sonrası yapılan zammın yeni satış fiyatına etkisini bulmak için.
4
İndirim sonrası son satış fiyatını hesaplama
Zamlı fiyat olan 200 TL200\text{ TL} üzerinden %10\%10 indirim yapıldığında son satış fiyatı 200200×0,10=180 TL200 - 200 \times 0,10 = 180\text{ TL} olur.
Satışların düşmesi sonucu uygulanan indirimin nihai satış fiyatını nasıl etkilediğini belirlemek için.
5
Son kâr miktarını ve ilk maliyete göre yüzdesini hesaplama
Son durumdaki kâr miktarı: 180120=60 TL180 - 120 = 60\text{ TL}'dir. Bu kâr miktarının ürünün ilk maliyeti olan 100 TL100\text{ TL}'ye oranı 60100=%60\frac{60}{100} = \%60 olarak bulunur.
Soru kökünde istenen nihai kâr oranını ilk maliyet referansıyla bulmak için.

Key Concept

Ardışık yüzde değişimi içeren kar ve zarar hesaplamalarında güncel maliyet ve güncel satış fiyatları üzerinden adım adım işlem yapılması ve nihai kar oranının istenen referans değerine (ilk maliyet) göre hesaplanması.
Estimated Time:2m 0s
Question 165Question

Bir yazılım şirketinde çalışan 120120 personelin %45\%45'i kadındır. Buna göre, bu şirkette çalışan erkek personel sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6666

Answer

Erkek personel sayısı 66'dır.
Şirketteki kadın personel oranı %45\%45 olduğuna göre, erkek personel oranı %100%45=%55\%100 - \%45 = \%55 olur. Toplam 120120 personelin %55\%55'i hesaplandığında 120×55100=66120 \times \frac{55}{100} = 66 erkek personel olduğu bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Erkek personelin tüm personele olan yüzde oranını belirleyin.
Erkek personel oranı %100%45=%55\%100 - \%45 = \%55 olur.
Şirketteki çalışanların tamamı %100\%100 olup, geriye kalanlar erkek personeldir.
2
Toplam personel sayısının %55\%55'ini hesaplayın.
120×55100=66120 \times \frac{55}{100} = 66 erkek personel vardır.
Erkek personel sayısını bulmak için toplam personel sayısı olan 120120 ile erkeklerin oranı olan %55\%55 çarpılır.

Key Concept

Yüzde Miktarı Hesaplama

Alternative Method

Öncelikle kadın personel sayısı hesaplanır: 120×45100=54120 \times \frac{45}{100} = 54 kadın personel vardır. Toplam personel sayısından kadın personel sayısı çıkarılarak erkek personel sayısı bulunur: 12054=66120 - 54 = 66 erkek personel bulunur.
Estimated Time:45s
Question 166Question

Bir antrenör ile yaşları farklı iki sporcunun bugünkü yaşları hakkında aşağıdakiler bilinmektedir:

* İki sporcunun bugünkü yaşları farkı 44'tür.
* Antrenörün bugünkü yaşı, küçük sporcunun bugünkü yaşının 33 katına eşittir.
* 66 yıl sonra antrenörün yaşı, iki sporcunun yaşları toplamının 22 katından 3838 eksik olacaktır.

Buna göre, büyük sporcunun bugünkü yaşı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

Büyük sporcunun bugünkü yaşı 16'dır.
Küçük sporcunun yaşı xx seçilirse büyük sporcu x+4x + 4 ve antrenör 3x3x yaşında olur. 66 yıl sonraki yaşlar sırasıyla x+6x + 6, x+10x + 10 ve 3x+63x + 6 olur. Bu durumda sporcuların yaşları toplamı 2x+162x + 16 olur. Antrenörün yaşı ile bu toplam arasındaki ilişkiyi kuran 3x+6=2(2x+16)383x + 6 = 2(2x + 16) - 38 denklemi çözüldüğünde x=12x = 12 bulunur. Buradan büyük sporcunun bugünkü yaşı 12+4=1612 + 4 = 16 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenleri tanımlama ve bugünkü yaşları ifade etme
Küçük sporcunun bugünkü yaşı xx olsun. Bu durumda büyük sporcunun yaşı x+4x + 4 ve antrenörün yaşı 3x3x olur.
Soruda verilen bugünkü yaş ilişkilerini matematiksel olarak modellemek için.
2
66 yıl sonraki yaşları ve sporcuların yaşları toplamını belirleme
66 yıl sonra; antrenörün yaşı 3x+63x + 6, küçük sporcunun yaşı x+6x + 6, büyük sporcunun yaşı x+10x + 10 olur. Sporcuların yaşları toplamı ise (x+6)+(x+10)=2x+16(x + 6) + (x + 10) = 2x + 16 bulunur.
66 yıl sonraki durum üzerinden denklem kurabilmek için her bir kişinin yaşını 66 artırarak yeni toplamı bulmak gerekir.
3
Verilen bağıntıya göre denklem kurma ve küçük sporcunun yaşını bulma
3x+6=2(2x+16)38    3x+6=4x+3238    3x+6=4x6    x=123x + 6 = 2(2x + 16) - 38 \implies 3x + 6 = 4x + 32 - 38 \implies 3x + 6 = 4x - 6 \implies x = 12 bulunur.
Antrenörün gelecekteki yaşının sporcuların yaşları toplamı ile olan ilişkisini kullanarak bilinmeyen xx değerini bulmak için.
4
Büyük sporcunun bugünkü yaşını hesaplama
Büyük sporcunun bugünkü yaşı x+4=12+4=16x + 4 = 12 + 4 = 16 olarak elde edilir.
Bizden istenen büyük sporcunun bugünkü yaş değerini hesaplamak için.

Key Concept

Yaş problemlerinde zaman geçtikçe gruptaki her bir bireyin yaşının aynı miktarda artması ve yaş farkının hiçbir zaman değişmemesi kuralı.
Estimated Time:1m 30s
Question 167Question

Bir teknoloji şirketi, sunucularının aylık elektrik tüketim bütçesinin 25\frac{2}{5}'sini yapay zekâ modellerinin eğitimi için harcamaktadır. Kalan bütçenin 13\frac{1}{3}'ünü veri tabanı yönetim sistemleri, geriye kalan bütçenin de 38\frac{3}{8}'ünü ise soğutma sistemleri için ayırmaktadır. Soğutma sistemleri için ayrılan aylık bütçe, veri tabanı yönetim sistemleri için ayrılan aylık bütçeden 60.00060.000 TL daha az olduğuna göre, bu şirketin sunucularının aylık toplam elektrik tüketim bütçesi kaç TL'dir?

Show answer & explanation

Answer: 1.200.000

Answer

1.200.000
Veri tabanı bütçesi toplam bütçenin 15\frac{1}{5}'ine, soğutma bütçesi ise toplam bütçenin 320\frac{3}{20}'sine eşittir. İki bütçe arasındaki fark toplam bütçenin 120\frac{1}{20}'si olup bu miktar 60.00060.000 TL'ye eşitlendiğinde toplam bütçe 1.200.0001.200.000 TL olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Toplam bütçeyi temsil edecek uygun bir değişken seçilir. Kolaylık sağlamak amacıyla toplam bütçeye xx diyelim.
Toplam bütçe = xx
Bütçe harcamalarını ve kalan miktarları cebirsel olarak ifade edebilmek için.
2
Yapay zekâ eğitimi için ayrılan bütçe ve ardından geriye kalan birinci bütçe hesaplanır. Eğitim bütçesi 25x\frac{2}{5}x olduğundan, kalan bütçe: x25x=35xx - \frac{2}{5}x = \frac{3}{5}x olur.
Birinci kalan bütçe = 35x\frac{3}{5}x
Sonraki harcama adımı kalan bütçe üzerinden yapılacağı için.
3
Veri tabanı yönetim sistemleri için ayrılan bütçe hesaplanır. Kalan bütçenin 13\frac{1}{3}'ü bu işe ayrıldığı için, veri tabanı bütçesi: 35x×13=15x\frac{3}{5}x \times \frac{1}{3} = \frac{1}{5}x olur.
Veri tabanı bütçesi = 15x\frac{1}{5}x
Veri tabanı bütçesinin toplam bütçe cinsinden payını bulmak.
4
Veri tabanı bütçesi düşüldükten sonra geriye kalan ikinci bütçe hesaplanır: 35x15x=25x\frac{3}{5}x - \frac{1}{5}x = \frac{2}{5}x bulunur.
İkinci kalan bütçe = 25x\frac{2}{5}x
Soğutma sistemleri harcaması bu kalan miktar üzerinden yapılacağı için.
5
Soğutma sistemleri için ayrılan bütçe hesaplanır. İkinci kalan bütçenin 38\frac{3}{8}'i soğutma sistemlerine ayrıldığı için, soğutma bütçesi: 25x×38=640x=320x\frac{2}{5}x \times \frac{3}{8} = \frac{6}{40}x = \frac{3}{20}x olur.
Soğutma bütçesi = 320x\frac{3}{20}x
Soğutma bütçesinin toplam bütçe cinsinden payını bulmak.
6
Veri tabanı bütçesi ile soğutma bütçesi arasındaki fark 60.00060.000 TL olarak verildiğinden ilgili denklem kurulur ve çözülür: 15x320x=60.000    420x320x=60.000    120x=60.000    x=1.200.000\frac{1}{5}x - \frac{3}{20}x = 60.000 \implies \frac{4}{20}x - \frac{3}{20}x = 60.000 \implies \frac{1}{20}x = 60.000 \implies x = 1.200.000 TL bulunur.
x=1.200.000x = 1.200.000 TL
Verilen fark miktarını kullanarak toplam bütçeyi elde etmek.

Key Concept

Kesir problemlerinde ardışık azaltma işlemlerini kalan miktarları doğru güncelleyerek sırasıyla uygulamak.

Alternative Method

Kesirli işlemlerle uğraşmamak için paydaların (55, 33, 88) en küçük ortak katı olan 4040 referans alınarak toplam bütçeye 40k40k denilebilir. Bu durumda; yapay zekâ eğitimi için 40k×25=16k40k \times \frac{2}{5} = 16k harcanır, geriye 24k24k kalır. Veri tabanı için 24k×13=8k24k \times \frac{1}{3} = 8k ayrılır, geriye 16k16k kalır. Soğutma sistemleri için 16k×38=6k16k \times \frac{3}{8} = 6k ayrılır. Veri tabanı bütçesi (8k8k) ile soğutma bütçesi (6k6k) arasındaki fark 2k=60.0002k = 60.000 TL ise k=30.000k = 30.000 TL olur. Toplam bütçe 40k=40×30.000=1.200.00040k = 40 \times 30.000 = 1.200.000 TL olarak tam sayılarla kolayca hesaplanır.
Estimated Time:1m 30s
Question 168Question

Bir şirkette çalışanların katıldığı ve 3 sorudan oluşan bir memnuniyet anketine dair aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Her bir katılımcı en az bir soruya "Evet" cevabı vermiştir.
* Sadece bir soruya "Evet" diyenlerin sayısı, en az iki soruya "Evet" diyenlerin sayısının 33 katıdır.
* Üç soruya da "Evet" diyenlerin sayısı, sadece iki soruya "Evet" diyenlerin sayısından 1717 eksiktir.
* Ankette verilen toplam "Evet" cevabı sayısı 140140'tır.

Buna göre, bu ankete katılan toplam kişi sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 108

Answer

Ankete katılan toplam kişi sayısı 108'dir.
Doğru cevap olan 108 değeri, anket katılımcılarının verdikleri 'Evet' sayısına göre gruplandırılıp (sadece bir soruya, sadece iki soruya ve üç soruya da 'Evet' diyenler) sözel verilerin x=3(y+z)x = 3(y+z), yz=17y - z = 17 ve toplam cevap sayısının x+2y+3z=140x + 2y + 3z = 140 şeklinde modellenmesiyle elde edilir. Bu denklem sistemi çözüldüğünde sırasıyla z=5z=5, y=22y=22 ve x=81x=81 bulunur. Toplam katılımcı sayısı ise bu üç grubun toplamı olan 81+22+5=10881 + 22 + 5 = 108 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenleri tanımlayın.
Sadece 1 soruya 'Evet' diyenler xx, sadece 2 soruya 'Evet' diyenler yy, 3 soruya 'Evet' diyenler zz olsun. Toplam kişi sayısı T=x+y+zT = x + y + z olur.
Problemi matematiksel modele dökmek için grupları belirlememiz gerekir.
2
Verilen oran ve fark bilgilerini denklemlere dönüştürün.
x=3(y+z)x = 3(y + z) ve z=y17    y=z+17z = y - 17 \implies y = z + 17 elde edilir.
Sözel ifadeleri değişkenler cinsinden ifade etmek için bu adımı uyguluyoruz.
3
Toplam cevap sayısını veren denklemi kurun.
Her grubun verdiği 'Evet' sayısı dikkate alınarak x+2y+3z=140x + 2y + 3z = 140 denklemi yazılır.
Toplam 'Evet' cevabı sayısının 140 olduğu bilgisini kullanabilmek için.
4
Denklem sistemini çözün.
x=3(y+z)x = 3(y+z) ifadesini yerine yazarsak 3(y+z)+2y+3z=140    5y+6z=1403(y+z) + 2y + 3z = 140 \implies 5y + 6z = 140 olur. Burada da y=z+17y = z + 17 yazılırsa 5(z+17)+6z=140    11z+85=140    11z=55    z=55(z + 17) + 6z = 140 \implies 11z + 85 = 140 \implies 11z = 55 \implies z = 5 bulunur.
Bilinmeyenleri bulmak için ikame yöntemini kullanıyoruz.
5
Diğer değişkenleri hesaplayın.
z=5z = 5 ise y=5+17=22y = 5 + 17 = 22 ve x=3(22+5)=81x = 3(22 + 5) = 81 bulunur.
Toplam katılımcı sayısına ulaşmak için tüm grup mevcudiyetlerini hesaplamamız gerekir.
6
Toplam kişi sayısını bulun.
T=81+22+5=108T = 81 + 22 + 5 = 108 elde edilir.
Tüm grupların toplamı ankete katılan toplam kişi sayısını verir.

Key Concept

Sayı problemlerinde denklem kurma ve çok değişkenli denklem sistemlerinin çözümü
Question 169Question

Paralel raylarda birbirine doğru hareket eden iki trenden birinin boyu 120 metre120\text{ metre}, diğerinin boyu ise 180 metre180\text{ metre}'dir. Hızlı olan trenin hızı, yavaş olan trenin hızının 22 katıdır. Bu iki tren, karşılaşmaya başladıktan 10 saniye10\text{ saniye} sonra birbirini tamamen geçmektedir.

Buna göre, hızlı olan trenin hızı saniyede kaç metredir?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Hızlı olan trenin hızı saniyede 20 metredir.
Trenlerin birbirini tamamen geçebilmesi için katetmesi gereken toplam yol kendi boylarının toplamıdır (120+180=300 metre120 + 180 = 300\text{ metre}). Karşılaşma süresi 10 saniye10\text{ saniye} olduğuna göre trenlerin saniyedeki bağıl hızları toplamı 300/10=30 m/sn300 / 10 = 30\text{ m/sn} olmalıdır. Hızlı olan trenin hızı, yavaş olanın 22 katı olduğundan, yavaş olanın hızı 10 m/sn10\text{ m/sn} ve hızlı olanın hızı saniyede 20 metre20\text{ metre} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Trenlerin birbirini tamamen geçebilmesi için katetmesi gereken toplam mesafeyi belirleyin.
Toplam mesafe = 120+180=300 metre120 + 180 = 300\text{ metre}'dir.
İki trenin birbirini tamamen geçmesi, trenlerin arka uçlarının birbirini kurtarması anlamına gelir. Bu durumda alınması gereken yol trenlerin boyları toplamına eşittir.
2
Trenlerin birbirlerine doğru hareket ettiğini dikkate alarak saniyedeki toplam (bağıl) hızlarını hesaplayın.
Toplam bağıl hız = 300 m10 sn=30 m/sn\frac{300\text{ m}}{10\text{ sn}} = 30\text{ m/sn}'dir.
Zıt yönlü (birbirine doğru) hareket eden cisimlerin birbirine göre bağıl hızları, hızlarının toplamına eşittir (Vbag˘ıl=V1+V2V_{\text{bağıl}} = V_1 + V_2).
3
Hızlar arasındaki oranı kullanarak bir denklem kurun ve yavaş olan trenin hızını hesaplayın.
Yavaş trenin hızı V2=10 m/snV_2 = 10\text{ m/sn}'dir.
Hızlı trenin hızı yavaş trenin hızı cinsinden ifade edilirse; yavaş tren hızı VV ise hızlı tren hızı 2V2V olur. Toplam bağıl hız V+2V=3V=30 m/snV + 2V = 3V = 30\text{ m/sn} olduğundan V=10 m/snV = 10\text{ m/sn} bulunur.
4
Bulunan yavaş tren hızı yardımıyla hızlı trenin hızını hesaplayın.
Hızlı trenin hızı = 2×10=20 m/sn2 \times 10 = 20\text{ m/sn}'dir.
Hızlı olan trenin hızı, yavaş olan trenin hızının 22 katı olarak tanımlanmıştır.

Key Concept

Birbirine doğru hareket eden araçların bağıl hızı ve trenlerin birbirini geçme problemlerinde alınan yolun boyları toplamına eşit olması.
Question 170Question

Bir kargo firması, gönderilen paketleri boyutlarına göre küçük boy ve büyük boy olarak iki sınıfa ayırmaktadır. Bu firmada kargo gönderim ücretleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Küçük boy bir paketin gönderim ücreti 40 TL40\text{ TL}, büyük boy bir paketin gönderim ücreti ise 70 TL70\text{ TL}'dir.
* Belirli bir günde bu firmadan toplam 4545 adet paket gönderilmiş ve bu gönderilerden toplam 2400 TL2400\text{ TL} gelir elde edilmiştir.

Ancak faturalandırma sırasında yapılan bir hata nedeniyle küçük boy paketlerden bazılarının ücreti büyük boy paket ücreti üzerinden, büyük boy paketlerden bazılarının ücreti ise küçük boy paket ücreti üzerinden hesaplanmıştır.

Hatalı işlem yapılmasaydı da gün sonunda elde edilecek toplam gelirin yine 2400 TL2400\text{ TL} olacağı hesaplandığına göre, hatalı faturalandırılan toplam paket sayısı en çok kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

Hatalı faturalandırılan toplam paket sayısı en çok 40'tır.
Doğru cevap, hatalı faturalandırılan toplam paket sayısının en çok 40 olmasıdır. Küçük ve büyük boy paketlerin gerçek sayıları sırasıyla 25 ve 20 olarak hesaplandıktan sonra, hatalı faturalandırmanın toplam geliri etkilememesi için hata yapılan küçük boy paket sayısı ile büyük boy paket sayısının birbirine eşit olması gerektiği görülür (a=ba = b). Büyük boy paketlerin sayısı en fazla 20 adet olduğundan, hatalı faturalandırılan paket sayısı her grup için en fazla 20 olabilir. Bu durumda hatalı faturalandırılan toplam paket sayısı en çok 20 + 20 = 40 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Küçük boy paket sayısını xx, büyük boy paket sayısını yy olarak tanımlayıp toplam paket sayısı denklemini kurmak.
x+y=45x + y = 45
Gönderilen toplam paket sayısı 45 olarak verilmiştir.
2
Doğru fiyatlar üzerinden toplam geliri veren denklemi kurmak ve gerçek paket sayılarını çözmek.
40x+70y=2400    4x+7y=24040x + 70y = 2400 \implies 4x + 7y = 240 elde edilir. Birinci denklemden x=45yx = 45 - y ifadesi yerine yazılırsa: 4(45y)+7y=240    180+3y=240    3y=60    y=204(45 - y) + 7y = 240 \implies 180 + 3y = 240 \implies 3y = 60 \implies y = 20 ve x=25x = 25 bulunur.
Gerçekte gönderilen küçük ve büyük boy paket adetlerini belirlemek için.
3
Hatalı faturalandırma sonucunda oluşan gelir değişimini modellemek.
Küçük boy olup büyük boy ücreti alınan paket sayısı aa, büyük boy olup küçük boy ücreti alınan paket sayısı bb olsun. Küçük boy paketlerin büyük boy olarak faturalandırılması geliri paket başına 30 TL30\text{ TL} artırır. Büyük boy paketlerin küçük boy faturalandırılması ise geliri paket başına 30 TL30\text{ TL} azaltır. Toplam gelir değişmediği için: 30a30b=0    a=b30a - 30b = 0 \implies a = b bulunur.
Hata sonrasındaki gelirin yine 2400 TL olduğunu kullanarak hatalı paket sayıları arasındaki ilişkiyi bulmak için.
4
Paket sayıları sınırlarını kullanarak hatalı faturalandırılan toplam paket sayısının (a+ba + b) en büyük değerini hesaplamak.
ax    a25a \leq x \implies a \leq 25 ve by    b20b \leq y \implies b \leq 20 olmalıdır. a=ba = b olduğuna göre bu koşulları sağlayan en büyük değer a=b=20a = b = 20 olur. Hatalı faturalandırılan toplam paket sayısı en çok a+b=20+20=40a + b = 20 + 20 = 40 bulunur.
Fiziksel paket sayıları üst sınırlarını gözeterek en fazla hatalı işlem sayısını belirlemek için.

Key Concept

Sayı Problemleri (Denklem Kurma ve Sınır Değer Analizi)
Question 171Question

Bir kütüphanedeki kitaplar raflara dizilecektir. Kitaplar her rafa 1212 adet olacak şekilde yerleştirildiğinde 66 kitap raf dışında kalmaktadır. Eğer her rafa 1515 adet kitap yerleştirilirse 22 raf tamamen boş kalmakta, diğer raflar ise tamamen dolmaktadır.

Buna göre, kütüphanede yerleştirilmek istenen toplam kitap sayısı kaçt��r?

Show answer & explanation

Answer: 150

Answer

Kütüphaneye yerleştirilmek istenen toplam kitap sayısı 150'dir.
Kütüphanedeki raf sayısına xx dediğimizde toplam kitap sayısı hem 12x+612x + 6 hem de 15(x2)15(x-2) ifadeleriyle gösterilebilir. Bu iki ifade birbirine eşitlendiğinde 12x+6=15x3012x + 6 = 15x - 30 elde edilir. Buradan 3x=363x = 36 ve raf sayısı x=12x = 12 bulunur. Toplam kitap sayısı ise 12×12+6=15012 \times 12 + 6 = 150 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Kütüphanedeki raf sayısına bir değişken atayarak kitap sayısını veren ilk ifadeyi yazın.
Raf sayısına xx dersek, her rafa 12 kitap konduğunda 6 kitap arttığı için toplam kitap sayısı 12x+612x + 6 olur.
Sözel olarak verilen ilk durumu matematiksel bir ifadeye dönüştürmek için.
2
Kitap sayısını veren ikinci durumu ifade eden denklemi yazın.
Her rafa 15 kitap konduğunda 2 raf boş kaldığına göre, kitap yerleştirilen raf sayısı x2x-2 olur. Bu durumda toplam kitap sayısı 15(x2)15(x-2) şeklinde ifade edilir.
Aynı toplam kitap miktarını farklı bir koşulla ifade edip denklem kurabilmek için.
3
İki durumu birbirine eşitleyerek raf sayısını (xx) bulun.
12x+6=15(x2)12x+6=15x3036=3xx=1212x + 6 = 15(x-2) \Rightarrow 12x + 6 = 15x - 30 \Rightarrow 36 = 3x \Rightarrow x = 12 bulunur.
Toplam kitap sayısının değişmediği gerçeğinden hareketle bilinmeyen raf sayısını hesaplamak için.
4
Bulunan raf sayısını ifadelerden birinde yerine yazarak toplam kitap sayısını hesaplayın.
Toplam kitap sayısı = 12×12+6=144+6=15012 \times 12 + 6 = 144 + 6 = 150 olarak elde edilir.
Soruda bizden istenen toplam kitap sayısına ulaşmak için.

Key Concept

Sayı problemlerinde sözel durumları doğrusal denklemlere dönüştürme ve ortak çözüm yapma.

Hints

1
Her iki durumda da toplam kitap sayısının değişmediğini unutmayın. Kitap sayısını kütüphanedeki raf sayısına bağlı birer bilinmeyenli ifade olarak yazmaya çalışın.
2
Raf sayısına xx derseniz, ilk durumdaki toplam kitap sayısını 12x+612x + 6 şeklinde yazabilirsiniz. İkinci durumda 2 raf boş kaldığına göre kitap yerleştirilen raf sayısı x2x-2 olacaktır.

Practice More

Benzer mantıkla, sıralara ikişerli veya üçerli oturan öğrencilerin sınıftaki toplam sayısını bulmaya yönelik problemleri çözebilirsiniz.
Estimated Time:1m 0s
Question 172Question

Bir tasarım ofisinde bulunan üç farklı 3D yazıcının bir maketi basma süreleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Birinci yazıcı tek başına bu maketin 14\frac{1}{4}'ünü 33 saatte basabilmektedir.
* İkinci yazıcı tek başına aynı maketin 13\frac{1}{3}'ünü 66 saatte basabilmektedir.
* Üçüncü yazıcı tek başına aynı maketin yarısını 1818 saatte basabilmektedir.

Buna göre, bu üç yazıcı aynı anda çalıştırılırsa bu maketin tamamının bas��lması kaç saat sürer?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Bu üç yazıcı birlikte çalışarak maketi 6 saatte basar.
Yazıcıların bireysel olarak işi tamamlama süreleri sırasıyla 1212, 1818 ve 3636 saattir. Bir saatte yaptıkları iş miktarlarının toplamı 112+118+136=636=16\frac{1}{12} + \frac{1}{18} + \frac{1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} olduğundan, birlikte işin tamamını 66 saatte bitirirler.

Step-by-Step Solution

1
Her bir 3D yazıcının maketin tamamını tek başına kaç saatte basacağını belirleyelim.
Birinci yazıcı: 3×4=123 \times 4 = 12 saat, İkinci yazıcı: 6×3=186 \times 3 = 18 saat, Üçüncü yazıcı: 18×2=3618 \times 2 = 36 saat.
Kısmi işlerin bitirilme süreleri verilmiştir; tamamı için gereken süreyi bulmak amacıyla ters oran kurarak süreleri çarparız.
2
Yazıcıların 1 saatte yapacağı iş miktarlarını bulup toplayarak birlikte çalışma denklemini kuralım.
Birlikte 1 saatte yapılan iş: 112+118+136\frac{1}{12} + \frac{1}{18} + \frac{1}{36}
Birlikte çalışma sorularında işçilerin birim zamanda yaptıkları iş miktarları (kapasiteleri) toplanır.
3
Rasyonel ifadelerin paydalarını 3636 sayısında eşitleyerek toplama işlemini yapalım.
336+236+136=636=16\frac{3}{36} + \frac{2}{36} + \frac{1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}
Rasyonel sayılarda toplama yapabilmek için paydaların eşitlenmesi gerekir. 1212, 1818 ve 3636 sayılarının en küçük ortak katı 3636'dır.
4
Birlikte işin tamamını bitirme süresini hesaplayalım.
Birlikte işin tamamı 66 saatte biter.
Birlikte 1 saatte işin 16\frac{1}{6}'sı bitiyorsa, tamamı 66 saatte tamamlanır.

Key Concept

İşçi Problemlerinde Birim Zamanda Yapılan İş Mantığı
Question 173Question

Bir zeytinyağı üreticisi, elindeki iki farklı kalitedeki zeytinyağı-çiçek yağı karışımını karıştırarak yeni bir ürün elde etmek istiyor. Bu karışımlardan;

* A karışımının ağırlıkça %40'ı zeytinyağı,
* B karışımının ağırlıkça %70'i zeytinyağıdır.

Bu üretici, A ve B karışımlarını kullanarak zeytinyağı oranı %50 olan 600 gramlık yeni bir karışım elde etmek istiyor.

Buna göre, yeni karışımı elde etmek için A karışımından kaç gram alınmalıdır?

Show answer & explanation

Answer: 400

Answer

Yeni karışımın elde edilmesi için A karışımından 400 gram alınmalıdır.
Karışım denkleminde, A karışımından alınan xx gramın %40'ı ile B karışımından alınan (600x)(600-x) gramın %70'inin toplamı, elde edilen 600 gramlık karışımın %50'sine eşit olmalıdır. Bu eşitliği sağlayan denklem çözüldüğünde x=400x = 400 gram olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Karışımdaki bileşenlerin miktarlarını belirlemek için değişken ataması yapılması
Alınacak A karışımı miktarı xx gram olsun. Toplam karışım 600600 gram olacağından, B karışımından alınacak miktar 600x600 - x gram olur.
Soruda bizden istenen A karışımının miktarını bulmak için denklem kurmamızı sağlayacak temel değişkenleri belirlemektir.
2
Zeytinyağı miktarları üzerinden denklemin kurulması
x40100+(600x)70100=60050100x \cdot \frac{40}{100} + (600 - x) \cdot \frac{70}{100} = 600 \cdot \frac{50}{100}
Karışımlardan gelen toplam saf zeytinyağı miktarının, elde edilen son karışımdaki zeytinyağı miktarına eşit olması gerekir.
3
Denklemin sadeleştirilmesi ve çözülmesi
Paydadaki 100 terimleri sadeleştirilirse:
40x+70(600x)=6005040x + 70(600 - x) = 600 \cdot 50
40x+4200070x=3000040x + 42000 - 70x = 30000
30x=3000042000-30x = 30000 - 42000
30x=12000-30x = -12000
x=400x = 400 gram olarak bulunur.
Lineer denklemin çözülmesiyle A karışımından alınması gereken miktar doğrudan elde edilir.

Key Concept

Karışım problemlerinde madde miktarlarının korunumu ilkesi (toplam saf madde miktarı denklemi)

Hints

1
A karışımından alınan zeytinyağı miktarı ile B karışımından alınan zeytinyağı miktarının toplamı, son karışımdaki toplam zeytinyağı miktarına eşit olmalıdır.
2
A karışımından xx gram alınırsa, toplam 600 gramlık karışım için B karışımından 600x600 - x gram alınması gerekir. İki karışımdaki zeytinyağı yüzdelerini kullanarak denklem kurun.
3
Kurmanız gereken denklem: x0,40+(600x)0,70=6000,50x \cdot 0,40 + (600 - x) \cdot 0,70 = 600 \cdot 0,50 şeklindedir. Bu denklemi xx için çözün.

Practice More

Benzer mantıkla, karışımlardan bir miktar su buharlaştırıldığında veya karışıma saf zeytinyağı eklendiğinde yüzdelerin nasıl değiştiğini inceleyen soruları çözebilirsiniz.

Alternative Method

Orantı (Terazi/Kaldıraç) Yöntemi:
Yeni karışımın zeytinyağı oranı %50'dir. A karışımının oranı %40 ve B karışımının oranı %70'dir.
Hedef oran olan %50'nin, karışım oranlarına olan uzaklıkları:
* A karışımına uzaklığı: 5040=1050 - 40 = 10
* B karışımına uzaklığı: 7050=2070 - 50 = 20

Karışım miktarları bu uzaklıklarla ters orantılıdır. Yani:
MiktarA10=MiktarB20\text{Miktar}_A \cdot 10 = \text{Miktar}_B \cdot 20
MiktarA=2MiktarB\text{Miktar}_A = 2 \cdot \text{Miktar}_B

Toplam miktar 600 gram olduğuna göre:
2k+k=600    3k=600    k=2002k + k = 600 \implies 3k = 600 \implies k = 200
Buradan A karışımının miktarı 2k=2200=4002k = 2 \cdot 200 = 400 gram olarak pratik bir şekilde bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Question 174Question

Bir bisiklet kiralama istasyonunda tek kişilik ve iki kişilik olmak üzere iki farklı türde bisiklet bulunmaktadır. Bu istasyondaki toplam bisiklet sayısı 3232 ve bu bisikletlerin toplam koltuk kapasitesi 4848'dir.

İstasyona gelen bir grup turist, tek kişilik bisikletlerin tamamını ve iki kişilik bisikletlerin bir kısmını kiraladıktan sonra istasyonda kalan bisikletlerin toplam koltuk kapasitesi 1212 olmuştur.

Buna göre, turist grubu bu istasyondan toplam kaç adet bisiklet kiralamıştır?

Show answer & explanation

Answer: 26

Answer

Turist grubunun kiraladığı toplam bisiklet sayısı 26'dır.
Tek kişilik ve iki kişilik bisiklet sayıları denklem yardımıyla sırasıyla 16 ve 16 olarak bulunur. Tek kişilik bisikletlerin tamamı (16 adet) kiralanmıştır. Kalan koltuk kapasitesi 12 olduğuna ve sadece iki kişilik bisikletler kaldığına göre, kalan iki kişilik bisiklet sayısı 12 / 2 = 6 adettir. Başlangıçtaki 16 iki kişilik bisikletten 6'sı kaldığına göre 10 tanesi kiralanmıştır. Toplam kiralanan bisiklet sayısı 16 + 10 = 26 olur. Bu durum yirmi altı değerinin doğru olduğunu gösterir.

Step-by-Step Solution

1
Başlangıçtaki bisiklet türlerinin sayılarını belirlemek için denklem kuralım.
Tek kişilik bisiklet sayısı xx, iki kişilik bisiklet sayısı yy olsun. Toplam bisiklet sayısı x+y=32x + y = 32 ve toplam koltuk kapasitesi x+2y=48x + 2y = 48 olur.
Soruda verilen toplam bisiklet ve koltuk kapasitesi bilgilerini matematiksel olarak ifade etmek için.
2
Kurulan iki bilinmeyenli denklem sistemini çözelim.
İkinci denklemden birinci denklemi çıkardığımızda (x+2y)(x+y)=4832y=16(x + 2y) - (x + y) = 48 - 32 \Rightarrow y = 16 bulunur. Birinci denklemde yerine yazarsak x+16=32x=16x + 16 = 32 \Rightarrow x = 16 elde edilir. Yani istasyonda başlangıçta 16 adet tek kişilik, 16 adet iki kişilik bisiklet vardır.
Her bir bisiklet türünün başlangıçtaki miktarını ayrı ayrı bulmak için.
3
Kiralama sonrası istasyonda kalan bisiklet sayılarını belirleyelim.
Turistler tek kişilik bisikletlerin tamamını kiraladığı için geriye 0 adet tek kişilik bisiklet kalmıştır. İki kişilik bisikletlerin ise bir kısmı kiralanmıştır. Kalan bisikletlerin koltuk kapasitesi 1212 olduğuna göre ve sadece iki kişilik bisikletler kaldığı için, kalan iki kişilik bisiklet sayısı 12/2=612 / 2 = 6 adettir.
Kalan koltuk kapasitesinden yola çıkarak kiralanmayan iki kişilik bisiklet sayısını hesaplamak için.
4
Kiralanan iki kişilik bisiklet sayısını ve toplam kiralanan bisiklet sayısını hesaplayalım.
Başlangıçta 1616 adet iki kişilik bisiklet vardı ve geriye 66 adet kaldı. Demek ki kiralanan iki kişilik bisiklet sayısı 166=1016 - 6 = 10 adettir. Kiralanan tek kişilik bisiklet sayısı 1616 olduğuna göre, toplam kiralanan bisiklet sayısı 16+10=2616 + 10 = 26 olarak bulunur.
Turist grubunun kiraladığı toplam bisiklet sayısını nihai olarak elde etmek için.

Key Concept

İki bilinmeyenli denklem sistemleri kurma ve sayı problemlerinde kalan miktar analizi.

Hints

1
Tek kişilik bisiklet sayısını xx, iki kişilik bisiklet sayısını yy olarak adlandırıp toplam bisiklet sayısı ve toplam koltuk kapasitesi için iki ayrı denklem yazarak işe başlayın.

Practice More

Benzer şekilde, iki farklı tarifeye sahip bir otopark ücretlendirmesi veya iki farklı tipte vagonu olan bir tren kapasite sorusu çözerek sayı problemlerinde denklem kurma becerilerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Koltuk kapasitesi üzerinden gidilebilir: Tüm bisikletler tek kişilik olsaydı kapasite 32 olurdu. Kapasitenin 48 olması, 4832=1648 - 32 = 16 adet bisikletin iki kişilik olduğunu gösterir. Toplam 32 bisiklet olduğuna göre tek kişilik bisiklet sayısı da 3216=1632 - 16 = 16'dır. Kalan kapasite 12 olduğuna göre, kalan bisikletler sadece iki kişilik olduğundan kalan bisiklet sayısı 12/2=612 / 2 = 6'dır. Kiralanan iki kişilik bisiklet sayısı 166=1016 - 6 = 10 olur. Toplam kiralanan bisiklet sayısı 16+10=2616 + 10 = 26'dır.
Estimated Time:1m 30s
Question 175Question

Bir butik, ürettiği tişörtleri %40\%40 kârla satmayı planlamaktadır. Ancak üretilen tişörtlerin %10\%10'unun defolu olduğu fark edilmiş ve bu defolu tişörtler maliyet fiyatı üzerinden %20\%20 zararla satılmıştır.

Sağlam tişörtlerin tamamı planlanan satış fiyatından satıldığına göre, butiğin tüm tişörtlerin satışından elde ettiği kâr oranı yüzde kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 34

Answer

Tişörtlerin tamamının satışından elde edilen kâr oranı yüzde 34'tür.
Sağlam ürünlerden elde edilen ciro ile defolu ürünlerden elde edilen cironun toplamının, başlangıçtaki toplam maliyete oranı hesaplandığında net kâr oranının yüzde 34 olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
Maliyet ve miktar hesab�� için başlangıç değerleri belirleme
Toplam tişört sayısı 100100 ve bir tişörtün maliyeti 100 TL100\text{ TL} olsun. Toplam maliyet 100×100=10.000 TL100 \times 100 = 10.000\text{ TL} olur.
Yüzde hesabı yaparken başlangıç değerlerini 100 seçmek işlemleri basitleştirir.
2
Farklı ürün gruplarının satış fiyatların�� belirleme
Sağlam tişörtün satış fiyatı 100×1,40=140 TL100 \times 1,40 = 140\text{ TL}, defolu tişörtün satış fiyatı 100×0,80=80 TL100 \times 0,80 = 80\text{ TL} olur.
Sağlamlar %40\%40 kârla, defolular ise %20\%20 zararla satılmaktadır.
3
Gruplardan elde edilen gelirleri ve toplam geliri hesaplama
Sağlam tişört sayısı 9090, defolu tişört sayısı 1010'dur. 9090 sağlam tişörtten 90×140=12.600 TL90 \times 140 = 12.600\text{ TL}; 1010 defolu tişörtten 10×80=800 TL10 \times 80 = 800\text{ TL} elde edilir. Toplam gelir 12.600+800=13.400 TL12.600 + 800 = 13.400\text{ TL} olur.
Tişörtlerin %10\%10'u defolu, %90\%90'ı sağlamdır.
4
Toplam kâr oranını bulma
Toplam kâr 13.40010.000=3.400 TL13.400 - 10.000 = 3.400\text{ TL}'dir. Kâr oranı ise 3.400/10.000=%343.400 / 10.000 = \%34 olarak hesaplanır.
Elde edilen toplam kârın başlangıçtaki toplam maliyete oranı net kâr oranını verir.

Key Concept

Kâr ve zarar problemlerinde yüzde hesaplamaları, maliyet ve satış fiyatı ilişkisi ile ağırlıklı ortalama mantığı.

Hints

1
Sorudaki adet ve maliyetleri somutlaştırmak için toplam tişört sayısını 100, bir tişörtün maliyetini ise 100 TL olarak kabul edebilirsiniz.
2
Sağlam tişörtlerin satış fiyatını (100 TL maliyet üzerinden %40 kârla) ve defolu tişörtlerin satış fiyatını (100 TL maliyet üzerinden %20 zararla) hesaplayın.
3
90 adet sağlam tişörtü tanesi 140 TL'den, 10 adet defolu tişörtü ise tanesi 80 TL'den satarak toplam geliri bulun ve bu geliri ilk baştaki 10.000 TL maliyetle karşılaştırın.

Practice More

Benzer mantıkla çalışan fakat enflasyon oranının da maliyete etki ettiği durumları içeren kâr-zarar sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Ağırlıklı kâr/zarar formülü kullanılarak da çözülebilir. Toplam kâr/zarar oranı = (Birinci grubun oranı × Birinci grubun ağırlığı) + (İkinci grubun oranı × İkinci grubun ağırlığı) şeklinde hesaplanır. Bu durumda: %40×0,90+(%20)×0,10=%36%2=%34\%40 \times 0,90 + (-\%20) \times 0,10 = \%36 - \%2 = \%34 kâr elde edilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 176Question

Bir tren hattında sefer yapan bir trenin ekonomi sınıfı vagonlarının her birinde 60 koltuk, business (işletme) sınıfı vagonlarının her birinde ise 40 koltuk bulunmaktadır. Toplam 12 vagondan oluşan bu trenin tüm koltukları doludur. Trenin ekonomi sınıfındaki toplam yolcu sayısı, business sınıfındaki toplam yolcu sayısının 3 katı olduğuna göre, bu trende kaç adet ekonomi sınıfı vagonu vardır?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Ekonomi sınıfı vagon sayısı 8'dir.
Ekonomi sınıfı vagon sayısına ee, business sınıfı vagon sayısına bb denildiğinde; toplam vagon sayısı e+b=12e + b = 12 olur. Yolcuların kapasite ilişkisinden 60e=3×40b60e = 3 \times 40b yani e=2be = 2b eşitliği elde edilir. Bu eşitlik toplam vagon denkleminde yerine yazıldığında 2b+b=123b=12b=42b + b = 12 \Rightarrow 3b = 12 \Rightarrow b = 4 bulunur. Buradan ekonomi vagonu sayısı e=2×4=8e = 2 \times 4 = 8 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Ekonomi sınıfı vagon sayısına ee, business sınıfı vagon sayısına bb diyelim. Toplam vagon sayısına bağlı olarak birinci denklemi kuralım.
e+b=12e + b = 12
Trendeki toplam vagon sayısı 12 olarak verilmiştir.
2
Ekonomi ve business sınıfındaki toplam yolcu sayılarını hesaplayıp aralarındaki 3 kat ilişkisini gösteren ikinci denklemi kuralım.
60e=3×40b60e=120be=2b60e = 3 \times 40b \Rightarrow 60e = 120b \Rightarrow e = 2b
Ekonomi sınıfında vagon başına 60, business sınıfında vagon başına 40 koltuk vardır ve tüm koltuklar doludur. Ekonomi sınıfındaki toplam yolcu sayısı, business sınıfındakinin 3 katıdır.
3
Elde edilen e=2be = 2b ilişkisini ilk denklemde (e+b=12e + b = 12) yerine koyarak vagon sayılarını bulalım.
2b+b=123b=12b=42b + b = 12 \Rightarrow 3b = 12 \Rightarrow b = 4 ve e=2×4=8e = 2 \times 4 = 8 olarak bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini yerine koyma metoduyla çözmek için bu adım uygulanır.

Key Concept

Sayı Problemleri
Question 177Question

Bir kütüphanedeki kitapların türlerine göre sayıca dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Kitap TürüKitap Sayısı
Roman6060
Tarih4040
Şiir2020

Bu kütüphanedeki kitapların dağılımı bir daire grafiğiyle gösterildiğinde, şiir kitaplarını temsil eden daire diliminin merkez açısı kaç derece olur?

Show answer & explanation

Answer: 6060

Answer

Şiir kitaplarını temsil eden daire diliminin merkez açısı 60 derecedir.
Toplam kitap sayısı 120120'dir. Şiir kitaplarının sayısı ise 2020'dir. Şiir kitaplarının tüm kitaplara oranı 20120=16\frac{20}{120} = \frac{1}{6} olur. Daire grafiğinin tamamı 360360^\circ olduğuna göre, şiir kitaplarına karşılık gelen merkez açı 360×16=60360^\circ \times \frac{1}{6} = 60^\circ olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kütüphanedeki toplam kitap sayısını bulunuz.
60+40+20=12060 + 40 + 20 = 120
Daire grafiğinde oranlama yapabilmek için öncelikle verilerin tamamının toplamını (bütünü) bilmemiz gerekir.
2
Şiir kitaplarının toplam kitaplar içindeki oranını hesaplayınız.
20120=16\frac{20}{120} = \frac{1}{6}
Şiir kitaplarının bütünün kaçta kaçını oluşturduğunu belirlemek amacıyla bu oran kurulur.
3
Elde edilen oranı bir dairenin toplam açısı olan 360360 derece ile çarparak şiir kitaplarına düşen merkez açıyı hesaplayınız.
16×360=60\frac{1}{6} \times 360^\circ = 60^\circ
Daire grafiğinin tamamı 360360 dereceye karşılık geldiğinden, bulduğumuz oranı bu değerle çarparak merkez açıyı elde ederiz.

Key Concept

Veri tablolarını daire grafiği merkez açılarına dönüştürme
Estimated Time:45s
Question 178Question

Bir yazılım projesindeki ara yüz tasarımlarını Eren tek başına 1212 günde, Defne ise tek başına 2424 günde tamamlayabilmektedir. İkisi birlikte işe başladıktan 22 gün sonra Defne işten ayrılıyor ve kalan işi Eren tek başına tamamlıyor. Buna göre, Eren kalan işi tek başına kaç günde tamamlar?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Eren kalan işi tek başına 9 günde tamamlar.
Eren'in işi tek başına bitirme süresi 1212 gün olduğundan bir günde işin 112\frac{1}{12}'sini, Defne ise tek başına 2424 günde bitirdiğinden bir günde işin 124\frac{1}{24}'ünü tamamlar. İkisi birlikte 22 gün çalıştıklarında işin tamamlanan kısmı:

2×(112+124)=2×324=624=142 \times \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{24}\right) = 2 \times \frac{3}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}

olur. İşin tamamı 11 birim kabul edilirse, geriye kalan iş miktarı:

114=341 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

olarak bulunur. Kalan bu işi Eren tek başına tamamlayacağına göre, geçen gün sayısı (xx):

x×112=34    x=9 gu¨nx \times \frac{1}{12} = \frac{3}{4} \implies x = 9\text{ gün}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Eren ve Defne'nin birer günde yaptıkları iş miktarlarını (çalışma hızlarını) rasyonel olarak ifade edin.
Eren bir günde işin 112\frac{1}{12}'sini, Defne ise 124\frac{1}{24}'ünü yapar.
İşçi problemlerinde birim zamanda yapılan iş miktarlarından yola çıkılarak denklem kurulur.
2
Eren ve Defne'nin birlikte 2 gün çalışarak işin ne kadarını tamamladığını bulun.
2×(112+124)=142 \times \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{24}\right) = \frac{1}{4}
Birlikte geçen sürede yapılan toplam iş miktarını belirlemek için.
3
İşin geriye kalan kısmını hesaplayın.
114=341 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
Eren'in tek başına yapması gereken iş miktarını bulmak için.
4
Kalan işin Eren'in hızıyla kaç günde tamamlanacağını hesaplayın.
x=34÷112=9x = \frac{3}{4} \div \frac{1}{12} = 9 gün
Kalan iş miktarını Eren'in günlük iş yapma hızına bölerek gereken gün sayısını bulmak için.

Key Concept

Birim zamanda yapılan iş miktarlarının toplanması prensibi
Question 179Question

A ve B kentleri arasındaki mesafe d kmd\text{ km}'dir. A kentinden saatteki hızı v1 kmv_1\text{ km} olan bir araç, B kentinden ise saatteki hızı v2 kmv_2\text{ km} olan başka bir araç aynı anda sabit h��zlarla birbirlerine doğru harekete başlıyor. Bu iki araç, A kentinden 120 km120\text{ km} uzaklıktaki bir C noktasında karşılaşıyorlar. Karşılaştıktan sonra, A'dan gelen araç hızını yarıya indirirken B'den gelen araç hızını 22 katına çıkarıyor ve her iki araç da durmaksızın yollarına devam ediyor. A'dan gelen araç B kentine ulaştığı anda, B'den gelen araç A kentine ulaşıyor.

Buna göre, A ve B kentleri arasındaki mesafe (dd) kaç  km\text{ km}'dir?

Show answer & explanation

Answer: 180

Answer

A ve B kentleri arasındaki mesafe 180 km'dir.
Karşılaşma anına kadar geçen sürenin eşitliğinden v1v2=120d120\frac{v_1}{v_2} = \frac{120}{d-120} oranı kurulur. Karşılaşmadan sonraki hız değişimleriyle birlikte varış sürelerinin eşitliğinden ise v1v2=d12030\frac{v_1}{v_2} = \frac{d-120}{30} oranı elde edilir. Bu iki hız oranının eşitlenmesiyle (d120)2=3600(d-120)^2 = 3600 denklemi bulunur. Uzaklık negatif olamayacağından d120=60    d=180 kmd-120=60 \implies d=180\text{ km} doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Karşılaşma anına kadar geçen süreyi kullanarak hızlar oranını yazın.
A'dan hareket eden araç C noktasına ulaşana kadar 120 km120\text{ km} yol alır ve geçen süre t1=120v1t_1 = \frac{120}{v_1} olur. B'den hareket eden araç C noktasına ulaşana kadar d120 kmd - 120\text{ km} yol alır ve geçen süre t1=d120v2t_1 = \frac{d - 120}{v_2} olur. Buradan hızlar oranı v1v2=120d120\frac{v_1}{v_2} = \frac{120}{d - 120} olarak bulunur.
Her iki aracın da harekete başlama ve karşılaşma anları aynı olduğundan C noktasına ulaşma süreleri eşittir.
2
Karşılaşmadan sonraki yeni hızları ve kalan mesafeleri kullanarak varış sürelerini yazın.
A'dan gelen aracın yeni hızı v12\frac{v_1}{2}, kalan yolu d120 kmd - 120\text{ km} ve varış süresi t2=2(d120)v1t_2 = \frac{2(d - 120)}{v_1} olur. B'den gelen aracın yeni hızı 2v22v_2, kalan yolu 120 km120\text{ km} ve varış süresi t3=60v2t_3 = \frac{60}{v_2} olur.
Karşılaşma noktasından sonra A'dan gelen araç B kentine, B'den gelen araç ise A kentine doğru hareket eder.
3
Varış sürelerini eşitleyerek hızlar oranı için ikinci bir denklem elde edin.
t2=t3    2(d120)v1=60v2t_2 = t_3 \implies \frac{2(d - 120)}{v_1} = \frac{60}{v_2} yazılır. Buradan v1v2=d12030\frac{v_1}{v_2} = \frac{d - 120}{30} elde edilir.
Soruda araçların hedeflerine aynı anda ulaştıkları belirtildiği için bu süreler eşittir.
4
Ende edilen iki hız oranını eşitleyerek toplam mesafeyi hesaplayın.
d12030=120d120    (d120)2=3600\frac{d - 120}{30} = \frac{120}{d - 120} \implies (d - 120)^2 = 3600 olur. Buradan d120=60    d=180 kmd - 120 = 60 \implies d = 180\text{ km} bulunur.
Her iki durumda da ilk hızların oranı (v1/v2v_1/v_2) sabit olduğundan bulunan oran ifadeleri birbirine eşittir. d120=60    d=60d - 120 = -60 \implies d = 60 kökü, karşılaşma noktası olan 120 km120\text{ km}'den küçük olamayacağı için elenir.

Key Concept

Karşılaşma süresi, kalan yol ve hız değişimlerinin orantısal olarak modellenmesi

Hints

1
C noktasında karşılaşana kadar geçen sürenin her iki araç için de aynı olduğunu kullanarak araçların hızları oranı (v1/v2v_1/v_2) için bir denklem yazın.
2
Karşılaşma sonrasında A'dan gelen aracın yeni hızının v1/2v_1/2 ve kalan yolunun d120d-120, B'den gelen aracın ise yeni hızının 2v22v_2 ve kalan yolunun 120120 olduğunu kullanarak her birinin kalan yoldaki sürelerini yazın.

Practice More

Karşılaşma noktasından sonra hızlarını farklı oranlarda artıran veya azaltan iki aracın hareketini modelleyen benzer soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Araçlar C noktasında karşılaştıktan sonra hedeflerine aynı sürede ulaştıkları için, bu kısımdaki hızlarının oranı aldıkları yolların oranına eşittir. Yani v1v2=d120120\frac{v_1'}{v_2'} = \frac{d-120}{120} yazılabilir. Yeni hızları yerlerine koyarsak, v1/22v2=d120120    v14v2=d120120    v1v2=d12030\frac{v_1/2}{2v_2} = \frac{d-120}{120} \implies \frac{v_1}{4v_2} = \frac{d-120}{120} \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{d-120}{30} elde edilir. İlk durumdaki v1v2=120d120\frac{v_1}{v_2} = \frac{120}{d-120} oranı ile bu oran eşitlenerek sonuca daha hızlı ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 180Question

Bir fırında simit ve poğaçalar üçerli veya dörderli paketler halinde hazırlanmaktadır. Bu paketlerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Simit paketlerinin her birinde ya sadece 33 simit ya da sadece 44 simit bulunmaktadır.
* Poğaça paketlerinin her birinde ya sadece 33 poğaça ya da sadece 44 poğaça bulunmaktadır.
* Bir gün içinde fırında bu iki üründen toplam 7575 paket hazırlanmıştır.
* Dörder simit içeren paket sayısı, üçer poğaça içeren paket sayısının 22 katıdır.
* Üçer simit içeren paket sayısı, dörder poğaça içeren paket sayısından 1010 fazladır.
* Gün sonunda paketlenen toplam simit sayısı, toplam poğaça sayısından 9595 fazla olduğuna göre, bu fırında söz konusu günde hazırlanan toplam poğaça paket sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2525

Answer

Toplam poğaça paket sayısı 25'tir.
Doğru yanıt olan 25 değeri, denklem sisteminin çözülmesiyle elde edilen üçer poğaça içeren paketlerin sayısı (15) ile dörder poğaça içeren paketlerin sayısının (10) toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenleri tanımlama
Simit paket sayıları x3x_3 ve x4x_4, poğaça paket sayıları y3y_3 ve y4y_4 olsun.
Sözel ifadeleri matematiksel modele aktarmak için her bir paket türü için değişken belirlenir.
2
Paket sayıları arasındaki ilişkileri denklem olarak yazma
x4=2y3x_4 = 2y_3 ve x3=y4+10x_3 = y_4 + 10 ilişkileri elde edilir. Toplam paket sayısı x3+x4+y3+y4=75x_3 + x_4 + y_3 + y_4 = 75 denkleminde bu ifadeler yerine yazılırsa (y4+10)+2y3+y3+y4=75    3y3+2y4=65(y_4 + 10) + 2y_3 + y_3 + y_4 = 75 \implies 3y_3 + 2y_4 = 65 denklemi bulunur.
Toplam paket sayısı bilgisini kullanarak poğaça paketleri arasında birinci denklem bağıntısını kurmak için.
3
Ürün adetleri farkını denkleme aktarma
Toplam simit sayısı 3x3+4x43x_3 + 4x_4, toplam poğaça sayısı 3y3+4y43y_3 + 4y_4 olarak yazılır. Fark 9595 olduğundan 3(y4+10)+4(2y3)(3y3+4y4)=95    3y4+30+8y33y34y4=95    5y3y4=653(y_4 + 10) + 4(2y_3) - (3y_3 + 4y_4) = 95 \implies 3y_4 + 30 + 8y_3 - 3y_3 - 4y_4 = 95 \implies 5y_3 - y_4 = 65 denklemi elde edilir.
Simit ve poğaça sayılarının farkını kullanarak poğaça paketleri arasında ikinci denklem bağıntısını elde etmek için.
4
Elde edilen denklem sistemini çözme
3y3+2y4=653y_3 + 2y_4 = 65 ve 5y3y4=655y_3 - y_4 = 65 sisteminde ikinci denklemden y4=5y365y_4 = 5y_3 - 65 ifadesi çekilerek ilk denklemde yerine yazılır: 3y3+2(5y365)=65    13y3130=65    13y3=195    y3=153y_3 + 2(5y_3 - 65) = 65 \implies 13y_3 - 130 = 65 \implies 13y_3 = 195 \implies y_3 = 15 bulunur. Buradan da y4=5(15)65=10y_4 = 5(15) - 65 = 10 elde edilir.
Bilinmeyen poğaça paket sayılarını bulmak için.
5
Toplam poğaça paket sayısını bulma
Toplam poğaça paket sayısı y3+y4=15+10=25y_3 + y_4 = 15 + 10 = 25 olarak hesaplanır.
Soruda bizden istenen toplam poğaça paket sayısına ulaşmak için.

Key Concept

Çok değişkenli sayı problemlerinde denklem sistemi kurma ve yerine koyma metodu ile çözüm
PreviousPage 9 / 14Next