Aralık Tahmini Practice Questions — KPSS İstatistik

Question 1Question →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) uzmanları, belirli bir kırsal bölgedeki hanelerin aylık ortalama internet kullanım miktarını (GB cinsinden) tahmin etmek amacıyla $n=9$ hanelik rastgele bir örneklem seçmiştir. İlgili kitle dağılımının normal olduğu varsayılmakta ancak kitle varyansı bilinmemektedir.

Örneklemdeki kullanımlara ( $X_i$ ) ilişkin elde edilen özet istatistikler şu şekildedir:
$\sum_{i=1}^9 X_i = 540$ ve $\sum_{i=1}^9 X_i^2 = 32688$

Buna göre, bu bölgedeki hanelerin aylık ortalama internet kullanım miktarı ( $\mu$ ) için %95 güven düzeyindeki aralık tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

(Hesaplamalarda kullanılabilecek bazı tablo değerleri: $Z_{0.025} = 1.960$ , $Z_{0.05} = 1.645$ , $t_{8, 0.025} = 2.306$ , $t_{8, 0.05} = 1.860$ , $t_{9, 0.025} = 2.262$ )

[55.388, 64.612]

[56.080, 63.920]

[55.476, 64.524]

[55.652, 64.348]

[46.164, 73.836]

Show answer & explanation

Answer: $[55.388, 64.612]$

Answer

Doğru güven aralığı

[55.388, 64.612]

olarak hesaplanan seçenektir.

Kitle varyansı bilinmediğinde ve örneklem hacmi küçük (

n < 30

) olduğunda, tek kitle ortalaması için güven aralığı formülü

\bar{X} \pm t_{(n-1, \alpha/2)} \frac{S}{\sqrt{n}}

şeklindedir. Verilen ham toplamlardan örneklem ortalaması

\bar{X} = 540 / 9 = 60

ve yansız örneklem varyansı

S^2 = (32688 - 9 \times 60^2) / (9 - 1) = 36

olarak hesaplanır, standart sapma

S=6

'dır. %95 güven düzeyi için serbestlik derecesi 8 olan T kritik değeri (

t_{8, 0.025}

) 2.306'dır. Standart hata

SE = 6 / \sqrt{9} = 2

'dir. Hata payı

2.306 \times 2 = 4.612

olarak bulunur ve güven aralığı

60 \pm 4.612

işleminden

[55.388, 64.612]

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem ortalamasını (

\bar{X}

) hesapla.

\bar{X} = \frac{\sum X_i}{n} = \frac{540}{9} = 60

Güven aralığının merkez noktasını belirlemek için örneklem ortalamasına ihtiyaç vardır.

2

Yansız örneklem varyansını (

S^2

) ve standart sapmayı (

S

) hesapla.

S^2 = \frac{\sum X_i^2 - n\bar{X}^2}{n-1} = \frac{32688 - 9 \times 3600}{8} = \frac{32688 - 32400}{8} = \frac{288}{8} = 36

. Buradan

S = 6

elde edilir.

Kitle varyansı bilinmediği için güven aralığı hesaplamasında örneklem standart sapması kullanılmalıdır.

3

Uygun dağılımı ve kritik değeri belirle.

Kitle varyansı bilinmediği ve örneklem hacmi küçük (

n=9 < 30

) olduğu için Student-t dağılımı seçilir. Serbestlik derecesi

v = n-1 = 8

ve

\alpha/2 = 0.025

için tablo değeri

t_{8, 0.025} = 2.306

'dır.

Bilinmeyen varyans durumunda pivot fonksiyonu T dağılımına uyar.

4

Hata payını (Margin of Error) hesapla ve aralığı oluştur.

Hata Payı =

t_{8, 0.025} \times \frac{S}{\sqrt{n}} = 2.306 \times \frac{6}{\sqrt{9}} = 2.306 \times 2 = 4.612

. Aralık:

60 \pm 4.612 = [55.388, 64.612]

Nokta tahminine hata payı eklenip çıkarılarak alt ve üst güven sınırları bulunur.

Key Concept

Bilinmeyen Varyans Durumunda Tek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı

Question 2Question →

Bir Sanayi ve Teknoloji Bakanlığı denetçisi, belirli bir standartta üretilen bir motor parçasının montaj sürelerini (dakika) incelemek üzere rastgele $n=16$ parçalık bir örneklem almıştır. Elde edilen veriler için $\sum_{i=1}^{16} x_i = 800$ ve $\sum_{i=1}^{16} x_i^2 = 40960$ istatistikleri hesaplanmıştır.

Kitle varyansının bilinmediği ve montaj sürelerinin normal dağıldığı varsayılan bu durumda, denetçi kitle ortalaması $\mu$ için $\%95$ güven düzeyinde bir aralık tahmini yapmak istemiş; ancak standart normal dağılım kritik değerini ( $Z_{0.025} \approx 1.96$ ) kullanarak aralığı hesaplamıştır.

Buna göre, veri setinden elde edilmesi gereken doğru güven aralığı ile denetçinin yapmış olduğu teorik hatanın aralık genişliği üzerindeki etkisi aşağıdakilerin hangisinde birlikte ve doğru olarak verilmiştir? (Hesaplamalarda kullanılabilecek tablo değerleri: $t_{15, 0.025} = 2.131$ , $t_{16, 0.025} = 2.120$ )

Doğru aralık

[45.738, 54.262]

olmalıdır. Kitle varyansı bilinmediği için

t

-dağılımı kullanılmalıdır ve denetçinin

Z

dağılımını kullanması, hesaplanan güven aralığının olması gerekenden daha dar çıkmasına neden olmuştur.

Doğru aralık

[45.760, 54.240]

olmalıdır. Serbestlik derecesi

n=16

alınarak

t

-dağılımı kullanılmalıdır ve denetçinin

Z

dağılımını kullanması aralığı gereksiz yere genişletmiştir.

Doğru aralık

[46.080, 53.920]

olmalıdır. Verilerin normal dağıldığı bilindiği için

Z

dağılımının kullanılması teorik olarak doğru bir yaklaşımdır, aralık genişliğinde herhangi bir hata bulunmamaktadır.

Doğru aralık

[45.873, 54.127]

olmalıdır. Kitle varyansı tahmin edilirken yansızlık için varyans formülünde

n

böleni kullanılmalı ve elde edilen standart hata

t

-dağılımı ile çarpılmalıdır.

Doğru aralık

[32.952, 67.048]

olmalıdır. Standart hata hesabı yapılmadan varyans karekökü doğrudan kullanılmalı ve hesaplanan bu aralık kitle ortalamasını tam olarak

\%95

olasılıkla içinde bulundurmalıdır.

Show answer & explanation

Answer: Doğru aralık $[45.738, 54.262]$ olmalıdır. Kitle varyansı bilinmediği için $t$ -dağılımı kullanılmalıdır ve denetçinin $Z$ dağılımını kullanması, hesaplanan güven aralığının olması gerekenden daha dar çıkmasına neden olmuştur.

Answer

Doğru aralık t-dağılımı (n-1 serbestlik derecesi) kullanılarak hesaplanan

[45.738, 54.262]

olmalıdır ve Z dağılımı kullanılması aralığın hatalı şekilde daralmasına yol açar.

Verilen bilgilerde kitle varyansı (

\sigma^2

) bilinmemektedir. Bu durumda yansız örneklem varyansı

S^2 = [\sum x^2 - n\bar{x}^2]/(n-1)

formülü ile

64

bulunur. Buradan

S=8

ve standart hata

SE = 8/\sqrt{16} = 2

olarak hesaplanır. Serbestlik derecesi

n-1 = 15

olan t-kritik değeri

2.131

'dir. Hata payı

2.131 \times 2 = 4.262

olduğundan aralık

[45.738, 54.262]

olur. t-dağılımı, varyans tahmini belirsizliğini hesaba kattığından standart normal (Z) dağılıma göre daha basık ve kalın kuyrukludur (

2.131 > 1.96

). Bu sebeple

Z

yerine

t

kullanılması gereken bir yerde

Z

kullanmak, aralığı yanıltıcı derecede daraltır.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem ortalamasını (

\bar{x}

) hesapla.

\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{800}{16} = 50

Güven aralığının merkez noktasını belirlemek için nokta tahmini gereklidir.

2

Yansız örneklem varyansını (

S^2

) ve örneklem standart sapmasını (

S

) hesapla.

S^2 = \frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1} = \frac{40960 - 16(50)^2}{15} = \frac{40960 - 40000}{15} = \frac{960}{15} = 64

. Buradan

S = \sqrt{64} = 8

elde edilir.

Kitle varyansı bilinmediği için standart hatayı hesaplamak adına varyansın yansız tahmin edicisine ihtiyaç vardır.

3

Ortalamanın standart hatasını (

SE

) hesapla.

SE = \frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{8}{\sqrt{16}} = \frac{8}{4} = 2

Güven aralığının hata payı (margin of error) standart sapma üzerinden değil, standart hata üzerinden bulunur.

4

Kullanılacak dağılımı ve kritik değeri belirle.

Kitle varyansı bilinmediğinden serbestlik derecesi

df = n-1 = 15

olan

t

-dağılımı kullanılır. Tablodan

t_{15, 0.025} = 2.131

alınır.

Varyans bilinmediğinde ve S kullanıldığında, test istatistiği tam olarak t-dağılımına uyar.

5

Doğru güven aralığını hesapla.

\bar{x} \pm t_{15, 0.025} \times SE \implies 50 \pm (2.131 \times 2) \implies 50 \pm 4.262 \implies [45.738, 54.262]

Kitle ortalaması için alt ve üst sınırları belirleyen temel formüldür.

6

Teorik hatayı ve aralık genişliğine etkisini analiz et.

Denetçinin hesapladığı hata payı:

1.96 \times 2 = 3.92

. Gerçek hata payı:

4.262

. Z kullanımı hesaplanan aralığı gerçekte olması gerekenden daha dar yapmıştır.

t-dağılımı Z'ye göre daha kalın kuyruklara (heavy tails) sahiptir; varyans tahmini kaynaklı ek belirsizliği kompanse etmek için güven aralığını genişletir.

Key Concept

Bilinmeyen kitle varyansı durumunda

t

-dağılımı ile aralık tahmini ve serbestlik derecesi kavramı

Question 3Question →

Bir kamu kurumunda evrak onay süreçlerinin tamamlanma sürelerinin normal dağıldığı varsayılmaktadır. Bu işlem sürelerinin kitle ortalaması ( $\mu$ ) için $\%95$ güven düzeyinde bir aralık tahmini yapılmak istenmektedir. Kitle varyansı bilinmediği için $16$ evraktan oluşan rastgele bir örneklem alınmış olup, örneklem ortalaması $\bar{X} = 45$ dakika ve örneklem standart sapması $S = 8$ dakika olarak hesaplanmıştır.

İlgili kurumdaki bir uzman, güven aralığı sınırlarını hesaplamış ve rapora şu notu düşmüştür: *'Evrak onay süreçlerinin kitle ortalamasının hesaplanan bu güven aralığı içinde yer alma olasılığı $\%95$ 'tir.'*

Buna göre, kitle ortalaması için doğru güven aralığı sınırları ve uzmanın raporundaki yorumun istatistiksel geçerliliği aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

(Gerektiğinde aşağıdaki kritik değerleri kullanınız: $Z_{0.025} = 1.96$ , $t_{15, 0.025} = 2.131$ , $t_{16, 0.025} = 2.120$ )

[40.738, 49.262] ; Yorum hatalıdır, %95 değeri bu spesifik aralığın değil, aralık oluşturma yönteminin güvenilirliğini ifade eder.

[40.738, 49.262] ; Yorum doğrudur, hesaplanan aralık kitle ortalamasını gerçekte %95 olasılıkla içinde barındırmaktadır.

[41.080, 48.920] ; Yorum hatalıdır, %95 değeri bu spesifik aralığın değil, aralık oluşturma yönteminin güvenilirliğini ifade eder.

[41.080, 48.920] ; Yorum doğrudur, hesaplanan aralık kitle ortalamasını gerçekte %95 olasılıkla içinde barındırmaktadır.

[40.760, 49.240] ; Yorum hatalıdır, %95 değeri bu spesifik aralığın değil, aralık oluşturma yönteminin güvenilirliğini ifade eder.

Show answer & explanation

Answer: [40.738, 49.262] ; Yorum hatalıdır, %95 değeri bu spesifik aralığın değil, aralık oluşturma yönteminin güvenilirliğini ifade eder.

Answer

Güven aralığı [40.738, 49.262] olarak hesaplanmalı ve uzmanın olasılık yorumunun istatistiksel açıdan hatalı olduğu belirtilmelidir.

Doğru seçenekte güven aralığı formülü

\bar{X} \pm t_{n-1, \alpha/2} (S/\sqrt{n})

eksiksiz uygulanmış ve kitle varyansı bilinmediğinden serbestlik derecesi

15

olan

t

tablosu değeri (2.131) kullanılarak

[40.738, 49.262]

sınırları bulunmuştur. Aynı zamanda, istatistikte çok yaygın olan 'hesaplanan aralığın olasılığı

\%95

tir' yorumlama hatası da doğru biçimde tespit edilerek yorumun hatalı olduğu belirtilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen bilgileri ve uygun istatistiksel dağılımı belirleme

Örneklem hacmi

n = 16

,

\bar{X} = 45

,

S = 8

. Kitle varyansı bilinmediğinden ve örneklem küçük (

n < 30

) olduğundan Student's t-dağılımı kullanılmalıdır.

Varyansın bilinmediği durumlarda pivot fonksiyonu Z dağılımına değil,

n-1

serbestlik dereceli t dağılımına uyar.

2

Serbestlik derecesi ve uygun tablo kritik değerini bulma

Serbestlik derecesi

sd = n - 1 = 16 - 1 = 15

.

\%95

güven düzeyi için

\alpha = 0.05

ve iki yönlü bölge için

\alpha/2 = 0.025

. İlgili t-değeri:

t_{15, 0.025} = 2.131

.

Güven aralığı formülünde kullanılacak hata payı çarpanını doğru belirlemek için.

3

Hata payını (E) ve güven aralığı sınırlarını hesaplama

Hata payı

E = t \times (S / \sqrt{n}) = 2.131 \times (8 / 4) = 2.131 \times 2 = 4.262

. Alt sınır:

45 - 4.262 = 40.738

. Üst sınır:

45 + 4.262 = 49.262

.

Seçilen örnekleme ait

\bar{X}

değeri etrafında nokta tahminine eklenen duyarlılık sınırlarını oluşturmak için.

4

Uzmanın güven düzeyi yorumunu teorik çerçevede değerlendirme

Yorum hatalıdır. Frekansçı (frequentist) istatistikte,

\%95

güven düzeyi spesifik bir aralığın olasılığını değil, aralığı tahmin etme yönteminin uzun vadede (tekrarlı örneklemlerde) başarılı olma oranını ifade eder.

Gerçekleşmiş bir aralık [40.738, 49.262] hesaplandıktan sonra kitle parametresi (sabit bir değer) ya bu aralıktadır ya da değildir; dolayısıyla bu spesifik durum için olasılık

\%95

değil, tanımsızdır veya

0 / 1

olarak kabul edilir.

Key Concept

Bilinmeyen varyanslı küçük örneklemlerde tek kitle ortalaması güven aralığı ve güven düzeyinin frekansçı yorumu

Question 4Question →

İki farklı üretim hattından alınan bağımsız rastgele örneklemlerin hacimleri sırasıyla $n_1 = 16$ ve $n_2 = 10$ , bu örneklemlerden hesaplanan örneklem varyansları ise $S_1^2 = 24$ ve $S_2^2 = 15$ olarak bulunmuştur.

Kitlelerin normal dağılıma sahip olduğu varsayımı altında, birinci kitlenin varyansının ikinci kitlenin varyansına oranı $\left(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\right)$ için %90 güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Burada $F_{\alpha; \nu_1, \nu_2}$ , serbestlik dereceleri $\nu_1$ ve $\nu_2$ olan F-dağılımının sağ kuyruk alanını $\alpha$ yapan kritik değeri göstermektedir.)

\left[ \frac{1{}6}{F_{0{}05; 15, 9}}, \, 1{}6 \cdot F_{0{}05; 9, 15} \right]

\left[ \frac{1}{1{}6 \cdot F_{0{}05; 15, 9}}, \, \frac{F_{0{}05; 9, 15}}{1{}6} \right]

\left[ 1{}6 - t_{0{}05; 24}\sqrt{\frac{24}{16} + \frac{15}{10}}, \, 1{}6 + t_{0{}05; 24}\sqrt{\frac{24}{16} + \frac{15}{10}} \right]

\left[ \frac{1{}6}{F_{0{}05; 16, 10}}, \, 1{}6 \cdot F_{0{}05; 10, 16} \right]

\left[ \frac{1{}6}{F_{0{}10; 15, 9}}, \, 1{}6 \cdot F_{0{}10; 9, 15} \right]

Show answer & explanation

Answer: $\left[ \frac{1{}6}{F_{0{}05; 15, 9}}, \, 1{}6 \cdot F_{0{}05; 9, 15} \right]$

Answer

\left[ \frac{1{}6}{F_{0{}05; 15, 9}}, \, 1{}6 \cdot F_{0{}05; 9, 15} \right]

Doğru cevap, iki bağımsız normal kitlenin varyansları oranı için tanımlanan güven aralığı formülünü tam olarak yansıtmaktadır. Merkezde

S_1^2 / S_2^2 = 1{}6

oranı bulunur. Alt sınırda F kritik değerinin çarpmaya göre tersi (

\nu_1=15, \nu_2=9

serbestlik dereceleri ile) paydaya gelirken, üst sınırda serbestlik dereceleri yer değiştirmiş (

\nu_1=9, \nu_2=15

) F değeri ile çarpım yapılır. Alfa değeri de çift yönlü %90 güven düzeyi için doğru biçimde 0,05 alınmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem varyanslarının oranını hesapla.

\frac{S_1^2}{S_2^2} = \frac{24}{15} = 1{}6

Güven aralığının merkez tahmin edicisi (nokta tahmini) iki örneklem varyansının oranıdır.

2

Güven düzeyinden hareketle anlamlılık düzeyini (

\alpha

) ve serbestlik derecelerini belirle.

\alpha = 1 - 0{}90 = 0{}10

, iki yönlü aralık için

\alpha/2 = 0{}05

. Serbestlik dereceleri

\nu_1 = 16 - 1 = 15

ve

\nu_2 = 10 - 1 = 9

olur.

F dağılımı asimetriktir ve parametre tahmini için kritik değerler belirlenirken her iki kuyruktan eşit alan (

\alpha/2

) bırakılır.

3

Güven aralığı alt sınır formülünü oluştur.

Alt sınır =

\frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot \frac{1}{F_{\alpha/2; \nu_1, \nu_2}} = \frac{1{}6}{F_{0{}05; 15, 9}}

F istatistiğinin matematiksel özelliklerinden ötürü

F_{1-\alpha/2}

değeri doğrudan tablodan okunamadığında

1 / F_{\alpha/2}

dönüşümü yapılarak alt sınır elde edilir.

4

Güven aralığı üst sınır formülünü oluştur.

Üst sınır =

\frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot F_{\alpha/2; \nu_2, \nu_1} = 1{}6 \cdot F_{0{}05; 9, 15}

Üst sınırda F tablosu kullanılırken pay ve payda serbestlik dereceleri yer değiştirir.

Key Concept

İki Kitle Varyansları Oranı İçin F-Pivot Fonksiyonu ve Güven Aralığı

Estimated Time:2m 0s

Question 5Question →

Bir kamu kurumu, iki farklı şehirdeki (A ve B) işletmelerin çevre standartlarına uyum oranlarını karşılaştırmak amacıyla rastgele örneklemler almıştır. Aşağıdaki tabloda bu şehirlerden alınan bağımsız örneklemlere ait veriler özetlenmiştir:

Şehir	Örneklem Hacmi ( $n$ )	Standartlara Uyan İşletme Sayısı ( $x$ )
A	100	90
B	150	90

Buna göre, A ve B şehirlerindeki işletmelerin çevre standartlarına uyum oranları arasındaki fark ( $p_A - p_B$ ) için %95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(Hesaplamalarınızda $Z_{0,025} = 1,96$ ve $Z_{0,05} = 1,645$ değerlerini dikkate alınız.)

(0,202 \,;\, 0,398)

(0,186 \,;\, 0,414)

(0,163 \,;\, 0,437)

(0,218 \,;\, 0,382)

(0,295 \,;\, 0,305)

Show answer & explanation

Answer: $(0,202 \,;\, 0,398)$

Answer

A ve B şehirleri arasındaki çevre standartlarına uyum oranları farkı için %95 güven aralığı (0,202 ; 0,398) aralığıdır.

İki bağımsız kitle oranı farkı için güven aralığı oluşturulurken her grubun varyansı ayrı ayrı hesaplanır ve toplanarak karekökü alınır. A şehri için

\hat{p}_A = 0,90

, B şehri için

\hat{p}_B = 0,60

'tır. Nokta tahmini

0,30

olarak bulunur. Standart hata

\sqrt{0,0009 + 0,0016} = 0,05

şeklinde hesaplanır. %95 güven düzeyi için

Z=1,96

kullanıldığında hata payı

1,96 \times 0,05 = 0,098

olur. Aralık hesaplaması sonucunda

(0,202 \,;\, 0,398)

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Her iki grup için örneklem oranlarını (nokta tahminleri) hesaplayın.

\hat{p}_A = \frac{90}{100} = 0,90

ve

\hat{p}_B = \frac{90}{150} = 0,60

Güven aralığının merkezini ve standart hatayı bulabilmek için nokta tahminlerine ihtiyaç vardır.

2

Örneklem oranları arasındaki farkı hesaplayın.

\hat{p}_A - \hat{p}_B = 0,90 - 0,60 = 0,30

Hesaplanacak güven aralığı bu değer (0,30) etrafında simetrik olacaktır.

3

İki oran farkına ait standart hatayı (SE) hesaplayın.

SE = \sqrt{\frac{0,90 \times 0,10}{100} + \frac{0,60 \times 0,40}{150}} = \sqrt{0,0009 + 0,0016} = \sqrt{0,0025} = 0,05

İki bağımsız grubun fark dağılımının varyansı, ayrı grupların varyanslarının toplamıdır. Güven aralığında ortak oran (pooled) kullanılmaz.

4

Belirlenen güven düzeyine göre hata payını (ME) bularak güven sınırlarını hesaplayın.

ME = 1,96 \times 0,05 = 0,098

. Alt Sınır:

0,30 - 0,098 = 0,202

, Üst Sınır:

0,30 + 0,098 = 0,398

. Aralık:

(0,202 \,;\, 0,398)

%95 güven düzeyi için çift yönlü testte kritik değer

Z_{0,025} = 1,96

'dır.

Key Concept

İki Kitle Oranları Farkı İçin Güven Aralığı

Estimated Time:2m 30s

Question 6Question →

Bir büyükşehir belediyesi, toplu taşıma hizmetlerinden memnuniyet oranını tahmin etmek amacıyla kent sakinleri arasından rastgele seçilen $900$ kişi ile bir anket çalışması yapmıştır. Anket sonucunda $324$ kişinin sunulan hizmetlerden memnun olduğu tespit edilmiştir.

Buna göre, kitledeki gerçek memnuniyet oranı ( $p$ ) için $\%95$ güven düzeyindeki aralık tahmini aşağıdakilerden hangisidir?
(Hesaplamalarda standart normal dağılım kritik değerlerini $Z_{0.025} = 1.96$ ve $Z_{0.05} = 1.645$ olarak alınız ve sonuçları virgülden sonra dört basamaklı olacak şekilde yuvarlayınız.)

[0.3337, \ 0.3863]

[0.3077, \ 0.4123]

[0.3286, \ 0.3914]

[0.3595, \ 0.3605]

[0.3208, \ 0.3992]

Show answer & explanation

Answer: $[0.3286, \ 0.3914]$

Answer

Doğru aralık tahmini

[0.3286, \ 0.3914]

olmalıdır.

Kitle oranı için büyük örneklemlerde asimptotik güven aralığı formülü

\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

şeklindedir. Verilenlere göre

\hat{p}=0.36

ve

n=900

'dür.

\%95

güven düzeyi için çift yönlü test gereği

Z_{0.025}=1.96

kullanılır. Standart hata

\sqrt{\frac{0.36 \times 0.64}{900}} = 0.016

olarak hesaplandığında, hata payı

1.96 \times 0.016 = 0.03136

bulunur. Aralık sınırları elde edildiğinde

[0.3286, \ 0.3914]

aralığına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem oranını (

\hat{p}

) hesaplama

\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{324}{900} = 0.36

Güven aralığının merkezini belirlemek için nokta tahmini olan örneklem oranına ihtiyaç vardır.

2

Güven düzeyi için uygun kritik Z değerini belirleme

1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05

. Çift yönlü aralık tahmini için

\alpha/2 = 0.025

olup, ilgili standart normal dağılım değeri

Z_{0.025} = 1.96

'dır.

Kitle varyansı bilinmediğinde ve örneklem çapı yeterince büyük (

np>5

,

n(1-p)>5

) olduğunda asimptotik olarak standart normal dağılım kullanılır.

3

Standart hata (

SE

) hesaplama

SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.36 \times 0.64}{900}} = \sqrt{\frac{0.2304}{900}} = \sqrt{0.000256} = 0.016

Tahmin edicinin değişkenliğini ölçmek için asimptotik varyansının karekökü alınır.

4

Hata payını ve güven aralığı sınırlarını hesaplama

Hata Payı

= 1.96 \times 0.016 = 0.03136

. Alt sınır

= 0.36 - 0.03136 = 0.32864

, Üst sınır

= 0.36 + 0.03136 = 0.39136

. Yuvarlandığında aralık

[0.3286, \ 0.3914]

olur.

Nokta tahmininden hata payı çıkarılarak alt sınır, eklenerek üst sınır bulunur.

Key Concept

Büyük örneklemlerde tek kitle oranı için güven aralığı hesaplanması ve uygun standart hata varyans yapısının oluşturulması.

Question 7Question →

Tarım Bakanlığı tarafından bir bölgedeki belirli bir bitki hastalığının yaygınlığını belirlemek amacıyla bir saha çalışması yürütülmüştür. Bu kapsamda rastgele seçilen $1600$ tarım arazisi incelenmiş ve bu arazilerin $320$ 'sinde söz konusu hastalığa rastlanmıştır.

Buna göre, bu bölgedeki tüm tarım arazilerinin hastalığı taşıma oranına ilişkin $\%98$ güven düzeyindeki asimptotik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

$(Z_{0.01} = 2.33, \ Z_{0.02} = 2.05, \ Z_{0.025} = 1.96, \ Z_{0.05} = 1.645 \text{ olarak alınız.})$

[0.1767, \ 0.2233]

[0.1795, \ 0.2205]

[0.1740, \ 0.2260]

[0.1998, \ 0.2002]

[0.1804, \ 0.2196]

Show answer & explanation

Answer: $[0.1767, \ 0.2233]$

Answer

Güven aralığı sınırları

[0.1767, \ 0.2233]

değerleridir.

Verilen çalışmada nokta tahmin edici olan örneklem oranı

\hat{p} = \frac{320}{1600} = 0.20

olarak hesaplanır.

\%98

güven aralığı hesaplanacağından

\alpha = 0.02

ve iki yönlü kritik değer

Z_{0.01} = 2.33

olmalıdır. Varyans tahmini

\hat{p}(1-\hat{p}) = 0.20 \times 0.80 = 0.16

'dır. Standart hata (SE),

\sqrt{\frac{0.16}{1600}} = 0.01

bulunur. Marjinal hata (ME)

2.33 \times 0.01 = 0.0233

olur. Aralık sınırları

\hat{p} \pm ME

işleminden

0.20 \pm 0.0233 = [0.1767, \ 0.2233]

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem oranını (

\hat{p}

) hesapla.

\hat{p} = \frac{320}{1600} = 0.20

Nokta tahmin edicisi olan örneklem oranı, güven aralığının merkezini oluşturur.

2

Güven düzeyi için uygun kritik değeri belirle.

\%98

güven düzeyi için anlamlılık düzeyi

\alpha = 0.02

olup, iki yönlü aralıkta

Z_{\alpha/2} = Z_{0.01} = 2.33

kullanılır.

Güven aralığı iki yönlü olduğu için hata payı (

\alpha

) her iki kuyruğa eşit olarak dağıtılır.

3

Tahmin edicinin standart hatasını (SE) hesapla.

SE = \sqrt{\frac{0.20 \times 0.80}{1600}} = \sqrt{\frac{0.16}{1600}} = \sqrt{0.0001} = 0.01

Büyük örneklemlerde oran tahmini için merkezi limit teoremi gereği asimptotik varyans kullanılır.

4

Hata payını (ME) bularak aralık sınırlarını oluştur.

ME = 2.33 \times 0.01 = 0.0233 \implies 0.20 \pm 0.0233 = [0.1767, \ 0.2233]

Güven aralığı, nokta tahmini ile hata payının toplanıp çıkarılmasıyla elde edilir.

Key Concept

Büyük Örneklemlerde Tek Kitle Oranı İçin Asimptotik Güven Aralığı

Estimated Time:2m 0s

Question 8Question →

Normal dağılış gösteren bir kitleden alınan $n$ birimlik rastgele bir örneklemin varyansı $S^2$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, kitle varyansı ( $\sigma^2$ ) için $(1-\alpha)$ güven düzeyindeki iki yönlü güven aralığı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?
(Not: $\chi^2_{p; v}$ , $v$ serbestlik dereceli Ki-kare dağılımında sağ kuyruk olasılığı $p$ olan kritik değeri göstermektedir.)

\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \right]

\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}} \right]

\left[ \frac{nS^2}{\chi^2_{\alpha/2; n}}, \frac{nS^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n}} \right]

\left[ \frac{S^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}}, \frac{S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \right]

\left[ S^2 - t_{\alpha/2; n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}, S^2 + t_{\alpha/2; n-1}\frac{S}{\sqrt{n}} \right]

Show answer & explanation

Answer: $\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \right]$

Answer

Kitle varyansı için güven aralığı, örneklem varyansının

(n-1)

ile çarpımının sırasıyla Ki-kare dağılımının üst ve alt kritik değerlerine bölünmesiyle elde edilen

\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \right]

aralığıdır.

Kitle varyansı (

\sigma^2

) için

(1-\alpha)

düzeyinde güven aralığı elde edilirken temel alınan pivot fonksiyon

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

'dir. Bu fonksiyon

(n-1)

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına uyar.

\sigma^2

'yi yalnız bırakmak için eşitsizlik ters çevrildiğinde asimetrik olan Ki-kare dağılımında büyük kritik değer (

\chi^2_{\alpha/2}

) sol taraftaki alt sınırın paydasına, küçük kritik değer (

\chi^2_{1-\alpha/2}

) sağ taraftaki üst sınırın paydasına geçer.

Step-by-Step Solution

1

Pivot fonksiyonunu belirleme

Q = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}

istatistiği yazılır.

Normal dağılıma sahip bir kitlede varyans tahmini yaparken, dağılımı bilinmeyen parametreye (

\sigma^2

) bağlı olmayan standart pivot fonksiyonu budur.

2

Olasılık eşitsizliğini kurma

P\left(\chi^2_{1-\alpha/2; n-1} < \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} < \chi^2_{\alpha/2; n-1}\right) = 1-\alpha

eşitsizliği oluşturulur.

İki yönlü

(1-\alpha)

güven aralığı için eğrinin alt ve üst kuyruklarında

\alpha/2

oranında olasılık bırakacak kritik değerler seçilir.

3

Eşitsizliği

\sigma^2

için çözme

Eşitsizlikte terimlerin çarpmaya göre tersi alındığında eşitsizlik yön değiştirir:

\frac{1}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}} < \frac{\sigma^2}{(n-1)S^2} < \frac{1}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}}

. Tüm terimler

(n-1)S^2

ile çarpıldığında nihai güven aralığı

\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \right]

olarak elde edilir.

Eşitsizlik yön değiştirdiği için, sayısal olarak daha büyük olan

\chi^2_{\alpha/2}

değeri alt sınırın paydasına, daha küçük olan

\chi^2_{1-\alpha/2}

değeri ise üst sınırın paydasına geçer.

Key Concept

Tek Kitle Varyansı İçin Güven Aralığı Çıkarımı

Question 9Question →

Bir üretim hattında paketlenen ürünlerin ağırlıkları normal dağılıma uymaktadır. Makinenin kalibrasyonu gereği paket ağırlıklarının kitle ortalamasının tam olarak $\mu = 20$ gram olduğu bilinmektedir. Kitle varyansı ( $\sigma^2$ ) ise bilinmemektedir.

Bu hattan rastgele seçilen $n = 10$ adet paketin ağırlıkları ( $X_i$ ) ölçülmüş ve aşağıdaki istatistikler elde edilmiştir:

\sum_{i=1}^{10} X_i = 196

\sum_{i=1}^{10} X_i^2 = 3866

Buna göre, kitle varyansı ( $\sigma^2$ ) için $\%95$ güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Hesaplamalarda virgülden sonra iki basamak kullanınız. $\chi^2_{\alpha; \nu}$ gösterimi, $\nu$ serbestlik dereceli Ki-kare dağılımının sağ kuyruk kritik değerini ifade etmektedir: $\chi^2_{0.975; 9} = 2.70$ , $\chi^2_{0.025; 9} = 19.02$ , $\chi^2_{0.975; 10} = 3.25$ , $\chi^2_{0.025; 10} = 20.48$ )

[1.27, 8.00]

[1.28, 9.04]

[1.37, 9.63]

[1.19, 7.51]

[1.32, 8.34]

Show answer & explanation

Answer: $[1.27, 8.00]$

Answer

Doğru güven aralığı

[1.27, 8.00]

değerlerini içeren seçenektir.

Doğru aralık, kitle ortalamasının (

\mu=20

) bilindiği duruma ait pivot istatistiği (

df=10

) kullanılarak hesaplanan

[1.27, 8.00]

aralığıdır. Toplam kare sapması

\sum (X_i - 20)^2 = 26

olarak bulunur. Bu değer sırasıyla

\chi^2_{0.025; 10}=20.48

ve

\chi^2_{0.975; 10}=3.25

değerlerine bölündüğünde doğru sınırlar elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kitle ortalamasının (

\mu

) bilindiği durum için uygun pivot değişkenini belirleme.

Pivot değişken:

Q = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(n)}

. Serbestlik derecesi

n-1

değil,

n=10

'dur.

Kitle ortalaması bilindiğinde, örneklem ortalaması üzerinden tahmin yapmaya gerek kalmaz, bu nedenle serbestlik derecesi kaybı yaşanmaz.

2

Bilinen ortalamaya göre kareler toplamını (

W = \sum (X_i - \mu)^2

) hesaplama.

W = \sum X_i^2 - 2\mu\sum X_i + n\mu^2 = 3866 - 2(20)(196) + 10(20^2) = 3866 - 7840 + 4000 = 26

.

Verilen istatistikler üzerinden varyans formülünün pay kısmını elde etmek için cebirsel açılım uygulanmalıdır.

3

%95 güven düzeyi ve

n=10

serbestlik derecesi için Ki-kare tablo değerlerini belirleme.

Alt kritik değer:

\chi^2_{0.975; 10} = 3.25

. Üst kritik değer:

\chi^2_{0.025; 10} = 20.48

.

Aralık sınırlarını bulmak için dağılımın sağ ve sol kuyruklarında

\%2.5

olasılık bırakan noktalar kullanılır.

4

Güven aralığı alt ve üst sınırlarını formülde yerine koyarak hesaplama.

Alt Sınır =

\frac{26}{20.48} \approx 1.27

, Üst Sınır =

\frac{26}{3.25} = 8.00

.

\sigma^2

için aralık

P\left(\frac{W}{\chi^2_{0.025}} \leq \sigma^2 \leq \frac{W}{\chi^2_{0.975}}\right) = 1-\alpha

eşitsizliğinden elde edilir.

Key Concept

Kitle Ortalaması Bilindiğinde Varyans İçin Güven Aralığı

Question 10Question →

$X_1, X_2, \ldots, X_n$ rastgele örneklemi, ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan normal dağılımlı bir kitleden alınmıştır. $\mu$ parametresi için bir güven aralığı oluşturmak amacıyla eksen (pivot) fonksiyonu yöntemi kullanılacaktır.

Kitle varyansı $\sigma^2$ 'nin bilinmediği bu durumda, $\mu$ için uygun eksen fonksiyonu $Q$ ve bu fonksiyonun örneklem dağılımı aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?
( $\bar{X}$ : Örneklem ortalaması, $S$ : Örneklem standart sapması)

Q = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

olup, dağılımı

n-1

serbestlik dereceli

t

dağılımıdır.

Q = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

olup, dağılımı standart normal (

N(0,1)

) dağılımdır.

Q = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

olup, dağılımı standart normal (

N(0,1)

) dağılımdır.

Q = \bar{X} - \mu

olup, dağılımı varyansı

\sigma^2/n

olan normal dağılımdır.

Q = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

olup, dağılımı

n-1

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2

) dağılımıdır.

Show answer & explanation

Answer: $Q = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$ olup, dağılımı $n-1$ serbestlik dereceli $t$ dağılımıdır.

Answer

\mu

için uygun eksen fonksiyonu

Q = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

formülüne sahiptir ve dağılımı

n-1

serbestlik dereceli

t

dağılımıdır.

Bir fonksiyonun eksen (pivot) fonksiyonu olabilmesi için üç temel şartı sağlaması gerekir: 1) Örneklem verisine ve tahmin edilecek parametreye (

\mu

) bağlı olmalıdır. 2) Formülü, kitle varyansı (

\sigma^2

) gibi diğer bilinmeyen parametreleri (nuisance parameters) içermemelidir. 3) Olasılık dağılımı tamamen bilinmeli, parametrelerden bağımsız olmalıdır. Varyans bilinmediğinde kitle standart sapması yerine örneklem standart sapması (

S

) kullanılır. Bu durumda elde edilen

Q = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

fonksiyonu hesaplanabilirdir ve olasılık dağılımı (n-1 serbestlik dereceli

t

dağılımı) hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı değildir.

Step-by-Step Solution

1

Eksen (pivot) fonksiyonunun temel özelliklerini tanımla.

Eksen fonksiyonu, örneklem değerlerine ve tahmin edilecek parametreye bağlı olmalı; ancak hesaplanmasında başka bir bilinmeyen parametreye ihtiyaç duymamalı ve örneklem dağılımı hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı olmamalıdır.

Doğru fonksiyonu seçmek için yöntemin teorik tanımına ihtiyaç vardır.

2

Kitle varyansı (

\sigma^2

) bilinmediği durum için uygun dönüşümü belirle.

Standartlaştırma işlemi yapılırken bilinmeyen kitle standart sapması (

\sigma

) yerine örneklem standart sapması (

S

) kullanılır.

Eksen fonksiyonunun hesaplanabilir olması için bilinmeyen parametrelerin tahmin edicilerle değiştirilmesi gerekir.

3

Elde edilen istatistiğin örneklem dağılımını tespit et.

Normal dağılımlı bir kitleden alınan örneklemde,

\bar{X}

ve

S

kullanılarak elde edilen

Q = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

istatistiği

n-1

serbestlik dereceli

t

dağılımına uyar.

Güven sınırlarını doğru tablo değerleriyle hesaplayabilmek için kesin dağılımın bilinmesi şarttır.

Key Concept

Eksen (Pivot) Fonksiyonu Tanımı ve Dağılımları

Question 11Question →

Bir belediyenin Çevre Koruma Dairesi uzmanları, bir sanayi bölgesindeki yeraltı sularında bulunan ortalama kurşun konsantrasyonunu ( $\mu$ ) tahmin etmek amacıyla bölgedeki 16 farklı kuyudan rastgele su numuneleri almıştır. Kitle varyansının bilinmediği ve yeraltı sularındaki kurşun konsantrasyonlarının normal dağılım gösterdiği varsayılmaktadır. Uzmanlar tarafından $\mu$ için hesaplanan %95 güven aralığı $(189.345, \, 210.655)$ mikrogram/litre olarak raporlanmıştır.

Buna göre, bu örneklemden elde edilen standart sapma ( $S$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
(Hesaplamalarda $t_{15, 0.025} = 2.131$ ve $Z_{0.025} = 1.96$ tablo değerlerini dikkate alınız.)

5.00

20.00

21.74

40.00

80.00

Show answer & explanation

Answer: $20.00$

Answer

Doğru değer

20.00

mikrogram/litre olmalıdır.

Verilen güven aralığının geometrik merkezinden yola çıkarak hata payı

E = 10.655

olarak bulunur. Kitle varyansının bilinmemesi ve örneklem çapının küçük (

n=16

) olması nedeniyle standart hata,

Z

istatistiği ile değil

t_{n-1}

istatistiği ile çarpılmalıdır.

E = t_{15, 0.025} \times \frac{S}{\sqrt{n}}

denkleminde verilenler yerine yazıldığında

10.655 = 2.131 \times \frac{S}{4}

elde edilir ve denklem çözüldüğünde standart sapma

20.00

olarak doğrulanır.

Step-by-Step Solution

1

Güven aralığının sınırlarından faydalanarak hata payını (

E

) hesapla.

E = (210.655 - 189.345) / 2 = 21.31 / 2 = 10.655

Güven aralığı ortalamanın etrafında simetrik olarak

\bar{x} \pm E

formülü ile oluşturulduğundan, hata payı üst sınır ile alt sınır arasındaki farkın yarısına eşittir.

2

Kitle varyansı bilinmediği için kullanılacak uygun tablo değerini belirle.

n=16 < 30

ve kitle varyansı bilinmediği için

t

dağılımı (

t_{15, 0.025} = 2.131

) seçilmelidir.

Varyansın örneklemden tahmin edildiği durumlarda, test istatistiği standart normal dağılım (

Z

) yerine Student's

t

dağılımına uyar.

3

Hata payı formülünü yazarak örneklem standart sapmasını (

S

) hesapla.

10.655 = 2.131 \times \frac{S}{\sqrt{16}} \Rightarrow 10.655 = 2.131 \times \frac{S}{4} \Rightarrow S = \frac{10.655 \times 4}{2.131} = 20.00

Hata payı formülünde (

E = t \times \frac{S}{\sqrt{n}}

) bilinen tüm değerler yerine konularak, bilinmeyen

S

parametresi yalnız bırakılır.

Key Concept

Tek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı Çıkarımı ve Hata Payı

Question 12Question →

İstatistiksel sonuç çıkarımında iki kitle varyansının oranına ( $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$ ) ilişkin aralık tahmini yapılacaktır.

$X_1, X_2, \ldots, X_{n_1}$ rastgele örneklemi $N(\mu_1, \sigma_1^2)$ dağılımından, $Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n_2}$ rastgele örneklemi ise $N(\mu_2, \sigma_2^2)$ dağılımından birbirinden bağımsız olarak alınmıştır. Kitle ortalamaları ( $\mu_1, \mu_2$ ) bilinmemektedir.

Örneklem varyansları sırasıyla $S_1^2 = \frac{1}{n_1-1} \sum_{i=1}^{n_1} (X_i - \bar{X})^2$ ve $S_2^2 = \frac{1}{n_2-1} \sum_{i=1}^{n_2} (Y_i - \bar{Y})^2$ olarak tanımlandığına göre, bu varyans oranının güven aralığını elde etmek için kullanılması gereken pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2}

\frac{S_1^2}{S_2^2}

\frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}

\frac{S_1^2 / n_1}{S_2^2 / n_2}

\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2} + \frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2}$

Answer

\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2}

istatistiği, aranan parametre oranını elde etmek için kullanılabilecek geçerli pivot fonksiyonudur.

Varyansların oranına yönelik güven aralığı oluşturmak için, hem örneklem varyanslarını (

S_1^2, S_2^2

) hem de ilgili parametreleri (

\sigma_1^2, \sigma_2^2

) içeren ve dağılımı bilinen bir fonksiyona ihtiyaç vardır. Ki-kare dağılımlı bağımsız iki rastgele değişkenin, serbestlik derecelerine bölünüp oranlanmasıyla elde edilen

\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2}

fonksiyonu,

F_{n_1-1, n_2-1}

dağılımına sahiptir. Bu dağılım tamamen bilindiği ve parametre içermediği için geçerli ve uygun eksen (pivot) fonksiyonudur.

Step-by-Step Solution

1

Pivot fonksiyonunun tanımını hatırlamak.

Pivot fonksiyonu, örneklem istatistikleri ve tahmin edilecek parametreyi içeren, ancak olasılık dağılımı hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı olmayan bir fonksiyondur.

Doğru fonksiyonu seçmek için temel koşulları belirlemek.

2

Normal dağılımlı kitlelerden alınan örneklem varyanslarının kitle varyansına oranının dağılımını belirlemek.

Bilinmeyen ortalama durumunda:

\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2} \sim \chi^2_{n_1-1}

ve

\frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2} \sim \chi^2_{n_2-1}

dağılımına sahiptir.

Parametre içermeyen standart bir dağılıma ulaşmak için temel istatistikleri kullanmak.

3

İki bağımsız Ki-kare değişkenini kullanarak varyans oranını (

\sigma_1^2/\sigma_2^2

) yalıtacak bir dağılım oluşturmak.

Bağımsız iki Ki-kare değişkeni kendi serbestlik derecelerine bölünüp oranlandığında F dağılımı elde edilir:

\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} \sim F_{n_1-1, n_2-1}

.

Hem aranan parametre oranını barındıran hem de dağılımı tamamen bilinen bir denklem kurmak.

4

Elde edilen fonksiyonun pivot (eksen) koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.

İlgili oran

S_1^2

,

S_2^2

istatistiklerini ve hedef parametre olan

\sigma_1^2/\sigma_2^2

'yi ters orantılı olarak içermektedir. Dağılımı olan

F_{n_1-1, n_2-1}

ise hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı değildir.

Bulunan ifadenin aralık tahmini amacıyla eşitsizlik içine yerleştirilebilecek geçerli bir pivot olduğunu doğrulamak.

Key Concept

İki Kitle Varyansının Oranı İçin Pivot Fonksiyonu ve F Dağılımı

Question 13Question →

Karayolları Genel Müdürlüğü (KGM), belirli bir güzergahta kullanılan yeni bir asfalt karışımının aşınma süresini (ay cinsinden) incelemektedir. Bu asfalt türünün kitle varyansı bilinmemektedir. Rastgele seçilen $16$ farklı uygulama noktasından elde edilen veriler sonucunda, örneklem ortalaması $120$ ay ve örneklem standart sapması $12$ ay olarak hesaplanmıştır.

Kitle dağılımının yaklaşık normal olduğu varsayımı altında, bu yeni asfalt karışımının gerçek kitle ortalama aşınma süresi ( $\mu$ ) için $\%95$ 'lik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Tablo değerleri: $z_{0.025} = 1.960$ , $t_{15, 0.025} = 2.131$ , $t_{16, 0.025} = 2.120$ )

[114.12, 125.88]

[113.64, 126.36]

[113.61, 126.39]

[94.43, 145.57]

[96.48, 143.52]

Show answer & explanation

Answer: $[113.61, 126.39]$

Answer

Doğru güven aralığı

[113.61, 126.39]

'dur.

Kitle varyansı bilinmediği için

t

-dağılımı kullanılmalıdır. Serbestlik derecesi

n-1 = 15

olduğundan

t_{15, 0.025} = 2.131

değeri kritik değerdir. Standart hata

\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{12}{4} = 3

olarak bulunur. Hata payı

2.131 \times 3 = 6.393

olur ve aralık

120 \pm 6.393

formülünden

[113.61, 126.39]

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen parametreleri ve kitle özelliklerini belirle.

Örneklem hacmi

n = 16

, örneklem ortalaması

\bar{x} = 120

, örneklem standart sapması

s = 12

, kitle varyansı bilinmiyor ve

\alpha = 0.05

.

Kullanılacak olasılık dağılımını ve güven aralığı formülünü seçmek için.

2

Kullanılacak uygun dağılımı ve tablo değerini seç.

Kitle varyansı bilinmediği için

t

-dağılımı kullanılır. Serbestlik derecesi

df = n - 1 = 15

'tir.

\%95

güven düzeyi için çift yönlü

t_{15, 0.025} = 2.131

tablo değeri alınır.

Kitle varyansı bilinmediğinde ve kitle normal dağıldığında ortalama tahmini için Student's t-dağılımı geçerlidir.

3

Standart hata (SE) ve hata payını (ME) hesapla.

SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{12}{\sqrt{16}} = \frac{12}{4} = 3

. Hata payı

ME = 2.131 \times 3 = 6.393

.

Güven aralığının alt ve üst sınırlarını belirlemek amacıyla ortalamaya eklenecek ve çıkarılacak sapma miktarını bulmak için.

4

Güven aralığının sınırlarını oluştur.

Alt sınır:

120 - 6.393 = 113.607

. Üst sınır:

120 + 6.393 = 126.393

. Yuvarlandığında aralık

[113.61, 126.39]

olarak bulunur.

Kitle ortalamasının içinde bulunması beklenen nihai aralığı elde etmek için.

Key Concept

Kitle varyansı bilinmediğinde tek kitle ortalaması için güven aralığı hesabı

Question 14Question →

$X_1, X_2, \ldots, X_n$ rastgele örneklemi, ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan normal dağılımlı bir kitleden çekilmiştir. Kitleye ait $\mu$ ve $\sigma^2$ parametrelerinin her ikisi de bilinmemektedir.

Bu örneklem kullanılarak $\sigma^2$ parametresi için bir güven aralığı oluşturulmak istenmektedir. ( $S^2$ örneklem varyansını, $\bar{X}$ örneklem ortalamasını göstermektedir.)

Buna göre, $\sigma^2$ parametresi için aralık tahmininde kullanılabilecek uygun bir pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\sigma^2}

\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2

\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

\frac{(n-1)S^2}{\sigma}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$

Answer

Dağılımı

\chi^2_{n-1}

olan ve sadece veriler ile hedeflenen

\sigma^2

parametresine bağlı olan

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

fonksiyonudur.

Bir

Q(X, \theta)

fonksiyonunun

\theta

için pivot olabilmesi için iki temel şartı eşzamanlı sağlaması gerekir: Birincisi, ifade sadece örneklem verisi

X

'e ve aralığı bulunacak hedeflenen

\theta

parametresine bağlı olmalıdır (bilinmeyen başka hiçbir rahatsız edici/nuisance parametre içermemelidir). İkincisi,

Q(X, \theta)

'nın örneklemleme dağılımı,

\theta

dahil hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı olmamalı, tamamen bilinen sabit bir dağılım olmalıdır. Doğru seçenekteki

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

fonksiyonu, sadece hesaplanabilen örneklem varyansını (

S^2

) ve hedef parametre

\sigma^2

'yi içerir. Olasılık dağılımı ise serbestlik derecesi

(n-1)

olan Ki-kare (

\chi^2_{n-1}

) dağılımıdır. Bu dağılım

\mu

veya

\sigma^2

'ye bağlı olmayan sabit bir dağılım olduğundan geçerli bir pivot fonksiyonudur.

Step-by-Step Solution

1

Pivot fonksiyonu olabilme şartlarını hatırla.

1) Fonksiyon sadece örneklem verisine ve tahmin edilecek hedeflenen parametreye bağlı olmalı (başka bilinmeyen parametre içermemeli). 2) Fonksiyonun olasılık dağılımı, hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı olmamalı.

Güven aralığı alt ve üst sınırlarını veriye bağlı olarak çözebilmek için bu matematiksel özellikler zorunludur.

2

Tahmin edilecek parametreyi ve bilinen/bilinmeyenleri belirle.

Hedef parametre

\sigma^2

'dir. Verilenlere göre kitle ortalaması

\mu

bilinmemektedir.

Hangi parametreye göre güven aralığı oluşturulacağını bilmek, doğru test istatistiğini seçmek için gereklidir.

3

Normal dağılımdan gelen örneklem varyansı ile kitle varyansı arasındaki ilişkiyi yaz.

Normal kitlede

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

istatistiğinin dağılımı,

(n-1)

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_{n-1}

) dağılımına uyar.

Varyans analizinde standart olarak kullanılan örneklem dağılımı teoremidir.

4

Bulunan istatistiği pivot şartlarına göre test et.

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

fonksiyonu sadece örneklem verisini (

S^2

) ve hedef parametreyi (

\sigma^2

) içerir, bilinmeyen

\mu

'yü içermez. Ayrıca dağılımı olan

\chi^2_{n-1}

, hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı değildir (tamamen bilinen bir dağılımdır).

Her iki pivot şartı da sağlandığı için bu fonksiyon

\sigma^2

için güvenilir bir pivot (eksen) fonksiyonudur.

Key Concept

Pivot (Eksen) Fonksiyonunun Tanımı ve Özellikleri

Estimated Time:1m 0s

Question 15Question →

Bir finansal risk uzmanı, belirli bir varlığın günlük maksimum kayıp oranlarını analiz etmektedir. Yapılan modellemelere göre bu kayıp oranları, $(0, \theta)$ aralığında sürekli düzgün (üniform) dağılıma sahiptir. Uzman, $n$ günlük rastgele bir örneklem almış ve bu örnekleme ait en büyük sıra istatistiğini $X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ olarak belirlemiştir.

Uzman, $\theta$ parametresine yönelik bir güven aralığı tahmininde bulunabilmek için $X_{(n)}$ istatistiğine dayalı bir pivot (eksen) fonksiyonu tanımlamak istemektedir.

Buna göre, aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi $\theta$ parametresi için dağılımı bilinmeyen parametreden tamamen bağımsız olan geçerli bir pivot fonksiyondur?

\frac{X_{(n)}}{\theta}

X_{(n)} - \theta

\frac{X_{(n)}^2}{\theta}

\frac{X_{(n)}}{\sqrt{\theta}}

n(X_{(n)} - \theta)

Show answer & explanation

Answer: $\frac{X_{(n)}}{\theta}$

Answer

\frac{X_{(n)}}{\theta}

ifadesi, sahip olduğu olasılık dağılımı bilinmeyen parametreden (

\theta

) tamamen bağımsız olduğu için geçerli bir pivot fonksiyondur.

Geçerli olan oransal dönüşüm seçeneği doğru cevaptır. Çünkü

X_{(n)}

'in dağılımındaki

\theta^n

paydası, verinin

\theta

'ya bölünmesiyle elde edilen dönüşümde tam olarak sadeleşir. Böylece elde edilen yeni istatistiğin kümülatif dağılımı (

u^n

) sadece örneklem çapı

n

'e bağlı hale gelir ve

\theta

'dan arınmış bir pivot fonksiyon elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Pivot fonksiyonunun kavramsal tanımını hatırlama

Bir fonksiyonun aralık tahmininde pivot olarak kullanılabilmesi için, örneklem değerlerine ve bilinmeyen parametreye bağlı olması, ancak olasılık dağılımının (PDF/CDF) bilinmeyen parametreyi hiçbir şekilde içermemesi gerekir.

Güven aralığı sınırlarını (kritik değerleri) hesaplarken, olasılık eşitliklerinde bilinmeyen bir parametrenin bulunmaması şarttır.

2

En büyük sıra istatistiği

X_{(n)}

'in olasılık dağılımını belirleme

X_i \sim U(0, \theta)

olduğundan,

X_{(n)}

'in kümülatif dağılım fonksiyonu (CDF)

0 < x < \theta

aralığında

F(x) = \left(\frac{x}{\theta}\right)^n

olarak elde edilir.

Seçeneklerdeki aday fonksiyonların dağılımını test edebilmek için öncelikle temel alınan istatistiğin dağılımı bulunmalıdır.

3

Doğru oransal dönüşümü uygulayarak bağımsızlığı test etme

U = \frac{X_{(n)}}{\theta}

dönüşümü yapıldığında, kümülatif dağılım fonksiyonu

P\left(\frac{X_{(n)}}{\theta} \le u\right) = P(X_{(n)} \le u\theta) = \left(\frac{u\theta}{\theta}\right)^n = u^n

(

0 < u < 1

) olarak bulunur.

Elde edilen

u^n

dağılımı

\theta

'dan tamamen arınmıştır. Toplamsal veya farklı kuvvetlerdeki dönüşümler (diğer seçenekler) test edildiğinde

\theta

'nın sadeleşmediği görülür.

Key Concept

Pivot fonksiyonlarının dağılımsal bağımsızlığı ve en büyük sıra istatistiği dönüşümleri

Question 16Question →

Sağlık Bakanlığı'na bağlı bir eğitim ve araştırma hastanesinin acil servisinde, hastaların kayıt masasından triyaj alanına geçiş sürelerinin normal dağılıma uyduğu bilinmektedir. Ancak bu geçiş sürelerine ait kitle varyansı bilinmemektedir.

Rastgele seçilen $n = 9$ hastanın verileri kullanılarak, kitle ortalama geçiş süresi ( $\mu$ ) için %95 güven düzeyinde bir güven aralığı hesaplanmış ve bu güven aralığının uzunluğu $4,612$ dakika olarak bulunmuştur.

Buna göre, bu örneklemden elde edilen örneklem standart sapması ( $S$ ) aşağıdakilerden hangisidir?
(Bilgi: $Z_{0,025} = 1,96$ ; $t_{8; 0,025} = 2,306$ ; $t_{9; 0,025} = 2,262$ ; $t_{8; 0,05} = 1,860$ )

1,00

3,00

3,06

3,53

6,00

Show answer & explanation

Answer: 3,00

Answer

Örneklem standart sapması 3,00 dakikadır.

Kitle varyansının bilinmediği durumlarda güven aralığı T dağılımı kullanılarak oluşturulur. Güven aralığının uzunluğu (

W

), üst sınır ile alt sınır arasındaki farktır ve hata payının iki katına eşittir:

W = 2 \cdot t_{n-1; \alpha/2} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}

. Verilen

W=4,612

,

n=9

ve

\alpha=0,05

değerleri kullanıldığında, serbestlik derecesi

8

olan T tablosu değeri

t_{8; 0,025}=2,306

alınır. Formülde yerine konulduğunda

4,612 = 2 \cdot 2,306 \cdot \frac{S}{3}

eşitliği elde edilir ve buradan

S = 3,00

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Güven aralığı uzunluğu formülünü belirleme

W = 2 \cdot t_{n-1; \alpha/2} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}

Kitle varyansı bilinmediği ve kitle dağılımı normal olduğu için T dağılımına dayalı güven aralığı formülü kullanılır. Aralığın uzunluğu, hata payının iki katıdır.

2

Serbestlik derecesi ve kritik değeri tespit etme

df = 9 - 1 = 8

, güven düzeyi %95 olduğundan

\alpha/2 = 0,025

. İlgili kritik değer:

t_{8; 0,025} = 2,306

T dağılımında serbestlik derecesi örneklem çapının bir eksiğidir (

n-1

) ve iki yönlü güven aralığı için anlamlılık düzeyi ikiye bölünür.

3

Verileri formülde yerine koyma ve denklemi düzenleme

4,612 = 2 \cdot 2,306 \cdot \frac{S}{\sqrt{9}}

\Rightarrow 4,612 = 4,612 \cdot \frac{S}{3}

Örneklem standart sapmasını (

S

) bulabilmek için bilinen tüm değerler denkleme yerleştirilir.

4

Denklemi S için çözme

1 = \frac{S}{3} \Rightarrow S = 3,00

Cebirsel çözüm sonucunda standart sapma değerine ulaşılır.

Key Concept

Kitle varyansı bilinmeyen durumlarda T-dağılımı kullanılarak güven aralığı uzunluğu üzerinden parametre hesabı

Question 17Question →

Bir kamu kurumu, sunulan bir e-devlet hizmetindeki işlem sürelerinin (dakika cinsinden) $f(x;\lambda) = \lambda e^{-\lambda x}, \ (x>0)$ olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip üstel dağılıma uyduğunu modellemektedir. Bu hizmeti kullanan büyük hacimli $n$ kişiden oluşan rastgele bir örneklem için işlem sürelerinin örneklem ortalaması $\bar{x}$ olarak hesaplanmıştır.

Kurum, bir işlemin belirli bir $t_0$ süresinden daha uzun sürme olasılığını ( $p = P(X > t_0)$ ) tahmin etmek istemektedir.

Buna göre, $p$ olasılığı için oluşturulacak yaklaşık $(1-\alpha)$ güven düzeyindeki asimptotik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $z_{\alpha/2}$ , standart normal dağılımın $1-\alpha/2$ olasılıklı kritik değeridir.)

e^{-t_0/\bar{x}} \pm z_{\alpha/2} \frac{e^{-t_0/\bar{x}}}{\bar{x}\sqrt{n}}

e^{-t_0/\bar{x}} \pm t_{n-1, \alpha/2} \frac{t_0 e^{-t_0/\bar{x}}}{\bar{x}\sqrt{n}}

e^{-t_0/\bar{x}} \pm z_{\alpha/2} \frac{t_0^2 e^{-t_0/\bar{x}}}{\bar{x}^2\sqrt{n}}

e^{-t_0/\bar{x}} \pm z_{\alpha/2} \frac{t_0 e^{-t_0/\bar{x}}}{\bar{x}\sqrt{n}}

e^{-t_0/\bar{x}} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{e^{-t_0/\bar{x}}(1 - e^{-t_0/\bar{x}})}{n}}

Show answer & explanation

Answer: $e^{-t_0/\bar{x}} \pm z_{\alpha/2} \frac{t_0 e^{-t_0/\bar{x}}}{\bar{x}\sqrt{n}}$

Answer

Doğru asimptotik güven aralığı, tahmin edicinin Delta metodu ile bulunan standart hatasını ve standart normal dağılımı kullanan

e^{-t_0/\bar{x}} \pm z_{\alpha/2} \frac{t_0 e^{-t_0/\bar{x}}}{\bar{x}\sqrt{n}}

ifadesidir.

Delta metodu kullanılarak

p(\lambda) = e^{-\lambda t_0}

fonksiyonunun asimptotik varyansı hesaplandığında, türevden gelen

-t_0

çarpanı ve

\hat{\lambda}

'nın varyansından gelen

\lambda^2/n

terimi kullanılarak doğru standart hata

\frac{t_0 e^{-t_0/\bar{x}}}{\bar{x}\sqrt{n}}

olarak elde edilir. Büyük örneklem durumunda asimptotik aralıklar daima

z

kritik değeriyle yazıldığından doğru aralık bu elemanları içerir.

Step-by-Step Solution

1

En Çok Olabilirlik (MLE) tahmini ile parametrenin ve istenen olasılığın tahmin edicisini bulmak

Üstel dağılımda

\hat{\lambda} = 1/\bar{x}

elde edilir. MLE'nin değişmezlik özelliği (invariance property) gereği

\hat{p} = P(X > t_0) = e^{-\lambda t_0}

ifadesinin tahmini

\hat{p} = e^{-t_0/\bar{x}}

olur.

Bilinmeyen olasılığı

(p)

örneklem verisinden parametrik olarak asimptotik yolla tahmin edebilmek için.

2

Delta Metodu ile hedef fonksiyonun asimptotik varyansını hesaplamak

Asimptotik özellikleri kullanarak

Var(\hat{p}) \approx [p'(\lambda)]^2 Var(\hat{\lambda})

yazılır. Türev

p'(\lambda) = -t_0 e^{-\lambda t_0}

ve

Var(\hat{\lambda}) = \lambda^2/n

olduğundan,

Var(\hat{p}) \approx (-t_0 e^{-\lambda t_0})^2 \cdot \frac{\lambda^2}{n} = \frac{t_0^2 e^{-2\lambda t_0} \lambda^2}{n}

bulunur.

Non-lineer bir fonksiyonun (olasılık formülünün) varyansını bilinen temel parametre (

\hat{\lambda}

) varyansı üzerinden elde etmek için.

3

Tahmini Standart Hatayı (SE) oluşturmak

Asimptotik varyansın karekökü alınır ve bilinmeyen

\lambda

yerine tahmini

\hat{\lambda} = 1/\bar{x}

yazılır:

SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{t_0^2 e^{-2t_0/\bar{x}} (1/\bar{x})^2}{n}} = \frac{t_0 e^{-t_0/\bar{x}}}{\bar{x}\sqrt{n}}

elde edilir.

Güven aralığında

\pm

sapma (hata) miktarını (standart hata) doğru şekilde belirlemek için.

4

Asimptotik güven aralığı sınırlarını yazmak

Büyük örneklemlerde Merkezi Limit Teoremi gereği

\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot SE(\hat{p})

formülünde yerine konularak aralık tamamlanır.

Asimptotik normallik özelliği, büyük

n

hacimlerinde her zaman standart normal dağılım (

z

) istatistiğini zorunlu kılar.

Key Concept

Delta Metodu ile Asimptotik Varyans ve Büyük Örneklem Güven Aralıkları

Question 18Question →

Bir e-ticaret şirketinde, iki farklı kargo firmasının (A ve B firmaları) teslimat sürelerinin değişkenliği karşılaştırılmak istenmektedir. A firmasından rastgele seçilen $16$ teslimatın sürelerinin örneklem varyansı $s_A^2 = 24$ , B firmasından rastgele seçilen $21$ teslimatın sürelerinin örneklem varyansı ise $s_B^2 = 18$ olarak hesaplanmıştır.

Teslimat sürelerinin her iki firma için de normal dağılıma sahip olduğu varsayımı altında, kitle varyansları oranı $\left( \frac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} \right)$ için $\%90$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

*(Not: $F_{\alpha; \nu_1, \nu_2}$ , serbestlik dereceleri $\nu_1$ ve $\nu_2$ olan F dağılımının sağ kuyruk olasılığını $\alpha$ yapan kritik değeri göstermektedir.)*

\left[ \frac{24}{18} \frac{1}{F_{0.05; 15, 20}}, \frac{24}{18} F_{0.05; 20, 15} \right]

\left[ \frac{24}{18} \frac{1}{F_{0.05; 20, 15}}, \frac{24}{18} F_{0.05; 15, 20} \right]

\left[ \frac{18}{24} \frac{1}{F_{0.05; 15, 20}}, \frac{18}{24} F_{0.05; 20, 15} \right]

\left[ \frac{24}{18} \frac{1}{F_{0.05; 16, 21}}, \frac{24}{18} F_{0.05; 21, 16} \right]

\left[ \frac{24}{18} - z_{0.05} \sqrt{\frac{24}{16} + \frac{18}{21}}, \frac{24}{18} + z_{0.05} \sqrt{\frac{24}{16} + \frac{18}{21}} \right]

Show answer & explanation

Answer: $\left[ \frac{24}{18} \frac{1}{F_{0.05; 15, 20}}, \frac{24}{18} F_{0.05; 20, 15} \right]$

Answer

\left[ \frac{24}{18} \frac{1}{F_{0.05; 15, 20}}, \frac{24}{18} F_{0.05; 20, 15} \right]

aralığını veren seçenektir.

İki bağımsız normal kitleden alınan örneklem varyanslarının oranı, kitle varyansları oranına bölündüğünde

F_{n_A-1, n_B-1}

dağılımına uyar.

\%90

güven düzeyi için her iki kuyrukta

\alpha/2 = 0.05

olasılık bırakılır. Alt sınır için

\nu_1=15

ve

\nu_2=20

serbestlik derecesiyle

1/F_{0.05; 15, 20}

kullanılırken, üst sınırda formülün tersine dönmesi sebebiyle serbestlik dereceleri yer değiştirir ve

F_{0.05; 20, 15}

kullanılır. Bu nedenle doğru aralık

\left[ \frac{24}{18} \frac{1}{F_{0.05; 15, 20}}, \frac{24}{18} F_{0.05; 20, 15} \right]

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen değerleri ve serbestlik derecelerini belirleme.

n_A = 16 \Rightarrow \nu_A = 15

,

s_A^2 = 24

ve

n_B = 21 \Rightarrow \nu_B = 20

,

s_B^2 = 18

. Güven düzeyi

\%90

olduğu için

\alpha = 0.10

ve

\alpha/2 = 0.05

bulunur.

Güven aralığı formülünde kullanılacak parametrelerin tanımlanması gerekir.

2

İki kitle varyansı oranı için güven aralığı formülünü yazma.

Formül:

\left[ \frac{s_A^2}{s_B^2} \frac{1}{F_{\alpha/2; \nu_A, \nu_B}}, \frac{s_A^2}{s_B^2} F_{\alpha/2; \nu_B, \nu_A} \right]

Varyans oranları F dağılımına uyar ve alt sınır için

1/F_{\alpha/2; \nu_A, \nu_B}

, üst sınır için

F_{\alpha/2; \nu_B, \nu_A}

kritik değerleri kullanılır.

3

Değerleri formülde yerine koyma.

\left[ \frac{24}{18} \frac{1}{F_{0.05; 15, 20}}, \frac{24}{18} F_{0.05; 20, 15} \right]

elde edilir.

Belirlenen parametrelerin genel formüle uygulanmasıyla sonuç aralığı hesaplanır.

Key Concept

İki Kitle Varyansları Oranı İçin Güven Aralığı

Question 19Question →

Bir kalite kontrol mühendisi, iki farklı üretim hattından (Hat A ve Hat B) eşit hacimli ( $n_A = n_B = n$ ) rastgele örneklemler çekmiştir. Yapılan inceleme sonucunda, Hat A'dan çekilen örneklemdeki kusurlu ürün oranı $\hat{p}_A = 0,20$ ve Hat B'den çekilen örneklemdeki kusurlu ürün oranı $\hat{p}_B = 0,10$ olarak hesaplanmıştır.

Bu iki üretim hattının genel kusurlu ürün oranları farkı ( $p_A - p_B$ ) için %95 güven düzeyinde oluşturulan güven aralığının uzunluğu $0,098$ birim olduğuna göre, her bir hattan alınan örneklem çapı ( $n$ ) kaçtır?

( $Z_{0,025} = 1,96$ alınız.)

5

10

20

100

400

Show answer & explanation

Answer: 400

Answer

Her bir hattan alınması gereken örneklem çapı 400'dür.

Verilen güven aralığı uzunluğu 0,098 olduğundan, hata payı (E) bunun yarısı olan 0,049'dur. İki oran farkı için standart hata formülünde bilinenler yerine konduğunda denklem

0,049 = 1,96 \times \frac{0,5}{\sqrt{n}}

halini alır. Buradan

\sqrt{n} = 20

ve karesi alındığında

n = 400

bulunur. Doğru seçenek bu değeri göstermektedir.

Step-by-Step Solution

1

Güven aralığı uzunluğundan hata payını (E) elde etme

E = \frac{0,098}{2} = 0,049

Güven aralığı, nokta tahmininin her iki tarafına hata payının eklenip çıkarılmasıyla oluşur. Dolayısıyla aralık uzunluğu, hata payının iki katıdır.

2

İki kitle oranı farkı için standart hata (SE) formülünü yazma

SE = \sqrt{\frac{0,20 \times 0,80}{n} + \frac{0,10 \times 0,90}{n}} = \sqrt{\frac{0,16 + 0,09}{n}} = \sqrt{\frac{0,25}{n}} = \frac{0,5}{\sqrt{n}}

Örneklem çapları eşit (

n_A = n_B = n

) olduğundan formül tek bir

n

bilinmeyeni üzerinden basitleştirilir.

3

Hata payı denklemini kurma

0,049 = 1,96 \times \frac{0,5}{\sqrt{n}}

Hata payı, Z kritik değeri ile standart hatanın çarpımına eşittir (

E = Z_{\alpha/2} \times SE

).

4

Denklemi

n

için çözme

0,049 = \frac{0,98}{\sqrt{n}} \Rightarrow \sqrt{n} = \frac{0,98}{0,049} = 20 \Rightarrow n = 400

Karekök ifadesini yalnız bırakıp her iki tarafın karesi alınarak aranan örneklem çapına ulaşılır.

Key Concept

İki kitle oranları farkı için güven aralığı uzunluğu ve örneklem çapı hesabı

Alternative Method

Örneklem çapını veren hazır

n = \left( \frac{Z_{\alpha/2} \sqrt{\hat{p}_A(1-\hat{p}_A) + \hat{p}_B(1-\hat{p}_B)}}{E} \right)^2

formülü doğrudan kullanılarak da çözüme ulaşılabilir. Burada en önemli detay paydadaki E'nin (hata payı) aralık uzunluğunun yarısı olduğunu fark etmektir.

Estimated Time:2m 30s

Question 20Question →

İki bağımsız kitle varyansı oranı $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$ için $\%90$ güven düzeyinde hesaplanan aralık tahmininin sınırları $[L, U]$ şeklindedir.

Bu tahmin için birinci kitleden $n_1 = 13$ , ikinci kitleden ise $n_2 = 16$ hacimli rastgele örneklemler alınmıştır. Elde edilen güven aralığının alt sınırı $L = 0,60$ olarak bulunmuştur.

Buna göre, bu güven aralığının üst sınırı ( $U$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

*(Hesaplamalarda $F_{0,05; 12, 15} = 2,48$ ve $F_{0,05; 15, 12} = 2,62$ değerlerini kullanınız.)*

3,90

4,12

3,69

1,57

0,63

Show answer & explanation

Answer: 3,90

Answer

Hesaplanan güven aralığının üst sınırı 3,90'dır.

İki kitle varyansı oranı (

\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}

) için güven aralığı formülleri

L = \frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot \frac{1}{F_{\alpha/2; n_1-1, n_2-1}}

ve

U = \frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot F_{\alpha/2; n_2-1, n_1-1}

şeklindedir. Verilen

L=0,60

değerinden yola çıkarak

\frac{S_1^2}{S_2^2} = 0,60 \times 2,48 = 1,488

olarak bulunur. Bulunan bu oran üst sınır formülünde yerine yazıldığında, serbestlik derecelerinin yer değiştirdiğine dikkat edilerek

U = 1,488 \times 2,62 = 3,89856

işlemiyle yaklaşık 3,90 değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Varyans oranı için güven aralığının alt sınır (

L

) formülünü yazarak örneklem varyansları oranını (

\frac{S_1^2}{S_2^2}

) formülde yalnız bırakmak.

L = \frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot \frac{1}{F_{\alpha/2; n_1-1, n_2-1}}

formülüne ulaşılır.

Üst sınırı hesaplayabilmek için öncelikle örneklem verilerinden elde edilen varyans oranının bulunması gerekir.

2

Verilen

L = 0,60

ve

F_{0,05; 12, 15} = 2,48

değerlerini alt sınır formülünde yerine koyarak

\frac{S_1^2}{S_2^2}

değerini hesaplamak.

0,60 = \frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot \frac{1}{2,48} \implies \frac{S_1^2}{S_2^2} = 0,60 \times 2,48 = 1,488

bulunur.

Birinci örneklemin varyansının ikinci örneklemin varyansına oranı, üst sınır formülünün temel bileşenidir.

3

Varyans oranı için güven aralığının üst sınır (

U

) formülünü yazmak.

U = \frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot F_{\alpha/2; n_2-1, n_1-1}

formülüne ulaşılır.

Üst sınır hesaplanırken F dağılımının serbestlik derecelerinin pay ve payda için yer değiştirdiği (inversiyon özelliği) dikkate alınmalıdır.

4

Hesaplanan örneklem varyansları oranını ve ilgili F kritik değerini (

F_{0,05; 15, 12} = 2,62

) üst sınır formülünde yerine koyarak

U

değerini hesaplamak.

U = 1,488 \times 2,62 = 3,89856 \approx 3,90

elde edilir.

Tüm parametreler formüldeki doğru yerlerine yerleştirildiğinde aranan üst sınır kesin olarak bulunur.

Key Concept

İki kitle varyansı oranı için güven aralığı hesaplamasında alt ve üst sınır formüllerinin matematiksel bağıntısı ve F-dağılımı serbestlik derecelerinin inversiyon (tersinirlik) özelliğinin doğru kullanımı.

Aralık Tahmini

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution