Layer 1

Question 21Question →

Verilen bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{BAC}) = 50^\circ$ ve $B$ köşesine ait dış açının ölçüsü $120^\circ$ olarak belirlenmiştir. Buna göre, bu üçgenin kenar uzunlukları olan $|AB|$ , $|AC|$ ve $|BC|$ arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?

|AB| > |AC| > |BC|

|BC| > |AC| > |AB|

|AC| > |AB| > |BC|

|AB| > |BC| > |AC|

|BC| > |AB| > |AC|

Show answer & explanation

Answer: $|AB| > |AC| > |BC|$

Answer

Üçgenin kenarları arasındaki doğru sıralama

|AB| > |AC| > |BC|

şeklindedir.

Üçgenin iç açıları hesaplandığında

m(\widehat{A})=50^\circ

,

m(\widehat{B})=60^\circ

ve

m(\widehat{C})=70^\circ

olduğu görülür. Açı-kenar bağıntılarına göre, en büyük açı olan

70^\circ

'nin karşısındaki

|AB|

kenarı en uzun, en küçük açı olan

50^\circ

'nin karşısındaki

|BC|

kenarı ise en kısadır. Bu durumda sıralama

|AB| > |AC| > |BC|

olur.

Step-by-Step Solution

1

B

köşesindeki iç açıyı bulalım.

m(\widehat{ABC}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

Bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı

180^\circ

(doğru açı) eder.

2

C

köşesindeki iç açıyı bulalım.

m(\widehat{ACB}) = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 70^\circ

Üçgenin iç açıları toplamı her zaman

180^\circ

derecedir.

3

Açıları büyükten küçüğe sıralayalım ve karşılarındaki kenarları belirleyelim.

70^\circ (\widehat{C}) > 60^\circ (\widehat{B}) > 50^\circ (\widehat{A}) \Rightarrow |AB| > |AC| > |BC|

Bir üçgende büyük açının karşısında her zaman daha uzun bir kenar bulunur.

Key Concept

Bir üçgende kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların ölçüleri doğru orantılıdır; yani büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.

Hints

1

Bir üçgende iç açıların toplamının

180^\circ

olduğunu ve bir iç açı ile dış açının toplamının da

180^\circ

olduğunu hatırlayın.

2

B

köşesindeki dış açı

120^\circ

ise iç açı

180 - 120 = 60^\circ

'dir. Şimdi üçgenin verilmeyen üçüncü açısını (

C

açısını) hesaplayın.

3

Açıları

50^\circ, 60^\circ

ve

70^\circ

olarak bulduktan sonra, en büyük açının karşısındaki kenarın en uzun olduğunu unutmayın.

C

açısı (

70^\circ

)

|AB|

kenarına bakar.

Practice More

Benzer bir soruyu, iki dış açı verildiğinde iç açıları bularak çözmeyi deneyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 22Question →

Bir $ABC$ üçgeninin iç açılarının ölçüleri $m(\widehat{A}) = 80^\circ$ , $m(\widehat{B}) = 60^\circ$ ve $m(\widehat{C}) = 40^\circ$ olarak belirlenmiştir. Bu üçgenin kenar uzunlukları $a, b$ ve $c$ birim olduğuna göre, kenar uzunlukları arasındaki doğru sıralama aşağıdagilerden hangisidir?

a > b > c

c > b > a

b > a > c

a > c > b

b > c > a

Show answer & explanation

Answer: $a > b > c$

Answer

Kenar uzunlukları arasındaki doğru sıralama en büyükten en küçüğe

a > b > c

şeklindedir.

Üçgende temel kural gereği, en büyük açının karşısında en uzun kenar, en küçük açının karşısında ise en kısa kenar bulunur. Verilen açılar

80^\circ, 60^\circ

ve

40^\circ

şeklinde sıralandığı için, bu açıların karşısındaki

a, b

ve

c

kenarları da

a > b > c

şeklinde sıralanır.

Step-by-Step Solution

1

Üçgenin iç açılarının ölçülerini karşılaştırın.

80^\circ > 60^\circ > 40^\circ

Kenar uzunluklarını sıralamak için önce karşılarındaki açıların büyüklüklerini belirlememiz gerekir.

2

Açı-kenar bağıntısı kuralını uygulayın.

m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) \Rightarrow a > b > c

Bir üçgende daha büyük olan açının karşısındaki kenar, daha küçük olan açının karşısındaki kenardan daha uzundur.

Key Concept

Üçgende bir açının ölçüsü büyüdükçe, o açının karşısındaki kenarın uzunluğu da artar (Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur).

Hints

1

Üçgenin iç açılarını en büyükten en küçüğe doğru sıralayarak başlayın.

2

Unutmayın: Bir üçgende bir açı ne kadar büyükse, o açının tam karşısındaki kenar da o kadar uzundur.

3

80^\circ

lik açının karşısında

a

kenarı,

60^\circ

lik açının karşısında

b

kenarı ve

40^\circ

lik açının karşısında

c

kenarı bulunmaktadır.

Practice More

Farklı açılara sahip bir geniş açılı üçgende kenar sıralaması yaparak bu kuralı pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 23Question →

Kenar uzunlukları tam sayı olan bir ABC çeşitkenar üçgeninde $|AB| = 6$ cm ve $|AC| = 10$ cm ölçülerindedir. $m(\widehat{ABC}) > 90^\circ$ olduğu bilindiğine göre, $|BC|$ kenar uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

11

12

18

20

26

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Sadece 5 ve 7 değerleri şartları sağlar, toplamları 12'dir.

Doğru cevap, üçgenin hem var olma şartlarını (üçgen eşitsizliği), hem açı şartını (geniş açı), hem de özel tanım şartını (çeşitkenar) sağlayan değerlerin toplamıdır. 5 ve 7 sayıları bu üç koşulu da sağlayan yegane tam sayılardır.

Step-by-Step Solution

1

Üçgen eşitsizliği kuralını

|BC| = x

için uygula.

|10 - 6| < x < 10 + 6 \Rightarrow 4 < x < 16

Bir üçgende bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçüktür.

2

Verilen

m(\widehat{B}) > 90^\circ

(geniş açı) koşulunu kenar bağıntılarına uyarla.

b^2 > a^2 + c^2 \Rightarrow 10^2 > x^2 + 6^2 \Rightarrow 100 > x^2 + 36 \Rightarrow 64 > x^2 \Rightarrow x < 8

Geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür.

3

Elde edilen iki eşitsizliği (Adım 1 ve Adım 2) birleştirerek

x

için geçerli aralığı bul.

4 < x < 16

ve

x < 8

olduğundan, ortak aralık

4 < x < 8

olur. Bu aralıktaki tam sayılar:

\{5, 6, 7\}

.

Kenar uzunluğu her iki koşulu da aynı anda sağlamalıdır.

4

'Çeşitkenar üçgen' koşulunu kontrol ederek uygun olmayan değerleri ele.

Kenarlar

6

,

10

ve

x

olduğundan;

x \neq 6

ve

x \neq 10

olmalıdır.

\{5, 6, 7\}

kümesinden

6

çıkarılır. Kalan değerler:

\{5, 7\}

.

Çeşitkenar üçgenin tüm kenar uzunlukları birbirinden farklı olmalıdır.

5

Kalan değerleri topla.

5 + 7 = 12

Sonuç hesaplaması.

Key Concept

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları (Geniş Açı Kuralı ve Üçgen Eşitsizliği)

Hints

1

Önce üçgen eşitsizliğini (

|b-c| < a < b+c

) kullanarak kenar uzunluğunun genel aralığını bulunuz.

2

B açısının

90^\circ

'den büyük olması, bu açının karşısındaki kenarın karesinin, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyük olmasını gerektirir (

b^2 > a^2 + c^2

).

3

Bulduğunuz aralıktaki tam sayılardan, üçgenin 'çeşitkenar' olma özelliğini bozan (diğer kenarlara eşit olan) değerleri elemeyi unutmayınız.

Alternative Method

Pisagor bağıntısı referans alınabilir: Eğer B açısı

90^\circ

olsaydı

x^2 + 6^2 = 10^2

eşitliğinden

x=8

olurdu. Açı

90^\circ

'den büyük olduğu için B'nin karşısındaki kenar (10) en büyük olmalıdır, bu da

x

'in 8'den küçük olması gerektiğini gösterir.

Estimated Time:2m 30s

Question 24Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 5$ cm ve $|AC| = 12$ cm olarak verilmiştir. $m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$ olduğu bilindiğine göre, $BC$ kenarının santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

2

3

4

9

10

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Üçgen eşitsizliği ve geniş açı kuralı birlikte değerlendirildiğinde, kenar uzunluğunun alabileceği 3 farklı tam sayı değeri (14, 15, 16) bulunmaktadır.

Üçgen eşitsizliğine göre

|BC|

uzunluğu 7 ile 17 arasında olmalıdır. Ancak açının

90^\circ

'den büyük olduğu belirtildiği için, Pisagor bağıntısının ötesinde

|BC|^2 > 5^2 + 12^2

şartı da sağlanmalıdır. Bu durumda

|BC| > 13

olur. Her iki şartı sağlayan tam sayılar 14, 15 ve 16 olmak üzere toplam 3 tanedir.

Step-by-Step Solution

1

Üçgen eşitsizliğini uygulayın.

|12 - 5| < |BC| < 12 + 5 \Rightarrow 7 < |BC| < 17

Bir üçgende bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır.

2

Geniş açı (

m(\widehat{A}) > 90^\circ

) şartını uygulayın.

|BC|^2 > 5^2 + 12^2 \Rightarrow |BC|^2 > 25 + 144 \Rightarrow |BC|^2 > 169 \Rightarrow |BC| > 13

Bir üçgende bir açının ölçüsü

90^\circ

'den büyükse, o açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür.

3

Her iki koşulu birleştirerek ortak aralığı bulun.

13 < |BC| < 17

Kenar uzunluğu hem 7 ile 17 arasında olmalı hem de 13'ten büyük olmalıdır.

4

Bu aralıktaki tam sayı değerlerini belirleyin.

14, 15, 16

(Toplam 3 adet)

13 ve 17 sınırları dahil değildir, bu sınırlar arasındaki tam sayılar sayılır.

Key Concept

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları ve Geniş Açı Şartı

Hints

1

Önce

BC

kenarı için üçgen eşitsizliği kuralını kullanarak genel bir aralık belirleyin.

2

Eğer

A

açısı tam olarak

90^\circ

olsaydı, Pisagor bağıntısından

BC

kaç olurdu? Açının

90^\circ

'den büyük olması bu değeri nasıl etkiler?

3

|BC|^2 > 5^2 + 12^2

eşitsizliğinden

|BC| > 13

sonucuna ulaşın. Bunu üçgen eşitsizliği aralığıyla (

7 < |BC| < 17

) birleştirin.

Practice More

Eğer açının dar açı (

< 90^\circ

) olduğu söylenseydi çözüm nasıl değişirdi?

Estimated Time:1m 15s

Question 25Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 9$ cm ve $|AC| = 15$ cm uzunlukları verilmiştir. $BC$ kenarına ait kenarortay uzunluğu $x$ cm'dir. $m(\widehat{BAC}) < 90^\circ$ olduğu bilindiğine göre, $x$ 'in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

3

4

5

6

8

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

x'in alabileceği 3 farklı tam sayı değeri vardır.

Üçgende kenarortay (

x

) için temel sınır

3 < x < 12

aralığıdır. Ancak

A

açısı

90^\circ

'den küçük (dar) olduğu için

a^2 < b^2+c^2

olur; bu da kenarortayın

x > \frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}

olmasını gerektirir. Değerler yerine konulduğunda

x > 8.74

bulunur. Üst sınır 12 olduğundan, aralık

(8.74, 12)

olur. Bu aralıktaki tam sayılar 9, 10 ve 11'dir.

Step-by-Step Solution

1

Kenarortay uzunluğu için temel üçgen eşitsizliği aralığını belirle.

\frac{|15-9|}{2} < x < \frac{15+9}{2} \Rightarrow \frac{6}{2} < x < \frac{24}{2} \Rightarrow 3 < x < 12

Bir üçgende kenarortay uzunluğu

x

, komşu kenarların farkının yarısından büyük, toplamının yarısından küçüktür.

2

Açının dar açı (

m(\widehat{A}) < 90^\circ

) olma şartını kenarortay formülüyle ilişkilendir.

2x^2 = b^2 + c^2 - \frac{a^2}{2}

ve

a^2 < b^2 + c^2

(dar açı) olduğu için,

x^2 > \frac{b^2+c^2}{4}

eşitsizliği elde edilir.

Dar açılı üçgende kenarortayın karesi, komşu kenarların kareleri toplamının dörtte birinden büyüktür (

x > \frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}

).

3

Verilen değerleri eşitsizliğe uygula ve alt sınırı hesapla.

x > \frac{\sqrt{9^2 + 15^2}}{2} = \frac{\sqrt{81 + 225}}{2} = \frac{\sqrt{306}}{2} \approx \frac{17.49}{2} \approx 8.74

Sayısal kısıtlamayı bulmak için.

4

İki eşitsizliği birleştirip tam sayı değerlerini say.

Genel aralık:

3 < x < 12

. Açı kısıtı:

x > 8.74

. Kesişim:

8.74 < x < 12

. Tam sayılar: 9, 10, 11.

Her iki şartı da sağlayan değerler çözüm kümesidir.

Key Concept

Üçgende Kenarortay ve Açı İlişkisi

Question 26Question →

Aşağıdaki şekilde $ABC$ ve $ACD$ üçgenleri $[AC]$ kenarı boyunca birleştirilmiştir. $|AB| = 6$ cm, $|BC| = 8$ cm ve $|CD| = 5$ cm'dir. Şekilde $m(\widehat{ABC}) > 90^\circ$ ve $m(\widehat{ACD}) > 90^\circ$ olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $|AD| = x$ uzunluğunun alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

5

6

7

8

9

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

x'in alabileceği 7 farklı tam sayı değeri vardır.

Soruda verilen iki geniş açı şartı adım adım uygulanmalıdır. İlk olarak

ABC

üçgeninde

B

açısı

90^\circ

'den büyük olduğu için

|AC|

kenarı

6-8-10

üçgeninden dolayı

10

'dan büyük olmalıdır; aynı zamanda üçgen eşitsizliğinden

14

'ten küçüktür (

10 < |AC| < 14

). İkinci adımda,

ACD

üçgeninde

C

açısı

90^\circ

'den büyük olduğu için hipotenüs konumundaki

x

, dik kenarların kareleri toplamından büyük olmalıdır (

x^2 > |AC|^2 + 5^2

).

|AC|

'nin en küçük değeri

10

'dan büyük olduğu için,

x^2 > 100 + 25 = 125

bulunur, yani

x > \sqrt{125} \approx 11.18

. Üst sınır ise üçgen eşitsizliğinden

x < |AC| + 5 < 14 + 5 = 19

olur. Bu durumda

11.18 < x < 19

aralığındaki tam sayılar

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18

olmak üzere 7 tanedir.

Step-by-Step Solution

1

İlk olarak ABC üçgeninde verilen geniş açı şartını ve üçgen eşitsizliğini kullanarak ortak kenar AC'nin aralığını belirle.

10 < |AC| < 14

m(B) > 90 olduğundan |AC| > √(6² + 8²) = 10 ve üçgen eşitsizliğinden |AC| < 6 + 8 = 14.

2

ACD üçgeni için geniş açı şartını (m(C) > 90) kullanarak x için alt sınırı belirle.

x > √125 (yaklaşık 11.18)

m(ACD) > 90 ise x² > |AC|² + |CD|² olur. |AC| > 10 olduğundan |AC|² > 100 ve x² > 100 + 25 = 125.

3

ACD üçgeni için üçgen eşitsizliğini kullanarak x için üst sınırı belirle.

x < 19

x < |AC| + |CD| olmalıdır. |AC| < 14 olduğundan x < 14 + 5 = 19.

4

Bulunan alt ve üst sınırlar arasındaki tam sayıları listele ve say.

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 (Toplam 7 adet)

11.18 < x < 19 aralığındaki tam sayılar.

Key Concept

İki üçgenin ortak kenarı üzerinden, geniş açı kısıtlamaları ile kenar uzunluklarının aralığının bulunması.

Hints

1

Önce

ABC

üçgeninde Pisagor bağıntısını referans alarak

|AC|

kenarının alabileceği en küçük değeri belirleyiniz.

2

|AC|

kenarının 10'dan büyük olduğunu bulduktan sonra, bu bilgiyi

ACD

üçgenindeki geniş açı eşitsizliğinde (

x^2 > |AC|^2 + 5^2

) yerine koyunuz.

Practice More

Benzer mantıkla, bir açısı dar açı (<90) olarak verilen iki üçgenli bir soru çözerek aradaki farkı pekiştiriniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 27Question →

Bir geometri öğretmeni, tahtaya çizdiği $ABC$ üçgeni için aşağıdaki bilgileri vermiştir:

* $|AB| = 6$ cm
* $|AC| = 10$ cm
* $60^\circ < m(\widehat{BAC}) < 120^\circ$

Buna göre, $|BC|$ kenar uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

4

5

6

7

11

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

5 farklı tam sayı değeri vardır.

Üçgende bir açının ölçüsü ile karşısındaki kenar uzunluğu doğru orantılı değişir. Verilen açının sınır değerleri (

60^\circ

ve

120^\circ

) için kenar uzunlukları hesaplanarak

|BC|

'nin alabileceği değer aralığı bulunur.

m(\widehat{A})=60^\circ

için

|BC|=\sqrt{76} \approx 8.7

,

m(\widehat{A})=120^\circ

için

|BC|=14

bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar 9, 10, 11, 12 ve 13'tür.

Step-by-Step Solution

1

Açının sınır değerleri için

|BC|

uzunluğunu hesapla (

m(\widehat{A}) = 60^\circ

durumu).

x^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(60^\circ) = 36 + 100 - 60 = 76 \Rightarrow x = \sqrt{76}

Kosinüs teoremi veya özel üçgen yardımıyla alt sınır belirlenir.

2

Açının sınır değerleri için

|BC|

uzunluğunu hesapla (

m(\widehat{A}) = 120^\circ

durumu).

x^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ) = 136 - 120(-1/2) = 196 \Rightarrow x = 14

Kosinüs teoremi yardımıyla üst sınır belirlenir.

3

Elde edilen aralıktaki tam sayıları listele.

Sınırlar:

\sqrt{76} < |BC| < 14

.

\sqrt{76} \approx 8.7

olduğundan, tam sayılar:

9, 10, 11, 12, 13

.

Eşitsizlik aralığındaki tam sayı değerleri tespit edilir.

4

Bulunan tam sayıların adedini say.

Toplam 5 adet değer vardır.

Sonuç bulunur.

Key Concept

Üçgende açı büyüdükçe karşısındaki kenar da büyür ilkesi ve Kosinüs Teoremi sınırları.

Hints

1

Bir üçgende açı büyüdükçe karşısındaki kenar uzunluğu da artar. Sınır değerleri olan

60^\circ

ve

120^\circ

için

|BC|

uzunluğunun ne olacağını düşünün.

2

Eğer açı tam

60^\circ

olsaydı, karşısındaki kenarı bulmak için

A

köşesinden dik indirebilirdiniz veya Kosinüs Teoremini (

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A

) kullanabilirdiniz.

3

60^\circ

için

|BC|^2 = 6^2+10^2 - 60 = 76

ve

120^\circ

için

|BC|^2 = 6^2+10^2 + 60 = 196

olur.

|BC|

bu iki değerin karekökü arasındadır.

Practice More

Benzer mantıkla,

90^\circ < m(\widehat{A}) < 135^\circ

aralığı için soru çözülebilir.

Alternative Method

Dik üçgen oluşturma yöntemi:

A

köşesinden

AC

üzerine dik inilerek (veya dışarıya uzatılarak) oluşan

30-60-90

üçgenleri yardımıyla da kenar uzunlukları hesaplanabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 28Question →

Kenar uzunlukları tam sayı olan bir $ABC$ üçgeninde, kenarlar arasında $2a = 3b - c$ eşitliği bulunmaktadır. $10 < c < 15$ ve $m(\widehat{A}) > m(\widehat{C})$ olduğu bilindiğine göre, bu üçgenin çevresinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaç santimetredir?

103

105

107

109

111

Show answer & explanation

Answer: 107

Answer

Üçgenin çevresinin alabileceği en büyük değer 107 santimetredir.

Verilen eşitlik ve eşitsizlikler birleştirildiğinde, üçgenin kenar uzunlukları

a=53

,

b=40

ve

c=14

olarak bulunur. Bu değerler hem üçgen eşitsizliğini (

13 < 14 < 93

), hem açı şartını (

53 > 14 \implies a > c

) hem de verilen aralık şartını (

10 < 14 < 15

) sağlayan, çevresi en büyük üçgeni oluşturur. Çevre =

53 + 40 + 14 = 107

cm'dir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen eşitliği kullanarak

c

kenarını

a

ve

b

cinsinden ifade etme

c = 3b - 2a

Değişken sayısını azaltmak ve

c

üzerindeki kısıtlamaları

a

ve

b

üzerine taşımak için gereklidir.

2

Açı şartından kenar sıralamasını belirleme

m(\widehat{A}) > m(\widehat{C}) \implies a > c

. Buradan

a > 3b - 2a \implies 3a > 3b \implies a > b

elde edilir.

Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur kuralı uygulanır.

3

Üçgen eşitsizliğini (

a < b + c

) kontrol etme

a < b + (3b - 2a) \implies a < 4b - 2a \implies 3a < 4b

veya

a < \frac{4}{3}b

.

Bir üçgenin oluşabilmesi için herhangi bir kenar diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır.

4

c

üzerindeki aralık şartını (

10 < c < 15

)

a

ve

b

için sınırlara dönüştürme

10 < 3b - 2a < 15

. Buradan alt sınır:

2a < 3b - 10 \implies a < 1.5b - 5

. Üst sınır:

2a > 3b - 15 \implies a > 1.5b - 7.5

.

Çevreyi maksimize etmek için

b

ve

a

değerlerini sınırlandırmak gerekir.

5

b

değerini büyüterek tam sayı çözümleri arama

b=40

için

a

aralığı:

52.5 < a < 53.33

. Tek tam sayı

a=53

. Bu durumda

c = 120 - 106 = 14

. Şartlar sağlanır:

10 < 14 < 15

ve

53 < 160/3

. Çevre =

53 + 40 + 14 = 107

. Daha büyük

b

değerleri (ör. 41) için aralıkta tam sayı bulunamaz.

Çevre

a+b+c = 4b-a

olduğundan,

b

arttıkça çevre artma eğilimindedir, bu yüzden büyük

b

değerleri denenir.

Key Concept

Üçgen Eşitsizliği ve Açı-Kenar Bağıntıları

Hints

1

Sorudaki

2a = 3b - c

eşitliğinden

c

'yi yalnız bırakarak diğer eşitsizliklerde yerine yazın.

2

m(\widehat{A}) > m(\widehat{C})

olduğu için

a > c

olmalıdır. Bunu

c = 3b - 2a

ifadesiyle birleştirerek

a

ve

b

arasındaki ilişkiyi (

a > b

) bulun.

3

Bir üçgenin oluşabilmesi için

a < b + c

olmalıdır. Bu şartı

c

yerine

3b - 2a

yazarak kontrol edin (

3a < 4b

).

b

'ye 40 civarında değerler vererek tam sayı çözüm arayın.

Practice More

Benzer kısıtlamalarla, açı şartının

m(\widehat{A}) > 90^\circ

olarak verildiği ve

a^2 > b^2 + c^2

eşitsizliğinin kullanıldığı bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Çevre fonksiyonunu

C(b) = 4b - a

olarak yazıp,

a

'nın

b

'ye bağlı sınırlarını (

1.5b - 7.5 < a < 1.33b

) kullanarak

b

arttıkça çevrenin arttığını fark edip üst sınırdan deneme yapmak daha hızlı sonuç verebilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 29Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 6$ cm ve $|BC| = 13$ cm uzunlukları verilmiştir. Buna göre, $AC$ kenarının uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olamaz?

8

cm

12

cm

15

cm

18

cm

20

cm

Show answer & explanation

Answer: $20$ cm

Answer

20 cm olan uzunluk, üçgen eşitsizliği kuralına uymadığı için AC kenarının uzunluğu olamaz.

Üçgen eşitsizliğine göre bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır. Bu soruda kenarların toplamı

6 + 13 = 19

cm'dir. 20 cm değeri bu toplamdan büyük olduğu için üçgen kuralına aykırıdır.

Step-by-Step Solution

1

Üçgen eşitsizliği kuralını hatırla.

|b - c| < a < b + c

Bir üçgenin çizilebilmesi için herhangi bir kenar, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır.

2

Verilen değerleri eşitsizlikte yerine koy.

|13 - 6| < |AC| < 13 + 6

|AB| = 6

ve

|BC| = 13

değerlerini kullanarak üçüncü kenarın sınırlarını belirleriz.

3

Eşitsizliği çöz.

7 < |AC| < 19

13 - 6 = 7

ve

13 + 6 = 19

işlemlerini yaparak geçerli aralığı buluruz.

4

Seçenekleri kontrol et.

20

değeri

19

'dan büyüktür.

Bulunan aralıkta olmayan tek değer 20 olduğu için bu uzunlukla üçgen oluşturulamaz.

Key Concept

Üçgen Eşitsizliği

Hints

1

Bir üçgenin kenarları arasında 'üçgen eşitsizliği' denilen bir kural vardır.

2

Üçüncü kenar, verilen iki kenarın farkından büyük (13-6) ve toplamından küçük (13+6) olmalıdır.

3

7 < |AC| < 19

aralığında olmayan seçeneği işaretle.

Practice More

Benzer bir soruda, üçüncü kenarın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri olduğunu bulmaya çalışabilirsin.

Estimated Time:45s

Question 30Question →

Şekildeki $ABC$ ve $ACD$ üçgenleri $AC$ kenarı boyunca birleştirilmiştir. $|AB| = 6$ cm, $|BC| = 8$ cm ve $|CD| = 5$ cm olarak verilmiştir. $m(\widehat{ABC}) > 90^\circ$ olduğu bilindiğine göre, $|AD| = x$ uzunluğunun alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

10

11

13

14

18

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

x'in alabileceği 13 farklı tam sayı değeri vardır.

Soruda iki aşamalı bir analiz gerekmektedir. İlk olarak

ABC

üçgeninde

B

açısı geniş olduğundan

|AC| = b

kenarı için

b^2 > 6^2 + 8^2

yani

b > 10

şartı, üçgen eşitsizliğinden ise

b < 6+8=14

şartı elde edilir. Böylece

b \in (10, 14)

bulunur. İkinci olarak

ACD

üçgeninde

x

için eşitsizlik

|x-5| < b < x+5

şeklindedir. Bir üçgenin oluşabilmesi için

b

'nin

(10, 14)

aralığındaki değerleri ile

(|x-5|, x+5)

aralığının kesişimi boş küme olmamalıdır. Bu durum, aralık uç noktalarının birbirini kapsamasıyla sağlanır:

10 < x+5 \Rightarrow x > 5

ve

|x-5| < 14 \Rightarrow x < 19

. Sonuç olarak

5 < x < 19

aralığındaki tam sayılar

6, 7, \dots, 18

olup toplam 13 tanedir.

Step-by-Step Solution

1

ABC üçgeninde geniş açı kuralını uygula.

10 < |AC| < 14

B açısı > 90° olduğundan b² > 6² + 8² (b > 10) ve üçgen eşitsizliğinden b < 6 + 8 (b < 14) olmalıdır.

2

ACD üçgeninde üçgen eşitsizliğini x için yaz.

|AC| - 5 < x < |AC| + 5

Bir üçgende bir kenar, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçüktür.

3

İki üçgenin oluşturduğu kısıtlamaları birleştirerek x'in çözüm aralığını bul.

5 < x < 19

|AC| değerleri (10, 14) aralığındadır. Üçgenin oluşabilmesi için aralıkların kesişimi boş küme olmamalıdır. Alt sınır: 10 < x+5 => x > 5. Üst sınır: |x-5| < 14 => -14 < x-5 < 14 => -9 < x < 19. Ortak çözüm: 5 < x < 19.

4

Aralıktaki tam sayıları say.

13 tane

x ∈ {6, 7, ..., 18}. Terim sayısı = Son Terim - İlk Terim + 1 = 18 - 6 + 1 = 13.

Key Concept

İki üçgenli sistemlerde kenar uzunluğu aralığı, ortak kenarın sınır değerlerinin diğer üçgenin eşitsizliği ile kesiştirilmesiyle bulunur.

Hints

1

Önce

ABC

üçgeninde

B

açısının geniş olmasını kullanarak

|AC|

kenarı için geçerli aralığı bulun.

2

Bulduğunuz

|AC|

aralığı ile

ACD

üçgenindeki üçgen eşitsizliğinin ortak bir çözümü olmalıdır.

3

|AC|

değeri

(10, 14)

aralığındadır.

x

değeri öyle seçilmelidir ki,

|x-5|

ile

x+5

aralığı bu

(10, 14)

aralığı ile kesişebilsin.

Practice More

Benzer bir soruyu, açının dar açı (<90°) verildiği durum için çözmeyi deneyin; eşitsizlik yönlerinin nasıl değiştiğini gözlemleyin.

Estimated Time:2m 30s

Question 31Question →

Aşağıdaki şekilde $ABC$ ve $DBC$ üçgenlerinin $[BC]$ kenarı ortaktır.

$|AB| = 6$ cm, $|AC| = 8$ cm,
$|DB| = 5$ cm, $|DC| = 12$ cm olarak verilmiştir.

$m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$ ve $m(\widehat{BDC}) < 90^\circ$ olduğuna göre, $|BC|$ uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaç santimetredir?

17

23

36

50

63

Show answer & explanation

Answer: 23

Answer

Alınabilecek değerler 11 ve 12'dir; toplamları 23'tür.

Doğru cevap,

BC

kenarının hem

ABC

üçgenindeki geniş açı şartını (

|BC| > 10

) hem de

DBC

üçgenindeki dar açı şartını (

|BC| < 13

) aynı anda sağlayan tam sayıların (11 ve 12) toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1

ABC

üçgeni için kenar aralığını belirle (Üçgen Eşitsizliği).

|8-6| < |BC| < 8+6 \Rightarrow 2 < |BC| < 14

Bir üçgenin bir kenarı, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçüktür.

2

ABC

üçgeni için geniş açı (

m(\widehat{A}) > 90^\circ

) şartını uygula.

|BC|^2 > 6^2 + 8^2 \Rightarrow |BC|^2 > 36 + 64 = 100 \Rightarrow |BC| > 10

. (1. Durum:

10 < |BC| < 14

)

Geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer kenarların kareleri toplamından büyüktür.

3

DBC

üçgeni için kenar aralığını belirle (Üçgen Eşitsizliği).

|12-5| < |BC| < 12+5 \Rightarrow 7 < |BC| < 17

Üçgen eşitsizliği kuralı ikinci üçgen için de geçerlidir.

4

DBC

üçgeni için dar açı (

m(\widehat{D}) < 90^\circ

) şartını uygula.

|BC|^2 < 5^2 + 12^2 \Rightarrow |BC|^2 < 25 + 144 = 169 \Rightarrow |BC| < 13

. (2. Durum:

7 < |BC| < 13

)

Dar açının karşısındaki kenarın karesi, diğer kenarların kareleri toplamından küçüktür.

5

Her iki durumu sağlayan ortak çözüm kümesini bul ve değerleri topla.

Kesişim:

(10 < |BC| < 14) \cap (7 < |BC| < 13) \Rightarrow 10 < |BC| < 13

. Tam sayılar: 11 ve 12. Toplam:

11 + 12 = 23

.

BC

kenarı her iki üçgenin de ortak kenarı olduğu için her iki kısıtlamayı da aynı anda sağlamalıdır.

Key Concept

Üçgende açı-kenar bağıntıları ve yardımcı açı koşulları (dar/geniş açı)

Question 32Question →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde kenar uzunlukları $|AB| = 7$ cm ve $|AC| = 10$ cm olarak verilmiştir. Buna göre, $BC$ kenarının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaç cm'dir?

2

3

4

11

17

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

BC kenarının alabileceği en küçük tam sayı değeri 4 cm'dir.

Üçgen eşitsizliği kuralına göre, bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın farkından büyük olmalıdır. Bu soruda

|10 - 7| = 3

olduğundan, üçüncü kenarın 3 cm'den büyük olması gerekir. Bu şartı sağlayan en küçük tam sayı değeri 4'tür.

Step-by-Step Solution

1

Üçgen eşitsizliği kuralını hatırla.

|b - c| < a < b + c

Bir üçgenin çizilebilmesi için bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın farkından büyük ve toplamından küçük olmalıdır.

2

Verilen değerleri eşitsizlikte yerine koy.

|10 - 7| < |BC| < 10 + 7

Kenar uzunlukları 7 cm ve 10 cm olarak verilmiştir.

3

Eşitsizliği sadeleştir.

3 < |BC| < 17

Fark 3, toplam ise 17'dir.

4

Sınır şartlarını sağlayan en küçük tam sayıyı belirle.

4

3'ten büyük olan en küçük tam sayı 4'tür.

Key Concept

Üçgen Eşitsizliği (Üç kenar arasındaki bağıntı)

Hints

1

Bir üçgende bir kenarın uzunluğu her zaman diğer iki kenarın farkından büyüktür.

2

Burada verilen 7 ve 10 değerlerinin farkını (10 - 7) hesaplayarak işe başlayabilirsin.

3

3 < x < 17

aralığında yer alan ve 3'ten hemen sonra gelen ilk tam sayıyı bulmalısın.

Practice More

Şimdi aynı kenarlarla oluşabilecek en büyük tam sayı değerini bulmayı deneyebilirsin.

Alternative Method

Görsel olarak hayal ettiğinde, 7 ve 10 cm'lik iki çubuğu bir uçlarından birleştirdiğinde, diğer uçlar arasındaki mesafe çubuklar üst üste geldiğinde 3 cm (fark), tam tersi açıldığında ise 17 cm (toplam) olur. Üçgen oluşturmak için bu uçların arasındaki mesafe 3 ile 17 arasında kalmalıdır.

Estimated Time:45s

Question 33Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 10$ cm ve $|AC| = 14$ cm olarak verilmiştir. $[BC]$ kenarına ait kenarortay uzunluğu $|AD| = x$ cm'dir.

$m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$ olduğuna göre, $x$ 'in alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?

18

25

33

42

63

Show answer & explanation

Answer: 33

Answer

x'in alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı 33'tür.

Soruda verilen kenarortay ve açı şartı için iki koşul incelenmelidir. 1) Üçgen eşitsizliği: Kenarortayın 2 katı, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyüktür. Yani

4 < 2x < 24

olup

2 < x < 12

bulunur. 2) Açı şartı:

A

açısı geniş (

>90^\circ

) olduğundan, kenarortayı 'gören' hayali üçgendeki açı dar (

<90^\circ

) olur. Bu,

(2x)^2 < 10^2 + 14^2

eşitsizliğini verir. Buradan

x^2 < 74

ve

x \leq 8

(tamsayı olarak) bulunur. Her iki şartı sağlayan değerler 3, 4, 5, 6, 7, 8'dir ve toplamları 33'tür.

Step-by-Step Solution

1

Kenarortay formülünü veya paralelkenar yöntemini kullanarak üçgen eşitsizliği sınırlarını belirle.

ABC

üçgenini paralelkenara tamamlarsak oluşan yeni üçgenin kenarları 10, 14 ve

2x

olur. Üçgen eşitsizliğinden:

|14 - 10| < 2x < 14 + 10 \Rightarrow 4 < 2x < 24 \Rightarrow 2 < x < 12

.

Kenarortay uzunluğunun temel varoluş aralığını bulmak için.

2

Geniş açı (

m(\widehat{BAC}) > 90^\circ

) şartını kenarortay uzunluğuna uyarla.

m(\widehat{A}) > 90^\circ

ise, paralelkenarda

A

açısına komşu olan açı dar açı (

< 90^\circ

) olur. Bu durumda

(2x)^2 < 10^2 + 14^2

eşitsizliği sağlanmalıdır.

4x^2 < 100 + 196 \Rightarrow 4x^2 < 296 \Rightarrow x^2 < 74

.

Açı-kenar bağıntısını kullanarak üst sınırı daraltmak için.

3

Karekök alarak üst sınırın yaklaşık değerini bul.

x < \sqrt{74}

olduğundan ve

\sqrt{64}=8

,

\sqrt{81}=9

olduğundan,

x

yaklaşık 8.6'dan küçüktür (

x \leq 8

).

Tamsayı değerlerini belirleyebilmek için.

4

İki eşitsizliği birleştirip çözüm kümesini ve toplamı bul.

Birinci adımdan

x > 2

, üçüncü adımdan

x \leq 8

. Ortak aralık:

2 < x \leq 8

. Tamsayılar:

\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}

. Toplam:

3+4+5+6+7+8 = 33

.

Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Üçgende kenarortay uzunluğu ve geniş açı durumunda kenar-bağıntı ilişkisi (Paralelkenar metodu).

Hints

1

Kenarortay uzunluğu sorularında, kenarortayı iki katı kadar uzatarak bir paralelkenar oluşturmayı deneyin.

2

Oluşan paralelkenarda kenarlar 10, 14 ve köşegen

2x

olacaktır.

A

açısı

90^\circ

'den büyükse, bu köşegeni gören açı

90^\circ

'den küçük olmalıdır.

3

Dar açılı üçgen kuralını (

a^2 < b^2 + c^2

) uygulayın:

(2x)^2 < 10^2 + 14^2

. Ayrıca üçgen eşitsizliğini (

14-10 < 2x < 14+10

) unutmayın.

Practice More

Benzer bir soruyu,

A

açısı

< 90^\circ

(dar açı) şartı ile çözerek çözüm kümesinin nasıl değiştiğini inceleyin.

Alternative Method

Formül yöntemi:

2x^2 = b^2 + c^2 - a^2/2

. Geniş açı şartı (

a^2 > b^2 + c^2

) kullanılarak

a^2

yerine sınır değeri yazılıp

x

için eşitsizlik elde edilebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 34Question →

Bir $ABC$ üçgeninde, $D$ noktası $[BC]$ kenarı üzerindeki orta noktadır. $|AB| = 10$ cm ve $|AC| = 24$ cm'dir.

$m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$ olduğu bilindiğine göre, $|AD| = x$ uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

3

4

5

9

10

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

x değeri 5 farklı tam sayı değeri alabilir

Soruda verilen

AD

bir kenarortaydır. Kenarortay uzunluğu

x

, genel kural olarak

\frac{|b-c|}{2} < x < \frac{b+c}{2}

aralığındadır; bu da

7 < x < 17

sonucunu verir. Ancak soruda

m(\widehat{A}) > 90^\circ

(geniş açı) bilgisi verilmiştir. Geniş açılı bir üçgende, o açıdan çıkan kenarortay, dik üçgen durumundaki uzunluktan daha kısadır (

x < \frac{a}{2}

). Dik üçgen olsaydı hipotenüs 26, kenarortay 13 olurdu. Geniş açı olduğu için

x < 13

olmalıdır. İki koşul birleştirildiğinde

7 < x < 13

elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar 8, 9, 10, 11 ve 12 olmak üzere 5 tanedir.

Step-by-Step Solution

1

Kenarortay uzunluğu için genel üçgen eşitsizliği sınırlarını belirle.

\frac{|24-10|}{2} < x < \frac{24+10}{2} \implies 7 < x < 17

Bir üçgende kenarortay uzunluğu (

x

), yan kenarların farkının yarısından büyük, toplamının yarısından küçüktür.

2

m(\widehat{A}) > 90^\circ

koşulunun kenarortay üzerindeki etkisini incele.

x < \frac{\sqrt{10^2 + 24^2}}{2} \implies x < \frac{26}{2} \implies x < 13

Eğer

m(\widehat{A}) = 90^\circ

olsaydı muhteşem üçlü gereği

x = \frac{a}{2} = 13

olurdu. A açısı genişledikçe (

>90^\circ

), karşısındaki kenar (

a

) büyür ancak A köşesinden çıkan kenarortay (

x

) küçülür.

3

İki eşitsizlik sistemini birleştirerek ortak çözüm aralığını bul.

7 < x < 13

Genel sınır (

7 < x < 17

) ile açı kısıtlamasının (

x < 13

) kesişimi alınır.

4

Aralıktaki tam sayıları say.

8, 9, 10, 11, 12 (Toplam 5 tane)

Bulunan aralıktaki tam sayılar listelenir.

Key Concept

Üçgende kenarortay uzunluğu, yan kenarların farkının yarısı ile toplamının yarısı arasındadır. Ayrıca açı türüne (dar/geniş) göre üst veya alt sınır daralır.

Hints

1

Bir üçgende kenarortay uzunluğu (

V_a

), diğer iki kenarın toplamının yarısından küçük, farkının yarısından büyüktür.

2

Kenarortay doğrusunu üçgenin dışına doğru kendi uzunluğu kadar uzatarak bir paralelkenar oluşturabilir veya muhteşem üçlü kuralını referans alabilirsiniz.

3

Eğer A açısı

90^\circ

olsaydı, Pisagor teoreminden hipotenüs 26, kenarortay ise 13 olurdu. A açısı

90^\circ

'den büyük olduğuna göre kenarortay 13'ten küçük olmalıdır.

Practice More

Benzer bir soruyu, A açısının

90^\circ

'den küçük (dar açı) olduğu durum için çözünüz.

Alternative Method

Kenarortay formülünü (

2x^2 = b^2 + c^2 - a^2/2

) ve Kosinüs teoremi mantığını kullanarak

a^2 > b^2 + c^2

eşitsizliğinden

x

için üst sınır türetilebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 35Question →

Uzunlukları 10 cm ve 24 cm olan iki metal çubuk, birer uçlarından hareketli bir menteşe ile birleştirilmiştir. Çubuklar arasındaki açı $\alpha$ olmak üzere, $60^\circ < \alpha < 90^\circ$ aralığında değişmektedir.

Bu iki çubuğun diğer uçları arasındaki mesafe $x$ cm olduğuna göre, $x$ 'in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

4

5

6

7

8

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

x'in alabileceği 5 farklı tam sayı değeri vardır.

Üçgende bir kenar uzunluğu, karşısındaki açı büyüdükçe artar. Verilen 10 cm ve 24 cm'lik kenarlar arasındaki açı 60 derece olduğunda, Kosinüs Teoremi gereği karşı kenarın karesi

10^2 + 24^2 - 2\cdot10\cdot24\cdot(1/2) = 436

olur. Açı 90 derece olduğunda ise Pisagor Teoremi gereği

10^2 + 24^2 = 676

olur. Açı bu değerler arasında olduğu için

x^2

değeri 436 ile 676 arasında olmalıdır.

\sqrt{436} \approx 20,8

ve

\sqrt{676} = 26

olduğundan,

x

değeri 20,8'den büyük ve 26'dan küçük olmalıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 21, 22, 23, 24 ve 25'tir.

Step-by-Step Solution

1

Açı 60 derece olduğunda alt sınırı hesapla (Kosinüs Teoremi mantığı).

x^2 = 10^2 + 24^2 - 2 \cdot 10 \cdot 24 \cdot \cos(60^\circ) = 100 + 576 - 240 = 436

. Yani

x = \sqrt{436} \approx 20,8

.

Kenar uzunluğu açı ile doğru orantılı değişir; en küçük açı en küçük kenarı verir.

2

Açı 90 derece olduğunda üst sınırı hesapla (Pisagor Teoremi).

x^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676

. Yani

x = \sqrt{676} = 26

.

En büyük açı en büyük kenar uzunluğunu verir (dik üçgen durumu).

3

Bulunan aralıktaki tam sayıları belirle.

Aralık

(20,8; 26)

şeklindedir. Tam sayılar: 21, 22, 23, 24, 25.

Eşitsizlik kesin (küçüktür) olduğu için 26 dahil edilmez.

Key Concept

Kenar-Açı İlişkisi ve Kosinüs Teoremi Sınırları

Hints

1

Çubukların uçları arasındaki mesafe, aradaki açı büyüdükçe artar. Sınır değerleri olan 60 ve 90 derece için uzunlukları hesaplamalısın.

2

Açı 90 derece olsaydı, Pisagor teoremi ile (5-12-13 üçgeninin katları) x kaç olurdu?

3

Açı 60 derece olduğunda Kosinüs teoremi (

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)

) kullanarak alt sınırı bul.

\cos(60) = 1/2

'dir.

Practice More

Benzer bir soruyu 'geniş açı' şartı ile (90 < alpha < 120) çözmeyi deneyin.

Estimated Time:2m 30s

Question 36Question →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 8$ cm, $|AC| = 15$ cm ve $m(\widehat{BAC}) < 90^\circ$ olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $ABC$ üçgeninin üçüncü kenarı olan $|BC|$ uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

5

8

9

15

16

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

9 farklı tam sayı değeri vardır.

Üçgenin var olabilmesi için

|BC|

uzunluğu öncelikle üçgen eşitsizliğini (

7 < x < 23

) sağlamalıdır. Ayrıca soruda verilen

m(\widehat{A}) < 90^\circ

şartı gereği, kenar uzunluğu Pisagor teoremindeki hipotenüs değerinden küçük olmalıdır (

x < 17

). Bu iki koşulun kesişimi

7 < x < 17

aralığını verir. Bu aralıktaki tam sayılar 8'den 16'ya kadardır ve toplam 9 tanedir.

Step-by-Step Solution

1

Üçgen eşitsizliğini uygula.

|15 - 8| < |BC| < 15 + 8 \Rightarrow 7 < |BC| < 23

Bir üçgenin bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür.

2

Açı şartını (Dar Açı) uygula.

|BC|^2 < 8^2 + 15^2 \Rightarrow |BC|^2 < 64 + 225 \Rightarrow |BC|^2 < 289 \Rightarrow |BC| < 17

m(\widehat{A}) < 90^\circ

ise,

a^2 < b^2 + c^2

(Pisagor eşitsizliği) geçerlidir.

3

İki eşitsizliği birleştirerek ortak çözüm aralığını bul.

7 < |BC|

ve

|BC| < 17

olduğundan ortak aralık:

7 < |BC| < 17

Kenar uzunluğu her iki koşulu da aynı anda sağlamalıdır.

4

Aralıktaki tam sayıları say.

Değerler:

8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

. Toplam 9 tane.

Sonlu aralıktaki tam sayı adedi:

(Üst Sınır - Alt Sınır) - 1 = 17 - 7 - 1 = 9

.

Key Concept

Üçgende kenar uzunlukları hem temel üçgen eşitsizliğini (

|b-c| < a < b+c

) hem de açıya bağlı özel durumları (Pisagor eşitsizlikleri) sağlamalıdır.

Hints

1

Bir üçgende bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır.

2

m(\widehat{A}) = 90^\circ

olsaydı

|BC|

kaç olurdu? Açı

90^\circ

'den küçük olduğuna göre

|BC|

nasıl etkilenir?

3

8-15-17 özel üçgenini hatırlayın. Açı dar olduğuna göre

|BC|

kenarı 17'den küçük olmalıdır.

Practice More

Benzer şekilde

m(\widehat{A}) > 90^\circ

(Geniş Açı) koşulu verildiğinde çözüm aralığının nasıl değişeceğini inceleyiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 37Question →

Aşağıdaki şekilde, ABCD bir dörtgen ve [BD] bu dörtgenin bir köşegenidir. Şekilde verilen uzunluklara göre; |AB| = 6 cm, |AD| = 8 cm, |BC| = 5 cm ve |CD| = 12 cm'dir. Ayrıca m(BAD) > 90° olduğu bilinmektedir.

Buna göre, |BD| uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

2

3

4

6

7

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

BD uzunluğu 3 farklı tam sayı değeri alabilir.

Ortak kenar |BD| = x olsun. ABD üçgeninde m(A) > 90° olduğu için x² > 6² + 8² yani x > 10 olur. Aynı üçgende üçgen eşitsizliğinden x < 6+8=14 bulunur. Yani ABD üçgeninden gelen şart 10 < x < 14'tür. BCD üçgeninde ise |12-5| < x < 12+5 yani 7 < x < 17 şartı vardır. Her iki şartı sağlayan ortak aralık 10 < x < 14 olur. Bu aralıktaki tam sayılar 11, 12 ve 13 olmak üzere 3 tanedir.

Step-by-Step Solution

1

ABD üçgeni için üçgen eşitsizliğini yaz ve geniş açı şartını uygula.

Eşitsizlik: |8-6| < |BD| < 8+6 ⇒ 2 < |BD| < 14. Geniş açı şartı (m(A)>90°): |BD|² > 6² + 8² ⇒ |BD|² > 100 ⇒ |BD| > 10. Sonuç: 10 < |BD| < 14.

Bir üçgende bir kenar uzunluğu diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçüktür. Ayrıca geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer kenarların kareleri toplamından büyüktür.

2

BCD üçgeni için üçgen eşitsizliğini yaz.

|12-5| < |BD| < 12+5 ⇒ 7 < |BD| < 17.

BCD üçgeninde herhangi bir açı kısıtlaması verilmediği için sadece standart üçgen eşitsizliği uygulanır.

3

Bulunan iki aralığın kesişimini al ve tam sayıları say.

Aralık 1: (10, 14), Aralık 2: (7, 17). Kesişim: 10 < |BD| < 14. Tam sayılar: {11, 12, 13}. Toplam 3 değer.

|BD| uzunluğu her iki üçgenin şartlarını da aynı anda sağlamalıdır.

Key Concept

Bir kenar ortak olan iki üçgende, ortak kenarın alabileceği değerler her iki üçgenin eşitsizlik şartlarının kesişim kümesidir. Ayrıca açı şartları (dik, dar, geniş) alt veya üst sınırları daraltır.

Question 38Question →

Kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı olan bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 9$ cm'dir. Bu üçgenin iç açılarının ölçüleri arasında $m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{C})$ sıralaması bulunmaktadır. Üçgenin çevresi 36 cm olduğuna göre, $|BC|$ kenarının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

45

54

60

62

80

Show answer & explanation

Answer: 62

Answer

İstenen toplam 62'dir.

Çevre bağıntısı (

a+b=27

) ile açı sıralamasının gerektirdiği kenar sıralaması (

a>b>9

) birleştirildiğinde

a

için

13,5 < a < 18

aralığı elde edilir. Bu aralıktaki 14, 15, 16 ve 17 tam sayıları toplandığında 62 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Çevre bilgisini kullanarak kenarlar arası ilişkiyi kurma.

|BC| = a

ve

|AC| = b

olsun. Çevre

= a + b + 9 = 36

ise

a + b = 27

olur. Buradan

b = 27 - a

yazılabilir.

Bilinmeyen kenarlar arasındaki bağıntıyı tek değişkene indirgemek için gereklidir.

2

Açı sıralamasını kenar uzunluğu sıralamasına dönüştürme.

m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{C})

ise büyük açı karşısında büyük kenar bulunur kuralına göre

a > b > 9

olur.

Açı-kenar bağıntılarını kullanarak kenarların sınırlarını belirlemek gerekir.

3

Kenar sıralaması ve çevre bağıntısını birleştirerek eşitsizlik oluşturma.

a > 27 - a > 9

eşitsizliğinden;

2a > 27 \Rightarrow a > 13,5

ve

27 - a > 9 \Rightarrow a < 18

elde edilir.

a

kenarının alt ve üst sınırlarını daraltmak için gereklidir.

4

Üçgen eşitsizliğini uygulama.

a < b + 9 \Rightarrow a < (27 - a) + 9 \Rightarrow 2a < 36 \Rightarrow a < 18

olur. Ayrıca

b < a + 9 \Rightarrow 27 - a < a + 9 \Rightarrow 18 < 2a \Rightarrow a > 9

(zaten sağlanıyor).

Geometrik olarak bir üçgenin oluşabilmesi için gerekli temel şartı kontrol etmek gerekir.

5

Uygun tam sayı değerlerini belirleme ve toplama.

13,5 < a < 18

aralığındaki tam sayılar 14, 15, 16 ve 17'dir. Toplam:

14 + 15 + 16 + 17 = 62

.

Soruda istenen nihai sonucu bulmak için tam sayı değerleri toplanır.

Key Concept

Üçgende büyük açı karşısında büyük kenar bulunur ve herhangi bir kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır.

Question 39Question →

Bir $ABC$ üçgeninde iç açıların ölçüleri $m(\widehat{A}) = 70^\circ$ ve $m(\widehat{B}) = 60^\circ$ olarak verilmiştir. Buna göre, bu üçgenin kenar uzunlukları olan $a$ , $b$ ve $c$ arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?

a > b > c

b > a > c

c > b > a

a > c > b

b > c > a

Show answer & explanation

Answer: $a > b > c$

Answer

Kenar uzunlukları arasındaki doğru sıralama a > b > c şeklindedir.

Üçgenin iç açılarının toplamı

180^\circ

olduğundan

C

açısı

50^\circ

olarak bulunur. Açılar büyükten küçüğe

70^\circ > 60^\circ > 50^\circ

şeklinde sıralandığı için, bu açıların karşısındaki kenarlar da aynı mantıkla

a > b > c

şeklinde sıralanır.

Step-by-Step Solution

1

Üçgenin verilmeyen üçüncü iç açısını hesaplayın.

m(\widehat{C}) = 180^\circ - (70^\circ + 60^\circ) = 50^\circ

Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman

180^\circ

olduğu için iki açısı bilinen üçgenin üçüncü açısı bu şekilde bulunur.

2

Tüm iç açıları büyükten küçüğe doğru sıralayın.

70^\circ > 60^\circ > 50^\circ

yani

m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{C})

Kenar uzunluklarını karşılaştırmak için önce bu açıların büyüklüklerini belirlememiz gerekir.

3

Açı-kenar bağıntısı kuralını uygulayın.

a > b > c

Geometride temel bir kural olarak, bir üçgende büyük açının karşısında her zaman daha uzun bir kenar bulunur. A açısı en büyük olduğundan karşısındaki 'a' kenarı en uzundur, C açısı en küçük olduğundan karşısındaki 'c' kenarı en kısadır.

Key Concept

Üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.

Hints

1

Bir üçgende iç açılar toplamının

180^\circ

olduğunu hatırlayarak verilmeyen

C

açısını bulmayı dene.

2

Bulduğun üç açıyı (

70^\circ, 60^\circ, 50^\circ

) büyükten küçüğe sırala.

3

'Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur' kuralını hatırla.

70^\circ

karşısındaki kenar en uzun olmalıdır.

Practice More

Farklı üçgen türlerinde (ikizkenar veya dik üçgen gibi) bu bağıntının nasıl değiştiğini inceleyebilirsin.

Estimated Time:45s

Question 40Question →

Bir ABCD dörtgeninde [AC] köşegeni çizilmiştir. Dörtgenin kenar uzunlukları $|AB| = 6$ cm, $|BC| = 8$ cm, $|AD| = 5$ cm ve $|DC| = 12$ cm olarak verilmiştir.

$m(\widehat{ABC}) > 90^\circ$ ve $m(\widehat{ADC}) < 90^\circ$ olduğuna göre, $|AC|$ uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

1

2

3

4

6

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İki şartın kesişimi olan 10 < x < 13 aralığında 2 farklı tam sayı değeri vardır.

Soruda verilen iki farklı üçgen için hem temel üçgen eşitsizliği hem de açı-kenar bağıntıları ayrı ayrı uygulanmalıdır. ABC üçgeninde B açısı geniş olduğu için

x^2 > 6^2+8^2

şartından alt sınır 10 bulunur. ADC üçgeninde D açısı dar olduğu için

x^2 < 5^2+12^2

şartından üst sınır 13 bulunur. Bu iki şartın kesişimi olan

10 < x < 13

aralığında sadece 11 ve 12 tam sayıları yer alır, dolayısıyla cevap 2'dir.

Step-by-Step Solution

1

|AC| = x

diyelim. Öncelikle ABC üçgeni için üçgen eşitsizliği ve açı şartını inceleyelim.

Üçgen eşitsizliği:

|8-6| < x < 8+6 \Rightarrow 2 < x < 14

. Açı şartı (

B > 90^\circ

):

x^2 > 6^2 + 8^2 \Rightarrow x^2 > 100 \Rightarrow x > 10

. Bu iki durumun kesişimi: **

10 < x < 14

**.

Bir üçgende bir açı 90 dereceden büyükse, karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür.

2

Şimdi ADC üçgeni için üçgen eşitsizliği ve açı şartını inceleyelim.

Üçgen eşitsizliği:

|12-5| < x < 12+5 \Rightarrow 7 < x < 17

. Açı şartı (

D < 90^\circ

):

x^2 < 5^2 + 12^2 \Rightarrow x^2 < 169 \Rightarrow x < 13

. Bu iki durumun kesişimi: **

7 < x < 13

**.

Bir üçgende bir açı 90 dereceden küçükse, karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından küçüktür.

3

Her iki üçgen için bulunan çözüm aralıklarının kesişimini alalım.

I. Aralık:

10 < x < 14

II. Aralık:

7 < x < 13

Ortak Aralık: **

10 < x < 13

**

x

uzunluğu her iki üçgenin de ortak kenarı olduğu için her iki şartı aynı anda sağlamalıdır.

4

Bu aralıktaki tam sayı değerlerini belirleyip sayalım.

10 ile 13 arasındaki tam sayılar: 11 ve 12'dir. Toplam 2 farklı değer vardır.

Soru bizden kaç farklı tam sayı değeri olduğunu istemektedir.

Key Concept

Üçgen eşitsizliği ile geniş/dar açı kenar bağıntılarının (Pisagor teoremi genellemesi) birlikte kullanılması.

Hints

1

Soruda iki farklı üçgen (ABC ve ADC) ortak bir kenara (AC) sahiptir. Her iki üçgen için ayrı ayrı kısıtlamaları yazmalısınız.

2

Geniş açı (

>90^\circ

) ve dar açı (

<90^\circ

) şartları, Pisagor bağıntısına benzer şekilde (

a^2 = b^2 + c^2

) eşitsizlik olarak yazılır (

a^2 > ...

veya

a^2 < ...

).

3

ABC üçgeninde

x^2 > 6^2 + 8^2

ve ADC üçgeninde

x^2 < 5^2 + 12^2

eşitsizliklerini çözerek ortak aralığı bulun.

Estimated Time:2m 30s

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer