Examkin

Katı Cisimler

56 questions

Question 21Question →

Bir ayrıtı 66 birim olan küp biçimindeki bir tahta blokun tüm köşelerinden, o köşeyle birleşen ayrıtların orta noktalarından geçen düzlemler boyunca kesim yapılıyor ve oluşan parçalar atılıyor. Buna göre, geriye kalan cismin hacmi kaç birimküptür?

Show answer & explanation

Answer: 180

Answer

Geriye kalan cismin hacmi 180 birimküptür.
Küpün bir ayrıtı 6 birim olduğundan hacmi 216216 birimküptür. Her köşeden, ayrıtların orta noktalarından geçen düzlemlerle kesim yapıldığında, dik kenarları 33 birim olan üçgen piramitler oluşur. Bir piramidin hacmi 13⋅(3⋅32)⋅3=4,5\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 3}{2}) \cdot 3 = 4,5 birimküptür. Küpte 8 köşe olduğu için toplam 8⋅4,5=368 \cdot 4,5 = 36 birimküp hacim eksilir. Kalan hacim 216−36=180216 - 36 = 180 birimküptür.

Step-by-Step Solution

1
Başlangıçtaki küpün hacmini hesapla.
Vku¨p=a3=63=216V_{küp} = a^3 = 6^3 = 216 birimküp.
Kalan hacmi bulmak için önce toplam hacim bilinmelidir.
2
Kesilen bir parçanın şeklini ve boyutlarını belirle.
Her köşeden kesilen parça bir üçgen piramittir. Küpün ayrıtları birbirine dik olduğu için piramidin dik kenar uzunlukları, ayrıtın yarısı olan 6/2=36/2 = 3 birimdir.
Soruda kesimin orta noktalardan yapıldığı belirtilmiştir.
3
Bir köşe piramidinin hacmini hesapla.
Taban alanı (dik üçgen) = 3⋅32=4,5\frac{3 \cdot 3}{2} = 4,5 birimkare. Yükseklik = 33 birim. Vpiramit=13⋅4,5⋅3=4,5V_{piramit} = \frac{1}{3} \cdot 4,5 \cdot 3 = 4,5 birimküp.
Piramit hacim formülü: V=13⋅Taban Alanı⋅hV = \frac{1}{3} \cdot \text{Taban Alanı} \cdot h
4
Toplam kesilen hacmi ve kalan hacmi hesapla.
Toplam kesilen hacim = 8⋅4,5=368 \cdot 4,5 = 36 birimküp. Kalan hacim = 216−36=180216 - 36 = 180 birimküp.
Küpün 8 köşesi olduğundan bir piramit hacmi 8 ile çarpılır ve toplamdan çıkarılır.

Key Concept

Bir cisimden parça çıkarıldığında, kalan cismin hacmi başlangıç hacmi ile çıkarılan parçaların hacimleri farkına eşittir. Küp köşelerinden kesilen parçalar üçgen piramit (düzgün dörtyüzlü değil, dik üçgen piramit) şeklindedir.

Hints

1
Küpün toplam hacminden, köşelerden kesilen 8 adet küçük parçanın hacmini çıkarmanız gerekir.
2
Köşelerden kesilen her bir parça, dik kenar uzunlukları küpün ayrıtının yarısı (3 birim) olan birer üçgen piramittir.
3
Bir üçgen piramidin hacmi V=13⋅Taban Alanı⋅Yu¨kseklikV = \frac{1}{3} \cdot \text{Taban Alanı} \cdot \text{Yükseklik} formülüyle bulunur. Burada taban, dik kenarları 3 birim olan bir dik üçgendir.

Practice More

Benzer bir mantıkla, bir silindirden oyulan koninin hacmini soran sorular çözülebilir.

Alternative Method

Oran yöntemi: Kesilen her bir piramidin hacmi, onu çevreleyen 3×3×33 \times 3 \times 3 boyutlarındaki hayali küpün hacrinin 1/61/6'sıdır. Tüm küp 8 adet 3×3×33 \times 3 \times 3 küpten oluşur. Her birinden 1/61/6 parça giderse, toplam hacmin 1/61/6'sı gitmiş olur. Kalan hacim 5/65/6'dır. 216⋅56=180216 \cdot \frac{5}{6} = 180.
Estimated Time:2m 30s
Question 22Question →

Yarıçapı 1515 cm olan daire biçimindeki bir kartondan, merkez açısı 216∘216^\circ olan bir daire dilimi kesilerek; kıvrılma kenarları çakışacak biçimde dik dairesel koni şeklinde bir cisim oluşturuluyor.

Buna göre, oluşturulan bu koninin içine, tabana ve yan yüzeylere teğet olacak şekilde yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin yarıçapı kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 92\frac{9}{2}

Answer

Ku¨reninyarıc\capı92(4,5)cm′dir.Kürenin yarıçapı \frac{9}{2} (4,5) cm'dir.
Daire diliminin yarıçapı koninin ana doğrusuna (l=15l=15) eşittir. rl=α360\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360} oranından koninin taban yarıçapı r=9r=9 cm bulunur. Pisagor bağıntısı ile koninin yüksekliği h=12h=12 cm elde edilir. Koninin içine sığacak en büyük küre, koninin dik kesiti olan tabanı 1818, kenarları 1515 cm olan ikizkenar üçgenin iç teğet çemberidir. Alan=u⋅rku¨reAlan = u \cdot r_{küre} bağıntısından kürenin yarıçapı 92\frac{9}{2} cm olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Daire diliminden koninin taban yarıçapını (rr) bulma
r=9r = 9 cm
Daire diliminin yarıçapı, koninin ana doğrusudur (l=15l=15). rl=α360\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360} formülünden r15=216360⇒r=9\frac{r}{15} = \frac{216}{360} \Rightarrow r=9.
2
Koninin yüksekliğini (hh) hesaplama
h=12h = 12 cm
Konide h2+r2=l2h^2 + r^2 = l^2 pisagor bağıntısından, h2+92=152⇒h=12h^2 + 9^2 = 15^2 \Rightarrow h = 12.
3
Koninin dik kesit üçgenini analiz etme
Tabanı 18 cm, ikiz kenarları 15 cm olan ikizkenar üçgen
Koninin içine yerleştirilen en büyük küre, koninin tepe noktasından ve taban çapından geçen dik kesit üçgeninin iç teğet çemberine karşılık gelir.
4
Üçgenin alanını ve yarı çevresini (uu) hesaplama
Alan =108= 108 cm², u=24u = 24 cm
Alan =Taban⋅Yu¨kseklik2=18⋅122=108= \frac{\text{Taban} \cdot \text{Yükseklik}}{2} = \frac{18 \cdot 12}{2} = 108. Yarı çevre u=15+15+182=24u = \frac{15+15+18}{2} = 24.
5
İç teğet çemberin (kürenin) yarıçapını bulma
ρ=4,5\rho = 4,5 cm
Alan =u⋅ρ= u \cdot \rho formülünden, 108=24⋅ρ⇒ρ=10824=92=4,5108 = 24 \cdot \rho \Rightarrow \rho = \frac{108}{24} = \frac{9}{2} = 4,5.

Key Concept

Koni içine yerleştirilen küre problemleri, koninin dik kesit üçgeninin iç teğet çemberi problemine indirgenerek çözülür.

Hints

1
Önce daire diliminin özelliklerini kullanarak koninin taban yarıçapını ve yüksekliğini hesaplayın. (Formül: r/l = α/360)
2
Koninin tam ortasından dikey bir kesit aldığınızı hayal edin. Bu kesit bir ikizkenar üçgendir ve küre bu üçgenin içinde bir daire (iç teğet çember) olarak görünür.
3
Oluşan ikizkenar üçgenin tabanı 18 cm, yüksekliği 12 cm'dir. Üçgenin alanı hem (Taban x Yükseklik)/2 hem de (Yarı Çevre x İç Yarıçap) formülüyle bulunabilir.

Practice More

Benzer bir koninin içine küre yerine, tabanı koninin tabanına oturan en büyük hacimli silindir yerleştirilseydi silindirin yüksekliği ne olurdu?

Alternative Method

Benzerlik kullanarak da çözülebilir: İç teğet çemberin merkezi I olsun. Tepe noktası A'dan tabana inen dikme H noktası olsun. A(I teğet noktası) üçgeni ile A(H taban köşesi) üçgeni benzerdir. Açıortay teoremi kullanılarak da oran bulunabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 23Question →

Taban yarıçapı 66 cm ve ana doğrusunun uzunluğu 1010 cm olan dik dairesel bir koninin içerisine, koninin tabanına ve yan yüzeylerine teğet olacak şekilde yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür?

Show answer & explanation

Answer: 36π36\pi

Answer

Kürenin hacmi 36π36\pi cm3\text{cm}^3 tür.
Doğru cevap, koninin dikey kesitindeki üçgenin iç teğet çember yarıçapının (R=3R=3) hesaplanması ve bu değerin küre hacim formülüne (V=43πR3V = \frac{4}{3}\pi R^3) uygulanmasıyla 36π36\pi olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Koninin yüksekliğini (hh) bulmak için Pisagor bağıntısını uygula.
h=102−62=100−36=64=8h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 cm.
Koninin yüksekliği, taban yarıçapı ve ana doğru dik üçgen oluşturur (6−8−106-8-10 üçgeni).
2
Koninin tepe noktasından geçen dikey kesiti (ikizkenar üçgeni) ve iç teğet çemberi (kürenin büyük çemberi) modelle.
Kesit üçgeninin tabanı 2r=122r = 12 cm, yüksekliği h=8h = 8 cm, eşit kenarları 1010 cm'dir.
Kürenin yarıçapını (RR) bulmak için bu üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı hesaplanmalıdır.
3
Üçgenin alanını ve yarı çevresini (uu) kullanarak iç teğet çember yarıçapını (RR) hesapla.
Alan = 12⋅82=48\frac{12 \cdot 8}{2} = 48. Çevre = 10+10+12=3210+10+12=32, u=16u=16. R=Alanu=4816=3R = \frac{\text{Alan}}{u} = \frac{48}{16} = 3 cm.
Bir üçgenin alanı, yarı çevre (uu) ile iç teğet çember yarıçapının (RR) çarpımına eşittir (A=u⋅RA = u \cdot R).
4
Bulunan yarıçapı (R=3R=3) küre hacim formülünde yerine yaz.
Vku¨re=43πR3=43π(33)=43π(27)=36πV_{küre} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (3^3) = \frac{4}{3}\pi (27) = 36\pi.
Küre hacim formülü V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3 tür.

Key Concept

Koni içine yerleştirilen en büyük kürenin yarıçapı, koninin eksenel kesitindeki (ikizkenar üçgen) iç teğet çemberin yarıçapına eşittir.

Hints

1
Koninin tepe noktasından taban çapına inen dikey bir kesit aldığınızı hayal edin. Bu kesit bir ikizkenar üçgendir.
2
Kürenin bu kesitteki görüntüsü, ikizkenar üçgenin iç teğet çemberidir. Üçgenin kenar uzunluklarını (6−8−106-8-10 üçgeninden faydalanarak) bulun.
3
Üçgenin alanı (AA) ve yarı çevresi (uu) ile iç teğet çember yarıçapı (RR) arasındaki A=u⋅RA = u \cdot R bağıntısını kullanarak RR'yi hesaplayın.

Practice More

Benzer bir mantıkla, bir kürenin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli koninin hacmini soran bir problem çözülebilir.

Alternative Method

Benzerlik kullanarak da çözülebilir: Tepe açısının yarısına α\alpha dersek, tan⁡(α)=rkoni/h=6/8=3/4\tan(\alpha) = r_{koni}/h = 6/8 = 3/4. Küre merkezi OO olmak üzere, OO'dan teğet noktasına çizilen yarıçap RR ve tepe noktasına olan uzaklık 8−R8-R dir. Dik üçgende sin⁡(α)=R/(8−R)\sin(\alpha) = R/(8-R). tan⁡(α)=3/4\tan(\alpha)=3/4 ise sin⁡(α)=3/5\sin(\alpha)=3/5. Buradan 3/5=R/(8−R)⇒24−3R=5R⇒8R=24⇒R=33/5 = R/(8-R) \Rightarrow 24-3R=5R \Rightarrow 8R=24 \Rightarrow R=3.
Estimated Time:2m 30s
Question 24Question →

Tamamı su ile dolu olan, taban yarıçapı 66 cm ve yüksekliği 1515 cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kabın içerisine, yarıçapı 33 cm olan küre şeklinde demir bir bilye bırakılıyor. Bilye tamamen suya battığına göre, kaptan taşan su miktarının kapta kalan su miktarına oranı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1/141/14

Answer

Taşan su miktarının kapta kalan su miktarına oranı 1/141/14 olarak bulunur.
Silindirin hacmi 540π540\pi ve içine atılan bilyenin hacmi 36π36\pi olarak hesaplanır. Kap dolu olduğu için taşan su miktarı bilyenin hacmi olan 36π36\pi kadardır. Kapta kalan su ise toplam hacimden taşan miktarın çıkarılmasıyla 504π504\pi olarak bulunur. Bu iki değerin birbirine oranı 36/50436/504 sadeleştirildiğinde 1/141/14 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Silindirin toplam hacmini hesaplayınız.
Vsilindir=π⋅r2⋅h=π⋅62⋅15=540π cm3V_{silindir} = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 6^2 \cdot 15 = 540\pi \text{ cm}^3
Kap tamamen dolu olduğu için başlangıçtaki su miktarı silindirin hacmine eşittir.
2
Küre şeklindeki bilyenin hacmini hesaplayınız.
Vku¨re=43⋅π⋅r3=43⋅π⋅33=36π cm3V_{küre} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 3^3 = 36\pi \text{ cm}^3
Bilye suya tamamen battığı için kendi hacmi kadar suyun yerini değiştirecek ve bu miktar kaptan taşacaktır.
3
Kalan su miktarını belirleyiniz.
Vkalan=Vtoplam−Vtas\can=540π−36π=504π cm3V_{kalan} = V_{toplam} - V_{taşan} = 540\pi - 36\pi = 504\pi \text{ cm}^3
Taşan su miktarı bilyenin hacmine eşit olduğundan, toplam hacimden bilye hacmi çıkarılarak kalan su bulunur.
4
İstenen oranı kurunuz.
Oran=36π504π=36504=114\text{Oran} = \frac{36\pi}{504\pi} = \frac{36}{504} = \frac{1}{14}
Taşan su miktarının (36π36\pi) kalan su miktarına (504π504\pi) bölünmesiyle oran elde edilir.

Key Concept

Arşimet prensibine göre suya batan bir cisim, kendi hacmi kadar sıvının yerini değiştirir. Katı cisimlerde hacim hesaplama formülleri (Vsilindir=πr2hV_{silindir} = \pi r^2 h ve Vku¨re=43πr3V_{küre} = \frac{4}{3} \pi r^3) bu tür problemlerin çözümünde temeldir.

Hints

1
Taşan suyun hacmi, tamamen batan bilyenin hacmine eşittir.
2
Silindirin hacmini πr2h\pi r^2 h ve kürenin hacmini 43πr3\frac{4}{3} \pi r^3 formülleriyle hesaplayıp π\pi cinsinden bırakın.
3
Kalan su miktarını bulmak için silindirin toplam hacminden bilyenin hacmini çıkarın ve ardından bölme işlemini yapın.

Practice More

Benzer bir soruda, silindirin yarısı suyla dolu olsaydı bilye atıldığında su seviyesinin ne kadar yükseleceğini hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Sayılarla uğraşmak yerine formülleri oranlayabilirsiniz. Tas¸an=43π(3)3=36π\text{Taşan} = \frac{4}{3}\pi(3)^3 = 36\pi. Kalan=π(6)2(15)−36π\text{Kalan} = \pi(6)^2(15) - 36\pi. Her iki tarafı 36π36\pi parantezine alarak sadeleştirmeyi hızlandırabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 25Question →

Taban ayrıtları 4 cm ve 8 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kapta bir miktar su bulunmaktadır. Bu kabın içine, taban yarıçapı 2 cm ve yüksekliği 4 cm olan metal bir dik dairesel silindir atılıyor. Silindir tamamen suya battığına ve su taşmadığına göre, kaptaki su seviyesi kaç cm yükselir? (π=3\pi = 3 alınız.)

Show answer & explanation

Answer: 1,5

Answer

Su seviyesi 1,5 cm yükselir.
Suya tamamen batan cisim kendi hacmi kadar su yükseltir. Silindirin hacmi 48 cm348 \text{ cm}^3, prizmanın taban alanı 32 cm232 \text{ cm}^2'dir. Yükselme miktarı hacmin taban alanına bölünmesiyle 1,51,5 cm olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Suyun yükseleceği kap olan dikdörtgenler prizmasının taban alanını hesapla.
Alanprizma=4×8=32 cm2Alan_{prizma} = 4 \times 8 = 32 \text{ cm}^2
Su seviyesindeki yükselme miktarı, taban alanı ile ters orantılıdır.
2
Suya batan cismin (silindir) hacmini hesapla.
Vsilindir=πr2h=3×22×4=3×4×4=48 cm3V_{silindir} = \pi r^2 h = 3 \times 2^2 \times 4 = 3 \times 4 \times 4 = 48 \text{ cm}^3
Suya tamamen batan bir cisim, kendi hacmi kadar su yükseltir (veya taşırır).
3
Yükselme miktarını (hyu¨kselmeh_{yükselme}) bulmak için cismin hacmini kabın taban alanına böl.
hyu¨kselme=VsilindirAlanprizma=4832=32=1,5 cmh_{yükselme} = \frac{V_{silindir}}{Alan_{prizma}} = \frac{48}{32} = \frac{3}{2} = 1,5 \text{ cm}
Yükselen suyun hacmi, batan cismin hacmine eşittir: Alanprizma×hyu¨kselme=VsilindirAlan_{prizma} \times h_{yükselme} = V_{silindir}

Key Concept

Sıvı içerisine batan katı cisimler, hacimleri kadar sıvı yer değiştirirler.

Hints

1
Suya batan bir cisim, kendi hacmi kadar suyu yerinden oynatır (yükseltir).
2
Önce silindirin hacmini (πr2h\pi r^2 h) ve prizmanın taban alanını hesaplayınız.
3
Yükselen suyun hacmi silindirin hacmine eşittir. Prizmanın taban alanı ile yükselme miktarının çarpımı bu hacmi vermelidir.

Practice More

Benzer mantıkla, kısmen suya batan cisimler için Arşimet prensibini içeren sorular çözülebilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 26Question →

Bir ayrıtının uzunluğu 66 birim olan bir küpün içerisine yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin hacmi V1V_1 birimküp; bu küpün tüm köşeleri üzerinde bulunacak şekilde dışına çizilebilecek en küçük hacimli kürenin hacmi ise V2V_2 birimküptür. Buna göre, V1V_1 hacminin V2V_2 hacmine oranı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 39\frac{\sqrt{3}}{9}

Answer

Küpün içindeki ve dışındaki kürelerin hacimleri oranı 39\frac{\sqrt{3}}{9} olarak bulunur.
İç teğet kürenin yarıçapı küp ayrıtının yarısı (33 birim), dış teğet kürenin yarıçapı ise cisim köşegeninin yarısıdır (333\sqrt{3} birim). Bu iki küre arasındaki benzerlik oranı k=333=13k = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}'tür. Kürelerin hacim oranı benzerlik oranının küpü olduğundan k3=(13)3=133=39k^3 = (\frac{1}{\sqrt{3}})^3 = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9} elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İç teğet kürenin yarıçapını (r1r_1) belirleme
r1=3r_1 = 3 birim
Küpün içine sığabilecek en büyük kürenin çapı, küpün bir ayrıt uzunluğuna (a=6a = 6) eşittir. Bu durumda 2r1=62r_1 = 6 olur.
2
V1V_1 hacmini hesaplama
V1=36πV_1 = 36\pi birimküp
Kürenin hacim formülü V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3 kullanılarak V1=43π(3)3=43π⋅27=36πV_1 = \frac{4}{3} \pi (3)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 = 36\pi bulunur.
3
Dış teğet kürenin yarıçapını (RR) belirleme
R=33R = 3\sqrt{3} birim
Küpün köşelerinden geçen en küçük kürenin çapı, küpün cisim köşegenine (a3a\sqrt{3}) eşittir. a=6a = 6 için çap 636\sqrt{3} birim, dolayısıyla yarıçap R=33R = 3\sqrt{3} birim olur.
4
V2V_2 hacmini hesaplama
V2=1083πV_2 = 108\sqrt{3}\pi birimküp
V2=43π(33)3=43π(27⋅33)=43π(813)=1083πV_2 = \frac{4}{3} \pi (3\sqrt{3})^3 = \frac{4}{3} \pi (27 \cdot 3\sqrt{3}) = \frac{4}{3} \pi (81\sqrt{3}) = 108\sqrt{3}\pi bulunur.
5
Hacimler oranını hesaplama
V1V2=39\frac{V_1}{V_2} = \frac{\sqrt{3}}{9}
36π1083π=133=33⋅3=39\frac{36\pi}{108\sqrt{3}\pi} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{9} işlemiyle sonuç elde edilir.

Key Concept

Küp ve küre ilişkilerinde; iç teğet kürenin çapı ayrıta, dış teğet kürenin çapı cisim köşegenine eşittir.

Hints

1
Kürenin hacmi yarıçapının küpüyle (r3r^3) orantılıdır.
2
İçteki kürenin çapı küpün bir kenarıdır. Dıştakinin çapı ise küpün en uzak iki köşesini birleştiren cisim köşegenidir.

Practice More

Aynı küpün içine sığabilecek en büyük silindir ile kürenin hacimlerini karşılaştırınız.

Alternative Method

Hacimleri ayrı ayrı hesaplamak yerine benzerlik oranından gidilebilir: k=ric\crdıs\c=a/2a3/2=13k = \frac{r_{iç}}{r_{dış}} = \frac{a/2}{a\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}. Hacimler oranı k3=133=39k^3 = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9} olur.
Estimated Time:1m 30s
Question 27Question →

Taban yarıçapı 44 cm ve yüksekliği 2020 cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kapta 1212 cm yüksekliğinde su bulunmaktadır. Bu kap, tabanı üzerindeki bir nokta etrafında yavaşça eğilmeye başlanıyor. Su dökülmeye başladığı anda kabın tabanının yatay düzlemle yaptığı açının tanjantı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Kabın tabanının yatay düzlemle yaptığı açının tanjantı 2'dir.
Silindir eğildiğinde suyun dökülmemesi için hacminin sabit kalması gerekir. Bu durumda eğik silindirdeki suyun yüksekliklerinin ortalaması (2020 ve 44), başlangıçtaki yüksekliğe (1212) eşit olmalıdır. Oluşan geometrik yapıda yükseklik farkı (1616) ve taban çapı (88) arasındaki oran doğrudan taban açısının tanjantını verir.

Step-by-Step Solution

1
Eğik durumdaki suyun hacim özelliklerini belirleme
Hacim = π⋅r2⋅h1+h22\pi \cdot r^2 \cdot \frac{h_1 + h_2}{2}
Silindir eğildiğinde içindeki suyun hacmi değişmez ve eğik durumdaki suyun ortalama yüksekliği, başlangıçtaki su yüksekliğine (h=12h=12) eşittir.
2
Su dökülmeye başladığı andaki uç değerleri hesaplama
h1=20h_1 = 20 cm ve h2=4h_2 = 4 cm
Su dökülmeye başladığı anda suyun bir tarafı kabın üst ağzına (h1=20h_1 = 20) ulaşır. 20+h22=12\frac{20 + h_2}{2} = 12 denkleminden diğer tarafın yüksekliği h2=4h_2 = 4 cm olarak bulunur.
3
Eğim açısını geometriye aktarma
Karşı kenar = 1616 cm, Komşu kenar = 88 cm
Kabın dik kesitinde oluşan dik üçgende, su yüzeyi (yatay) ile taban arasındaki açı θ\theta ise; karşı dik kenar yükseklik farkıdır (20−4=1620 - 4 = 16), komşu dik kenar ise taban çapıdır (2×4=82 \times 4 = 8).
4
Tanjant değerini hesaplama
tan⁡θ=168=2\tan \theta = \frac{16}{8} = 2
Tanjant fonksiyonu karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.

Key Concept

Eğik silindirde hacim korunumu ve ortalama yükseklik prensibi
Question 28Question →

Taban yarıçapı 33 cm ve yüksekliği 16π16\pi cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kutunun taban çevresi üzerindeki AA noktasında bulunan bir karınca, kutunun yanal yüzeyi üzerinden iki tam tur atarak, üst tabanda AA noktasının tam düşey hizasında bulunan BB noktasına en kısa yoldan gitmek istiyor. Buna göre, karıncanın alacağı yol en az kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 20π20\pi

Answer

Karıncanın alacağı en kısa yol 20π20\pi cm'dir.
Karınca silindir yüzeyinde hareket ettiğinde, en kısa yolu bulmak için silindirin yanal yüzeyi düz bir dikdörtgen gibi açılır. Karınca 2 tam tur attığı için, bu dikdörtgenlerden yan yana iki tane varmış gibi düşünülür. Böylece toplam yatay yol, taban çevresinin 2 katı (2×2πr=12π2 \times 2\pi r = 12\pi) olur. Dikey yol ise silindirin yüksekliğidir (16π16\pi). Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı (12π−16π−20π12\pi - 16\pi - 20\pi) uygulanarak en kısa yol 20π20\pi bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Silindirin taban çevresini hesapla.
Çevre =2πr=2π⋅3=6π= 2\pi r = 2\pi \cdot 3 = 6\pi cm.
Silindirin yanal yüzeyi açıldığında genişliği çevre kadar olacaktır.
2
Karıncanın 2 tam tur atması nedeniyle toplam yatay mesafeyi belirle.
Yatay Yol =2×C¸evre=2×6π=12π= 2 \times \text{Çevre} = 2 \times 6\pi = 12\pi cm.
Her tur için bir çevre uzunluğu kadar yatay mesafe kat edilir.
3
Oluşan dik üçgenin dik kenarlarını belirle ve Pisagor bağıntısını uygula.
Dik kenarlar: 12π12\pi ve 16π16\pi. Hipotenüs (xx) için: x2=(12π)2+(16π)2x^2 = (12\pi)^2 + (16\pi)^2.
En kısa yol, açınım düzlemindeki doğrusal yoldur (hipotenüs).
4
Hipotenüs uzunluğunu hesapla (veya özel üçgeni fark et).
x=144π2+256π2=400π2=20πx = \sqrt{144\pi^2 + 256\pi^2} = \sqrt{400\pi^2} = 20\pi cm. (3-4-5 üçgeninin 4π4\pi katı olan 12-16-20 üçgeni).
İşlemin sonucunu bulmak.

Key Concept

Silindir yüzeyinde en kısa yol problemleri, silindirin açınımı yapılarak düzlemde Pisagor bağıntısı ile çözülür.
Question 29Question →

Analitik düzlemde köşe noktaları A(0,0), B(3,0), C(3,4) ve D(0,2) olan dörtgensel bölge, y ekseni etrafında 360° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç π\pi birimküptür?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Oluşan cismin hacmi 30 π\pi birimküptür.
Dörtgensel bölge bir dikdörtgen (y=0 ile y=2 arası) ve bir üçgen (y=2 ile y=4 arası) olarak ikiye ayrılabilir. Alt parça tam bir silindir oluşturur (V=18πV=18\pi). Üst parça ise dolu bir silindirden bir koninin çıkarılmasıyla elde edilen formdadır (V=12πV=12\pi). Toplam hacim 30π30\pi bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen noktaları koordinat düzleminde işaretleyin ve bölgeyi tanımlayın.
Bölge, altta 3×23 \times 2 boyutlarında bir dikdörtgen ve üstte dik kenarları 3 ve 2 birim olan bir dik üçgenin birleşiminden oluşan bir dik yamuktur.
Cismin geometrik yapısını anlamak için parçalara ayırma yöntemi en güvenilir yoldur.
2
Alt dikdörtgen parçasının (A-B-E-D) y ekseni etrafında dönmesiyle oluşan hacmi hesaplayın.
V1=πr2h=π(32)(2)=18πV_1 = \pi r^2 h = \pi (3^2)(2) = 18\pi birimküp.
Kenarları 3 ve 2 olan dikdörtgen, y ekseni (kısa kenar) etrafında döndüğünde yarıçapı 3, yüksekliği 2 olan bir silindir oluşturur.
3
Üst üçgen parçasının (D-E-C) y ekseni etrafında dönmesiyle oluşan hacmi hesaplayın. (Pappus Teoremi veya Silindirden Koni Çıkarma)
V2=Dıs¸ Silindir−Bos¸ Koni=π(32)(2)−13π(32)(2)=18π−6π=12πV_2 = \text{Dış Silindir} - \text{Boş Koni} = \pi(3^2)(2) - \frac{1}{3}\pi(3^2)(2) = 18\pi - 6\pi = 12\pi birimküp.
Üst parça, yarıçapı 3 ve yüksekliği 2 olan bir silindirin içinden, tepe noktası aşağıda olan bir koninin çıkarılmasıyla oluşan cisimdir.
4
İki parçanın hacmini toplayın.
Vtoplam=18π+12π=30πV_{\text{toplam}} = 18\pi + 12\pi = 30\pi birimküp.
Cisim bu iki hacmin birleşimidir.

Key Concept

Dönel Cisimlerin Hacmi ve Pappus Teoremi

Hints

1
Şekli y ekseni üzerinde iki parçaya ayırarak düşünün: y=0y=0'dan y=2y=2'ye kadar olan kısım ve y=2y=2'den y=4y=4'e kadar olan kısım.
2
Alt parça (0-2 arası) basit bir silindirdir. Üst parçayı (2-4 arası) hesaplarken, oluşan şeklin dolu bir silindirden bir koninin çıkarılmış hali olduğunu fark edin.

Alternative Method

Pappus Teoremi (2. Teorem) ile çözüm: Alan ×\times Ağırlık Merkezinin Aldığı Yol. Yamuğun alanı 9 br², ağırlık merkezinin x bileşeni 5/3'tür. V=2π⋅(5/3)⋅9=30πV = 2\pi \cdot (5/3) \cdot 9 = 30\pi.
Estimated Time:2m 30s
Question 30Question →

Taban yarıçapı ve yüksekliği, içerisine yerleştirilen iki adet eş küreye teğet olacak şekilde tasarlanmış bir dik dairesel silindir verilmiştir. Kürelerden her birinin hacmi 36π cm336\pi \text{ cm}^3 olduğuna göre, bu silindirin hacmi kaç π cm3\pi \text{ cm}^3 tür?

Show answer & explanation

Answer: 108

Answer

Silindirin hacmi 108π cm3108\pi \text{ cm}^3 olarak hesaplanır.
Kürenin hacminden hareketle yarıçap 3 cm3 \text{ cm} olarak bulunur. Küreler silindire teğet olduğu için silindirin taban yarıçapı 3 cm3 \text{ cm} ve yüksekliği iki kürenin çapları toplamı olan 12 cm12 \text{ cm} olur. Bu değerlerle silindir hacmi 108π108\pi olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Kürenin hacim formülünü kullanarak yarıçapı bulunuz.
V=43πr3=36π⇒r3=27⇒r=3 cmV = \frac{4}{3}\pi r^3 = 36\pi \Rightarrow r^3 = 27 \Rightarrow r = 3 \text{ cm}
Kürenin hacmi verildiği için önce temel boyut olan yarıçapın belirlenmesi gerekir.
2
Silindirin taban yarıçapını (RR) belirleyiniz.
R=r=3 cmR = r = 3 \text{ cm}
Küreler silindirin yan yüzeyine teğet olduğu için silindirin yarıçapı kürenin yarıçapına eşittir.
3
Silindirin yüksekliğini (hh) belirleyiniz.
h=2×(2r)=4r=12 cmh = 2 \times (2r) = 4r = 12 \text{ cm}
İki eş küre üst üste ve silindirin tabanlarına teğet yerleştirildiği için silindirin yüksekliği, iki kürenin çapları toplamına eşittir.
4
Silindirin hacim formülünü (V=πR2hV = \pi R^2 h) uygulayınız.
V=π×32×12=9×12×π=108π cm3V = \pi \times 3^2 \times 12 = 9 \times 12 \times \pi = 108\pi \text{ cm}^3
Elde edilen boyutlar silindir hacim formülünde yerine konularak toplam hacim hesaplanır.

Key Concept

İç içe geçmiş katı cisimlerde teğetlik durumları ve hacim ilişkileri.

Hints

1
Önce kürenin hacim formülünü kullanarak bir kürenin yarıçapını bulmaya çalışın.
2
Silindirin yüksekliğinin, içindeki iki kürenin çaplarının toplamına eşit olduğunu fark edin.
3
Kürenin yarıçapı 3 cm3 \text{ cm} ise silindirin yüksekliği 12 cm12 \text{ cm} ve taban yarıçapı 3 cm3 \text{ cm} olur.

Practice More

Silindir içindeki boşluğun hacmini bulmak için silindirin hacminden kürelerin hacimleri toplamını çıkarabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 31Question →

Taban yarıçapı 4 cm4\text{ cm} ve yüksekliği 9 cm9\text{ cm} olan dik dairesel silindir biçimindeki metal bir blok eritiliyor. Elde edilen sıvı metalin tamamı kullanılarak, taban yarıçapı 2 cm2\text{ cm} ve yüksekliği 3 cm3\text{ cm} olan içi dolu dik dairesel koniler dökülüyor.

Buna göre, bu işlem sonunda en çok kaç adet koni elde edilir?

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Elde edilen koni sayısı 36'dır.
Metal blok eritildiğinde toplam hacim değişmez. Silindirin hacmi 144π144\pi, bir koninin hacmi ise 4π4\pi olarak hesaplanır. Bu iki değer oranlandığında 144π/4π=36144\pi / 4\pi = 36 adet koni elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Eritilen silindirin hacmini hesapla.
Vsilindir=πr2h=π⋅42⋅9=144π cm3V_{silindir} = \pi r^2 h = \pi \cdot 4^2 \cdot 9 = 144\pi \text{ cm}^3
Silindirin hacim formülü kullanılarak toplam metal miktarı bulunur.
2
Elde edilecek bir koninin hacmini hesapla.
Vkoni=13πr2h=13π⋅22⋅3=13π⋅4⋅3=4π cm3V_{koni} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 2^2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot 3 = 4\pi \text{ cm}^3
Koninin hacim formülü kullanılarak tek bir parçanın hacmi bulunur.
3
Toplam hacmi bir koninin hacmine böl.
144π4π=36\frac{144\pi}{4\pi} = 36
Toplam metal miktarının kaç adet koniye dönüştüğü oranlanarak bulunur.

Key Concept

Hacim Korunumu ve Dönüşümü

Hints

1
Eritme işlemlerinde cismin şekli değişse de toplam hacmi (miktarı) değişmez.
2
Önce silindirin hacmini, sonra bir koninin hacmini hesaplayın. Silindir hacmi formülü πr2h\pi r^2 h, koni hacmi formülü 13πr2h\frac{1}{3} \pi r^2 h şeklindedir.
3
Silindir hacmi: π⋅42⋅9\pi \cdot 4^2 \cdot 9. Koni hacmi: 13π⋅22⋅3\frac{1}{3} \pi \cdot 2^2 \cdot 3. Bu iki sonucu birbirine bölün.

Alternative Method

Oran yöntemi kullanılabilir: Yarıçap yarıya düşüyor (r→r/2r \to r/2), alan 1/4'üne iner. Yükseklik 3'te 1'ine düşüyor (h→h/3h \to h/3). Koni faktörü 1/3 vardır. Hacim değişimi: Silindir Hacmi / Koni Hacmi = πr2h13π(r/2)2(h/3)=113⋅14⋅13=36\frac{\pi r^2 h}{\frac{1}{3}\pi (r/2)^2 (h/3)} = \frac{1}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}} = 36.
Estimated Time:1m 30s
Question 32Question →

Dik kenar uzunlukları 15 cm ve 20 cm olan bir dik üçgenin, hipotenüsü etrafında 360° döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç π\pi cm³ tür?

Show answer & explanation

Answer: 1200

Answer

Oluşan cismin hacmi 1200 π\pi cm³ tür.
Dik üçgen hipotenüsü etrafında döndürüldüğünde, yarıçapı hipotenüse ait yükseklik (h=12h=12) ve toplam yüksekliği hipotenüs (2525) olan iki koni oluşur. Hacim formülü V=13πr2htoplamV = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{toplam} kullanılarak 1200π1200\pi bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu hesapla.
15−20−2515-20-25 özel üçgeni (3-4-5'in 5 katı) olduğundan hipotenüs = 25 cm.
Dönme ekseni hipotenüs olduğu için cismin toplam yüksekliği bu uzunluk olacaktır.
2
Oluşan cismin şeklini ve boyutlarını belirle.
Hipotenüs etrafında dönme sonucu, tabanları çakışık iki koni oluşur. Ortak taban yarıçapı (rr), üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir.
Dönel cisimlerin hacmi için yarıçapın doğru belirlenmesi gerekir.
3
Üçgenin alan bağıntısından yarıçapı (rr) bul.
Alan=15⋅202=25⋅r2⇒300=25r⇒r=12Alan = \frac{15 \cdot 20}{2} = \frac{25 \cdot r}{2} \Rightarrow 300 = 25r \Rightarrow r = 12 cm.
Dik kenarlar çarpımı ile hipotenüs ve yüksekliğin çarpımı birbirine eşittir.
4
Oluşan çift koninin toplam hacmini hesapla.
V=13πr2htoplam=13π(122)⋅25=13π(144)⋅25=48π⋅25=1200πV = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{toplam} = \frac{1}{3} \pi (12^2) \cdot 25 = \frac{1}{3} \pi (144) \cdot 25 = 48\pi \cdot 25 = 1200\pi.
Tabanları aynı olan iki koninin hacimleri toplamı, taban alanı ile toplam yüksekliğin çarpımının 1/3'üdür.

Key Concept

Bir dik üçgenin hipotenüsü etrafında döndürülmesiyle, tabanları çakışık iki koni (çift koni) oluşur.

Hints

1
Bir dik üçgeni hipotenüsü etrafında döndürdüğünüzde oluşan şekli hayal edin: Tabanları birbirine yapışık iki koni oluşur.
2
Oluşan konilerin taban yarıçapı, üçgenin hipotenüse inilen yüksekliğidir. Öklid bağıntısı veya alan formülünden bu yüksekliği (hh) bulun.
3
15-20-25 üçgeninde hipotenüse ait yükseklik h=(15⋅20)/25=12h = (15 \cdot 20)/25 = 12 cm'dir. Toplam hacim için V=13πr2⋅(hipotenu¨s)V = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot (hipotenüs) formülünü kullanın.

Alternative Method

İki ayrı koni gibi düşünülerek: Üstteki koninin yüksekliği h1=9h_1 = 9, alttaki koninin yüksekliği h2=16h_2 = 16 cm'dir (Öklid'den). V=V1+V2=13π(122)(9)+13π(122)(16)=432π+768π=1200πV = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi (12^2)(9) + \frac{1}{3}\pi (12^2)(16) = 432\pi + 768\pi = 1200\pi.
Estimated Time:2m 30s
Question 33Question →

Taban yarıçapı r=4r = 4 cm ve yüksekliği h=6πh = 6\pi cm olan şekildeki dik dairesel silindirin taban dairesi üzerindeki A noktasında bulunan bir hareketli, silindirin yan yüzeyi üzerinden bir tam tur atarak, A noktasının düşey doğrultusunda ve üst taban kenarı üzerinde bulunan B noktasına gitmek istemektedir. Buna göre, bu hareketlinin gidebileceği en kısa yol kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 10π10\pi

Answer

Hareketlinin alacağı en kısa yol 10\pi cm'dir.
Hareketlinin silindir yüzeyinde bir tam tur atarak A'dan B'ye gitmesi, silindirin yan yüzeyi açıldığında oluşan dikdörtgenin bir köşesinden karşı köşesine gitmesi demektir. Bu dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliği (6π6\pi), diğer kenarı ise taban çevresidir (2πr=8π2\pi r = 8\pi). Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı (6π−8π−10π6\pi-8\pi-10\pi üçgeni) uygulanarak hipotenüs uzunluğu 10π10\pi bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Silindirin yan yüzeyini düzlemsel bir şekil (dikdörtgen) olarak düşün.
Yan yüzey açıldığında, bir kenarı silindirin yüksekliği (hh), diğer kenarı ise taban çevresi (C\cÇ) olan bir dikdörtgen elde edilir.
Silindir üzerindeki en kısa yol (geodezik eğri), yüzey açıldığında iki nokta arasındaki doğru parçasına (hipotenüse) karşılık gelir.
2
Dikdörtgenin kenar uzunluklarını hesapla.
Yükseklik h=6πh = 6\pi cm. Taban Çevresi C\c=2πr=2π⋅4=8πÇ = 2\pi r = 2\pi \cdot 4 = 8\pi cm.
Yolun yatay bileşeni silindirin taban çevresine eşittir.
3
Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını uygula.
En kısa yol (xx) için: x2=(6π)2+(8π)2=36π2+64π2=100π2x^2 = (6\pi)^2 + (8\pi)^2 = 36\pi^2 + 64\pi^2 = 100\pi^2. Buradan x=100π2=10πx = \sqrt{100\pi^2} = 10\pi.
Dikdörtgenin köşegeni, gidilecek en kısa mesafeyi verir (6-8-10 özel üçgeninin π\pi katı).

Key Concept

Silindir yüzeyinde en kısa yol (geodezik) problemleri, cismin yüzey açılımı yapılarak düzlemsel dik üçgen problemine dönüştürülerek çözülür.

Hints

1
Silindirin yan yüzeyini bir makasla kesip açtığınızı düşünün. Ortaya nasıl bir şekil çıkar?
2
Yan yüzey açıldığında bir dikdörtgen elde edilir. A ve B noktaları bu dikdörtgenin karşı köşeleri olur.
3
Dikdörtgenin bir kenarı yükseklik (6π6\pi), diğer kenarı taban çevresidir (2πr2\pi r). Pisagor bağıntısını kullanın.

Practice More

Aynı silindirde hareketli tam tur atmadan, sadece yarım tur atarak (silindirin arka yüzüne) gitseydi en kısa yol kaç olurdu?

Alternative Method

Özel üçgenleri hatırlayın: Kenarları 3k3k ve 4k4k olan bir dik üçgenin hipotenüsü 5k5k'dır. Burada k=2πk=2\pi alınırsa 6π6\pi ve 8π8\pi kenarları için hipotenüs 10π10\pi olur.
Estimated Time:2m 0s
Question 34Question →

Taban ayrıtının uzunluğu 1010 birim ve yüksekliği 1212 birim olan kare dik piramit biçimindeki bir anıtın tüm dış yüzeyi (taban dahil) boyanacaktır. Buna göre, boyanacak toplam alan kaç birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 360360

Answer

Anıtın boyanacak toplam alanı 360360 birimkaredir.
Doğru sonuç, taban ayrıtı 1010 ve dik yüksekliği 1212 olan piramitte yan yüz yüksekliğinin Pisagor bağıntısıyla 1313 bulunması ve ardından dört yan yüzün alanı (260260) ile taban alanının (100100) toplanmasıyla elde edilen değerdir.

Step-by-Step Solution

1
Yan yüz yüksekliğini (hyh_y) hesaplayın.
hy=13h_y = 13 birim
Piramidin yan yüz alanı hesaplanırken üçgenlerin yüksekliği kullanılır. Dik yükseklik (1212), taban yarı ayrıtı (55) ve yan yüz yüksekliği (hyh_y) bir dik üçgen oluşturur: 52+122=hy2⇒hy=135^2 + 12^2 = h_y^2 \Rightarrow h_y = 13.
2
Yanal alanı (dört adet eş üçgenin alanı) hesaplayın.
260260 birimkare
Yanal Alan = 4×(Taban Ayrıtı×hy2)=4×(10×132)=2604 \times \left( \frac{\text{Taban Ayrıtı} \times h_y}{2} \right) = 4 \times \left( \frac{10 \times 13}{2} \right) = 260.
3
Taban alanını hesaplayın.
100100 birimkare
Taban kare olduğu için: 10×10=10010 \times 10 = 100.
4
Toplam alanı bulun.
360360 birimkare
Toplam Alan = Yanal Alan + Taban Alanı = 260+100=360260 + 100 = 360.

Key Concept

Kare dik piramidin yüzey alanı, taban alanı ile dört eş ikizkenar üçgenden oluşan yanal alanın toplamıdır. Yan yüz yüksekliğini bulmak için piramit yüksekliği ve taban ayrıtının yarısı ile Pisagor bağıntısı uygulanır.

Hints

1
Piramidin yan yüzleri üçgenlerden oluşur. Bu üçgenlerin alanını bulmak için yan yüz yüksekliğini bilmeniz gerekir.
2
Piramidin tepesinden taban merkezine inen dikme (1212), taban merkezinden kenara olan uzaklık (55) ve yan yüz yüksekliği bir dik üçgen oluşturur.
3
5-12-13 özel dik üçgenini kullanarak yan yüz yüksekliğini 1313 bulun, ardından taban alanı ile yanal alanı toplayın.

Practice More

Farklı taban şekillerine sahip (eşkenar üçgen veya düzgün altıgen) piramitlerin yanal alan hesaplamalarını inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 35Question →

Taban yarıçapı r=2r = 2 cm ve ana doğru (yanal ayrıt) uzunluğu l=6l = 6 cm olan dik dairesel koninin taban çevresi üzerindeki bir A noktasından harekete başlayan bir karınca, koninin yanal yüzeyi üzerinden bir tam tur atarak tekrar A noktasına gelecektir.

Buna göre, karıncanın alabileceği en kısa yol kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 636\sqrt{3}

Answer

Karıncanın alacağı en kısa yol 636\sqrt{3} cm'dir.
Dik dairesel koni üzerinde en kısa yol sorularında şekil düzleme açılır. Koninin yanal yüzeyi açıldığında, yarıçapı ana doğru uzunluğu (l=6l=6) olan bir daire dilimi elde edilir. Bu dilimin merkez açısı α=360∘⋅(r/l)=120∘\alpha = 360^\circ \cdot (r/l) = 120^\circ olarak bulunur. Başlangıç ve bitiş noktaları bu dilimin iki uç yarıçapı üzerindedir. En kısa yol, bu iki ucu birleştiren doğru parçasıdır. Kenarları 6 cm ve arasındaki açı 120∘120^\circ olan ikizkenar üçgende, karşı kenar uzunluğu kenarların 3\sqrt{3} katıdır (veya kosinüs teoreminden hesaplanır). Sonuç 636\sqrt{3} cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Koninin yanal yüzeyinin açık halini (açınımını) düşünün. Bu şekil bir daire dilimidir.
Daire diliminin yarıçapı koninin ana doğrusuna eşittir (R=l=6R = l = 6 cm).
En kısa yol sorularında 3 boyutlu şekil düzleme açılarak iki nokta arasındaki doğru parçası bulunur.
2
Daire diliminin merkez açısını (α\alpha) hesaplayın.
α=360∘⋅rl=360∘⋅26=120∘\alpha = 360^\circ \cdot \frac{r}{l} = 360^\circ \cdot \frac{2}{6} = 120^\circ.
Açınım açısı formülü α=360∘⋅rl\alpha = 360^\circ \cdot \frac{r}{l} şeklindedir.
3
Açınım üzerinde başlangıç ve bitiş noktaları arasındaki en kısa mesafeyi (kiriş uzunluğunu) hesaplayın.
Oluşan üçgen, tepe açısı 120∘120^\circ ve eşit kenarları 66 cm olan bir ikizkenar üçgendir.
Karınca tam tur atıp aynı noktaya geldiği için, açınımda dilimin iki ucunu birleştiren doğruyu arıyoruz.
4
Kenarları 6,66, 6 ve aradaki açısı 120∘120^\circ olan üçgenin karşı kenarını bulun.
x=63x = 6\sqrt{3} cm.
120∘−30∘−30∘120^\circ-30^\circ-30^\circ özel üçgeninde hipotenüs benzeri uzun kenar, eşit kenarların 3\sqrt{3} katıdır.

Key Concept

Koninin açınımı ve yüzey üzerindeki en kısa mesafe (jeodezik eğri) hesabı.

Hints

1
Katı cisimler üzerindeki 'en kısa yol' sorularında, cismin yüzeyini düz bir kağıt gibi açarak düşünmelisiniz.
2
Koninin yanal yüzeyi açıldığında bir daire dilimi oluşur. Bu dilimin yarıçapı koninin ana doğrusu (ll), yay uzunluğu ise koninin taban çevresidir.
3
Daire diliminin merkez açısını α=360⋅(r/l)\alpha = 360 \cdot (r/l) formülüyle bulun. Sonra oluşan ikizkenar üçgende kosinüs teoremini veya özel üçgen kurallarını kullanın.

Practice More

Benzer bir soruyu, karıncanın koni etrafında iki tam tur atması durumunda merkez açının iki katını alarak çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Kosinüs Teoremi Kullanımı: x2=62+62−2⋅6⋅6⋅cos⁡(120∘)⇒x2=36+36−72⋅(−1/2)⇒x2=72+36=108⇒x=108=63x^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ) \Rightarrow x^2 = 36 + 36 - 72 \cdot (-1/2) \Rightarrow x^2 = 72 + 36 = 108 \Rightarrow x = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}.
Estimated Time:2m 30s
Question 36Question →

Taban yarıçapı r=5πr = \frac{5}{\pi} cm ve yüksekliği h=24h = 24 cm olan dik dairesel silindir şeklindeki bir kutunun taban çevresi üzerindeki A noktasında bulunan bir karınca, kutunun yanal yüzeyi üzerinden bir tam tur atarak A noktasının tam üzerinde ve üst taban kenarında bulunan B noktasına gitmek istiyor. Buna göre, karıncanın alabileceği en kısa yol kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 26

Answer

Karıncanın alacağı en kısa yol 26 cm'dir.
Silindir yüzeyi üzerinde bir tam tur atarak en kısa yoldan gitmek, silindirin yanal yüzeyi açıldığında oluşan dikdörtgenin köşegeni boyunca hareket etmek demektir. Taban çevresi 2π(5π)=102\pi(\frac{5}{\pi}) = 10 cm ve yükseklik 24 cm olduğundan, oluşan dik üçgenin kenarları 10 ve 24 cm'dir. Pisagor bağıntısıyla hipotenüs 26 cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Silindirin yanal yüzeyini düz bir dikdörtgen olarak açın.
Bir kenarı taban çevresi, diğer kenarı yükseklik olan bir dikdörtgen elde edilir.
Silindir üzerindeki 'bir tam tur' hareketi, açılmış dikdörtgende karşı köşeye giden köşegen yoluna karşılık gelir.
2
Taban çevresini hesaplayın.
Çevre = 2πr=2π⋅5π=102\pi r = 2\pi \cdot \frac{5}{\pi} = 10 cm.
Yatayda alınan yol silindirin taban çevresi kadardır.
3
Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını uygulayın.
Dik kenarlar 10 cm ve 24 cm'dir.
Yatay kenar 10, dikey kenar (yükseklik) 24 cm'dir.
4
Hipotenüs uzunluğunu bulun.
x=102+242=100+576=676=26x = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26 cm.
Bu üçgen 5-12-13 özel üçgeninin 2 katı olan 10-24-26 üçgenidir.

Key Concept

Silindir Yüzeyinde En Kısa Yol (Yüzey Açınımı)

Hints

1
Silindirin yanal yüzeyini bir kağıt gibi açtığınızı düşünün. A ve B noktaları bu açık kağıt üzerinde nerede olur?
2
Açılmış şekilde oluşan dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliği (hh), diğer kenarı ise taban çevresi (2πr2\pi r) olacaktır.
3
Oluşan dik üçgenin kenarları 10 ve 24 cm'dir. 5-12-13 özel üçgenini hatırlayın.
Estimated Time:2m 30s
Question 37Question →

Yarıçapı rr olan dik dairesel silindir biçimindeki bir su kabının yarısı su ile doludur. Bu kabın içerisine yarıçapı rr olan metal bir küre bırakıldığında, küre tamamen suya batmakta ve su seviyesi silindirin üst taban seviyesine (ağzına kadar) ulaşmaktadır. Buna göre, silindirin yüksekliğinin yarıçapına oranı (hr\frac{h}{r}) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 83\frac{8}{3}

Answer

Silindirin yüksekliğinin yarıçapına oranı 83\frac{8}{3} olarak bulunur.
Kürenin hacmi (43πr3\frac{4}{3}\pi r^3), silindirin boş olan üst yarısının hacmine (πr2⋅h2\pi r^2 \cdot \frac{h}{2}) eşit olduğundan, denklemin çözümünden yükseklik-yarıçap oranı 83\frac{8}{3} çıkar.

Step-by-Step Solution

1
Kürenin hacmini ifade edin.
Vku¨re=43πr3V_{\text{küre}} = \frac{4}{3}\pi r^3
Tamamen batan bir cisim, hacmi kadar sıvının yerini değiştirir.
2
Yükselen suyun hacmini (silindirin boş kısmını) ifade edin.
Vyu¨kselen=πr2⋅h2V_{\text{yükselen}} = \pi r^2 \cdot \frac{h}{2}
Kaptan su taşmadığına ve su seviyesi yarısından (h/2h/2) ağzına (hh) kadar yükseldiğine göre, yükselen suyun hacmi yüksekliği h/2h/2 olan silindirin hacmine eşittir.
3
Kürenin hacmini yükselen suyun hacmine eşitleyin.
43πr3=πr2⋅h2\frac{4}{3}\pi r^3 = \pi r^2 \cdot \frac{h}{2}
Batan kürenin hacmi, silindirde yükselen su hacmine eşittir.
4
Eşitliği sadeleştirerek istenen oranı bulun.
43r=h2⇒83r=h⇒hr=83\frac{4}{3}r = \frac{h}{2} \Rightarrow \frac{8}{3}r = h \Rightarrow \frac{h}{r} = \frac{8}{3}
Her iki taraftan πr2\pi r^2 terimleri sadeleştirilir ve içler dışlar çarpımı yapılır.

Key Concept

Batan cisimlerin hacmi, yer değiştiren sıvının hacmine eşittir.

Hints

1
Kürenin hacmi ile silindirde suyun yükseldiği kısmın hacmi birbirine eşittir.
2
Su seviyesi h/2h/2'den hh'a çıktığına göre yükselen hacim, yüksekliği h/2h/2 olan bir silindirdir.
3
43πr3=πr2⋅h2\frac{4}{3}\pi r^3 = \pi r^2 \cdot \frac{h}{2} denklemini kurup h/rh/r oranını çekmelisiniz.

Practice More

Eğer kürenin yarıçapı silindirin yarıçapının yarısı (r/2r/2) olsaydı oran nasıl değişirdi?
Estimated Time:1m 30s
Question 38Question →

Taban yarıçapı 44 cm ve yüksekliği 1010 cm olan dolu bir dik dairesel silindirden, taban merkezinden geçen ve merkez açısı 90∘90^\circ olan bir dilim kesilip çıkarılıyor.

Buna göre, geriye kalan büyük parçanın yüzey alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Show answer & explanation

Answer: 84π+8084\pi + 80

Answer

84π+8084\pi + 80
Doğru cevap, kalan cismin tüm yüzeylerinin (tabanlar, kavisli yüzey ve kesim yüzeyleri) doğru hesaplanıp toplanmasıyla bulunur. 3/4'lük tabanlar (24π24\pi), 3/4'lük yanal alan (60π60\pi) ve kesim sonucu oluşan iki dikdörtgen yüzey (2×40=802 \times 40 = 80) toplandığında sonuç 84π+8084\pi + 80 olur.

Step-by-Step Solution

1
Kalan cismin geometrik yapısını analiz et
Silindirden 90 derecelik (1/4) bir dilim çıkarıldığında geriye 3/4'lük bir silindir dilimi kalır. Ayrıca kesim bölgesinde iki adet yeni dikdörtgen yüzey oluşur.
Yüzey alanı hesaplanırken hem dış yüzeyler hem de kesim sonucu açığa çıkan iç yüzeyler toplanmalıdır.
2
Taban ve tavan alanlarını hesapla
Taban Alanı = πr2=16π\pi r^2 = 16\pi. Kalan kısım 3/4 olduğu için: Alt ve Üst Taban Toplamı = 2×(34×16π)=24π2 \times (\frac{3}{4} \times 16\pi) = 24\pi.
Silindirin alt ve üst tabanlarından 90 derecelik kısımlar eksilmiştir.
3
Yanal (kavisli) yüzey alanını hesapla
Tam Yanal Alan = 2πrh=2π(4)(10)=80π2\pi r h = 2\pi(4)(10) = 80\pi. Kalan Yanal Alan = 34×80π=60π\frac{3}{4} \times 80\pi = 60\pi.
Silindirin dış kavisli yüzeyinin de 1/4'ü gitmiştir.
4
Kesim sonucu oluşan dikdörtgen yüzeylerin alanını hesapla
Kesim yüzeyleri, boyutları rr ve hh olan iki dikdörtgendir. Alan = 2×(r×h)=2×(4×10)=802 \times (r \times h) = 2 \times (4 \times 10) = 80.
Parça çıkarıldığında cismin içinde kalan yüzeyler dışarıya açılmıştır ve alana dahil edilmelidir.
5
Tüm alanları topla
Toplam Alan = (Tabanlar) + (Yanal) + (Kesim Yüzeyleri) = 24π+60π+80=84π+8024\pi + 60\pi + 80 = 84\pi + 80.
Cismin toplam yüzey alanı bu üç bileşenin toplamıdır.

Key Concept

Parçalı Cisimlerin Yüzey Alanı

Hints

1
Cisimden 90 derecelik bir dilim çıkarıldığında, geriye silindirin 3/4'ü kalır.
2
Yüzey alanını hesaplarken sadece silindirin dış yüzeylerini değil, kesim sonucu açığa çıkan dikdörtgen şeklindeki iç yüzeyleri de eklemeyi unutmayın.
3
Oluşan yeni yüzeyler, yarıçap (rr) ve yükseklik (hh) boyutlarında iki adet dikdörtgendir.
Estimated Time:2m 30s
Question 39Question →

Taban yarıçapı 44 cm ve yüksekliği 12π12\pi cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir rulo pastanın taban dairesi üzerindeki AA noktasından başlayıp, pastanın yan yüzeyi üzerinden iki tam tur atarak, AA noktasının tam üstündeki (üst taban dairesi üzerindeki) BB noktasına en kısa yoldan çekilecek bir krema şeridinin uzunluğu kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 20π20\pi

Answer

Krema şeridinin uzunluğu 20π20\pi cm'dir.
Doğru cevap, silindirin yan yüzeyi açıldığında oluşan dik üçgenin hipotenüs uzunluğudur. Yükseklik 12π12\pi ve yatay kenar (iki turdan dolayı iki çevre uzunluğu) 16π16\pi olduğunda, Pisagor bağıntısından hipotenüs 20π20\pi bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Silindirin yan yüzeyinin açınımını (dikdörtgen hali) düşünün. Silindir açıldığında, yan yüzey bir dikdörtgen oluşturur. Bu dikdörtgenin düşey kenarı silindirin yüksekliğine (hh), yatay kenarı ise taban çevresine eşittir.
Yükseklik h=12πh = 12\pi cm.
Silindirin yan yüzeyi açıldığında yükseklik değişmez.
2
Taban çevresini hesaplayın.
Çevre =2πr=2π⋅4=8π= 2\pi r = 2\pi \cdot 4 = 8\pi cm.
Dairenin çevresi 2πr2\pi r formülü ile bulunur.
3
Şeridin iki tam tur attığı belirtildiği için, açınım dikdörtgeninde yatayda katedilen mesafeyi hesaplayın. Bu mesafe, taban çevresinin tur sayısı ile çarpımıdır.
Yatay Yol =2×C¸evre=2×8π=16π= 2 \times \text{Çevre} = 2 \times 8\pi = 16\pi cm.
Her bir tam tur, yatayda bir çevre uzunluğu kadar mesafe demektir. İki tur için bu mesafe iki katına çıkar.
4
Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını uygulayarak hipotenüsü (en kısa yolu) bulun. Dik kenarlar 12π12\pi ve 16π16\pi'dir.
Uzunluk =(12π)2+(16π)2=144π2+256π2=400π2=20π= \sqrt{(12\pi)^2 + (16\pi)^2} = \sqrt{144\pi^2 + 256\pi^2} = \sqrt{400\pi^2} = 20\pi cm.
En kısa yol, açınım düzleminde başlangıç ve bitiş noktalarını birleştiren doğru parçasının (hipotenüsün) uzunluğudur. Burada 3-4-5 üçgeninin 4π4\pi katı olan 12-16-20 üçgeni oluşur.

Key Concept

Silindir yüzeyinde en kısa yol (geodezik eğri) problemleri, silindirin yan yüzeyinin düzlemsel açınımı yapılarak çözülür. Tur sayısı, açınımda yatayda gidilen çevre sayısını belirler.

Hints

1
Silindirin yan yüzeyini bir makasla kesip düz bir dikdörtgen olarak açtığınızı hayal edin.
2
Açılan dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliğidir (12π12\pi). Diğer kenarı ise, ip iki tur attığı için taban çevresinin iki katı uzunluğundadır.

Practice More

Benzer mantıkla, bir koni yüzeyinde yarım tur veya tam tur atarak en kısa yolu bulan soruları inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Özel üçgenleri kullanabilirsiniz: Dik kenarlar 12π12\pi ve 16π16\pi ise, bunları 4π4\pi parantezine aldığınızda (3,4,x)(3, 4, x) üçgeni elde edersiniz. 3-4-5 üçgeni kuralından hipotenüs 5×4π=20π5 \times 4\pi = 20\pi olur.
Estimated Time:2m 30s
Question 40Question →

Taban yarıçapı 4 cm4\text{ cm} ve yüksekliği 10 cm10\text{ cm} olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kutunun hacmi kaç cm3\text{cm}^3 olur? (π=3\pi = 3 alınız.)

Show answer & explanation

Answer: 480

Answer

Dik dairesel silindirin hacmi 480 cm3480\text{ cm}^3 olarak bulunur.
Dik dairesel silindirin hacmi V=πr2hV = \pi r^2 h formülü ile hesaplanır. Yarıçapı 4 cm4\text{ cm}, yüksekliği 10 cm10\text{ cm} olan ve π\pi sayısı 33 alınan bu silindirde; V=3×42×10=3×16×10=480 cm3V = 3 \times 4^2 \times 10 = 3 \times 16 \times 10 = 480\text{ cm}^3 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Silindir hacim formülünün belirlenmesi
V=Taban Alanı×Yu¨kseklik=πr2hV = \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik} = \pi r^2 h
Dik dairesel silindirin hacmi, tabanını oluşturan dairenin alanı ile silindirin yüksekliğinin çarpımına eşittir.
2
Verilen değerlerin formülde yerine yazılması
r=4r = 4, h=10h = 10, π=3\pi = 3 için V=3×42×10V = 3 \times 4^2 \times 10
Soruda verilen yarıçap, yükseklik ve π\pi değerleri hacim formülüne yerleştirilir.
3
Matematiksel işlemlerin tamamlanması
V=3×16×10=480 cm3V = 3 \times 16 \times 10 = 480\text{ cm}^3
Önce yarıçapın karesi alınır, ardından tüm katsayılar çarpılarak toplam hacim hesaplanır.

Key Concept

Dik Dairesel Silindirin Hacmi

Hints

1
Silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır.
2
Taban alanı bir dairedir ve πr2\pi r^2 formülüyle hesaplanır.
3
V=πr2hV = \pi r^2 h formülünde r=4r=4, h=10h=10 ve π=3\pi=3 değerlerini kullanarak sonucu bulabilirsin.

Practice More

Yarıçapı sabit tutup yüksekliği iki katına çıkardığımızda hacmin nasıl değişeceğini inceleyebilirsin.
Estimated Time:45s
PreviousPage 2 / 3Next