Hareket Problemleri Practice Questions — ALES — Page 2

Question 21Question →

Bir elektrikli bisiklet sürücüsü, $45\text{ km}$ uzunluğundaki bir yolun ilk kısmını saatte ortalama $15\text{ km}$ sabit hızla, kalan kısmını ise saatte ortalama $30\text{ km}$ sabit hızla giderek tüm yolculuğu tamamlamıştır.

Sürücünün bu yolculuk boyunca ortalama hızı saatte $18\text{ km}$ olduğuna göre, yolun ilk kısmını kaç dakikada almıştır?

30

60

120

160

420

Show answer & explanation

Answer: 120

Answer

Yolun ilk k��smının 120 dakika sürdüğünü belirten seçenek doğrudur.

Ortalama hız formülü kullanılarak toplam süre 2,5 saat olarak hesaplanır. Yolun ilk ve ikinci bölümlerinde geçen süreler cinsinden yol denklemi yazılıp çözüldüğünde, saatte 15 km hızla gidilen ilk kısmın 2 saat (120 dakika) sürdüğü bulunur. Bu nedenle 120 değerini içeren seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Yolculuğun toplam süresini bulmak için toplam yol uzunluğunu ortalama hıza böleriz.

t_{\text{toplam}} = \frac{45}{18} = 2,5\text{ saat}

Ortalama hız, toplam yolun toplam geçen süreye oranıdır (

V_{\text{ort}} = \frac{X_{\text{toplam}}}{t_{\text{toplam}}}

).

2

Yolun ilk kısmı için geçen süreyi

t_1

, ikinci kısmı için geçen süreyi

t_2

olarak tanımlayıp denklemleri kurarız.

t_1 + t_2 = 2,5

ve yol denklemi:

15 \cdot t_1 + 30 \cdot t_2 = 45

elde edilir.

Yol, hız ile zamanın çarpımına eşittir (

x = v \cdot t

).

3

t_2 = 2,5 - t_1

ifadesini yol denkleminde yerine yazarak

t_1

'i çözeriz.

15 \cdot t_1 + 30 \cdot (2,5 - t_1) = 45 \implies 15 t_1 + 75 - 30 t_1 = 45 \implies -15 t_1 = -30 \implies t_1 = 2\text{ saat}

İlk kısımda geçen süreyi saat cinsinden bulmak için birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözeriz.

4

Saat cinsinden bulduğumuz süreyi dakikaya çeviririz.

2 \text{ saat} \times 60 \text{ dakika/saat} = 120 \text{ dakika}

Soru bizden süreyi dakika cinsinden istemektedir.

Key Concept

Hareket problemlerinde ortalama hız, toplam yolun toplam zamana oranı olarak hesaplanır. Parçalı yolculuklarda her bir bölümün süresi ayrı ayrı bulunarak denklem kurulmalıdır.

Estimated Time:1m 30s

Question 22Question →

Bir yüzücü, akıntı hızının dakikada $10\text{ metre}$ olduğu bir nehirde akıntıya karşı yüzerek $300\text{ metre}$ uzaklıktaki bir iskeleye ulaşmak istemektedir. Yüzücünün durgun sudaki hızı dakikada $40\text{ metre}$ 'dir.

Buna göre, yüzücü bu iskeleye kaç dakikada ulaşır?

6

7,5

10

12

30

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Yüzücünün iskeleye ulaşma süresi 10 dakikadır.

Yüzücü akıntıya karşı yüzdüğü için akıntı hızı yüzücünün hızını azaltır. Net hız

40 - 10 = 30\text{ m/dk}

olur.

300\text{ metre}

yolu bu hızla alan yüzücünün varış süresi

300 / 30 = 10\text{ dakika}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Yüzücünün akıntıya karşı hareket ederken sahip olduğu net hızı bulmak için durgun sudaki hızından akıntı hızı çıkarılır.

40 - 10 = 30\text{ m/dk}

Akıntıya karşı yüzüldüğünde akıntı hızı yüzücüyü yavaşlatıcı yönde etki eder.

2

Bulunan net hız kullanılarak yol formülü (

x = v \times t

) ile süre (

t

) hesaplanır.

t = \frac{300}{30} = 10\text{ dakika}

Zaman, alınan yolun net hıza bölünmesiyle elde edilir.

Key Concept

Akıntıya karşı hareket problemleri

Question 23Question →

Bir hızlı tren, iki istasyon arasındaki mesafenin ilk yarısını saatte ortalama $60\text{ km}$ sabit hızla almıştır. Yolun ikinci yarısında ise tren, önce yol çalışması nedeniyle bir süre saatte $30\text{ km}$ sabit hızla, çalışmanın bitiminden sonra ise kalan kısmı saatte $90\text{ km}$ sabit hızla giderek ikinci istasyona ulaşmıştır.

Trenin tüm yolculuk boyunca ortalama hızı saatte $48\text{ km}$ olduğuna göre, trenin yolun ikinci yarısında saatte $30\text{ km}$ hızla hareket ettiği sürenin, saatte $90\text{ km}$ hızla hareket ettiği süreye oranı kaçtır?

3

4

5

6

9

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Trenin yolun ikinci yarısında saatte 30 km hızla hareket ettiği sürenin, saatte 90 km hızla hareket ettiği süreye oranı 5'tir.

Ortalama hız formülü olan Toplam Yol / Toplam Zaman prensibine göre toplam yol

2S

ve ilk yarıda geçen süre

S/60

olarak belirlenir. Ortalama hız

48\text{ km/sa}

olduğuna göre ikinci yarıdaki toplam süre

S/40

olur. İkinci yarıda saatte

30\text{ km}

hızla gidilen süreye

t_A

, saatte

90\text{ km}

hızla gidilen süreye

t_B

denildiğinde toplam yol

30t_A + 90t_B

olur. Bu yol

40(t_A + t_B)

ifadesine eşitlendiğinde

10t_A = 50t_B

elde edilir ve oran 5 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Yolun bölümlerini tanımlayarak ilk yarıda geçen süreyi belirleme.

İstasyonlar arasındaki toplam mesafeye

2S

dersek, yolun ilk yarısı

S

, ikinci yarısı da

S

olur. İlk yarı saatte

60\text{ km}

hızla gidildiğinden geçen süre

t_1 = \frac{S}{60}

olur.

Yolun ilk yarısı için harcanan süreyi yol değişkeni cinsinden ifade etmek.

2

Tüm yolculuk için ortalama hız formülünü kullanarak ikinci yarıdaki toplam süreyi bulma.

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}} = \frac{2S}{t_1 + t_2} = 48\text{ km/sa}

eşitliğini kurarız. Buradan

2S = 48(t_1 + t_2)

elde edilir.

t_1 = \frac{S}{60}

değerini yerine yazarsak:

2S = 48 \left(\frac{S}{60} + t_2\right) \implies 2S = 0{}8S + 48t_2 \implies 1{}2S = 48t_2 \implies S = 40t_2

Yani ikinci yarının toplam süresi

t_2 = t_A + t_B = \frac{S}{40}

olarak bulunur.

Ortalama hız bilgisini kullanarak ikinci yarıdaki toplam süreyi yol cinsinden ifade etmek.

3

İkinci yarıdaki hareket denklemini kurma.

İkinci yarıda tren

t_A

süreyle

30\text{ km/sa}

hızla,

t_B

süreyle

90\text{ km/sa}

hızla gitmiştir. Bu yarıda alınan toplam yol:

S = 30t_A + 90t_B

olur.

Hızlar ve süreler yardımıyla ikinci yarıda alınan yolu yazmak.

4

Elde edilen denklemleri eşitleyerek sürelerin oranını hesaplama.

S = 40(t_A + t_B)

ve

S = 30t_A + 90t_B

denklemlerini birbirine eşitlersek:

40t_A + 40t_B = 30t_A + 90t_B \implies 10t_A = 50t_B \implies \frac{t_A}{t_B} = 5

elde edilir.

Farklı hızlarda geçen sürelerin oranını bulmak.

Key Concept

Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana bölünmesiyle hesaplanır. İki bölümden oluşan hareketlerde her bir bölümün aldığı süreler ve yollar arasındaki ilişkiler kurularak denklem çözülür.

Alternative Method

Değer vererek çözme yöntemi: Yolun her bir yarısının mesafesini

240\text{ km}

olarak kabul edelim (toplam yol

480\text{ km}

). Tüm yolculukta ortalama hız

48\text{ km/sa}

olduğundan toplam süre

480 / 48 = 10\text{ saat}

olmalıdır. Yolun ilk yarısı

240\text{ km}

olup saatte

60\text{ km}

hızla

240 / 60 = 4\text{ saatte}

tamamlanır. Bu durumda yolun ikinci yarısı için kalan süre

10 - 4 = 6\text{ saattir}

. İkinci yarıda saatte

30\text{ km}

hızla gidilen süreye

t_A

, saatte

90\text{ km}

hızla gidilen süreye

t_B

dersek;

t_A + t_B = 6

ve

30t_A + 90t_B = 240

denklemleri elde edilir. Bu denklem sistemi çözüldüğünde

t_A = 5

ve

t_B = 1

bulunur. Buradan oran

\frac{t_A}{t_B} = \frac{5}{1} = 5

elde edilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 24Question →

A kentinden B kentine doğru sabit hızla hareket eden bir otomobil ile B kentinden A kentine doğru aynı anda ve sabit hızla yola çıkan bir motosiklet, yol üzerindeki bir C noktasında karşılaşıyorlar.

Karşılaştıkları anda otomobil h��zını 2 katına çıkarıyor, motosiklet ise hızını yarıya indiriyor. Bu hız değişimlerinden sonra yoluna devam eden otomobil B kentine ulaştığı anda, motosikletin A kentine ulaşmasına $150\text{ km}$ yol kalıyor.

Eğer bu araçlar karşılaştıktan sonra hızlarını değiştirmeselerdi, otomobil B kentine ulaştığı anda motosikletin A kentine ulaşmasına $120\text{ km}$ yol kalmış olacaktı.

Buna göre, A ve B kentleri arasındaki toplam mesafe kaç $\text{km}$ 'dir?

160

180

240

300

320

Show answer & explanation

Answer: 240

Answer

Toplam yol mesafesi olan 240 km

Denklemler kurulup çözüldüğünde, karşılaşma noktasının A kentine olan uzaklığı

160\text{ km}

ve B kentine olan uzaklığı

80\text{ km}

olarak elde edilir. Bu iki mesafenin toplamı olan

240\text{ km}

A ile B kentleri arasındaki toplam mesafeyi verir.

Step-by-Step Solution

1

Araçların ilk hızlarını ve yol bölümlerini tanımlama

Otomobilin hızı

v_1

, motosikletin hızı

v_2

olsun. Karşılaşma noktası C olmak üzere, A ile C arası

x

km, C ile B arası

y

km olsun. Aynı anda yola çıkıp C'de karşılaştıkları için geçen süreler eşittir:

\frac{x}{v_1} = \frac{y}{v_2} \implies \frac{v_2}{v_1} = \frac{y}{x}

Karşılaşma anına kadar geçen sürenin eşitliğini kullanarak hızlar ile yollar arasında bir oran kurmak gerekir.

2

Hızların değişmediği durum için denklem kurma

Otomobil C'den B'ye (

y

yolu)

v_1

hızıyla

\frac{y}{v_1}

sürede gider. Bu sürede motosikletin aldığı yol

v_2 \cdot \frac{y}{v_1} = \frac{y^2}{x}

km olur. Kalan yol

120\text{ km}

olduğuna göre:

x - \frac{y^2}{x} = 120 \implies y^2 = x^2 - 120x

olur.

Araçların hız değişiminin olmadığı durumda aldıkları yolları ve kalan mesafeyi ilişkilendirerek ilk denklemi oluşturmak.

3

Hızların değiştiği durum için denklem kurma

Otomobilin yeni hızı

2v_1

, motosikletin yeni hızı

0,5v_2

olur. Otomobil C'den B'ye

\frac{y}{2v_1}

sürede ulaşır. Bu sürede motosikletin aldığı yol

0,5v_2 \cdot \frac{y}{2v_1} = \frac{y^2}{4x}

km olur. Kalan yol

150\text{ km}

olduğuna göre:

x - \frac{y^2}{4x} = 150 \implies y^2 = 4x^2 - 600x

olur.

Belirtilen hız değişimlerine göre araçların hareket sürelerini ve aldıkları yolları hesaplayıp ikinci denklemi oluşturmak.

4

İki denklemdeki

y^2

ifadelerini eşitleyerek

x

değerini çözme

x^2 - 120x = 4x^2 - 600x \implies 3x^2 - 480x = 0

.

x \neq 0

olduğundan

3x(x - 160) = 0 \implies x = 160\text{ km}

bulunur.

İki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözerek karşılaşma noktasının A kentine olan uzaklığını (

x

) hesaplamak.

5

Bulunan

x

değeriyle

y

değerini ve toplam yolu hesaplama

y^2 = 160^2 - 120 \cdot 160 = 160(160 - 120) = 6400 \implies y = 80\text{ km}

olur. Toplam yol

D = x + y = 160 + 80 = 240\text{ km}

olarak bulunur.

A ve B kentleri arasındaki toplam mesafeyi bulmak için elde edilen alt yolları (

x

ve

y

) toplamak.

Key Concept

İki hareketlinin karşılaşma problemlerinde geçen zamanın eşitliği ve hız-zaman-yol ilişkisinin oranlar üzerinden modellenmesi.

Hints

1

C noktasındaki karşılaşma anına kadar geçen sürenin eşitliğini kullanarak araçların hızları oranı ile yolların oranı (

x

ve

y

) arasında bir ilişki kurun.

2

Karşılaşmadan sonra otomobilin B'ye ulaşma sürelerini her iki durum için de ayrı ayrı yazıp bu sürelerde motosikletin A'ya doğru ne kadar yol alabileceğini

\frac{y^2}{x}

cinsinden ifade edin.

3

y^2 = x^2 - 120x

ve

y^2 = 4x^2 - 600x

denklemlerini eşitleyerek önce

x

'i, ardından

y

'yi bulun.

Practice More

Karşılaştıktan sonra yönlerini değiştiren veya dairesel bir pistte hareket eden benzer hız değişimli hareket problemlerini çözerek bu yöntemi pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Oran-orantı mantığıyla: İkinci durumda otomobil hızını 2 katına çıkardığı için hedefi daha kısa sürede tamamlar. Motosiklet ise hem yarı yarıya daha yavaş hareket eder hem de otomobil hızlandığı için daha kısa süre hareket imkanı bulur. Bu sebeple motosikletin aldığı yol ilk duruma göre

\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

oranına düşer. Buradan

y^2/x

ifadesinin

\frac{3}{4}

'ünün azalmasının kalan yolu 30 km artırdığı (

150 - 120 = 30

) görülür. Buradan denklem çözümleri daha hızlı yapılabilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 25Question →

Bir alışveriş merkezinde yukarı doğru sabit hızla hareket eden bir yürüyen merdiveni kullanan Hakan, merdivenin hareket yönünde kendi sabit hızıyla yürüyerek çıktığında toplam 20 adım atarak en üst noktaya ulaşıyor. Hakan, yürüyen merdivenin hızı değişmeden kendi yürüme hızını 2 katına çıkarıp aynı yönde yürürse en üst noktaya ulaştığında toplam 24 adım atmış oluyor.

Buna göre, Hakan çalışmakta olan bu yürüyen merdivende hiç adım atmadan sabit dursaydı, merdiven onu en üst noktaya Hakan'ın ilk yürüme hızıyla tek başına atacağı kaç adımın süresine eşit bir sürede ulaştırırdı?

15

30

45

60

120

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

Hakan'ın ilk yürüme hızıyla 60 adım atacağı süre

Hakan'ın ilk yürüme hızıyla attığı adımların süresi ile merdivenin taşıma süresi arasındaki ilişki kurulduğunda, merdivenin Hakan'ı tek başına en üste çıkarma süresinin Hakan'ın ilk hızıyla 60 adım atacağı süreye eşit olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1

Hakan'ın yürüme hızını

v_H

, merdivenin hızını

v_e

ve merdivenin toplam basamak uzunluğunu

L

olarak tanımlayarak ilk durum için denklem kuralım.

Hakan ilk hızında 20 adım attığı için geçen süre

t_1 = \frac{20}{v_H}

olur. Bu sürede merdivenin aldığı yol

v_e \cdot t_1 = \frac{20v_e}{v_H}

basamaktır. Merdivenin toplam boyu:

L = 20 + \frac{20v_e}{v_H}

şeklinde ifade edilir.

Hakan'ın attığı adım sayısı ile merdivenin onu taşıdığı mesafenin toplamı merdivenin toplam boyuna eşittir.

2

Hakan'ın hızını 2 katına çıkardığı ikinci durum için denklem kuralım.

Hakan yürüme hızını

2v_H

yaptığında 24 adım atmıştır. Geçen süre

t_2 = \frac{24}{2v_H} = \frac{12}{v_H}

olur. Bu sürede merdivenin aldığı yol

v_e \cdot t_2 = \frac{12v_e}{v_H}

basamaktır. Merdivenin toplam boyu:

L = 24 + \frac{12v_e}{v_H}

olur.

İkinci durumdaki yürüme süresi ve hız değişimiyle kat edilen toplam yolu belirlemek için.

3

Her iki durum için yazılan

L

ifadelerini birbirine eşitleyerek hızlar arasındaki ilişkiyi ve merdivenin basamak cinsinden boyunu bulalım.

20 + \frac{20v_e}{v_H} = 24 + \frac{12v_e}{v_H} \implies \frac{8v_e}{v_H} = 4 \implies v_H = 2v_e

elde edilir. Bu oranı ilk denklemde yerine yazarsak

L = 20 + 20 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 30

basamak bulunur.

Yürüyen merdivenin hızı ile Hakan'ın yürüme hızı arasındaki oranı ve merdivenin toplam fiziksel uzunluğunu belirlemek için.

4

Hakan'ın merdiven üzerinde adım atmadan durduğu durumdaki süreyi hesaplayalım ve Hakan'ın adım süresine oranlayalım.

Hakan sabit durduğunda merdiven onu

t_3 = \frac{L}{v_e} = \frac{30}{v_e}

sürede en üste çıkarır. Hakan'ın ilk yürüme hızıyla (

v_H

) atacağı

N

adımın süresi

\frac{N}{v_H}

olduğuna göre,

\frac{30}{v_e} = \frac{N}{v_H} \implies N = 30 \cdot \frac{v_H}{v_e}

olur.

v_H = 2v_e

olduğundan

N = 30 \cdot 2 = 60

adım süresi elde edilir.

Merdivenin tek başına taşıma süresinin Hakan'ın ilk hızıyla kaç adıma karşılık geldiğini bulmak için.

Key Concept

Yürüyen merdiven problemlerinde bağıl hareket ve hız-zaman-yol ilişkisi

Estimated Time:2m 30s

Question 26Question →

Dairesel bir pist etrafında aynı noktadan aynı anda ve zıt yönlerde sabit hızlarla koşmaya başlayan iki sporcudan hızlı olanının hızı, yavaş olanının hızının $2$ katıdır. Bu iki sporcu ilk kez karşılaştıktan $12$ dakika sonra, yavaş olan sporcu başlangıç noktasına ulaşıyor. Buna göre, hızlı olan sporcu pistin tamamını tek başına kaç dakikada koşar?

4

6

8

9

18

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Hızlı olan sporcu pistin tamamını 9 dakikada koşar.

Yavaş sporcunun hızı

v

, hızlı sporcunun hızı

2v

alındığında karşılaşma süresi

t

için pistin çevresi

3vt

olur. Karşılaşma anında hızlı sporcu

2vt

yol almıştır. Karşılaşmadan sonra yavaş sporcu başlangıç noktasına dönmek için bu

2vt

mesafesini kendi hızı olan

v

ile 12 dakikada alır. Buradan

2t = 12 \Rightarrow t = 6

dakika bulunur. Pistin tamamı

18v

olduğundan hızlı olan sporcu bu yolu

18v / 2v = 9

dakikada tamamlar. Bu nedenle 9 dakika seçeneği doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Sporcuların hızlarını ve pist üzerindeki hareketlerini tanımlama

Yavaş olan sporcunun hızı

v

ise hızlı olanın hızı

2v

olur. Zıt yönlerde hareket ettiklerinden karşılaşma süresi

t

olmak üzere, pistin çevresi

x = (2v + v) \cdot t = 3vt

olarak yazılır.

Hareketlilerin hızları arasındaki oranı belirlemek ve pistin toplam uzunluğunu hızlar cinsinden ifade etmek için.

2

Karşılaşma noktasına kadar alınan yolları bulma

Karşılaşma anına kadar hızlı olan sporcu

2vt

, yavaş olan sporcu ise

vt

kadar yol alır. Toplam yol

3vt

olur.

Karşılaşma anında her bir sporcunun pistin ne kadarını katettiğini belirlemek için.

3

Karşılaşmadan sonra yavaş olan sporcunun kalan yolu tamamlamasını denkleme dökme

Karşılaşma noktasından sonra yavaş olan sporcu başlangıç noktasına ulaşmak için hızlı sporcunun geldiği yolu (

2vt

mesafesini) kendi hızı olan

v

ile koşmalıdır. Bu süre

12

dakika olarak verilmiştir:

\frac{2vt}{v} = 12 \Rightarrow 2t = 12 \Rightarrow t = 6

dakika bulunur.

Karşılaşma sonrası geçen süreyi kullanarak karşılaşma süresini (t) tespit etmek için.

4

Pistin toplam uzunluğunu ve hızlı olan sporcunun pisti tamamlama süresini hesaplama

Pistin tamamı

x = 3vt = 3v \cdot 6 = 18v

olur. Hızlı olan sporcunun (hızı

2v

) tüm pisti koşma süresi ise

\frac{x}{2v} = \frac{18v}{2v} = 9

dakika olarak hesaplanır.

Pistin toplam uzunluğunu belirleyip hızlı sporcunun hızına bölerek sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Zıt yönlü dairesel hareket problemlerinde karşılaşma süresi ve karşılaştıktan sonra kalan yolların hızlar oranıyla ilişkisi.

Question 27Question →

Bir kargo dronu, rüzgârsız bir havada saatte ortalama $80\text{ km}$ sabit hızla uçabilmektedir. Bu dron, rüzgârın A merkezinden B merkezine doğru saatte $20\text{ km}$ sabit hızla estiği bir günde, A merkezinden B merkezine gidip hiç beklemeden tekrar A merkezine dönmüştür. Dronun bu gidiş-dönü�� yolculuğu toplam $4\text{ saat}$ sürdüğüne göre, A ile B merkezleri arasındaki mesafe kaç kilometredir?

120

150

160

200

320

Show answer & explanation

Answer: 150

Answer

A ile B merkezleri arasındaki mesafe

150\text{ km}

'dir.

Dronun rüzgârla aynı yöndeki gidiş hızı saatte

100\text{ km}

, rüzgâra karşı dönüş hızı ise saatte

60\text{ km}

'dir.

d

mesafesi için gidiş süresi

\frac{d}{100}

ve dönüş süresi

\frac{d}{60}

saattir. Toplam süre

4

saat olduğuna göre,

\frac{d}{100} + \frac{d}{60} = 4

denklemi kurulur. Payda eşitlemesiyle

\frac{8d}{300} = 4

ve buradan

d = 150\text{ km}

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Dronun gidiş ve dönüş hızlarını belirleyin.

Gidiş hızı rüzgâr yönünde olduğu için

80 + 20 = 100\text{ km/sa}

; dönüş hızı rüzgâra karşı olduğu için

80 - 20 = 60\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Rüzgâr, hareket yönüyle aynı yöndeyken hızı artırır, zıt yöndeyken ise hızı azaltır.

2

Gidiş ve dönüş süreleri için zaman denklemini kurun.

A ile B arası mesafeye

d

denirse, gidiş süresi

t_1 = \frac{d}{100}

saat ve dönüş süresi

t_2 = \frac{d}{60}

saat olur.

Zaman formülü

t = \frac{\text{Yol}}{\text{Hız}}

şeklindedir.

3

Toplam süreyi

4

saate eşitleyip denklemi çöz��n.

\frac{d}{100} + \frac{d}{60} = 4

denkleminde paydalar

300

değerinde eşitlendiğinde

\frac{3d + 5d}{300} = 4 \implies \frac{8d}{300} = 4 \implies 8d = 1200 \implies d = 150\text{ km}

bulunur.

Gidiş ve dönüş sürelerinin toplamı

4

saattir.

Key Concept

Rüzgâr/akıntı etkisi altındaki hareket problemlerinde hız değişimi ve gidiş-dönüş süreleri üzerinden yol hesabı.

Hints

1

Dronun rüzgâr yönünde giderken ve rüzgâra karşı dönerken hızlarının farklı olacağını unutmayın.

2

Gidiş hızı saatte

80 + 20 = 100\text{ km}

, dönüş hızı ise saatte

80 - 20 = 60\text{ km}

olur.

3

Yol

d

kilometredir. Gidiş süresi

\frac{d}{100}

saat, dönüş süresi

\frac{d}{60}

saattir. Bu iki sürenin toplamını

4

saate eşitleyip denklemi çözün.

Practice More

Benzer mantığı akıntı hızı içeren nehir problemlerinde de uygulayabilirsiniz.

Alternative Method

Gidiş ve dönüş hızları sırasıyla

v_1 = 100\text{ km/sa}

ve

v_2 = 60\text{ km/sa}

'dir. Bu iki hızın harmonik ortalaması alınarak ortalama hız

V_{ort} = \frac{2 \cdot 100 \cdot 60}{100 + 60} = 75\text{ km/sa}

olarak bulunur. Toplam uçuş süresi

4

saat olduğundan toplam alınan yol

75 \cdot 4 = 300\text{ km}

'dir. Gidiş-dönüş mesafesi eşit olduğundan, tek yönlü mesafe

300 / 2 = 150\text{ km}

olarak elde edilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 28Question →

Bir kurye, A kentinden B kentine olan teslimat rotasını üç eşit bölüme ayırmıştır. Kurye;
* Yolun birinci bölümünü saatte sabit $48\text{ km}$ hızla,
* Yolun ikinci bölümünü saatte sabit $v_2\text{ km}$ hızla,
* Yolun üçüncü bölümünü saatte sabit $v_3\text{ km}$ hızla
gitmiştir. Kuryenin bu teslimat boyunca tüm yol üzerindeki ortalama hızı saatte $48\text{ km}$ olmuştur.

Eğer kurye yolun ikinci bölümünü de birinci bölümdeki gibi saatte $48\text{ km}$ hızla, üçüncü bölümünü ise ikinci bölümdeki gibi saatte $v_2\text{ km}$ hızla gitseydi, tüm yol boyunca ortalama hızı saatte $60\text{ km}$ olacaktı.

Buna göre, kuryenin üçüncü bölümdeki hızı ( $v_3$ ) saatte kaç $\text{km}$ 'dir?

12

20

30

40

48

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Kuryenin üçüncü bölümdeki hızı saatte 30 km'dir.

Doğru çözümde ortalama hızın genel formülü olan Toplam Yol / Toplam Süre kullanılmıştır. İkinci senaryodaki ortalama hız olan 60 km/sa bilgisinden kuryenin ikinci bölümdeki hızı (

v_2 = 120

km/sa) elde edilmiş, bu değer ilk senaryodaki ortalama hız denklemine yazıldığında ise üçüncü bölümdeki hız (

v_3 = 30

km/sa) hatasız bir şekilde hesaplanmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Yolun her bir bölümünün uzunluğunu

d

km olarak tanımlayıp, verilen durumlar için ortalama hız denklemlerini oluşturmak.

Birinci durum için:

V_{\text{ort1}} = \frac{3d}{\frac{d}{48} + \frac{d}{v_2} + \frac{d}{v_3}} = 48 \implies \frac{1}{48} + \frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}

elde edilir.
İkinci durum için:

V_{\text{ort2}} = \frac{3d}{\frac{d}{48} + \frac{d}{48} + \frac{d}{v_2}} = 60 \implies \frac{2}{48} + \frac{1}{v_2} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}

elde edilir.

Ortalama hız formülü

\text{Toplam Yol} / \text{Toplam Zaman}

olduğundan ve her bölüm için süre

t = d/v

olarak hesaplandığından bu denklemler kurulmalıdır.

2

İkinci durum denkleminden yararlanarak

v_2

hızını bulmak.

\frac{2}{48} + \frac{1}{v_2} = \frac{1}{20} \implies \frac{1}{24} + \frac{1}{v_2} = \frac{1}{20} \implies \frac{1}{v_2} = \frac{1}{20} - \frac{1}{24}

Paydaları

120

sayısında eşitleyelim:

\frac{1}{v_2} = \frac{6}{120} - \frac{5}{120} = \frac{1}{120} \implies v_2 = 120\text{ km/sa}

bulunur.

İkinci denklem tek bilinmeyenli (

v_2

) hale getirilebildiği için öncelikle bu hızın değerini çözmek gerekir.

3

v_2

değerini birinci durumda yerine koyarak

v_3

hızını hesaplamak.

\frac{1}{48} + \frac{1}{120} + \frac{1}{v_3} = \frac{1}{16} \implies \frac{1}{v_3} = \frac{1}{16} - \frac{1}{48} - \frac{1}{120}

Önce

\frac{1}{16} - \frac{1}{48}

işlemini yapalım:

\frac{3}{48} - \frac{1}{48} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}

Şimdi kalan işlemi tamamlayalım:

\frac{1}{v_3} = \frac{1}{24} - \frac{1}{120} \implies \frac{1}{v_3} = \frac{5}{120} - \frac{1}{120} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30} \implies v_3 = 30\text{ km/sa}

bulunur.

Bulunan

v_2

değerini ilk denklemde yerine yazıp rasyonel işlemleri adım adım takip ederek hedef bilinmeyen olan

v_3

değerine ulaşılır.

Key Concept

Ortalama Hız (Harmonik Ortalama Uygulaması)

Alternative Method

Yolun tamamına 360 km (ya da her bir bölüme 120 km) değer vererek süreler üzerinden işlem yapılabilir. İkinci durumda toplam yol 360 km ve ortalama hız 60 km/sa ise toplam süre 6 saattir. İlk iki bölümü 48 km/sa hızla giden kurye buralarda

120/48 = 2.5

saatten toplam 5 saat harcar. Kalan 1 saati üçüncü bölümde harcadığı için ikinci bölümdeki hızı

120/1 = 120

km/sa olur. Birinci durumda toplam yol 360 km ve ortalama hız 48 km/sa ise toplam süre 7.5 saattir. İlk iki bölümde geçen süre

120/48 + 120/120 = 2.5 + 1 = 3.5

saattir. Geriye kalan 4 saat üçüncü bölümde geçmiştir. Buradan üçüncü bölümdeki hız

120/4 = 30

km/sa olarak bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 29Question →

Bir otomobil sürücüsü, A ve B kentleri arasındaki $480\text{ km}$ 'lik yolu normal şartlarda saatte ortalama $80\text{ km}$ sabit hızla giderek planlanan sürede tamamlamaktadır. Ancak bu sürücü, yolculuğun belirli bir kısmında yol yapım çalışması nedeniyle hızını saatte $60\text{ km}$ 'ye düşürmek zorunda kalmıştır. Sürücü B kentine planladığı süreden $1{}5\text{ saat}$ geç ulaştığına göre, yolun yol yapım çalışması yapılan bölümü kaç kilometredir?

120

180

240

300

360

Show answer & explanation

Answer: 360

Answer

Yolun yol yapım çalışması yapılan bölümünün uzunluğu

360\text{ km}

'dir.

Yol yapım çalışması yapılan bölümün uzunluğu

360\text{ km}

'dir. Sürücü normalde 6 saat sürecek yolu, hızını bir bölümde

60\text{ km/sa}

'e düşürdüğü için

7{}5

saatte tamamlamıştır. Bu durumda iki durum arasındaki süre farkı olan

1{}5

saat doğrudan yol yapım çalışması yapılan bölgedeki hız kaybından kaynaklanmaktadır.

\frac{x}{60} - \frac{x}{80} = 1{}5

denklemi çözüldüğünde

x = 360\text{ km}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Planlanan normal yolculuk süresini hesaplayın.

Normal süre:

T_{\text{planlanan}} = \frac{480}{80} = 6\text{ saat}

.

Sürücünün normal şartlarda yolu ne kadar sürede tamamlaması gerektiğini bulmak için toplam yol uzunluğunu normal hıza böleriz.

2

Gecikmeli yolculuğun fiili süresini belirleyin.

Fiili süre:

T_{\text{fiili}} = 6 + 1{}5 = 7{}5\text{ saat}

.

Sürücü planlanan süreden

1{}5\text{ saat}

geç ulaştığı için bu gecikme süresini normal süreye ekleriz.

3

Yol yapım çalışması yapılan böl��mün uzunluğunu

x

değişkeni olarak tanımlayıp zaman denklemini kurun.

\frac{x}{60} + \frac{480 - x}{80} = 7{}5

Yolun yol yapım çalışması yapılan

x\text{ km}

'lik kısmı

60\text{ km/sa}

hızla, kalan

480-x\text{ km}

'lik kısmı ise normal hız olan

80\text{ km/sa}

ile gidilmiştir. Bu iki sürenin toplamı fiili süreye e��it olmalıdır.

4

Kurulan denklemi çözün.

\frac{x}{60} - \frac{x}{80} + 6 = 7{}5 \implies \frac{x}{60} - \frac{x}{80} = 1{}5 \implies \frac{4x - 3x}{240} = 1{}5 \implies \frac{x}{240} = 1{}5 \implies x = 360\text{ km}

.

Paydaları 240'ta eşitleyerek

x

değerini yalnız bırak��rız.

Key Concept

Hareket problemlerinde toplam yol ve farklı hızlarla alınan bölümler arasındaki zaman ilişkisini kullanarak denklem kurma.

Alternative Method

Gecikme süresi üzerinden doğrudan denklem kurulabilir: Yol yapım çalışmasının yapıldığı bölümün uzunluğu

x\text{ km}

olsun. Sürücü bu bölümü normalde

80\text{ km/sa}

hızla geçecekken yol yapımı nedeniyle

60\text{ km/sa}

hızla geçmiştir. Bu iki durum arasındaki süre farkı gecikme süresine (

1{}5\text{ saat}

) eşittir:

\frac{x}{60} - \frac{x}{80} = 1{}5 \implies \frac{x}{240} = 1{}5 \implies x = 360\text{ km}

bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 30Question →

Bir sporcu, A ve B noktaları arasındaki doğrusal bir parkurda gidiş-dönüş koşusu yapacaktır. Sporcu, gidişte yolun ilk yarısını saatte $12\text{ km}$ sabit hızla, ikinci yarısını ise saatte $18\text{ km}$ sabit hızla koşmuştur. Dönüşte ise tüm yolu saatte sabit $V\text{ km}$ hızla koşarak gidiş ve dönüş sürelerini birbirine eşit kılmıştır.

Buna göre, $V$ kaçtır?

7,2

12

14,4

14

15

Show answer & explanation

Answer: 14,4

Answer

14,4

Gidiş süresi yolun iki yarısı için ayrı ayrı hesaplanıp toplandığında

\frac{x}{12} + \frac{x}{18} = \frac{5x}{36}

saat bulunur. Tüm dönüş yolu

2x

olup

V

hızıyla

\frac{2x}{V}

saatte alınır. Bu süreler eşitlendiğinde

\frac{5x}{36} = \frac{2x}{V}

eşitliğinden

V = 14,4

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Gidiş yolunun bölümlerini tanımlama ve gidiş süresini formüle etme

Yolun tamamına

2x

dersek, ilk yarısı

x

ve ikinci yarısı

x

olur. Gidiş süresi:

t_{gidiş} = \frac{x}{12} + \frac{x}{18} = \frac{3x + 2x}{36} = \frac{5x}{36}

saat.

Yol formülü (

t = \frac{yol}{hız}

) kullanılarak her bir bölüm için harcanan süreler toplanır.

2

Dönüş süresini

V

cinsinden ifade etme

Dönüş süresi:

t_{dönüş} = \frac{2x}{V}

saat.

Dönüşte tüm yol (

2x

km) sabit

V

hızı ile alınmıştır.

3

Gidiş ve dönüş sürelerini eşitleyerek

V

'yi bulma

\frac{5x}{36} = \frac{2x}{V} \Rightarrow 5V = 72 \Rightarrow V = 14,4

olarak hesaplanır.

Gidiş süresi ile dönüş süresinin eşit olduğu soruda verilmiştir.

Key Concept

Ortalama hız ve hareket problemlerinde yol-zaman ilişkisi.

Question 31Question →

Bir elektrikli otomobil test sürüşünde, batarya verimliliğini ölçmek için iki aşamalı doğrusal bir pistte hareket etmektedir. Otomobil, pistin ilk $\frac{1}{3}$ 'lük kısmını saatte ortalama $v \text{ km}$ sabit hızla, kalan kısmını ise saatte ortalama $3v \text{ km}$ sabit hızla tamamlamıştır.

Bu test sürüşünün tamamında otomobilin ortalama hızı saatte $90 \text{ km}$ olduğuna göre, $v$ kaçtır?

30

45

50

60

75

Show answer & explanation

Answer: 50

Answer

Otomobilin ilk aşamadaki hızı olan v değeri 50'dir.

Toplam yol

3x

olarak belirlendiğinde, ilk bölüm

x

uzunluğunda ve seyahat süresi

\frac{x}{v}

olur. İkinci bölüm

2x

uzunluğunda ve seyahat süresi

\frac{2x}{3v}

olur. Toplam süre

t = \frac{5x}{3v}

olarak hesaplanır. Ortalama hız formülünden

90 = \frac{3x}{5x/3v} = \frac{9v}{5}

elde edilir ve buradan

v = 50

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Yolun bölümlerini belirleme

Pistin tamamına

3x

dersek, ilk bölüm

x

ve kalan bölüm

2x

uzunluğundadır.

Yolun

\frac{1}{3}

'ü gidildiğinde kalan kısmı bulmak ve işlemleri kolaylaştırmak için.

2

Aşamaların geçilme sürelerini yazma

İlk aşama için süre

t_1 = \frac{x}{v}

saat, ikinci aşama için süre

t_2 = \frac{2x}{3v}

saattir.

Zaman = Yol / Hız formülünü uygulayarak toplam süreyi bulmak amacıyla.

3

Toplam süreyi hesaplama

t_{\text{toplam}} = \frac{x}{v} + \frac{2x}{3v} = \frac{3x + 2x}{3v} = \frac{5x}{3v}

saattir.

Rasyonel ifadelerde paydaları

3v

paydasında eşitleyerek toplam zamanı tek bir ifadeyle göstermek için.

4

Ortalama hız formülünü kurma ve eşitleme

V_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}} \Rightarrow 90 = \frac{3x}{\frac{5x}{3v}} \Rightarrow 90 = \frac{9v}{5}

elde edilir.

Ortalama hızın formüldeki tanımını uygulayıp verilen ortalama hıza eşitleyerek denklem elde etmek için.

5

Bilinmeyen v değerini çözme

90 = \frac{9v}{5} \Rightarrow 10 = \frac{v}{5} \Rightarrow v = 50

bulunur.

Elde edilen birinci dereceden denklemi çözerek aranan hız değerine ulaşmak için.

Key Concept

Ortalama hız, toplam gidilen yolun toplam geçen süreye bölünmesiyle hesaplanır (

V_{\text{ort}} = \frac{X_{\text{toplam}}}{t_{\text{toplam}}}

). Hızların aritmetik ortalaması genel olarak ortalama hızı vermez.

Question 32Question →

$A$ ve $B$ kentlerinden sırasıyla $V_A$ ve $V_B$ sabit hızlarıyla aynı anda birbirlerine doğru harekete başlayan iki araç, bir süre sonra $C$ noktasında karşılaşıyorlar.

Karşılaşma anından sonra;
- $A$ kentinden yola çıkan araç hızını %50 artırarak $C$ noktasından $B$ kentine 4 saatte ulaşıyor.
- $B$ kentinden yola çıkan araç hızını %50 artırarak $C$ noktasından $A$ kentine 9 saatte ulaşıyor.

Buna göre, bu iki araç harekete başladıktan kaç saat sonra karşılaşmıştır?

6

7,5

8

9

12

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

İki aracın harekete başladıktan sonra karşılaştığı süre 9 saattir.

Karşılaşma süresi olan

t_m

saat boyunca araçlar sırasıyla

d_1 = V_A \cdot t_m

ve

d_2 = V_B \cdot t_m

yollarını alırlar. Karşılaşmadan sonra hızlarını %50 artırdıklarında yeni hızları

1,5 V_A

ve

1,5 V_B

olur. Bu hızlarla kalan yolları sırasıyla 4 ve 9 saatte aldıklarına göre

d_2 = 1,5 V_A \cdot 4 = 6 V_A

ve

d_1 = 1,5 V_B \cdot 9 = 13,5 V_B

denklemleri elde edilir. Yol denklemlerini oranladığımızda

\frac{d_1}{d_2} = \frac{V_A}{V_B} = \frac{13,5 V_B}{6 V_A}

eşitliğinden hızların oranı

\frac{V_A}{V_B} = \frac{3}{2}

olarak bulunur. Bu oran ilk yol denkleminde yerine yazıldığında karşılaşma süresi

t_m = 9

saat olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Karşılaşma noktasına kadar olan hareketin modellenmesi

AC = d_1 = V_A \cdot t_m

ve

CB = d_2 = V_B \cdot t_m

yolları bulunur. Buradan yol oranları

\frac{d_1}{d_2} = \frac{V_A}{V_B}

eşitliğini verir.

Karşılaşma anına kadar geçen süre her iki araç için de ortaktır.

2

Karşılaşma sonrasındaki hareketin modellenmesi

Araçların yeni hızları

1,5 V_A

ve

1,5 V_B

olur. Kalan yollar için mesafeler sırasıyla

d_2 = 1,5 V_A \cdot 4 = 6 V_A

ve

d_1 = 1,5 V_B \cdot 9 = 13,5 V_B

şeklinde ifade edilir.

Hız %50 artırıldığında yeni hız eski hızın 1,5 katı olur.

3

Hız oranlar��nın belirlenmesi

\frac{d_1}{d_2} = \frac{V_A}{V_B} = \frac{13,5 V_B}{6 V_A}

denkleminden

6 V_A^2 = 13,5 V_B^2 \implies \frac{V_A^2}{V_B^2} = \frac{13,5}{6} = \frac{9}{4} \implies \frac{V_A}{V_B} = \frac{3}{2}

elde edilir.

Yol oranlarının eşitliği kullanılarak başlangıç hızlarının oranı bulunur.

4

Karşılaşma süresinin hesaplanması

d_1 = V_A \cdot t_m = 13,5 V_B \implies t_m = 13,5 \cdot \frac{V_B}{V_A} = 13,5 \cdot \frac{2}{3} = 9

saat olarak hesaplanır.

Bulunan hız oranı zaman denkleminde yerine yazılmıştır.

Key Concept

Hız, zaman ve yol arasındaki doğrusal ilişki ile hız değişimlerinin hareket sürelerine etkisi.

Alternative Method

Geometrik ortalama yöntemi kullanılabilir. Eğer araçlar hızlarını değiştirmeseydi, karşılaşma süresi kalan sürelerin geometrik ortalaması olurdu. Her iki araç da hızını eşit oranda (%50) artırdığı için süreler aynı oranda kısalmıştır. Dolayısıyla hızları artırılmasaydı yolları tamamlama süreleri

4 \times 1,5 = 6

saat ve

9 \times 1,5 = 13,5

saat olacaktı. Buradan karşılaşma süresi

t_m = \sqrt{6 \times 13,5} = \sqrt{81} = 9

saat olarak doğrudan bulunabilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 33Question →

Çevre uzunluğu $600\text{ metre}$ olan dairesel bir parkurda, aynı noktadan aynı anda ve aynı yönde bir koşucu ile bir bisikletli harekete başlıyor. Koşucu saniyede sabit $4\text{ metre}$ hızla koşmaktadır. Bisikletli ise ilk $10\text{ saniye}$ boyunca saniyede sabit $8\text{ metre}$ hızla gitmekte, sonraki her $10\text{ saniyelik}$ zaman diliminde ise hızını saniyede $2\text{ metre}$ artırarak yoluna devam etmektedir.

Buna göre, bisikletli ile koşucu ilk kez karşılaştıklarında bisikletli toplam kaç metre yol almıştır?

600

780

840

855

860

Show answer & explanation

Answer: 855

Answer

Bisikletli ile koşucu ilk kez karşılaştıklarında bisikletli toplam 855 metre yol almıştır.

Dairesel pist üzerinde aynı noktadan aynı yönde harekete başlayan iki aracın karşılaşması için hızlı olanın yavaş olana tam bir tur (600 metre) fark atması gerekir. Kümülatif farklar hesaplandığında 60. saniyede fark 540 metreye ulaşır. Kalan 60 metrelik fark, bu aralıktaki hız farkı olan saniyede 16 metre ile 3,75 saniyede kapatılır. Böylece bisikletli toplam 63,75 saniye hareket ederek 855 metre yol almış olur.

Step-by-Step Solution

1

Koşucu ve bisikletlinin zamana göre aldıkları yolları ve aralarındaki mesafe farkını belirlemek amacıyla 10 saniyelik periyotları inceleyelim.

10'ar saniyelik aralıklarla hızlar ve mesafeler belirlenir.

Dairesel pistte aynı yöne giden iki aracın ilk kez karşılaşması için aralarındaki yol farkının pistin çevresine (600 metre) eşit olması gerekir.

2

Her periyotta bisikletlinin ve koşucunun aldığı yolları ve oluşan net yol farkını hesaplayalım:
- 0-10 sn: Bisikletli

10 \times 8 = 80\text{ m}

, Koşucu

10 \times 4 = 40\text{ m}

, Fark =

40\text{ m}

.
- 10-20 sn: Bisikletli hızı

10\text{ m/sn}

. Alınan yol

100\text{ m}

, Koşucu

40\text{ m}

, Fark =

60\text{ m}

(Toplam fark:

100\text{ m}

).
- 20-30 sn: Bisikletli hızı

12\text{ m/sn}

. Alınan yol

120\text{ m}

, Koşucu

40\text{ m}

, Fark =

80\text{ m}

(Toplam fark:

180\text{ m}

).
- 30-40 sn: Bisikletli hızı

14\text{ m/sn}

. Alınan yol

140\text{ m}

, Koşucu

40\text{ m}

, Fark =

100\text{ m}

(Toplam fark:

280\text{ m}

).
- 40-50 sn: Bisikletli hızı

16\text{ m/sn}

. Alınan yol

160\text{ m}

, Koşucu

40\text{ m}

, Fark =

120\text{ m}

(Toplam fark:

400\text{ m}

).
- 50-60 sn: Bisikletli hızı

18\text{ m/sn}

. Alınan yol

180\text{ m}

, Koşucu

40\text{ m}

, Fark =

140\text{ m}

(Toplam fark:

540\text{ m}

)

60. saniye sonunda bisikletli toplam

780\text{ m}

yol almış ve koşucu ile arasındaki mesafe farkı

540\text{ metre}

olmuştur.

Kümülatif farkın hangi 10 saniyelik dilimde 600 metreye ulaşacağını bulmak.

3

Hedeflenen 600 metrelik farka ulaşmak için kalan 60 metrelik farkın 60. saniyeden sonra ka�� saniyede tamamlanacağını bulalım. 60-70 saniye aralığında bisikletlinin hızı

20\text{ m/sn}

, koşucunun hızı ise sabit

4\text{ m/sn}

'dir. Bu aralıktaki saniyelik fark açma hızı (ba��ıl hız)

20 - 4 = 16\text{ m/sn}

olur. Kalan 60 metrelik fark için gereken süre:

t_0 = 60 / 16 = 3,75\text{ saniye}

.

Karşılaşma toplam

60 + 3,75 = 63,75\text{ saniye}

sonra gerçekleşir.

Buluşma anındaki toplam süreyi belirlemek.

4

Bisikletlinin bu sürede aldığı toplam yolu hesaplayalım: İlk 60 saniyede alınan yol

780\text{ metre}

idi. Son 3,75 saniyede saniyede

20\text{ metre}

hızla alınan yol:

20 \times 3,75 = 75\text{ metre}

. Toplam yol:

780 + 75 = 855\text{ metre}

.

Bisikletlinin aldığı toplam yol 855 metredir.

Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak.

Key Concept

Dairesel pist hareket problemlerinde bağıl hız ve kümülatif mesafe farkı hesabı.

Hints

1

İki hareketlinin dairesel bir pistte aynı noktadan aynı yöne doğru giderek karşılaşması için hızlı olanın yavaş olana 1 tur fark atması (mesafe farkının 600 metre olması) gerekir.

2

İlk 60 saniyedeki 10'ar saniyelik periyotları ayrı ayrı hesaplayarak 60. saniye sonundaki toplam mesafe farkını bulun. Bu değerin 600 metreden az ama 600'e çok yakın olduğunu göreceksiniz.

3

60. saniyede fark 540 metredir. Kalan 60 metrelik farkı kapatmak için 60-70 saniye aralığındaki bağıl hızı (20 - 4 = 16 m/sn) kullanarak ek süreyi bulun.

Practice More

Hızların zıt yönlü olması veya dairesel pist yerine doğrusal bir hatta belirli sürelerle hız artırma senaryoları içeren soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Her 10 saniyelik periyot için bağıl hızları doğrudan yazabiliriz: Hız farkları sırasıyla 4, 6, 8, 10, 12, 14 m/sn'dir. Her periyotta açılan farklar sırasıyla 40, 60, 80, 100, 120, 140 metredir. Toplam fark 540 metredir. 60. saniyeden sonraki hız farkı 16 m/sn olduğundan, kalan 60 metrelik fark 60/16 = 3,75 saniyede kapanır. Buradan bisikletlinin toplam aldığı yol 780 + 3,75 * 20 = 855 metre olarak pratikçe bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 34Question →

İki araç, A kentinden B kentine gitmek üzere aynı anda yola çıkıyor. Birinci araç, yolun ilk yarısını saatte $60\text{ km}$ hızla, kalan yarısını ise saatte $90\text{ km}$ hızla giderek B kentine ulaşıyor. İkinci araç ise tüm yolculuk süresinin ilk yarısını saatte $60\text{ km}$ hızla, kalan yarısını ise saatte $90\text{ km}$ hızla giderek B kentine ulaşıyor. İkinci araç, B kentine birinci araçtan $10$ dakika önce ulaştığına göre, A ile B kentleri arasındaki uzaklık kaç kilometredir?

120

180

300

450

720

Show answer & explanation

Answer: $300$

Answer

A ile B kentleri arasındaki uzaklık

300\text{ km}

'dir.

Birinci aracın toplam yolculuk süresi

T_1 = \frac{x}{72}

saat, ikinci aracın toplam yolculuk süresi

T_2 = \frac{x}{75}

saattir. İki araç arasındaki

10

dakikalık (yani

\frac{1}{6}

saat) zaman farkı denklemine döküldüğünde

\frac{x}{72} - \frac{x}{75} = \frac{1}{6}

eşitliğinden yolun uzunluğu

300\text{ km}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Birinci aracın B kentine ulaşma süresini (

T_1

) belirlemek için yolun her iki yarısında geçen süreleri ayrı ayrı yazarak toplam süreyi bulalım.

Yolun tamamına

x

km dersek; yolun ilk yarısı için geçen süre

t_1 = \frac{x/2}{60} = \frac{x}{120}

saat, ikinci yarısı için geçen süre

t_2 = \frac{x/2}{90} = \frac{x}{180}

saattir. Buradan toplam süre

T_1 = \frac{x}{120} + \frac{x}{180} = \frac{5x}{360} = \frac{x}{72}

saat olur.

Hızlar yolun farklı bölümlerine (mesafeye) göre tanımlandığı için süre, her bir bölümün uzunluğunun o bölümdeki hıza bölünmesiyle hesaplanır.

2

İkinci aracın B kentine ulaşma süresini (

T_2

) belirlemek için yolculuk süresinin yarısında alınan mesafeleri toplayıp toplam mesafeye eşitleyelim.

Toplam yolculuk süresine

T_2

saat dersek; ilk yarıda (

T_2/2

saat) alınan yol

60 \times \frac{T_2}{2} = 30T_2

km, ikinci yarıda (

T_2/2

saat) alınan yol

90 \times \frac{T_2}{2} = 45T_2

km'dir. Toplam yol

x = 30T_2 + 45T_2 = 75T_2

km olur. Buradan

T_2 = \frac{x}{75}

saat olarak bulunur.

Hızlar zamana göre tanımlandığı için her bir zaman diliminde alınan yolların toplamı toplam mesafeyi verir.

3

İki aracın varış süreleri arasındaki farkı saat cinsine çevirerek mesafeyi bulalım.

İkinci araç birinci araçtan

10

dakika önce ulaştığına göre süre farkı

T_1 - T_2 = 10\text{ dakika} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}

saattir. Denklemimizi kuralım:

\frac{x}{72} - \frac{x}{75} = \frac{1}{6}

. Paydaları

1800

değerinde eşitleyelim:

\frac{25x - 24x}{1800} = \frac{1}{6} \implies \frac{x}{1800} = \frac{1}{6} \implies x = 300\text{ km}

.

Hızlar km/saat cinsinden olduğundan, verilen sürenin de saate çevrilerek denklemde yerine yazılması gerekir.

Key Concept

Ortalama Hız ve Hareket Denklemleri

Hints

1

Birinci aracın hızları yolun farklı bölümlerine (mesafeye) göre belirlenmiştir. Bu durumda ortalama hızın harmonik ortalamayla ilişkili olduğunu unutmayın.

2

İkinci aracın hızları zaman dilimlerine göre belirlenmiştir. Bu durumda ortalama hız aritmetik ortalama ile hesaplanır. İki aracın varış sürelerini

x

cinsinden yazın.

3

Birinci aracın toplam süresi

T_1 = \frac{x}{72}

saat, ikinci aracın toplam süresi

T_2 = \frac{x}{75}

saattir. Aralarındaki farkın

10\text{ dakika} = \frac{1}{6}\text{ saat}

olduğunu kullanarak denklemi çözün.

Practice More

Benzer mantıkla, hızların ve sürelerin farklı oranlarda bölündüğü durumları içeren ortalama hız problemlerini çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Ortalama hız formüllerini doğrudan kullanabiliriz. Birinci araç eşit mesafeleri farklı hızlarla gittiği için ortalama hızı:

V_{ort1} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 90}{60 + 90} = 72\text{ km/sa}

olur. İkinci araç eşit zaman sürelerinde bu hızlarla gittiği için ortalama hızı:

V_{ort2} = \frac{60 + 90}{2} = 75\text{ km/sa}

olur. Birinci aracın süresi

T_1 = \frac{x}{72}

, ikinci aracın süresi

T_2 = \frac{x}{75}

'tir.

T_1 - T_2 = \frac{1}{6}

saat denklemi çözüldüğünde

x = 300\text{ km}

bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 35Question →

Uzunluğu $150\text{ metre}$ olan bir tren, sabit hızla hareket ederek $450\text{ metre}$ uzunluğundaki bir tüneli giriş anından tamamen çıkış anına kadar $30\text{ saniyede}$ geçmektedir. Aynı tren, tüneli geçtikten sonra hızını saatte $18\text{ km}$ artırarak başka bir köprüyü $20\text{ saniyede}$ tamamen geçiyor. Buna göre, bu köprünün uzunluğu kaç metredir?

250

400

350

500

610

Show answer & explanation

Answer: 350

Answer

350 metre

Doğru cevap, trenin tüneli geçerken aldığı yolun tren ve tünel boylarının toplamı (

600\text{ m}

) olduğunu görerek hızını

20\text{ m/s}

olarak hesaplayan; ardından hız artışını (

18\text{ km/h} = 5\text{ m/s}

) ekleyip yeni hızını

25\text{ m/s}

bulan ve

20

saniyede alınan toplam

500\text{ m}

yoldan trenin kendi boyunu (

150\text{ m}

) çıkararak köprü uzunluğunu

350\text{ metre}

olarak bulan seçenektir.

Step-by-Step Solution

1

Trenin tüneli tamamen geçmesi için alması gereken toplam mesafeyi belirlemek.

Toplam mesafe = Tren boyu + Tünel boyu =

150 + 450 = 600\text{ metre}

.

Bir trenin bir tüneli tamamen geçmesi için kendi boyu ile tünel boyunun toplamı kadar yol alması gerekir.

2

Trenin ilk hızını (

V_1

) metre/saniye (m/s) cinsinden hesaplamak.

V_1 = \frac{600}{30} = 20\text{ m/s}

.

Hız, alınan yolun geçen süreye bölünmesiyle bulunur.

3

Saatte

18\text{ km}

(

18\text{ km/h}

) olan hız artışını metre/saniye (m/s) cinsine çevirmek.

18\text{ km/h} = \frac{18 \times 1000\text{ m}}{3600\text{ s}} = 5\text{ m/s}

.

Sorudaki diğer birimler metre ve saniye cinsinden olduğundan hız artışının da m/s cinsine çevrilmesi gerekir.

4

Trenin yeni hızını (

V_2

) belirlemek.

V_2 = 20 + 5 = 25\text{ m/s}

.

Tren hızını

5\text{ m/s}

artırdığı için yeni hız bu iki değerin toplamıdır.

5

Trenin köprüyü geçerken aldığ�� toplam yolu ve buradan köprünün uzunluğunu hesaplamak.

Toplam yol =

25\text{ m/s} \times 20\text{ s} = 500\text{ metre}

. Köprü uzunluğu = Toplam yol - Tren boyu =

500 - 150 = 350\text{ metre}

.

Köprüyü tamamen geçme süresi ve hız kullanılarak toplam yol bulunur; bu yoldan trenin kendi boyu çıkarıldığında köprünün uzunluğu elde edilir.

Key Concept

Trenlerin tünel ve köprü geçişlerinde toplam yol hesabı ve hız birimi dönüştürme

Alternative Method

Tüm birimleri saat ve kilometre cinsine çevirerek de çözüme ulaşabiliriz. Trenin boyu

0,15\text{ km}

, tünelin boyu

0,45\text{ km}

'dir. Toplam yol

0,6\text{ km}

olur. Süre

30\text{ saniye} = \frac{30}{3600} = \frac{1}{120}\text{ saat}

'tir. Buradan ilk hız

V_1 = \frac{0,6}{1/120} = 72\text{ km/h}

bulunur. Hız

18\text{ km/h}

artırılınca yeni hız

90\text{ km/h}

olur. Köprüden geçiş süresi

20\text{ saniye} = \frac{20}{3600} = \frac{1}{180}\text{ saat}

'tir. Alınan toplam yol

90 \times \frac{1}{180} = 0,5\text{ km} = 500\text{ metre}

olur. Köprü uzunluğu ise

500 - 150 = 350\text{ metre}

bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 36Question →

Kerem, bir alışveriş merkezindeki duran bir yürüyen bandın üzerinde sabit hızla yürürken bandın bir ucundan diğer ucuna $60\text{ saniyede}$ ulaşmaktadır. Yürüyen bant çalışır durumdayken Kerem aynı hızla yürüdüğünde ise bandın bir ucundan diğer ucuna $20\text{ saniyede}$ varmaktadır.

Buna göre, Kerem bant üzerinde hiç yürümeden sadece ayakta durursa, çalışan yürüyen bandın Kerem'i bandın bir ucundan diğer ucuna taşıma süresi kaç saniyedir?

15

24

30

40

45

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Çalışan yürüyen bandın Kerem'i sadece ayakta dururken taşıma süresi 30 saniyedir.

Kerem'in duran bant üzerindeki hızı birim zamanda yolun altmışta biri, çalışan bant üzerinde yürürkenki toplam hızı ise birim zamanda yolun yirmide biridir. Toplam hızdan Kerem'in kendi hızını çıkardığımızda bandın hızı birim zamanda yolun otuzda biri olarak bulunur. Dolayısıyla bant, üzerinde duran Kerem'i otuz saniyede diğer uca ulaştırır.

Step-by-Step Solution

1

Yol uzunluğunu ve hız değişkenlerini tanımlama

Yürüyen bandın uzunluğuna

x

, Kerem'in yürüme hızına

v_k

ve yürüyen bandın hareket hızına

v_b

diyelim.

Sorudaki fiziksel büyüklükleri matematiksel denklemlere dökebilmek için değişken ataması yapılır.

2

Duran bant üzerindeki hareket denklemini yazma

Kerem duran bantta sadece kendi hızıyla hareket ettiğinden yol denklemi

x = v_k \times 60

olur. Buradan Kerem'in hızı

v_k = \frac{x}{60}

olarak bulunur.

Kerem'in hızını yol cinsinden ifade etmek için.

3

Çal��şan bant üzerindeki hareket denklemini yazma

Bant çalışırken Kerem de aynı yönde yürüdüğünde hızlar toplanır:

x = (v_k + v_b) \times 20

. Buradan

v_k + v_b = \frac{x}{20}

elde edilir.

Bileşik harekette toplam hızı ve toplam süreyi ilişkilendirmek için.

4

Yürüyen bandın hızını yalnız bırakarak bulma

v_k = \frac{x}{60}

değerini bileşik hız denkleminde yerine yazalım:

\frac{x}{60} + v_b = \frac{x}{20}

v_b = \frac{x}{20} - \frac{x}{60}

Paydaları 60'ta eşitleyip çıkarma işlemini yaparsak:

v_b = \frac{3x - x}{60} = \frac{2x}{60} = \frac{x}{30}

bulunur.

Sadece bandın hareket hızını yol cinsinden elde etmek için.

5

Kerem'in bant üzerinde durarak geçireceği süreyi hesaplama

Kerem yürümeyip sadece durduğunda hızı sıfır olur ve sadece bandın

v_b

hızıyla hareket eder. Geçen süre

t

ise:

x = v_b \times t

x = \frac{x}{30} \times t \implies t = 30\text{ saniye}

bulunur.

İstenen hareket süresini nihai olarak hesaplamak için.

Key Concept

Bileşik hareket ve hız-zaman bağıntısı

Hints

1

Yolun uzunluğuna bir değişken atayıp Kerem'in duran banttaki hızını ve çalışan banttaki toplam hızını yol cinsinden yazmaya çalışın.

2

Çalışan bantta yürürken Kerem'in hızı ile bandın hızı toplanır. Bu toplam hız birim zamanda yolun yirmide birine eşittir.

3

Kerem'in hızı birim zamanda yolun 1/60'ı olduğuna göre, bandın hızı 1/20 - 1/60 işleminden yolun kaçta kaçı olur?

Practice More

Benzer mantıkla, rüzgarlı bir havada rüzgarla aynı yönde ve rüzgara zıt yönde uçan bir dronun hareket sürelerini veren bir soru çözebilirsiniz.

Alternative Method

Yolun uzunluğuna 60 ve 20 sayılarının ortak katı olan 60 metre diyebiliriz. Bu durumda Kerem'in kendi hızı

60 / 60 = 1\text{ m/s}

olur. Bant çalışırkenki toplam hızı

60 / 20 = 3\text{ m/s}

olur. Buradan bandın hızı

3 - 1 = 2\text{ m/s}

olarak bulunur. Kerem bantta durduğunda sadece bandın hızıyla gideceğinden süre

60 / 2 = 30\text{ saniye}

olacaktır.

Estimated Time:1m 30s

Hareket Problemleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution