Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Dizileri ve Örüntüler

Ardışık pozitif tam sayılar, belirli bir kurala göre aşağıdaki gibi satırlara dizilmiştir:

1. Satır: 1
2. Satır: 2, 3
3. Satır: 4, 5, 6
4. Satır: 7, 8, 9, 10
...

Bu örüntüye göre, 15. satırın tam ortasında bulunan sayı kaçtır?

  1. A
    106
  2. 113Answer
  3. C
    120
  4. D
    121
  5. E
    127

Answer

15. satırın tam ortasındaki sayı 113'tür.
Sayılar satırlara ardışık olarak dizildiğinde, her satırın son elemanı n(n+1)/2n(n+1)/2 formülü ile bulunur. 14. satırın son elemanı 14×15/2=10514 \times 15 / 2 = 105 olur. Dolayısıyla 15. satır 106 ile başlar. 15. satırda 15 tane sayı vardır (n. satırda n sayı bulunur). 15 sayının tam ortasındaki sayı, baştan 8. sayıdır. 106'dan başlayıp 8. sayıyı bulursak: 106+7=113106 + 7 = 113 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Örüntünün kuralını analiz et
Her satırın sonundaki sayı, o satıra kadar olan tüm sayıların adedini verir. n. satırın sonundaki sayı n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} formülü ile bulunur.
1. satır sonu: 1, 2. satır sonu: 3 (1+2), 3. satır sonu: 6 (1+2+3). Bu 'üçgensel sayılar' dizisidir.
2
15. satırın başlangıç sayısını bulmak için 14. satırın son sayısını hesapla
14. satırın son sayısı = 14×152=105\frac{14 \times 15}{2} = 105. Demek ki 15. satır 106 ile başlar.
15. satırdaki sayıları bulmak için dizinin nerede kaldığını bilmemiz gerekir.
3
15. satırın son sayısını hesapla (Alternatif Yöntem için)
15. satırın son sayısı = 15×162=120\frac{15 \times 16}{2} = 120.
Satırın başını ve sonunu bilirsek ortasını bulabiliriz.
4
15. satırın ortasındaki terimi bul
Satırda 15 terim vardır. Ortadaki terim baştan 8. terimdir. Başlangıç 106 olduğuna göre: 106+(8−1)=113106 + (8-1) = 113.
Tek sayıda terim içeren bir dizinin ortasındaki eleman TerimSayısı+12\frac{Terim Sayısı+1}{2}. sıradadır.

Key Concept

Üçgensel Sayılar ve Aritmetik Diziler

Hints

1
Her satırda kaç adet sayı olduğuna dikkat edin. 1. satırda 1, 2. satırda 2 sayı var. Peki 14. satır bittiğinde toplam kaç sayı yazılmış olur?
2
1'den n'e kadar olan sayıların toplamı n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} formülü ile bulunur. Bunu kullanarak 14. satırın son sayısını (yani 1'den 14'e kadar olan sayıların toplamını) bulun.

Alternative Method

Aritmetik dizilerde ortadaki terim, ilk ve son terimin toplamının yarısıdır. 15. satırın ilk terimi 106, son terimi 120'dir. Ortadaki sayı: (106+120)/2=113(106 + 120) / 2 = 113.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Dizileri ve Örüntüler

More questions from this topic