Layer 1

Question 21Question →

Bir kenar uzunluğu 3 birim olan $ABC$ eşkenar üçgeni, $[AB]$ kenarı üzerindeki bir $D$ noktası ve $[AC]$ kenarı üzerindeki bir $E$ noktası boyunca katlanıyor. Bu katlama işlemi sonucunda $A$ köşesi, $[BC]$ kenarı üzerindeki $A'$ noktası ile çakışmaktadır.

$|BA'| = 1$ birim olduğuna göre, $|BD|$ uzunluğu kaç birimdir?

\frac{3}{2}

\frac{8}{5}

\frac{5}{3}

\frac{7}{4}

1

Show answer & explanation

Answer: $\frac{8}{5}$

Answer

Doğru cevap

\frac{8}{5}

birimdir.

Sorunun çözümü, katlama sonucu oluşan açı ilişkilerini fark etmeye dayanır.

A

köşesi

60^\circ

olduğu için katlanan

A'

köşesindeki açı da

60^\circ

olur. Bu durum,

BC

kenarı üzerindeki

A'

noktasının sağında ve solunda kalan üçgenlerin açılarının birbirini tamamlamasını sağlar.

\triangle BDA'

ve

\triangle CA'E

üçgenleri arasında kurulan benzerlik (

60^\circ

'lerin karşısı değil,

120^\circ-\alpha

ve

\alpha

açılarının karşısı) ve kenar uzunlukları denklemi (

xy=2

ve

3y-xy=3-y

) çözüldüğünde

|BD|=8/5

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Eşkenar üçgen ve katlama özelliklerini belirle

\triangle ABC

eşkenar olduğu için

m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = 60^\circ

. Katlama nedeniyle

\triangle ADE \cong \triangle A'DE

, yani

|AD| = |A'D|

ve

m(\widehat{DA'E}) = m(\widehat{A}) = 60^\circ

.

Geometrik şeklin temel açı özelliklerini ve katlamanın koruduğu uzunluk/açıları kullanmak için.

2

Oluşan alt üçgenler arasındaki benzerliği kur

BC

doğrusu üzerinde

180^\circ

tamamlamadan:

m(\widehat{BA'D}) + 60^\circ + m(\widehat{CA'E}) = 180^\circ

. Ayrıca

\triangle BDA'

iç açılarından

m(\widehat{BA'D}) + 60^\circ + m(\widehat{BDA'}) = 180^\circ

. Buradan

m(\widehat{BDA'}) = m(\widehat{CA'E})

bulunur. Açı-Açı benzerliği ile

\triangle BDA' \sim \triangle CA'E

.

Bilinmeyen kenar uzunluklarını bulmak için benzerlik oranlarını yazmak şarttır.

3

Verilen uzunlukları ve değişkenleri yerleştirip denklemi kur

|BA'|=1

ise

|A'C|=3-1=2

.

|BD|=x

ve

|CE|=y

diyelim. Benzerlik oranı:

\frac{|BD|}{|CA'|} = \frac{|BA'|}{|CE|} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{1}{y} \Rightarrow xy = 2

.

Benzer üçgenlerde aynı açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır.

4

Diğer benzerlik oranını kullanarak sistemi çöz

Diğer oran:

\frac{|DA'|}{|A'E|} = \frac{|BA'|}{|CE|}

.

|DA'|=|AD|=3-x

ve

|A'E|=|AE|=3-y

olduğundan,

\frac{3-x}{3-y} = \frac{1}{y}

. İçler dışlar çarpımı:

3y - xy = 3 - y

.

xy=2

olduğu için

3y - 2 = 3 - y \Rightarrow 4y = 5 \Rightarrow y = 5/4

.

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek istenen uzunluğa ulaşmak.

5

Sonucu hesapla

xy = 2

ve

y = 5/4

ise,

x = 2 / (5/4) = 8/5

.

|BD|

uzunluğu

x

olarak tanımlanmıştı.

Key Concept

Katlama sorularında, katlanan bölgenin eşliği (açı ve kenar korunumu) ile oluşan yeni üçgenler arasındaki Açı-Açı benzerliği birlikte kullanılır.

Hints

1

Katlama sorularında, katlanan üçgen ile açılan üçgenin eş olduğunu (

|AD|=|A'D|

ve açıların aynen taşındığını) unutmayınız.

2

A'

noktası

BC

üzerinde olduğunda, doğru açı

180^\circ

'dir.

m(\widehat{DA'E})=60^\circ

bilgisini kullanarak sol ve sağdaki üçgenlerin açıları arasında bir ilişki kurunuz.

3

Soldaki

\triangle BDA'

ile sağdaki

\triangle CA'E

benzerdir. Kenarlara

x

ve

y

diyerek benzerlik oranlarını yazınız:

|BD|/|CA'| = |BA'|/|CE|

.

Practice More

Benzer bir katlama sorusunu kare veya dikdörtgen üzerinde deneyerek açı taşıma pratiği yapabilirsiniz.

Alternative Method

Kosinüs teoremi kullanılarak da çözülebilir ancak benzerlik yöntemi çok daha kısa sürer.

Estimated Time:4m 0s

Question 22Question →

$|AB| = |AC| = 17$ cm olan $ABC$ ikizkenar üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası bulunmaktadır.

$|BD| = 9$ cm ve $|DC| = 21$ cm olduğuna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç santimetredir?

8

10

12

13

15

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

İkizkenar üçgenin tabanına indirilen dikmenin tabanı iki eş parçaya bölmesi özelliği kullanılarak

|AD| = 10

cm bulunur.

Soruyu çözmek için ikizkenar üçgenin en temel özelliği olan 'tabana inen dikmenin tabanı ikiye bölmesi' kullanılır. Öncelikle taban uzunluğu 30 cm bulunur, yarısı 15 cm'dir. Bu sayede 8-15-17 özel üçgeninden yükseklik 8 cm bulunur. Daha sonra oluşan küçük dik üçgende (AHD) kenarlar 6 ve 8 cm olduğu için hipotenüs 10 cm olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

BC kenarının toplam uzunluğunu hesapla.

|BC| = |BD| + |DC| = 9 + 21 = 30

cm.

D noktası BC üzerinde olduğu için parçaların toplamı tabanı verir.

2

A köşesinden BC tabanına bir dikme (yükseklik) indir ve tabanı kestiği noktaya H de.

İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme aynı zamanda kenarortaydır. Bu nedenle

|BH| = |HC| = 30 / 2 = 15

cm olur.

İkizkenar üçgenin temel özelliği: Tepe açısından inen dikme tabanı ikiye böler.

3

AHC (veya AHB) dik üçgeninde Pisagor bağıntısını kullanarak yüksekliği (|AH|) bul.

|AH|^2 + 15^2 = 17^2 \Rightarrow |AH|^2 + 225 = 289 \Rightarrow |AH|^2 = 64 \Rightarrow |AH| = 8

cm. (8-15-17 özel üçgeni)

Yüksekliği bulmak için dik üçgen oluşturulur.

4

D ile H arasındaki mesafeyi (|HD|) hesapla.

H noktası B'den 15 cm uzaklıktadır. D noktası B'den 9 cm uzaklıktadır.

|HD| = |BH| - |BD| = 15 - 9 = 6

cm.

AD uzunluğunu bulmak için AHD dik üçgeninin taban kenarına ihtiyaç vardır.

5

AHD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulayarak |AD|'yi bul.

|AD|^2 = |AH|^2 + |HD|^2 \Rightarrow |AD|^2 = 8^2 + 6^2 \Rightarrow |AD|^2 = 64 + 36 = 100 \Rightarrow |AD| = 10

cm. (6-8-10 özel üçgeni)

Sonuç adımı.

Key Concept

İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme hem açıortay hem de kenarortaydır (Yaki Kuralı: Yükseklik-Açıortay-Kenarortay-İkizkenar).

Hints

1

İkizkenar üçgen sorularında genellikle tepe açısından tabana bir dikme indirmek çözümü kolaylaştırır.

2

Tepe açısından indirilen dikme, 30 cm uzunluğundaki BC tabanını iki eş parçaya böler.

3

Oluşan dik üçgenlerden birinde 8-15-17 özel üçgenini arayın, ardından AHD üçgeni için 6-8-10 üçgenini kullanın.

Estimated Time:2m 30s

Question 23Question →

Bir kenar uzunluğu $15$ cm olan $ABC$ eşkenar üçgeni şeklindeki bir kağıt, $[AB]$ kenarı üzerindeki $D$ ve $[AC]$ kenarı üzerindeki $E$ noktalarından geçen $[DE]$ doğrusu boyunca katlanıyor. Katlama işlemi sonucunda üçgenin $A$ köşesi, $[BC]$ kenarı üzerindeki $K$ noktası ile çakışmaktadır. $|BK| = 3$ cm olduğuna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç cm'dir?

6

7

8

9

10

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Aranan

|AD|

uzunluğu 7 cm'dir.

Katlama sorularında, katlanan bölgenin simetriği alındığı için uzunluklar ve açılar korunur.

A

köşesi

K

noktasına geldiğinden

|AD| = |DK|

eşitliği sağlanır.

|AD| = x

denilirse,

|DK| = x

ve

|DB| = 15-x

olur.

ABC

eşkenar üçgen olduğundan

m(\widehat{B}) = 60^\circ

'dir.

DBK

üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında

x^2 = (15-x)^2 + 3^2 - 2(15-x)(3)\cos(60^\circ)

denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde

x=7

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Katlama özelliğini kullanarak eşit kenarları belirle.

|AD| = |DK| = x

olarak tanımlanır.

Katlama işlemi bir izometridir (eşlik dönüşümü), bu nedenle katlanan kenar uzunlukları korunur.

2

D

noktasının

[AB]

üzerindeki konumuna göre

|DB|

uzunluğunu

x

cinsinden ifade et.

|DB| = 15 - x

Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu 15 cm verildiği için,

|AB| = |AD| + |DB| = 15

olmalıdır.

3

DBK

üçgeninde Kosinüs Teoremini uygula.

x^2 = (15-x)^2 + 3^2 - 2(15-x)(3)\cos(60^\circ)

Eşkenar üçgenin

B

açısı

60^\circ

dir. Kenar uzunlukları

x

,

(15-x)

ve

3

olan üçgende

x

'i bulmak için bu teorem gereklidir.

4

Denklemi çöz.

x^2 = (225 - 30x + x^2) + 9 - 3(15-x)

x^2 = 234 - 30x + x^2 - 45 + 3x

0 = 189 - 27x

27x = 189 \Rightarrow x = 7

Cebirsel işlemlerle bilinmeyen bulunur.

Key Concept

Katlama Sorularında Eşlik ve Kosinüs Teoremi

Hints

1

Katlama işleminde, katlanan kağıdın boyutları değişmez.

|AD|

uzunluğu ile katlandıktan sonra oluşan

|DK|

uzunluğu arasındaki ilişkiyi düşünün.

2

|AD| = x

derseniz,

ABC

eşkenar üçgen olduğu için

|DB|

uzunluğunu

x

cinsinden yazabilirsiniz. Ayrıca

m(\widehat{B}) = 60^\circ

olduğunu unutmayın.

3

DBK

üçgeninde kenarlar

x

,

15-x

ve

3

birimdir.

60^\circ

'lik açıyı kullanarak Kosinüs Teoremini uygulayın:

|DK|^2 = |DB|^2 + |BK|^2 - 2|DB||BK|\cos(60^\circ)

.

Practice More

Benzer bir katlama sorusunu dik üçgen üzerinde deneyerek Pisagor bağıntısını pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

D

noktasından

BC

kenarına bir dikme indirerek (

H

noktası), oluşan

30-60-90

üçgeni yardımıyla pisagor bağıntısı kullanılarak da çözülebilir. Ancak bu yöntem işlem açısından daha karmaşıktır.

Estimated Time:2m 30s

Question 24Question →

Aşağıdaki şekilde $ABC$ bir eşkenar üçgen, $BDC$ ise bir ikizkenar üçgendir. $D$ noktası, eşkenar üçgenin iç bölgesinde yer almaktadır. $|BD| = |CD|$ ve $m(\widehat{BDC}) = 100^\circ$ olduğuna göre, $m(\widehat{ABD})$ kaç derecedir?

10

20

30

40

50

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

İstenen açının ölçüsü

20^\circ

olarak bulunur.

Eşkenar üçgenin iç açılarının

60^\circ

olduğunu bilmek ilk adımdır. İkizkenar üçgende ise tepe açısı

100^\circ

verildiğinde, taban açılarının her biri

(180-100)/2 = 40^\circ

olur. İstenen açı, eşkenar üçgenin köşesindeki

60^\circ

'lik açıdan bu

40^\circ

'lik açının çıkarılmasıyla bulunan

20^\circ

değeridir.

Step-by-Step Solution

1

Eşkenar üçgenin temel özelliğini hatırla.

m(\widehat{ABC}) = 60^\circ

ABC

bir eşkenar üçgen olduğundan tüm iç açılarının ölçüsü

60^\circ

derecedir.

2

BDC

ikizkenar üçgeninin taban açılarını hesapla.

m(\widehat{DBC}) = 40^\circ

|BD| = |CD|

olduğu için taban açıları eşittir. Üçgenin iç açıları toplamından

180^\circ - 100^\circ = 80^\circ

kalır. Taban açıları ise

80^\circ / 2 = 40^\circ

olur.

3

İstenen

m(\widehat{ABD})

açısını bulmak için çıkarma işlemi yap.

60^\circ - 40^\circ = 20^\circ

B

köşesindeki toplam açı eşkenar üçgenden dolayı

60^\circ

olduğundan, bu değerden

BDC

üçgeninin taban açısını çıkararak sonuca ulaşırız.

Key Concept

Eşkenar üçgenin tüm iç açılarının

60^\circ

olması ve ikizkenar üçgende eşit kenarları gören taban açılarının birbirine eşit olması özellikleri bir arada kullanılır.

Hints

1

Eşkenar üçgenin her bir iç açısının kaç derece olduğunu hatırlayarak başlayın.

2

İçerideki

BDC

ikizkenar üçgeninin taban açılarını, tepe açısı olan

100^\circ

bilgisini kullanarak hesaplayın.

3

B

köşesindeki toplam açı

60^\circ

olmalıdır. Bulduğunuz ikizkenar üçgen taban açısını bu toplamdan çıkarın.

Practice More

İkizkenar üçgen dışarıda verilseydi açılar nasıl değişirdi? Benzer bir soruyu bu şekilde kurgulayarak çözebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 25Question →

Bir kenar uzunluğu 12 cm olan $ABC$ eşkenar üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde, $3|BD| = |DC|$ koşulunu sağlayan bir $D$ noktası işaretleniyor. Buna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç cm'dir?

3\sqrt{5}

6\sqrt{3}

3\sqrt{13}

12

4\sqrt{10}

Show answer & explanation

Answer: $3\sqrt{13}$

Answer

3\sqrt{13}

Soruda verilen eşkenar üçgenin bir kenarı 12 cm'dir.

D

noktasının konumu

3|BD|=|DC|

oranından

|BD|=3

cm olarak bulunur.

A

köşesinden tabana indirilen yükseklik (

AH

), tabanı iki eş parçaya böler (

|BH|=6

cm) ve uzunluğu

6\sqrt{3}

cm olur.

D

noktası

B

ile

H

arasında kaldığı için

|HD| = 6-3=3

cm olur. Oluşan

AHD

dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulandığında hipotenüs

3\sqrt{13}

cm olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

BC kenarı üzerindeki parçaların uzunluklarını belirle.

|BC| = 12

cm ve

3|BD| = |DC|

verildiği için,

k + 3k = 12 \Rightarrow 4k=12 \Rightarrow k=3

. Yani

|BD| = 3

cm ve

|DC| = 9

cm bulunur.

Verilen orandan faydalanarak doğru parçalarının uzunluğunu bulmak için.

2

A köşesinden BC kenarına yükseklik indir ve H noktasını işaretle.

Eşkenar üçgende yükseklik tabanı iki eşit parçaya böler.

|BH| = |HC| = \frac{12}{2} = 6

cm.

Dik üçgen oluşturarak Pisagor bağıntısını kullanabilmek için.

3

Oluşan dik üçgenin dik kenarlarını hesapla.

Yükseklik

|AH| = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}

cm'dir. H noktası ile D noktası arasındaki mesafe ise

|HD| = |BH| - |BD| = 6 - 3 = 3

cm olur.

AHD dik üçgeninin kenar uzunluklarını belirlemek için.

4

AHD üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula.

|AD|^2 = |AH|^2 + |HD|^2 \Rightarrow |AD|^2 = (6\sqrt{3})^2 + 3^2 = 108 + 9 = 117

. Buradan

|AD| = \sqrt{117} = \sqrt{9 \times 13} = 3\sqrt{13}

cm bulunur.

İstenen uzunluğu bulmak için.

Key Concept

Eşkenar üçgende yükseklik tabanı ikiye böler ve 30-60-90 üçgeni oluşturur; bilinmeyen uzunluklar için Pisagor bağıntısı kullanılır.

Alternative Method

Kosinüs Teoremi ile çözüm:

\triangle ABD

üçgeninde

|AB|=12

,

|BD|=3

ve

m(\widehat{B})=60^\circ

olduğu bilinmektedir. Kosinüs teoremi uygulanırsa:

|AD|^2 = 12^2 + 3^2 - 2 \cdot 12 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) = 144 + 9 - 72 \cdot (1/2) = 153 - 36 = 117

. Buradan

|AD| = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}

bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 26Question →

$|AB| = |AC|$ olan $ABC$ ikizkenar üçgeninde $m(\widehat{BAC}) = 150^\circ$ 'dir. $[BC]$ kenarının uzantısı üzerinde, $C$ köşesine $B$ 'den daha yakın olan bir $P$ noktası alınıyor. $P$ noktasından $AC$ doğrusuna inilen dikmenin uzunluğu $2$ cm, $AB$ doğrusuna inilen dikmenin uzunluğu $8$ cm olduğuna göre, $|AB|$ kaç cm'dir?

12

6

20

16

4\sqrt{3}

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

AB kenarının uzunluğu 12 cm'dir.

İkizkenar üçgende tabanın uzantısı üzerindeki bir noktadan eşit kenarlara inilen dikmelerin uzunlukları farkı, ikizkenarlardan birine ait yüksekliği verir. Bu soruda yükseklik

8 - 2 = 6

cm olarak bulunur. Tepe açısı

150^\circ

olduğundan, bu yükseklik üçgenin dışında

30^\circ

'lik bir dik üçgen oluşturur.

30^\circ

'nin karşısı

6

ise hipotenüs (yani üçgenin bir kenarı)

12

cm olur.

Step-by-Step Solution

1

İkizkenar üçgen özelliğini belirle

İkizkenar üçgenin taban uzantısı üzerindeki bir noktadan eşit kenarlara inilen dikmelerin farkı, eşit kenarlara ait yüksekliğe eşittir:

h_c = |PL| - |PK|

.

Nokta taban üzerinde değil, tabanın uzantısında olduğu için dikmelerin toplamı değil farkı alınır.

2

Yüksekliği hesapla

h_c = 8 - 2 = 6

cm.

Verilen dikme uzunlukları formülde yerine konur.

3

Geniş açılı üçgenin dış açısını bul

m(\widehat{BAC}) = 150^\circ

olduğundan,

AB

kenarına ait yükseklik üçgenin dışındadır ve dış açı

180^\circ - 150^\circ = 30^\circ

'dir.

Yüksekliği kullanarak kenar uzunluğunu bulmak için dik üçgen oluşturulur.

4

30-60-90 üçgeninde kenar uzunluğunu bul

Oluşan dik üçgende

30^\circ

'nin karşısı (yükseklik)

6

cm ise, hipotenüs (

AC

)

12

cm'dir.

\sin(30^\circ) = \frac{1}{2} = \frac{h}{AC} \implies \frac{6}{AC} = \frac{1}{2}

.

5

Sonucu belirle

|AB| = |AC|

olduğundan,

|AB| = 12

cm.

İkizkenar üçgenin eşit kenarları aynı uzunluktadır.

Key Concept

İkizkenar üçgende taban uzantısındaki noktadan inilen dikmelerin farkı özelliğinin geniş açılı üçgen geometrisiyle sentezi.

Hints

1

İkizkenar üçgenin tabanının uzantısındaki bir noktadan inilen dikmelerle ilgili özel kuralı hatırlayın: Toplam mı, fark mı?

2

Bu dikmelerin farkı, eşit kenarlardan birine ait yüksekliği verir. Yüksekliği bulduktan sonra açıyı kullanın.

3

Tepe açısı

150^\circ

olan ikizkenar üçgenin yüksekliği üçgenin dışındadır ve dış açı

30^\circ

'dir. 30-60-90 üçgenini kullanın.

Practice More

Benzer mantıkla, eşkenar üçgenin dışındaki bir noktadan kenarlara inilen dikmelerle ilgili sorular çözülebilir.

Alternative Method

Alan formülü ile:

\text{Alan}(PAB) - \text{Alan}(PAC) = \text{Alan}(ABC)

bağıntısından yola çıkarak yükseklik farkı ispatlanabilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 27Question →

$ABC$ eşkenar üçgeni ile $|BC| = |CD|$ eşitliğini sağlayan $BCD$ ikizkenar üçgeni, $BC$ kenarı ortak olacak şekilde birleştirilmiştir. $m(\widehat{BCD}) = 100^\circ$ ve $D$ noktası $ABC$ üçgeninin dış bölgesinde kaldığına göre, $m(\widehat{ADC})$ kaç derecedir?

10

20

30

40

50

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

10 derecedir

ABC

üçgeni eşkenar olduğundan

|BC| = |AC|

'dir. Soruda

|BC| = |CD|

verildiği için

|AC| = |CD|

olur ve

ACD

üçgeni ikizkenar bir yapı kazanır. Bu üçgenin tepe açısı

m(\widehat{ACD}) = 60^\circ + 100^\circ = 160^\circ

olarak hesaplanır. İç açılar toplamı kuralına göre taban açıları

(180^\circ - 160^\circ) / 2 = 10^\circ

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

ABC

eşkenar üçgeninin kenar ve açı özelliklerini belirlemek

|AB| = |BC| = |AC|

ve her bir iç açısı

60^\circ

'dir.

Eşkenar üçgenin tanımı gereği tüm kenarlar eşit ve her bir iç açısı

60^\circ

'dir.

2

ACD

üçgeninin kenar eşitliğini ve tepe açısını bulmak

|AC| = |CD|

olduğundan

ACD

ikizkenar bir üçgendir. Tepe açısı

m(\widehat{ACD}) = 60^\circ + 100^\circ = 160^\circ

olur.

|BC| = |AC|

(eşkenar) ve

|BC| = |CD|

(verilen) olduğu için

|AC| = |CD|

olur.

3

ACD

ikizkenar üçgeninde

m(\widehat{ADC})

taban açısını hesaplamak

m(\widehat{ADC}) = (180^\circ - 160^\circ) / 2 = 10^\circ

bulunur.

Bir üçgenın iç açılar toplamı

180^\circ

'dir ve ikizkenar üçgende taban açıları eştir.

Key Concept

Eşkenar ve ikizkenar üçgenlerin ortak kenar üzerinden açı ilişkileri

Hints

1

ABC

eşkenar üçgeninde

|BC|

kenarının

|AC|

kenarına eşit olduğunu ve iç açının

60^\circ

olduğunu kullanın.

2

|AC| = |CD|

olduğunu görerek

ACD

üçgeninin bir ikizkenar üçgen olduğunu fark edin.

3

ACD

üçgeninin tepe açısı

160^\circ

olduğuna göre, taban açılarını hesaplamak için iç açılar toplamından yararlanın.

Practice More

D

noktasının üçgenin içinde olması durumunda açının nasıl değişeceğini düşünerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:1m 0s

Question 28Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = |BC|$ ve $m(\widehat{ABC}) = 80^\circ$ olduğu bilinmektedir. Buna göre, $m(\widehat{BAC})$ kaç derecedir?

40

50

60

80

100

Show answer & explanation

Answer: 50

Answer

İkizkenar üçgenin taban açılarının eşitliği kuralına göre

m(\widehat{BAC}) = 50^\circ

olmalıdır.

Verilen üçgende

|AB| = |BC|

olduğu için bu bir ikizkenar üçgendir ve tabanı

AC

kenarıdır. İkizkenar üçgenin özelliğine göre taban açıları olan

m(\widehat{BAC})

ve

m(\widehat{BCA})

birbirine eşittir. Üçgenin iç açıları toplamı

180^\circ

olduğundan, tepe açısı olan

80^\circ

çıkarıldığında geriye kalan

100^\circ

iki eşit açıya paylaştırılır. Bu durumda

100 / 2 = 50

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Eşit kenarları ve tabanı belirleme

Taban

AC

kenarıdır.

|AB| = |BC|

verildiği için bu kenarları birleştiren

B

noktası tepe noktasıdır ve karşıdaki

AC

kenarı tabandır.

2

Taban açılarının eşitliğini kullanma

m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BCA}) = x

olsun.

İkizkenar üçgende eşit kenarların karşılarındaki açılar birbirine eşittir.

3

Üçgenin iç açılar toplamı formülünü uygulama

x + x + 80^\circ = 180^\circ

Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman

180^\circ

'dir.

4

Denklemi çözme

2x = 100^\circ

ise

x = 50^\circ

Tepe açısı toplamdan çıkarılır ve kalan miktar iki eşit taban açısına paylaştırılır.

Key Concept

İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki taban açıları birbirine eşittir.

Hints

1

Eşit kenarları gören açıların da eşit olması gerektiğini hatırla.

2

Hangi kenarların eşit olduğuna bakarak tabanı ve taban açılarını belirle.

3

İç açılar toplamı olan

180^\circ

'den tepe açısını çıkarıp sonucu ikiye bölmelisin.

Practice More

İkizkenar bir üçgende taban açılarından biri verildiğinde tepe açısını bulmayı deneyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 29Question →

$ABC$ bir ikizkenar üçgendir. $|AB| = |AC| = 13$ cm ve $|BC| = 10$ cm olarak verilmiştir. $[BC]$ kenarı üzerinde, $B$ köşesine $2$ cm uzaklıkta bir $D$ noktası alınıyor. Buna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç cm'dir?

12

2\sqrt{37}

3\sqrt{17}

\sqrt{165}

13

Show answer & explanation

Answer: $3\sqrt{17}$

Answer

3\sqrt{17}

İkizkenar üçgende tepe noktasından tabana indirilen dikme, tabanı iki eş parçaya böler (

|BH|=|HC|=5

). Bu sayede oluşan 5-12-13 üçgeninden yükseklik 12 cm bulunur. Daha sonra

|DH|=3

cm olduğu görülür ve Pisagor bağıntısı ile

|AD|=3\sqrt{17}

hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

A

köşesinden

[BC]

tabanına bir dikme indirilir ve bu noktaya

H

denir.

AH \perp BC

İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme, tabanı iki eş parçaya böler.

2

Tabanın yarısı ve yükseklik hesaplanır.

|BH| = |HC| = 10/2 = 5

cm.

ABH

üçgeninde Pisagor bağıntısı:

|AH|^2 + 5^2 = 13^2 \Rightarrow |AH| = 12

cm.

5-12-13 özel dik üçgeni oluşur.

3

D

noktasının

H

noktasına olan uzaklığı bulunur.

|DH| = |BH| - |BD| = 5 - 2 = 3

cm.

D

noktası

B

ile

H

arasındadır.

4

ADH

dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanır.

|AD|^2 = |AH|^2 + |DH|^2 = 12^2 + 3^2 = 144 + 9 = 153

.

|AD| = \sqrt{153} = 3\sqrt{17}

cm.

Sonucu bulmak için dik üçgen özelliği kullanılır.

Key Concept

İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme hem açıortay hem de kenarortaydır (Yaki Kuralı).

Hints

1

İkizkenar üçgen sorularında genellikle tepe noktasından tabana dikme indirmek çözümü kolaylaştırır.

2

İndirilen dikme tabanı iki eşit parçaya böler.

|BH|

uzunluğunu bularak başlayın.

3

Yüksekliği bulduktan sonra, oluşan yeni küçük dik üçgende (

ADH

) Pisagor bağıntısını kullanın.

Practice More

Benzer bir soruyu eşkenar üçgen üzerinde, kenar üzerinden alınan bir nokta ile deneyiniz.

Alternative Method

Kosinüs teoremi ile de çözülebilir:

ABC

üçgeninde

\cos(B) = 5/13

.

ABD

üçgeninde kosinüs teoremi:

|AD|^2 = 13^2 + 2^2 - 2 \cdot 13 \cdot 2 \cdot (5/13) = 169 + 4 - 20 = 153

.

Estimated Time:1m 30s

Question 30Question →

$ABC$ ikizkenar üçgeninde $|AB| = |AC|$ ve $m(\widehat{BAC}) = 30^\circ$ dir. $[BC]$ tabanı üzerinde alınan bir $D$ noktasından $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarına indirilen dikmelerin uzunlukları sırasıyla $3$ cm ve $5$ cm'dir. Buna göre, $ABC$ üçgeninin eşit kenarlarından birinin uzunluğu kaç cm'dir?

16

8

8\sqrt{3}

12

4

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

Eşit kenarlardan birinin uzunluğu 16 cm'dir.

İkizkenar üçgen özelliği gereği, taban üzerindeki

D

noktasından

|AB|

ve

|AC|

kenarlarına çizilen dikmelerin toplamı (

3+5=8

), bu kenarlara ait yüksekliğe eşittir. Tepe açısı

30^\circ

olan bir dik üçgende (yüksekliğin oluşturduğu üçgen),

30^\circ

'nin karşısındaki yükseklik (

8

cm), hipotenüsün (üçgenin kenarı) yarısıdır. Bu durumda kenar

16

cm olur.

Step-by-Step Solution

1

İkizkenar üçgen özelliğini uygula.

h = 3 + 5 = 8

cm

İkizkenar üçgende tabandan kenarlara çizilen dikmelerin toplamı (

DE + DF

), kenara ait yüksekliğe (

h_b

veya

h_c

) eşittir.

2

Yükseklik ile kenar arasındaki ilişkiyi kur.

h = |AC| \cdot \sin(30^\circ)

Bir üçgende yükseklik, hipotenüs (kenar) ile tepe açısının sinüsünün çarpımına eşittir.

3

Kenar uzunluğunu hesapla.

8 = |AC| \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow |AC| = 16

cm

\sin(30^\circ) = 1/2

değerini yerine koyarak

|AC|

(ve dolayısıyla

|AB|

) uzunluğunu buluruz.

Key Concept

İkizkenar üçgende taban üzerinden yan kenarlara indirilen dikmelerin toplamı yan kenara ait yüksekliği verir.

Hints

1

İkizkenar üçgende tabandan kenarlara çizilen dikmelerin toplamı ile kenara ait yükseklik arasındaki ilişkiyi hatırlayın.

2

Dikmelerin toplamı 8 cm'dir. Bu 8 cm, yan kenara ait yüksekliğe eşittir.

3

Yüksekliği 8 cm ve tepe açısı 30 derece olan bir dik üçgende yan kenar hipotenüs durumundadır.

Practice More

Tepe açısı

45^\circ

veya

60^\circ

olan benzer senaryolarla pratik yapabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

İkizkenar ve Eşkenar Üçgen

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More