Katı Cisimler Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 3

Question 41Question →

Taban yarıçapı $6$ cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kapta bir miktar su bulunmaktadır. Bu kabın içine, suda tamamen batan bir metal küre atıldığında su seviyesi $2$ cm yükselmektedir.

Buna göre, suya atılan kürenin hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür?

24\pi

36\pi

48\pi

72\pi

144\pi

Show answer & explanation

Answer: $72\pi$

Answer

Cismin hacmi suyun yükselen kısmının hacmine eşittir, bu da

72\pi

\text{cm}^3

tür.

Suda tamamen batan bir cismin hacmi, yükselen suyun hacmine eşittir. Yükselen su, taban yarıçapı

6

cm ve yüksekliği

2

cm olan bir silindir formundadır. Bu hacim

\pi r^2 h = \pi \cdot 6^2 \cdot 2 = 72\pi

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Suyun içerisine atılan batan cismin hacminin, yer değiştiren (yükselen) suyun hacmine eşit olduğunu belirle.

V_{\text{cisim}} = V_{\text{yükselen su}}

Arşimet prensibi gereği, tamamen batan bir cisim kendi hacmi kadar sıvı taşırır veya yükseltir.

2

Yükselen suyun hacmini, taban yarıçapı

r=6

cm ve yükseklik

h=2

cm olan silindir hacim formülü ile hesapla.

V = \pi r^2 h = \pi \cdot 6^2 \cdot 2

Silindirin hacim formülü

V = \pi r^2 h

şeklindedir.

3

İşlemleri tamamla.

V = \pi \cdot 36 \cdot 2 = 72\pi

Çarpma işlemi uygulanır.

Key Concept

Sıvı içerisine batırılan cismin hacmi, sıvıda meydana getirdiği hacim değişimine (yükselmesine) eşittir.

Hints

1

Tamamen batan cisim, kendi hacmi kadar suyun yerini değiştirir.

2

Yükselen suyun şekli, kabın şekliyle aynıdır (silindir). Yükselen kısmın hacmini hesaplamalısınız.

3

Yarıçapı

6

cm ve yüksekliği

2

cm olan silindirin hacim formülünü (

V=\pi r^2 h

) kullanınız.

Practice More

Benzer bir soruyu dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kap için çözmeyi deneyiniz.

Estimated Time:45s

Question 42Question →

Taban ayrıtlarının uzunlukları $5$ cm, $12$ cm ve $13$ cm olan bir dik üçgen dik prizmanın hacmi $300 \text{ cm}^3$ tür. Buna göre, bu prizmanın toplam yüzey alanı kaç $\text{ cm}^2$ dir?

300

330

360

390

420

Show answer & explanation

Answer: 360

Answer

Dik üçgen dik prizmanın toplam yüzey alanı

360 \text{ cm}^2

dir.

Prizmanın hacmi

300 \text{ cm}^3

ve dik üçgen olan tabanının alanı

30 \text{ cm}^2

olduğu için yükseklik

10

cm bulunur. Taban çevresi

30

cm olan bu prizmanın yanal alanı

300 \text{ cm}^2

olur. Yanal alana alt ve üst taban alanları (

30 + 30

) eklendiğinde toplam alan

360 \text{ cm}^2

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Taban alanını hesapla

Taban Alanı (

T_A

) =

\frac{5 \times 12}{2} = 30 \text{ cm}^2

Dik üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısıdır (

5^2 + 12^2 = 13^2

olduğundan kenarlar diktir).

2

Prizmanın yüksekliğini bul

Hacim (

V

) =

T_A \times h \Rightarrow 300 = 30 \times h \Rightarrow h = 10 \text{ cm}

Prizmanın hacmi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.

3

Taban çevresini hesapla

Çevre (

Ç

) =

5 + 12 + 13 = 30 \text{ cm}

Yanal alanı bulmak için taban çevresine ihtiyaç vardır.

4

Yanal alanı hesapla

Yanal Alan (

Y_A

) =

Ç \times h = 30 \times 10 = 300 \text{ cm}^2

Dik prizmalarda yanal alan, taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır.

5

Toplam yüzey alanını hesapla

Toplam Alan (

S

) =

Y_A + 2 \times T_A = 300 + 2 \times 30 = 360 \text{ cm}^2

Toplam alan, yanal alan ile iki adet taban alanının toplamına eşittir.

Key Concept

Dik prizmalarda hacim ve yüzey alanı bağıntıları

Hints

1

Önce prizmanın hacim formülünü (

V = \text{Taban Alanı} \times h

) kullanarak yüksekliği bulmaya çalışın.

2

Tabandaki dik üçgenin alanını hesaplarken

5-12-13

özel üçgeninin dik kenarlarının hangileri olduğunu belirleyin.

3

Toplam alanı bulurken yanal alanın (Taban Çevresi

\times

Yükseklik) üzerine hem alt hem de üst taban alanını eklemeyi unutmayın.

Practice More

Benzer bir soruda, aynı prizmanın en uzun cisim köşegenini hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 43Question →

Tepe noktası aşağıya gelecek şekilde, dik konumda yerleştirilmiş dairesel koni biçimindeki boş bir su deposuna sabit hızla su akıtan bir musluk açılıyor. Depodaki suyun yüksekliği, deponun toplam derinliğinin $\frac{1}{3}$ 'üne ulaştığında aradan 2 dakika geçtiği gözlemleniyor. Buna göre, deponun henüz dolmamış kısmının tamamen dolması için kaç dakika daha geçmesi gerekir?

4

16

26

52

54

Show answer & explanation

Answer: 52

Answer

Deponun kalan kısmının dolması için 52 dakika daha gerekir.

Koninin dolan kısmı ile tamamı benzer cisimlerdir ve benzerlik oranı

1/3

'tür. Hacimler oranı bu oranın küpü, yani

(1/3)^3 = 1/27

olur. Bu, dolan kısmın hacmi

V

ise deponun tamamının hacminin

27V

olduğu anlamına gelir. Deponun henüz dolmayan kısmı

27V - V = 26V

hacmindedir.

V

hacmindeki su 2 dakikada dolduğuna göre,

26V

hacmindeki boş kısım

26 \times 2 = 52

dakikada dolar.

Step-by-Step Solution

1

Dolan kısım (küçük koni) ile deponun tamamı (büyük koni) arasındaki benzerlik oranını belirle.

Benzerlik oranı

k = \frac{1}{3}

'tür.

Suyun yüksekliği toplam yüksekliğin 3'te 1'i kadardır.

2

Benzerlik oranını kullanarak hacimler oranını hesapla.

\frac{V_{su}}{V_{depo}} = k^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}

Benzer cisimlerin hacimleri oranı, benzerlik oranının küpüne eşittir.

3

Dolan ve kalan kısımların hacimlerini birim cinsinden ifade et.

Dolan hacim

V

ise, toplam hacim

27V

, kalan boş hacim

27V - V = 26V

'dir.

Deponun tamamından dolan kısmı çıkararak kalan kısmı buluruz.

4

Orantı kurarak kalan süreyi hesapla.

V

hacim 2 dakikada doluyorsa,

26V

hacim

26 \times 2 = 52

dakikada dolar.

Musluk sabit hızla aktığı için süre hacimle doğru orantılıdır.

Key Concept

Katı cisimlerde hacimler oranı, benzerlik oranının küpüne eşittir (

k^3

kuralı).

Hints

1

Bir koni tepesinden kesildiğinde oluşan küçük koni ile büyük koni benzerdir.

2

Benzer iki cismin hacimleri oranı, benzerlik oranının küpüne (

k^3

) eşittir.

3

Dolan kısmın hacmi 1 birimse, toplam hacim

3^3=27

birimdir. Kalan kısmı buna göre oranlayın.

Practice More

Benzer bir soruyu, koni yerine yüksekliği orantılı bölünen bir kare piramit için çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Toplam süreyi

T

olarak düşünürsek,

(1/3)^3 = 2/T

denkleminden

T=54

bulunur. Kalan süre

T - 2 = 52

dakikadır.

Estimated Time:2m 30s

Question 44Question →

Bir ayrıtının uzunluğu $5\text{ cm}$ olan küp şeklindeki bir blok aşağıda modellenmiştir.

Buna göre, bu bloğun tüm yüzey alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

25

60

100

125

150

Show answer & explanation

Answer: 150

Answer

Küpün tüm yüzey alanı

150\text{ cm}^2

dir.

Küp, 6 adet birbirine eş kareden oluşan bir katı cisimdir. Bir ayrıtı

a

olan bir küpün her bir yüzünün alanı

a^2

formülü ile bulunur. Toplam 6 yüz olduğu için tüm yüzey alanı

6a^2

olur. Soruda verilen

a=5\text{ cm}

değeri yerine konulduğunda

6 \times 5^2 = 6 \times 25 = 150\text{ cm}^2

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Küpün bir ayrıt uzunluğunu tespit et.

a = 5\text{ cm}

Soruda verilen temel ölçü bir ayrıtın uzunluğudur.

2

Bir yüzeyin (bir karenin) alanını hesapla.

5 \times 5 = 25\text{ cm}^2

Küpün her bir yüzeyi bir karedir ve alanı bir kenarının karesidir.

3

Toplam yüzey sayısını kullanarak tüm alanı bul.

6 \times 25 = 150\text{ cm}^2

Küpün 6 adet eş karesel yüzeyi olduğu için bir yüzün alanı 6 ile çarpılır.

Key Concept

Küpün Yüzey Alanı

Hints

1

Küpün dış yüzeyinin kaç tane kareden oluştuğunu saymayı dene.

2

Bir kenarı

5\text{ cm}

olan tek bir karenin alanını

a^2

formülüyle hesapla.

3

Bulduğun bir yüzey alanını, küpün toplam yüzey sayısı olan 6 ile çarp.

Practice More

Eğer bu bir küp değil de ayrıtları farklı bir dikdörtgenler prizması olsaydı, her yüzeyi tek tek hesaplayıp toplaman gerekirdi.

Estimated Time:45s

Question 45Question →

Ayrıt uzunlukları $2$ cm, $3$ cm ve $5$ cm olan bir dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

30

31

40

60

62

Show answer & explanation

Answer: 62

Answer

Dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanı 62 santimetrekaredir.

Doğru cevap olan seçenek, prizmanın her bir yüzeyinin (2 adet 2x3, 2 adet 2x5 ve 2 adet 3x5) alanlarının doğru şekilde toplanmasıyla elde edilen 62 değerini içermektedir.

Step-by-Step Solution

1

Prizmanın farklı boyutlardaki üç yüzünün alanını hesaplayın.

2 \times 3 = 6

cm

^2

,

2 \times 5 = 10

cm

^2

ve

3 \times 5 = 15

cm

^2

Dikdörtgenler prizmasında üç farklı boyutta yüzey bulunur.

2

Bu üç farklı yüzün alanlarını toplayın.

6 + 10 + 15 = 31

cm

^2

Prizmanın toplam yüzey alanının yarısını (her farklı yüzden birer tane) bulmak için.

3

Bulunan toplamı 2 ile çarpın.

31 \times 2 = 62

cm

^2

Prizmada her yüzeyden karşılıklı ikişer adet bulunduğu için toplam alan bu şekilde hesaplanır.

Key Concept

Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı, tüm dış yüzeylerinin alanları toplamıdır ve

Alan = 2(ab + ac + bc)

formülü ile hesaplanır.

Hints

1

Bir kutunun (prizmanın) dış yüzeyini boyadığınızı düşünün; toplamda kaç tane dikdörtgen yüzey boyarsınız?

2

Dikdörtgenler prizmasının 6 yüzü vardır ve karşılıklı yüzler birbirine eşittir. Üç farklı dikdörtgen yüzün alanını bulup bunları 2 ile çarpmalısınız.

3

Formül:

Alan = 2 \times (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)

. Sorudaki

a=2

,

b=3

ve

c=5

değerlerini bu formülde yerine yerleştirin.

Practice More

Ayrıtları verilen bir küpün yüzey alanını hesaplayarak kavramı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Her bir yüzün alanını ayrı ayrı bulup toplayabilirsiniz:

(2 \times 3) + (2 \times 3) + (2 \times 5) + (2 \times 5) + (3 \times 5) + (3 \times 5) = 6+6+10+10+15+15 = 62

.

Estimated Time:45s

Question 46Question →

Taban yarıçapı $3$ cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kapta $1$ cm yüksekliğinde su bulunmaktadır. Bu kabın içine yarıçapı $3$ cm olan demir bir bilye (küre) atılıyor. Bilye kabın tabanına tam olarak oturduğuna göre, son durumda kaptaki suyun yüksekliği kaç cm olur? ( $\pi = 3$ alınız.)

2

3

4

5

6

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Kaptaki suyun yüksekliği 3 cm olur.

Kaptaki suyun hacmi 27 cm³'tür. Su yüksekliği 3 cm olduğunda kürenin tam yarısı suyun içine girer ve 54 cm³ yer kaplar. Toplam hacim olan 81 cm³, taban alanı 27 cm² olan silindirin 3 cm yüksekliğindeki hacmine tam olarak karşılık gelir.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıçtaki suyun hacmini hesaplayalım.

V_{su} = \pi \cdot r^2 \cdot h_{su} = 3 \cdot 3^2 \cdot 1 = 27

cm³

Silindirin hacim formülü

V = \pi r^2 h

kullanılarak kaptaki mevcut su miktarı bulunur.

2

Yeni su yüksekliği

h

olsun. Su ve batan küre parçasının toplam hacmi, silindirin

h

yüksekliğindeki hacmine eşit olmalıdır.

V_{su} + V_{batan} = V_{silindir(h)}

Taşırma olmayan kaplarda toplam hacim, kabın taban alanı ile ulaşılan yüksekliğin çarpımına eşittir.

3

h = 3

cm (kürenin merkez seviyesi) durumunu test edelim. Bu durumda kürenin yarısı suya batmış olur.

V_{batan} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot 3^3 = 54

cm³

Yarım kürenin hacmi hesaplanarak suyun içine giren hacim bulunur.

4

Toplam hacmi silindir hacmi ile karşılaştıralım.

27 + 54 = 81

cm³. Silindirin

h=3

için hacmi:

3 \cdot 3^2 \cdot 3 = 81

cm³.

İki değer birbirine eşit olduğu için su seviyesinin tam olarak 3 cm'de dengelendiği doğrulanmış olur.

Key Concept

Katı cisimlerde hacim korunumu ve sıvı yer değiştirme (displasman) prensibi.

Practice More

Bilye atıldıktan sonra suyun bilyeyi tamamen örtebilmesi için kaba en az kaç cm³ daha su eklenmelidir?

Alternative Method

Cebirsel olarak

h^3 - 9h^2 + 27h - 27 = 0

denklemi kurulabilir. Bu ifade

(h-3)^3 = 0

açılımıdır ve tek kökü

h=3

'tür.

Estimated Time:2m 30s

Question 47Question →

Şekilde verilen $ABCD$ dik yamuğu, $[AD]$ kenarı eksen kabul edilerek $360^{\circ}$ döndürülüyor.

$|AB| = 2$ cm, $|DC| = 5$ cm ve $|AD| = 4$ cm olduğuna göre, oluşan cismin tüm yüzey alanı kaç $\pi$ cm $^2$ 'dir?

35

52

57

60

64

Show answer & explanation

Answer: 64

Answer

Oluşan cismin tüm yüzey alanı

64\pi

cm

^2

'dir.

Doğru cevap, kesik koninin yanal alanı (

35\pi

), üst taban alanı (

4\pi

) ve alt taban alanının (

25\pi

) toplamı olan

64\pi

değeridir.

Step-by-Step Solution

1

Oluşan cismi tanımlama

Dik yamuğun dik kenarı etrafında döndürülmesiyle bir 'Kesik Koni' oluşur. Üst taban yarıçapı

r_1 = 2

cm, alt taban yarıçapı

r_2 = 5

cm ve yükseklik

h = 4

cm'dir.

Dönme eksenine dik olan kenarlar taban yarıçaplarını, paralel olan kenar ise yüksekliği oluşturur.

2

Ana doğru (yanal ayrıt) uzunluğunu (

l

) bulma

l^2 = h^2 + (r_2 - r_1)^2

formülünden

l^2 = 4^2 + (5-2)^2 = 16 + 9 = 25

bulunur. Buradan

l = 5

cm'dir.

Yanal alanı bulmak için Pisagor bağıntısı kullanılarak eğik kenar uzunluğu hesaplanmalıdır.

3

Yanal alanı hesaplama

Yanal Alan =

\pi \cdot (r_1 + r_2) \cdot l = \pi \cdot (2 + 5) \cdot 5 = 35\pi

cm

^2

.

Kesik koninin yanal alanı, taban çevreleri toplamının yarısı ile ana doğrunun çarpımıdır.

4

Taban alanlarını hesaplama ve toplama

Üst Taban Alanı =

\pi r_1^2 = 4\pi

, Alt Taban Alanı =

\pi r_2^2 = 25\pi

. Toplam Alan =

35\pi + 4\pi + 25\pi = 64\pi

cm

^2

.

Tüm yüzey alanı, yanal alan ile alt ve üst taban alanlarının toplamına eşittir.

Key Concept

Dönel Cisimler ve Kesik Koni Alanı

Hints

1

Dik yamuk dik kenarı etrafında döndürüldüğünde bir 'kesik koni' oluşur. Bu cismin yüzey alanı; yanal yüzey, alt taban ve üst tabandan oluşur.

2

Yanal alanı bulmak için cismin 'ana doğrusunu' (eğik kenar uzunluğunu) bulmanız gerekir. Bunun için yamuğun içinde bir dik üçgen oluşturup Pisagor bağıntısını kullanın.

Practice More

Aynı cismin hacmini soran bir soru çözerek alan ve hacim formülleri arasındaki farkı pekiştirin.

Alternative Method

Büyük bir koniden küçük bir koninin çıkarılması mantığıyla da alan hesaplanabilir, ancak bu yöntemde benzerlik oranı (

2/5

) kullanılarak büyük koninin yanal alanı hesaplanıp küçük koninin yanal alanı çıkarılmalıdır.

Estimated Time:2m 30s

Question 48Question →

Dik kenar uzunlukları $15$ cm ve $20$ cm olan bir dik üçgen, hipotenüsü etrafında $360^{\circ}$ döndürülüyor.

Buna göre, oluşan cismin hacmi kaç $\pi$ $\text{cm}^3$ tür?

1000

1200

1500

2000

2500

Show answer & explanation

Answer: 1200

Answer

Oluşan cismin hacmi

1200\pi

\text{cm}^3

tür.

Dik üçgen hipotenüsü etrafında döndürüldüğünde, taban yarıçapı üçgenin hipotenüse ait yüksekliği (

h=12

) olan iki adet koni oluşur. Bu konilerin yükseklikleri toplamı hipotenüsün uzunluğuna (

25

) eşittir. Hacim formülü kullanıldığında

V = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_1+h_2)

bağıntısından

1200\pi

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bul.

15-20-25

üçgeni olduğundan hipotenüs

25

cm'dir.

Pisagor bağıntısı veya özel üçgen (

3k-4k-5k

) kuralı uygulanır.

2

Dönme ekseni olan hipotenüse ait yüksekliği (oluşacak cismin yarıçapını) hesapla.

Alan = \frac{15 \cdot 20}{2} = \frac{25 \cdot h}{2} \Rightarrow 300 = 25h \Rightarrow h = 12

cm. Bu değer cismin yarıçapıdır (

r=12

).

Üçgenin alanı iki farklı şekilde hesaplanarak yükseklik bulunur. Bu yükseklik, dönme sonucu oluşan taban dairesinin yarıçapıdır.

3

Oluşan cismin yapısını tanımla ve hacim formülünü uygula.

Cisim, tabanları çakışık iki koniden oluşur. Toplam hacim

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{toplam}

formülü ile bulunur.

Hipotenüs etrafında dönme, taban yarıçapı

r

ve yükseklikleri toplamı hipotenüs (

25

) olan iki koni oluşturur.

4

Değerleri yerine yazarak toplam hacmi hesapla.

V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 12^2 \cdot 25 = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 25 \cdot \pi = 48 \cdot 25 \cdot \pi = 1200\pi

.

İşlem sonucu.

Key Concept

Bir dik üçgenin hipotenüsü etrafında döndürülmesiyle, tabanları ortak iki koni (çift koni) oluşur. Bu cismin hacmi, taban yarıçapı hipotenüse ait yükseklik olan ve yükseklikleri toplamı hipotenüse eşit olan iki koninin hacimleri toplamıdır.

Hints

1

Bir dik üçgeni hipotenüsü etrafında döndürdüğünüzde, tabanları birbirine yapışık iki koni elde edersiniz.

2

Bu iki koninin taban yarıçapı, üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir. Öklid bağıntılarını veya alan formülünü kullanarak bu yüksekliği bulabilirsiniz.

3

Üçgenin kenarları 15-20-25'tir. Hipotenüse ait yükseklik

h = (15 \times 20) / 25

formülüyle bulunur. Oluşan cismin toplam hacmi için

V = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot (Hipotenüs)

formülünü kullanın.

Practice More

Benzer mantıkla, bir dikdörtgenin köşegeni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Alan hesabından yüksekliği bulmak yerine Öklid bağıntısı (

\frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{c^2}

) kullanılabilir, ancak alan yöntemi (

a \cdot c = b \cdot h

) bu sayılarla daha pratiktir.

Estimated Time:2m 30s

Question 49Question →

Bir ayrıtının uzunluğu 8 birim olan küp şeklindeki tahta bir bloğun, karşılıklı iki yüzeyinin tam ortasından, taban yarıçapı 3 birim olan dik dairesel silindir biçiminde bir parça kesilip çıkarılıyor. Buna göre, geriye kalan cismin yüzey alanı kaç birimkaredir?

384 - 18π

384 + 18π

384 + 30π

384 + 36π

384 + 48π

Show answer & explanation

Answer: 384 + 30π

Answer

384 + 30π

Küpün yüzey alanından, silindirin açtığı iki dairesel deliğin alanı (2 tane πr²) çıkarılmalı ve oluşan silindirik boşluğun yanal alanı (2πrh) eklenmelidir. 384 birimkarelik küp alanından 18π çıkarılıp 48π eklendiğinde sonuç 384 + 30π bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Küpün başlangıçtaki toplam yüzey alanını hesapla.

Alan = 6 × a² = 6 × 8² = 6 × 64 = 384 birimkare.

Küpün 6 eş kare yüzeyi vardır.

2

Silindir çıkarıldığında küpün yüzeyinden eksilen dairesel bölgelerin alanını hesapla.

Eksilen Alan = 2 × (Taban Alanı) = 2 × (π × r²) = 2 × π × 3² = 18π birimkare.

Silindir küpün bir yüzünden girip karşısından çıktığı için 2 adet daire yüzeyden eksilir.

3

Silindir çıkarıldığında cismin içine eklenen yeni yanal yüzey alanını hesapla.

Eklenen Alan = Yanal Alan = 2 × π × r × h = 2 × π × 3 × 8 = 48π birimkare.

Oyulan kısmın iç yüzeyi, cismin toplam yüzey alanına dahil olur. Yükseklik küpün ayrıtına (8) eşittir.

4

Toplam yüzey alanı değişimini hesapla ve sonuca ulaş.

Toplam Alan = 384 - 18π + 48π = 384 + 30π birimkare.

Yeni Alan = Eski Alan - Eksilen Alan + Eklenen Alan

Key Concept

Katı cisimlerde oyma işlemlerinde yüzey alanı değişimi: Eksilen taban alanları çıkarılırken, oluşan yeni iç yüzey alanları toplama eklenmelidir.

Hints

1

Cisimden parça çıkarıldığında hacim kesinlikle azalır, ancak yüzey alanı artabilir veya azalabilir. Hangi yüzeylerin kaybolduğunu ve hangilerinin yeni oluştuğunu düşünün.

2

Küpün üst ve alt yüzeylerinden iki daire eksiliyor, ancak bloğun içinde silindir şeklinde yeni bir yüzey (yanal alan) oluşuyor.

3

Yeni Alan = (Küpün Alanı) - (2 × Daire Alanı) + (Silindirin Yanal Alanı). Silindirin yüksekliği küpün bir kenarına eşittir.

Practice More

Benzer bir soruyu, silindir yerine kare prizma çıkarıldığı durum için çözmeyi deneyin.

Estimated Time:2m 30s

Question 50Question →

Taban ayrıtı 6 cm ve yüksekliği 9 cm olan eşkenar üçgen dik prizma biçimindeki bir kutunun A köşesinde bulunan bir karınca, kutunun yanal yüzeyi üzerinden ilerleyerek üst tabandaki B' ve C' köşelerini birleştiren ayrıtın orta noktası olan K noktasına gitmek istiyor.

Buna göre, karıncanın alabileceği en kısa yol kaç cm'dir?

6\sqrt{3}

3\sqrt{13}

12

9\sqrt{2}

15

Show answer & explanation

Answer: $9\sqrt{2}$

Answer

Karıncanın alacağı en kısa yol 9\sqrt{2} cm'dir.

Prizma açıldığında, A noktasından K noktasına giden yol bir dik üçgenin hipotenüsü olur. Bu üçgenin düşey kenarı prizma yüksekliği olan 9 cm'dir. Yatay kenarı ise, karıncanın geçtiği AB kenarı (6 cm) ile hedef K noktasına ulaşmak için kat ettiği BC kenarının yarısının (3 cm) toplamı olan 9 cm'dir. Pisagor bağıntısı ile

\sqrt{9^2 + 9^2} = 9\sqrt{2}

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Prizmanın yanal yüzeyini düzlem üzerine açın.

Yanal yüzey, yan yana dikdörtgenlerden oluşan bir yapıdır.

Yüzey üzerindeki en kısa yol, açınım yapıldığında iki nokta arasındaki doğru parçasıdır.

2

Başlangıç (A) ve bitiş (K) noktalarının açınım üzerindeki konumlarını belirleyin.

A noktası ile K noktası arasındaki yatay mesafe, bir yüzeyin genişliği (6 cm) artı diğer yüzeyin yarısı (3 cm) olup toplam 9 cm'dir.

K noktası B'C' ayrıtının ortasında olduğu için, karınca A'dan çıkıp AB B'A' yüzeyini tam, BC C'B' yüzeyini yarım geçer.

3

Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını uygulayın.

Dik kenarlar 9 cm (yatay) ve 9 cm (düşey) olduğundan, hipotenüs:

\sqrt{9^2 + 9^2} = 9\sqrt{2}

.

Yükseklik prizmanın yüksekliği olan 9 cm'dir.

Key Concept

Katı Cisimlerin Açınımı ve Yüzey Üzerinde En Kısa Yol

Hints

1

Cismin yüzeyi üzerinden en kısa yolu bulmak için şeklin açınımını (açık halini) çizmeyi deneyin.

2

Açınımı çizdiğinizde, yolun bir dik üçgenin hipotenüsü olduğunu göreceksiniz. Bu üçgenin dik kenarlarını (yatay ve düşey mesafe) belirleyin.

3

Düşey kenar prizmanın yüksekliği olan 9 cm'dir. Yatay kenar ise A'dan K'ya gitmek için geçilen taban ayrıtlarının toplam uzunluğudur (bir tam kenar + yarım kenar).

Alternative Method

Koordinat sistemi kullanarak: Açınım düzleminde A(0,0) ise, K noktası (6+3, 9) koordinatlarında olur. İki nokta arası uzaklık formülü ile hesaplanabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 51Question →

Tüm yüzey alanı $150$ $\text{cm}^2$ olan bir küpün hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür?

125

150

25

15

30

Show answer & explanation

Answer: $125$

Answer

Küpün hacmi

125

\text{cm}^3

olarak hesaplanır.

Küpün 6 eş yüzü olduğundan,

150

\text{cm}^2

olan toplam alan 6'ya bölündüğünde bir yüzün alanı

25

\text{cm}^2

bulunur. Bu durumda küpün bir ayrıtı

5

cm olur. Hacim formülü olan

a^3

uygulandığında

5 \times 5 \times 5 = 125

\text{cm}^3

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Küpün bir ayrıt uzunluğunu (

a

) bulmak için yüzey alanı formülünü kur.

6a^2 = 150

Küpün 6 adet birbirine eş kare yüzeyi vardır ve toplam alan bu yüzeylerin toplamına eşittir.

2

Eşitliğin her iki tarafını 6'ya bölerek bir yüzün alanını hesapla.

a^2 = 25

Bir ayrıtın karesini bulmak için toplam alanı yüz sayısına bölüyoruz.

3

Karekök alarak ayrıt uzunluğunu belirle.

a = 5

cm

Karesi 25 olan pozitif sayı 5'tir.

4

Ayrıt uzunluğunu kullanarak hacmi hesapla.

V = a^3 = 5^3 = 125

\text{cm}^3

Küpün hacmi, üç ayrıtının çarpımı veya bir ayrıtının küpü ile bulunur.

Key Concept

Küpün Yüzey Alanı ve Hacmi

Hints

1

Küpün toplam 6 tane birbirine eş karesel yüzü olduğunu hatırla.

2

Önce bir yüzün alanını (

a^2

), sonra bir ayrıtın uzunluğunu (

a

) bulmalısın.

3

Bir ayrıtı

a=5

cm bulduktan sonra hacmi

5 \times 5 \times 5

işlemiyle hesapla.

Practice More

Bir ayrıtı bilinen bir küpün cisim köşegenini hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 52Question →

Ayrıt uzunlukları $3\text{ cm}$ , $4\text{ cm}$ ve $12\text{ cm}$ olan bir dikdörtgenler prizması aşağıda modellenmiştir. Bu prizmanın birbirine en uzak iki köşesini birleştiren cisim köşegeninin uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

13

15

17

19

21

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni uzunluğu

13\text{ cm}

olarak bulunur.

Verilen

3

,

4

ve

12

ayrıt uzunlukları için cisim köşegeni

\sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Prizmanın ayrıtlarını

a

,

b

ve

c

olarak belirleyin.

a = 3\text{ cm}

,

b = 4\text{ cm}

ve

c = 12\text{ cm}

Cisim köşegeni formülünü uygulamak için temel boyutların bilinmesi gerekir.

2

Cisim köşegeni formülünü (

d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

) uygulayın.

d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144}

Bir dikdörtgenler prizmasında cisim köşegeni, üç farklı ayrıtın karelerinin toplamının kareköküne eşittir.

3

Kök içindeki toplamı hesaplayın ve karekökünü alın.

\sqrt{169} = 13

13^2 = 169

olduğu için sonuç rasyonel bir sayıdır.

Key Concept

Dikdörtgenler prizmasında cisim köşegeni uzunluğu

d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

formülüyle hesaplanır.

Hints

1

Cisim köşegeni, bir kutunun içinde çizilebilecek en uzun doğru parçasıdır.

2

Önce tabandaki

3

ve

4

birimlik kenarlardan oluşan dik üçgenin hipotenüsünü (taban köşegenini) bulun, sonra bu uzunluğu ve yüksekliği kullanarak ikinci bir Pisagor yapın.

3

Ayrıtları

a, b, c

olan prizmanın cisim köşegeni

\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

formülüyle bulunur.

3^2 + 4^2 + 12^2

işleminin sonucuna odaklanın.

Practice More

Bir ayrıtı

a

olan bir küpün cisim köşegeninin neden

a\sqrt{3}

olduğunu bu formülden türetmeye çalışın.

Alternative Method

İki aşamalı Pisagor: 1) Taban köşegeni

k = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5

. 2) Cisim köşegeni

d = \sqrt{k^2 + 12^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13

.

Estimated Time:1m 15s

Question 53Question →

Taban ayrıtları $6$ cm ve $8$ cm, yüksekliği $12$ cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki boş bir kabın içinde $9$ cm yüksekliğinde su bulunmaktadır. Bu kabın içerisine, bir ayrıtının uzunluğu $6$ cm olan demir bir küp tamamen batacak şekilde bırakılıyor. Buna göre, kaptan taşan suyun hacmi kaç $\text{cm}^3$ olur?

48

72

108

144

216

Show answer & explanation

Answer: $72$

Answer

Kaptan taşan suyun hacmi 72 cm^3 olur.

Prizmanın taban alanı

48 \text{ cm}^2

ve boş yüksekliği

3

cm'dir, dolayısıyla

144 \text{ cm}^3

boş alan vardır. İçeriye atılan küpün hacmi

216 \text{ cm}^3

olduğundan, bu hacmin

144 \text{ cm}^3

kısmı boşluğu doldurur, geriye kalan

72 \text{ cm}^3

ise dışarı taşar.

Step-by-Step Solution

1

Prizmanın taban alanını ve suyun üzerindeki boş kısmın hacmini hesapla.

Taban Alanı =

6 \times 8 = 48 \text{ cm}^2

. Boş kısmın yüksekliği =

12 - 9 = 3

cm. Boş hacim =

48 \times 3 = 144 \text{ cm}^3

.

Kaba atılan nesnenin taşmaya neden olması için önce kaptaki boşluğu doldurması gerekir.

2

Kaba atılan demir küpün hacmini hesapla.

Hacim =

a^3 = 6^3 = 216 \text{ cm}^3

.

Batan her cisim, kendi hacmi kadar suyun yerini değiştirir.

3

Taşan suyun hacmini bulmak için küpün hacminden boş hacmi çıkar.

Taşan Hacim =

216 - 144 = 72 \text{ cm}^3

.

Küpün hacmi boşluktan büyük olduğu için aradaki fark kadar su dışarı taşar.

Key Concept

Batan cisimlerin hacmi ve sıvı taşma prensibi

Hints

1

Cisim kaba girdiğinde önce suyun üzerindeki boşluğu doldurur.

2

Prizmanın boş kısmının hacmini (Taban Alanı x Boş Yükseklik) ve küpün hacmini (

a^3

) ayrı ayrı hesaplayın.

3

Taşan su = (Küpün Hacmi) - (Prizmanın Boş Hacmi) formülünü kullanın.

Practice More

Eğer cisim tamamen batmasaydı veya su seviyesi değişimi sorulsaydı nasıl bir yol izlenirdi?

Estimated Time:1m 30s

Question 54Question →

Taban yarıçapı $r=4$ birim, ana doğru uzunluğu $l=12$ birim olan dik dairesel koni biçimindeki bir cismin taban çevresi üzerindeki A noktasında bulunan bir karınca, koni yüzeyi üzerinden yürüyerek en kısa yoldan B noktasına gitmek istemektedir.

B noktası; A noktasının bulunduğu ana doğrunun, koni eksenine göre simetriği olan (tam karşıdaki) ana doğrunun orta noktasıdır.

Buna göre, karıncanın alacağı en kısa yol kaç birimdir?

6\sqrt{3}

6\sqrt{5}

6\sqrt{7}

2\sqrt{17}

18

Show answer & explanation

Answer: $6\sqrt{3}$

Answer

6\sqrt{3}

birimdir.

Doğru cevap, koninin yanal yüzeyi açılarak düzleme aktarıldığında A ve B noktaları arasındaki doğrusal uzaklıktır.

r=4

ve

l=12

olduğundan açınım açısı

120^\circ

'dir. B noktası karşı ana doğru üzerinde olduğundan, A ile B arasındaki açı

60^\circ

olur. Kenarları

12

ve

6

, arasındaki açısı

60^\circ

olan üçgende kosinüs teoremi uygulandığında (veya 30-60-90 üçgeni özelliği fark edildiğinde) uzunluk

6\sqrt{3}

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Koninin yanal yüzeyinin açık hali (daire dilimi) düşünülür. Bu daire diliminin merkez açısı (

\alpha

) hesaplanır.

\alpha = 360^\circ \cdot \frac{r}{l} = 360^\circ \cdot \frac{4}{12} = 120^\circ

Koninin yanal yüzeyi açıldığında oluşan daire diliminin açısı, taban yarıçapı ile ana doğru uzunluğu oranına bağlıdır.

2

Başlangıç (A) ve bitiş (B) noktalarının açınım üzerindeki konumları belirlenir. B noktası 'karşı' ana doğru üzerinde olduğundan, merkez açı iki eşit parçaya bölünür.

Hedef açı

\theta = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ

Koninin tam turu

120^\circ

'lik dilime karşılık gelir. Tam karşı taraf (simetrik konum) bu açının yarısı kadar dönmeyi gerektirir.

3

Açınım üzerinde oluşan üçgen modellenir. Bir kenarı

T A = 12

br (ana doğru), diğer kenarı

T B = 6

br (orta nokta) ve aradaki açı

60^\circ

'dir. Kosinüs teoremi uygulanır.

x^2 = 12^2 + 6^2 - 2 \cdot 12 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)

Yüzey üzerindeki en kısa yol, açınım düzlemindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasıdır.

4

İşlem tamamlanarak sonuca ulaşılır.

x^2 = 144 + 36 - 144 \cdot \frac{1}{2} = 180 - 72 = 108 \Rightarrow x = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}

Hesaplama adımı.

Key Concept

Koni Yüzeyinde En Kısa Yol (Açınım)

Hints

1

Bir katı cismin yüzeyi üzerindeki 'en kısa yol' sorularında, cismi makasla kesip düz bir kağıt gibi açtığınızı hayal edin.

2

Koninin yanal yüzeyinin açık hali bir daire dilimidir. Bu dilimin merkez açısını

\alpha = 360^\circ \cdot (r/l)

formülüyle hesaplayın.

3

Dilim açısı

120^\circ

çıkar. B noktası tam karşıda olduğu için bu açının yarısını (

60^\circ

) kullanın. Şimdi kenarları 12 ve 6, aradaki açısı

60^\circ

olan üçgeni çizin.

Practice More

Benzer bir soruyu silindir yüzeyi üzerinde, karıncanın tam tur atarak ilerlediği senaryo için çözün.

Alternative Method

Oluşan üçgenin kenarları 6 ve 12, aradaki açı 60 derecedir. Bu, özel bir dik üçgendir (30-60-90). Hipotenüs 12 ise ve 60 derecenin bir komşusu 6 (hipotenüsün yarısı) ise, diğer açı 90 derecedir. 60'ın karşısındaki kenar doğrudan

6\sqrt{3}

olur.

Estimated Time:4m 0s

Question 55Question →

Yarıçapı $2\sqrt{6}$ cm olan içi dolu bir yarım kürenin içine, bir yüzü yarım kürenin taban düzlemi üzerinde olacak şekilde yerleştirilebilecek en büyük hacimli küpün hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür?

16\sqrt{2}

32

48

64

48\sqrt{6}

Show answer & explanation

Answer: $64$

Answer

Küpün hacmi 64 cm³'tür.

Yarım kürenin merkezinden küpün üst köşesine çizilen doğru parçası kürenin yarıçapıdır (

R

). Bu yarıçap, küpün yüksekliği (

a

) ve taban köşegeninin yarısı (

\frac{a\sqrt{2}}{2}

) ile bir dik üçgen oluşturur. Pisagor bağıntısı (

R^2 = a^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2

) kurularak küpün bir kenarı

a=4

cm bulunur. Hacim ise

a^3 = 64

cm³ olur.

Step-by-Step Solution

1

Problemi modelleyin ve değişkenleri tanımlayın.

Küpün bir ayrıtına

a

diyelim. Küpün tabanı yarım kürenin taban merkezinde çakışıktır. Küpün üst köşeleri yarım kürenin yüzeyine değer.

En büyük hacimli küp için köşelerin küre yüzeyine temas etmesi gerekir.

2

Yarıçap, yükseklik ve taban yarıçapı arasındaki dik üçgen bağıntısını kurun.

Merkezden küpün üst köşesine çizilen yarıçap

R

'dir. Dik üçgenin dik kenarları: küpün yüksekliği (

a

) ve taban merkezinden köşeye olan yatay uzaklık (yüzey köşegeninin yarısı:

\frac{a\sqrt{2}}{2}

).
Bağıntı:

R^2 = a^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2

.

Pisagor bağıntısı kullanılarak

a

ile

R

arasındaki ilişki bulunur.

3

Denklemi çözerek küpün bir ayrıtını (

a

) bulun.

R = 2\sqrt{6}

ise

R^2 = 24

.

24 = a^2 + \frac{2a^2}{4} = a^2 + \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{2}

.

48 = 3a^2 \Rightarrow a^2 = 16 \Rightarrow a = 4

cm.

Hacim hesabı için kenar uzunluğu gereklidir.

4

Küpün hacmini hesaplayın.

V = a^3 = 4^3 = 64

\text{cm}^3

.

Küpün hacim formülü

V = a^3

tür.

Key Concept

Küre içine yerleştirilen cisimlerde Pisagor bağıntısı ile yarıçap ve kenar ilişkisinin kurulması.

Hints

1

Küpün tabanının yarım kürenin dairesel tabanı üzerinde olduğuna dikkat edin. Kürenin merkezi ile küpün taban merkezi aynı noktadır.

2

Kürenin merkezinden, küpün yarım küre yüzeyine değen üst köşelerinden birine bir doğru çizin. Bu doğrunun uzunluğu yarıçaptır (

R

). Oluşan dik üçgeni görmeye çalışın.

3

Oluşan dik üçgenin dik kenarları: küpün yüksekliği (

a

) ve küpün taban köşegeninin yarısıdır. Pisagor bağıntısını

R^2 = a^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2

şeklinde kurun.

Practice More

Tam bir küre içine yerleştirilen en büyük hacimli küpün hacmini soran bir problem çözerek simetri farkını inceleyin.

Estimated Time:2m 30s

Question 56Question →

Analitik düzlemde köşe noktaları $A(0,0)$ , $B(3,0)$ , $C(3,2)$ ve $D(0,5)$ olan $ABCD$ dik yamuğu veriliyor. Bu düzlemsel bölgenin $x$ -ekseni etrafında $360^\circ$ döndürülmesiyle oluşan katı cismin hacmi kaç $\pi$ birimküptür?

21

29

39

49

63

Show answer & explanation

Answer: 39

Answer

Oluşan cismin hacmi

39\pi

birimküptür.

Verilen noktalar çizildiğinde, taban yarıçapı

r_1=5

, tavan yarıçapı

r_2=2

ve yüksekliği

h=3

olan bir kesik koni oluşur. Kesik koni hacim formülü

V = \frac{\pi h}{3}(r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2)

kullanılarak

39\pi

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen noktaları koordinat sisteminde işaretleyip şekli analiz et.

A(0,0)

ve

B(3,0)

noktaları

x

-ekseni üzerindedir.

AD

doğru parçası

y

-ekseni üzerinde olup uzunluğu

5

birimdir (

r_1=5

).

BC

doğru parçası

x=3

doğrusu üzerinde olup uzunluğu

2

birimdir (

r_2=2

). Yükseklik

AB

uzunluğudur (

h=3

).

Dönme ekseni (

x

-ekseni) ve cismim boyutlarını belirlemek için gereklidir.

2

Oluşan cismin türünü belirle.

Bir dik yamuğun dik kenarı (

AB

) etrafında döndürülmesiyle 'Kesik Koni' (Frustum) oluşur.

Hangi hacim formülünün kullanılacağını tespit etmek için.

3

Kesik koni hacim formülünü uygula.

V = \frac{\pi \cdot h}{3} (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2)

formülünde değerler yerine konulur:

V = \frac{\pi \cdot 3}{3} (5^2 + 5\cdot 2 + 2^2)

.

Hacim hesabı için doğru matematiksel bağıntıyı kullanmak.

4

İşlemleri tamamla.

V = \pi (25 + 10 + 4) = 39\pi

.

Sonuca ulaşmak.

Key Concept

Bir dik yamuğun dik kenarı etrafında 360 derece döndürülmesiyle kesik koni oluşur. Kesik koni hacmi

V = \frac{\pi h}{3}(r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2)

formülü ile veya büyük koniden küçük koninin çıkarılması yöntemiyle bulunur.

Hints

1

Verilen noktaları koordinat düzleminde çizerek oluşan şeklin bir 'Kesik Koni' olduğunu fark etmeye çalışın.

Estimated Time:2m 30s

Katı Cisimler

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution