Examkin

Question

Difficulty: Very hardŞekil Yeteneği ve Küp Sayma

Bir marangoz, birim küplerden oluşturduğu 5×5×55 \times 5 \times 5 boyutlarındaki masif bir ahşap bloğun tüm dış yüzeyini kırmızı boya ile boyamıştır. Boya kuruduktan sonra, bloğun üst yüzeyindeki birim karelerin oluşturduğu ızgarada, her iki köşegen üzerinde bulunan tüm birim küpleri ve bu küplerin hizasındaki (blok boyunca zemine kadar inen) dikey sütunların tamamını kesip çıkarmıştır.

Buna göre, geriye kalan cisimde yalnızca bir yüzü kırmızı boyalı olan kaç adet birim küp bulunmaktadır?

  1. A
    24
  2. B
    40
  3. 44Answer
  4. D
    48
  5. E
    50

Answer

Geriye kalan cisimde yalnızca bir yüzü kırmızı boyalı 44 adet birim küp vardır.
Doğru cevap 44'tür. 5×5×55 \times 5 \times 5 küpte tek yüzü boyalı küpler, her yüzeyin ortasındaki 3×33 \times 3'lük (9 adet) küplerdir. Üst ve alt yüzeylerde, köşegenler boyunca yapılan kesim bu 9 küpten 5'ini (merkez ve köşelere gidenler) yok eder, geriye her birinde 4'er küp kalır (4+4=84+4=8). Dört yan yüzeyde ise, çıkarılan dikey sütunlar yüzeylerin tam ortasındaki 3×33 \times 3'lük bölgelere temas etmez (sadece köşe sütunları gider), bu yüzden yan yüzeylerdeki 9'ar küp sağlam kalır (4×9=364 \times 9 = 36). Toplam 8+36=448 + 36 = 44 küp bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Tek yüzü boyalı küplerin konumunu belirle.
Bir küpte yalnızca bir yüzü boyalı olan birim küpler, her bir yüzeyin ortasındaki (kenarlara değmeyen) küplerdir. 5×55 \times 5 yüzeyde bu alan ortadaki 3×33 \times 3'lük kısımdır (9 küp). Başlangıçta 6 yüzde toplam 6×9=546 \times 9 = 54 küp vardır.
Kesim işleminden sonra hangi yüzey merkezlerinin etkilendiğini bulmak için başlangıç durumunu tespit etmek gerekir.
2
Çıkarılan sütunların 'Üst' ve 'Alt' yüzeylere etkisini hesapla.
Üst yüzeyde köşegenler boyunca (1,11,1'den 5,55,5'e ve 1,51,5'ten 5,15,1'e) kesim yapılmıştır. Bu kesim, yüzeyin ortasındaki 3×33 \times 3'lük alandan 5 birim küpü (köşegen parçaları ve merkez) götürür. Geriye 9−5=49 - 5 = 4 küp kalır. Aynı durum alt yüzey için de geçerlidir (44 küp).
Köşegenler merkezden geçtiği için üst ve alt yüzeylerin orta kısımlarını doğrudan etkiler.
3
Çıkarılan sütunların 'Yan' yüzeylere (Ön, Arka, Sağ, Sol) etkisini analiz et.
Çıkarılan sütunlar dikey olduğu için yan yüzeylerin ortasındaki 3×33 \times 3'lük alanlara (z=2,3,4z=2,3,4 ve x,y=2,3,4x,y=2,3,4) dokunmaz. Yan yüzeylerdeki kayıplar sadece köşelerdeki dikey sütunlardadır, ancak 'tek yüzü boyalı' olan orta göbek etkilenmez. Bu nedenle 4 yan yüzeyin her birinde 9 küp korunur (4×9=364 \times 9 = 36 küp).
Dikey köşegen kesimi, küpün yan yüzeylerinin ortasındaki 'tek yüzü boyalı' küplere temas etmez.
4
Toplam sayıyı hesapla.
Üst (4) + Alt (4) + Yanlar (36) = 44.
Tüm yüzeylerden kalan sayıların toplanması.

Key Concept

3 Boyutlu Cisimlerde Kesit ve Yüzey Analizi

Hints

1
Önce, kesim yapılmamış normal bir 5×5×55 \times 5 \times 5 küpte 'yalnızca bir yüzü boyalı' küplerin nerede olduğunu düşünün. (İpucu: Yüzeylerin ortasında.)
2
Üst yüzeydeki köşegen kesimi, bu yüzeyin ortasındaki 3×33 \times 3'lük alandan kaç küpü götürür? Bir kağıda 3×33 \times 3 kare çizip köşegenleri işaretleyin.
3
Dikey sütunların çıkarılması üst ve alt yüzeyi aynı şekilde etkiler. Ancak yan yüzeylerin (ön, arka, sağ, sol) ortasındaki 3×33 \times 3 boyalı alan bu dikey kesimden etkilenir mi?

Practice More

Benzer bir soruyu, köşegenler yerine 'orta satır ve orta sütun' (artı şekli) çıkarılarak çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Toplam boyalı küp sayısından (kesim öncesi) çıkarılan boyalı küpleri düşerek de hesaplanabilir. Toplam 1 yüzü boyalı = 54. Üstten giden: 5. Alttan giden: 5. Yanlardan giden: 0 (çünkü yanların ortasına dokunulmadı). Sonuç: 54 - 10 = 44.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Şekil Yeteneği ve Küp Sayma

More questions from this topic