Hipotez Testleri Practice Questions — KPSS İstatistik — Page 3

Question 41Question →

Bir sinyal işleme uzmanı, radar sisteminden elde edilen gürültü genliklerinin $x > 0$ ve $\theta > 0$ olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip Rayleigh dağılımına uygun olduğunu değerlendirmektedir:

f(x; \theta) = \frac{x}{\theta^2} e^{-\frac{x^2}{2\theta^2}}

$n$ birimlik bir rastgele örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ kullanılarak $H_0: \theta = \theta_0$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \theta = \theta_1$ (burada $\theta_1 > \theta_0$ dır) alternatif hipotezini test etmek için Neyman-Pearson Lemması'na göre elde edilen en güçlü (MP) testin red bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^n x_i^2 \geq c

\sum_{i=1}^n x_i^2 \leq c

\sum_{i=1}^n x_i \geq c

\prod_{i=1}^n x_i \leq c

\sum_{i=1}^n \ln(x_i) \geq c

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^n x_i^2 \geq c$

Answer

En güçlü (MP) testin red bölgesi

\sum_{i=1}^n x_i^2 \geq c

şeklindedir.

Neyman-Pearson Lemması uyarınca, olabilirlik oranı

\frac{L(\theta_0)}{L(\theta_1)}

hesaplandığında, üstel terimde

\sum x_i^2

ifadesinin katsayısı

-\frac{1}{2}(\frac{1}{\theta_0^2} - \frac{1}{\theta_1^2})

olarak bulunur.

\theta_1 > \theta_0

olduğunda

\frac{1}{\theta_0^2} > \frac{1}{\theta_1^2}

olur, dolayısıyla parantez içi pozitif, katsayının tamamı ise negatiftir. Bu negatif katsayı nedeniyle eşitsizlik yön değiştirir ve red bölgesi 'büyüktür' formuna (

\geq c

) dönüşür.

Step-by-Step Solution

1

Rayleigh dağılımı için

n

birimlik örneklemin olabilirlik fonksiyonunu yazın.

L(\theta) = \frac{\prod_{i=1}^n x_i}{\theta^{2n}} \exp\left(-\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{2\theta^2}\right)

Neyman-Pearson testi,

H_0

ve

H_1

altındaki olabilirlik fonksiyonlarının oranına dayanır.

2

Olabilirlik oranını

\Lambda = \frac{L(\theta_0)}{L(\theta_1)} \leq k

olarak kurun.

\frac{\theta_1^{2n}}{\theta_0^{2n}} \exp\left( -\frac{\sum x_i^2}{2} [\frac{1}{\theta_0^2} - \frac{1}{\theta_1^2}] \right) \leq k

En güçlü testin kritik bölgesi bu oran üzerinden tanımlanır.

3

Sabitleri sağ tarafa toplayın ve logaritma alarak test istatistiğini yalnız bırakın.

-\frac{1}{2} (\frac{1}{\theta_0^2} - \frac{1}{\theta_1^2}) \sum x_i^2 \leq \ln(k')

Üstel ifadeden kurtulmak ve sadece gözlemlere bağlı olan kısmı bulmak için logaritma kullanılır.

4

\theta_1 > \theta_0

bilgisini kullanarak katsayının işaretini kontrol edin ve eşitsizliği düzenleyin.

\sum x_i^2 \geq c

(çünkü

-\frac{1}{2}(\frac{1}{\theta_0^2} - \frac{1}{\theta_1^2})

değeri negatiftir).

Negatif bir sayıya bölmek eşitsizliğin yönünü değiştirir.

Key Concept

Neyman-Pearson Lemması ve Olabilirlik Oranı Testi

Alternative Method

Alternatif olarak, Rayleigh dağılımının

Y = X^2

dönüşümü ile üstel dağılıma (

\lambda = 1/2\theta^2

) dönüştüğü hatırlanabilir. Üstel dağılımda

\lambda

parametresi için MP testinin yönü biliniyorsa, oradan da sonuca gidilebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 42Question →

Bir araştırmacı, başarı olasılığı $\theta$ olan bir Bernoulli dağılımından $n$ birimlik bağımsız ve tesadüfi bir örneklem seçmiştir. $H_0: \theta \leq \theta_0$ hipotezine karşı $H_1: \theta > \theta_0$ alternatif hipotezinin test edilmesi planlanmaktadır.

Düzgün En Güçlü (UMP) test teorisi çerçevesinde, bu test süreciyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Bernoulli dağılımı üstel aileye mensuptur ve

\sum X_i

yeterli istatistiğine göre Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğine sahiptir.

Karlin-Rubin teoremi uyarınca, bu tek yönlü hipotez kurgusu için bir UMP testi mevcuttur.

UMP testinin kritik bölgesi,

k

bir sabit olmak üzere

\sum X_i > k

formundadır.

Eğer alternatif hipotez

H_1: \theta \neq \theta_0

şeklinde çift yönlü olsaydı, MLR özelliği sayesinde her zaman bir UMP testi inşa edilebilirdi.

Basit bir hipotezin basit bir alternatif hipoteze karşı (

H_0: \theta = \theta_0

vs

H_1: \theta = \theta_1

) testinde en güçlü test, Neyman-Pearson Lemması ile belirlenir.

Show answer & explanation

Answer: Eğer alternatif hipotez $H_1: \theta \neq \theta_0$ şeklinde çift yönlü olsaydı, MLR özelliği sayesinde her zaman bir UMP testi inşa edilebilirdi.

Answer

Çift yönlü alternatif hipotezler için her zaman bir UMP testi inşa edilebileceğini savunan ifade yanlıştır.

Çift yönlü alternatif hipotez kurgusunda (

H_1: \theta \neq \theta_0

), parametrenin

\theta_0

'dan büyük olduğu değerler için en güçlü olan test ile

\theta_0

'dan küçük olduğu değerler için en güçlü olan test farklılık gösterir. Bu iki farklı yönü aynı anda tüm

\theta \neq \theta_0

değerleri için en güçlü şekilde test eden tek bir 'düzgün' test (UMP) çoğu dağılımda (Bernoulli dahil) mevcut değildir. MLR özelliği sadece tek yönlü hipotezlerde UMP garantisi sağlar.

Step-by-Step Solution

1

Bernoulli dağılımının üstel aileye uygunluğunu kontrol etme

f(x; \theta) = \theta^x(1-\theta)^{1-x} = (1-\theta) \exp(x \ln(\theta/(1-\theta)))

Üstel aile yapısı MLR özelliği için bir ön koşuldur.

2

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğini belirleme

w(\theta) = \ln(\theta/(1-\theta))

fonksiyonu

\theta

arttıkça artar.

MLR özelliğinin yönü, red bölgesinin hangi tarafta olacağını belirler.

3

Tek yönlü hipotez için Karlin-Rubin Teoremini uygulama

H_1: \theta > \theta_0

için

\sum X_i > k

şeklinde bir UMP testi mevcuttur.

Teorem, MLR varlığında tek yönlü en güçlü testin yapısını verir.

4

Çift yönlü hipotez durumunu analiz etme

H_1: \theta \neq \theta_0

için hem sağ hem sol sapmaları aynı anda en güçlü şekilde yakalayan tek bir test yoktur.

Çift yönlü alternatiflerde her iki yönde de 'en güçlü' olma şartı genellikle sağlanamaz (UMP yoktur).

Key Concept

UMP testlerin varlığı ve Karlin-Rubin Teoremi

Hints

1

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğinin hangi tip hipotezler için UMP testi garanti ettiğini hatırlayın.

2

Karlin-Rubin teoremi tek yönlü (

\theta > \theta_0

veya

\theta < \theta_0

) alternatifler için geçerlidir.

3

Çift yönlü hipotezlerde (

H_1: \theta \neq \theta_0

) hem alt hem üst sapmaları aynı anda en güçlü şekilde yakalayacak tek bir 'düzgün' testin neden bulunamayacağını düşünün.

Practice More

İlişkili bir konu olarak 'Düzgün En Güçlü Yansız (UMPU) Testler' kavramını araştırarak çift yönlü durumlarda kısıtlamalarla nasıl çözüm üretildiğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 43Question →

$X$ rassal değişkeni $(0, 1)$ aralığında $f(x; \theta) = \theta x^{\theta-1}$ olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir. $\theta$ parametresi için kurulan $H_0: \theta = 1$ yokluk hipotezi, $H_1: \theta = 3$ alternatif hipotezine karşı test edilmektedir. Red bölgesi $C = \{x: x > 0,8\}$ olarak belirlendiğine göre, bu test için II. Tip hata ( $\beta$ ) olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

0,200

0,800

0,512

0,488

0,640

Show answer & explanation

Answer: 0,512

Answer

II. Tip hata olasılığı (

\beta

),

H_1

hipotezi doğruyken test istatistiğinin kabul bölgesine düşme olasılığıdır ve değeri 0,512'dir.

II. Tip hata (

\beta

),

H_1: \theta = 3

hipotezi doğruyken gözlemin red bölgesi dışında kalması (

x \leq 0,8

) olasılığıdır.

3x^2

fonksiyonunun 0 ile 0,8 arasındaki integrali hesaplandığında

0,8^3 = 0,512

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

H_1

hipotezi altındaki olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirle.

f(x; \theta=3) = 3x^2

,

0 < x < 1

.

II. Tip hata hesaplaması her zaman alternatif hipotezin dağılımı üzerinden yapılır.

2

Kabul bölgesini (

C^c

) tanımla.

Red bölgesi

x > 0,8

ise kabul bölgesi

x \leq 0,8

aralığıdır.

II. Tip hata,

H_1

geçerliyken reddetme kuralının dışındaki alanda kalma olasılığıdır.

3

\beta

olasılığı için integral işlemini gerçekleştir.

\beta = \int_{0}^{0,8} 3x^2 dx = [x^3]_{0}^{0,8} = 0,8^3 = 0,512

.

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun ilgili aralıktaki integrali bize o olayın gerçekleşme olasılığını verir.

Key Concept

II. Tip Hata (

\beta

), alternatif hipotez (

H_1

) doğru olduğu halde yokluk hipotezinin (

H_0

) reddedilememesi durumudur.

Estimated Time:1m 30s

Question 44Question →

Ortalaması $0$ ve varyansı $\sigma^2 > 0$ olan normal dağılımdan alınan $n$ birimlik bağımsız ve tesadüfi bir örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ olsun. $H_0: \sigma^2 \leq \sigma_0^2$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2$ alternatif hipotezi test edilmek istenmektedir. Buna göre, bu hipotez testi için $\alpha$ anlamlılık düzeyindeki düzgün en güçlü (UMP) testin kritik bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^n X_i^2 > c

\sum_{i=1}^n X_i^2 < c

\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 > c

\sum_{i=1}^n X_i > c

\prod_{i=1}^n X_i > c

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^n X_i^2 > c$

Answer

Düzgün en güçlü (UMP) testin kritik bölgesi, gözlemlerin kareleri toplamının kritik bir değerden büyük olduğu durumu ifade eden

\sum_{i=1}^n X_i^2 > c

şeklindedir.

Verilen normal dağılım

N(0, \sigma^2)

formunda olup, varyans parametresi

\sigma^2

için yeterli istatistik

\sum X_i^2

olarak bulunur. Bu dağılım, söz konusu istatistik cinsinden Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğine sahiptir. Karlin-Rubin teoremi gereği, tek yönlü üst alternatif hipotez (

H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2

) için UMP testin kritik bölgesi, yeterli istatistiğin büyük değerlerinden oluşur.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik fonksiyonunu yazın.

L(\sigma^2) = (2\pi\sigma^2)^{-n/2} \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n X_i^2\right)

UMP testi belirlemek için öncelikle örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olan olabilirlik fonksiyonu belirlenmelidir.

2

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğini kontrol edin.

Dağılım

T(X) = \sum X_i^2

istatistiğine göre monoton artan bir olabilirlik oranına sahiptir.

Normal dağılım üstel aileye aittir.

\sigma^2

arttıkça üstel terimdeki katsayı (

-1/2\sigma^2

) arttığı için MLR özelliği sağlanır.

3

Karlin-Rubin Teoremi'ni uygulayın.

H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2

için red bölgesi

T(X) > c

şeklindedir.

Teorem uyarınca, MLR özelliğine sahip bir istatistik için tek yönlü sağ kuyruk hipotezinde UMP test, istatistiğin büyük değerlerinde H0'ı reddeder.

Key Concept

Karlin-Rubin Teoremi ve Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Hints

1

Normal dağılımın olabilirlik fonksiyonunda varyans parametresi ile doğrudan ilişkili olan terimi belirleyin.

2

Karlin-Rubin Teoremi'ni hatırlayın: Eğer dağılım bir

T(X)

istatistiğine göre MLR özelliğine sahipse,

H_1: \theta > \theta_0

için red bölgesi

T(X) > c

olur.

3

Ortalaması 0 olan normal dağılımda,

\sigma^2

parametresi için yeterli istatistik gözlemlerin kareleri toplamıdır.

Practice More

Eğer alternatif hipotez çift yönlü (

H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2

) olsaydı, neden bir UMP test bulunamayacağını tartışın.

Estimated Time:1m 30s

Question 45Question →

Bir elektronik bileşenin ömrünün ( $X$ ), $\lambda$ parametreli üstel dağılıma ( $f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}, x > 0$ ) uygun olduğu bilinmektedir. $\lambda$ parametresi hakkında kurulan $H_0: \lambda = 1$ yokluk hipotezine karşılık $H_1: \lambda = 2$ alternatif hipotezini test etmek amacıyla; rastgele seçilen bir bileşenin ömrünün $0,5$ birimden kısa olması ( $x < 0,5$ ) durumunda $H_0$ hipotezinin reddedilmesine karar verilmiştir. Buna göre, bu testin gücü aşağıdakilerden hangisidir? ( $e^{-1} \approx 0,37$ ve $e^{-0,5} \approx 0,61$ alınız.)

0,63

0,39

0,37

0,61

0,40

Show answer & explanation

Answer: 0,63

Answer

Testin gücü, alternatif hipotez (

\lambda = 2

) altında hesaplanan

1 - e^{-1} = 0,63

değeridir.

Testin gücü, alternatif hipotez (

H_1: \lambda = 2

) geçerliyken testin yokluk hipotezini (

H_0

) reddetme olasılığıdır. Yapılan integral hesabı sonucunda

1 - e^{-1}

ifadesine ulaşılır ve verilen

e^{-1} \approx 0,37

değeri yerine konulduğunda

0,63

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Güç fonksiyonu tanımını belirle.

\gamma(\lambda) = P(X < 0,5 | \lambda)

Testin gücü veya güç fonksiyonu, parametrenin verilen bir değeri için red bölgesine (

X < 0,5

) düşme olasılığıdır.

2

Üstel dağılım için olasılık hesapla.

\gamma(\lambda) = \int_{0}^{0,5} \lambda e^{-\lambda x} dx = [-e^{-\lambda x}]_0^{0,5} = 1 - e^{-0,5\lambda}

Belirli integral kullanılarak birikimli dağılım fonksiyonu yardımıyla olasılık ifadesi genel formda elde edilir.

3

Alternatif hipotez değerini (

\lambda = 2

) yerine koyarak gücü hesapla.

\gamma(2) = 1 - e^{-0,5(2)} = 1 - e^{-1}

Testin gücü,

H_1

hipotezinde belirtilen parametre değeri (

\lambda = 2

) için hesaplanmalıdır.

4

Sayısal değeri hesapla.

1 - 0,37 = 0,63

Verilen yaklaşıklık değeri kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Güç Fonksiyonu ve Testin Gücü

Alternative Method

Üstel dağılımın birikimli dağılım fonksiyonu

F(x) = 1 - e^{-\lambda x}

olduğu bilinirse, direkt

F(0,5; \lambda=2)

hesaplanarak integrale gerek kalmadan sonuca ulaşılabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 46Question →

Bir kamu araştırma kurumunda çalışan istatistikçi, yeni bir tarımsal destek paketinin birim alandaki verimlilik üzerindeki etkisini incelemek amacıyla bir hipotez testi kurgulamıştır. Bu çalışmada sıfır hipotezi ( $H_0$ ), desteğin verimlilik üzerinde bir etkisi olmadığını; alternatif hipotez ( $H_1$ ) ise verimliliğin anlamlı düzeyde arttığını savunmaktadır. İstatistikçi, örneklem verilerini toplamadan önce anlamlılık düzeyini ( $\alpha$ ) 0,05 olarak belirlemiştir.

Bu hipotez testi süreci ve temel kavramlar ile ilgili aşağıda verilen ifadelerden hangisi doğrudur?

Anlamlılık düzeyi (

\alpha

) sabit tutulurken örneklem hacminin (

n

) artırılması, II. tip hata olasılığını (

\beta

) azaltarak testin gücünü (

1-\beta

) artırır.

Hesaplanan p-değeri, sıfır hipotezinin (

H_0

) doğru olma olasılığını gösterdiğinden; p-değeri 0,05'ten küçük çıktığında

H_0

'ın doğru olma ihtimali çok düşüktür.

I. tip hata (

\alpha

), alternatif hipotez (

H_1

) gerçekte doğruyken sıfır hipotezinin (

H_0

) reddedilememesi durumunda ortaya çıkan hatadır.

Anlamlılık düzeyi (

\alpha

) 0,05'ten 0,01'e düşürüldüğünde, II. tip hata olasılığı (

\beta

) da buna bağlı olarak azalır ve test daha güçlü hale gelir.

Testin gücü (

1-\beta

), sıfır hipotezi (

H_0

) gerçekte doğruyken araştırmacının bu hipotezi reddetme olasılığını ölçen bir performas kriteridir.

Show answer & explanation

Answer: Anlamlılık düzeyi ( $\alpha$ ) sabit tutulurken örneklem hacminin ( $n$ ) artırılması, II. tip hata olasılığını ( $\beta$ ) azaltarak testin gücünü ( $1-\beta$ ) artırır.

Answer

Anlamlılık düzeyi sabit tutulurken örneklem hacminin artırılması, II. tip hata olasılığını azaltarak testin gücünü artırır.

İstatistiksel testlerde örneklem büyüklüğü (

n

) artırıldığında, test istatistiğinin standart hatası azalır. Bu durum, sıfır hipotezi (

H_0

) ve alternatif hipotez (

H_1

) altındaki dağılımların daha dar (daha az yayılmış) olmasını sağlar ve örtüşen alanı azaltır. Sonuç olarak, anlamlılık düzeyi (

\\alpha

) sabit kalsa bile, II. tip hata (

\\beta

) yapma olasılığı azalır ve dolayısıyla testin gücü (

1-\\beta

) artar.

Step-by-Step Solution

1

Hata türlerini ve testin gücünü tanımla.

I. Tip Hata (

\alpha

):

H_0

doğruyken reddetmek. II. Tip Hata (

\beta

):

H_0

yanlışken reddedememek. Güç (

1-\beta

):

H_0

yanlışken reddetmek.

Karar verme sürecindeki hata olasılıklarını anlamak için temel tanımlar gereklidir.

2

Örneklem hacmi ile güç arasındaki ilişkiyi analiz et.

\\alpha

sabitken

n

artarsa, test istatistiğinin varyansı küçülür, bu da

\\beta

olasılığını düşürür ve

1-\\beta

değerini yükseltir.

Daha fazla veri, parametre hakkında daha kesin bilgi sağlayarak testin ayrıştırma yeteneğini artırır.

3

Anlamlılık düzeyi (

\alpha

) ve güç arasındaki ilişkiyi değerlendir.

\\alpha

küçültülürse (kritik değer uçlara kaydırılırsa),

H_0

bölgesinde kalma olasılığı (kabulleniş) artacağı için

\\beta

artar, güç azalır.

Hatalar arasındaki ters yönlü takas (trade-off) ilişkisini doğrulamak için gereklidir.

Key Concept

Örneklem hacmi ve anlamlılık düzeyi ile II. Tip hata (beta) ve testin gücü arasındaki dinamik ilişkiler.

Question 47Question →

Bir $X$ rassal değişkeninin $[0, \theta]$ aralığında düzgün dağılıma ( $U(0, \theta)$ ) sahip olduğu bilinmektedir. $\theta$ parametresi hakkında kurulan $H_0: \theta = 2$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \theta = 4$ alternatif hipotezi, tek bir gözlem ( $n=1$ ) kullanılarak $C = \{x : x > 1,6\}$ kritik bölgesi (red bölgesi) ile test edilmektedir. Buna göre, bu testin gücü kaçtır?

0,60

0,40

0,20

0,80

0,50

Show answer & explanation

Answer: 0,60

Answer

Testin gücü 0,60 olarak hesaplanır.

Testin gücü, alternatif parametre değeri (

\theta = 4

) altında gözlemin red bölgesine (

x > 1,6

) düşme olasılığıdır.

U(0, 4)

dağılımı için bu olasılık

(4 - 1,6) / 4 = 0,60

değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1

Testin gücü tanımını belirleme

Güç

= P(X \in C \mid H_1 \text{ doğrudur}) = P(X > 1,6 \mid \theta = 4)

Güç, alternatif hipotez altında reddetme olasılığıdır.

2

Alternatif hipotez altındaki olasılık yoğunluk fonksiyonunu (oyf) yazma

f(x; \theta=4) = \frac{1}{4}, \quad 0 < x < 4

Düzgün dağılımda oyf,

1 / (üst \, sınır - alt \, sınır)

şeklindedir.

3

Olasılık hesaplamasını yapma

P(X > 1,6) = \int_{1,6}^{4} \frac{1}{4} dx = \left[ \frac{x}{4} \right]_{1,6}^{4} = \frac{4 - 1,6}{4} = \frac{2,4}{4} = 0,60

Sürekli dağılımda olasılık, ilgili aralıkta yoğunluk fonksiyonunun integrali alınarak bulunur.

Key Concept

Güç fonksiyonu, bir istatistiksel testin yanlış olan bir yokluk hipotezini reddetme yeteneğini ölçer.

Practice More

Örneklem çapı

n=2

olsaydı ve red bölgesi örneklem ortalamasına (

\bar{X}

) dayalı kurulsaydı testin gücünün nasıl değişeceğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 48Question →

Bir üretim bandından rastgele seçilen $2$ adet ürünün kalite kontrolü yapılmaktadır. Ürünlerin kusurlu olma olasılığı $p$ ile gösterilmek üzere, hipotezler $H_0: p = 0,4$ ve $H_1: p = 0,6$ şeklinde belirlenmiştir. Araştırmacı, seçilen her iki ürünün de kusurlu çıkması durumunda $H_0$ hipotezini reddetmeye karar vermiştir. Buna göre, bu testin anlamlılık düzeyi ( $\alpha$ ) ve testin gücü ( $1 - \beta$ ) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

0,16

ve

0,36

0,16

ve

0,64

0,36

ve

0,16

0,40

ve

0,60

0,64

ve

0,36

Show answer & explanation

Answer: $0,16$ ve $0,36$

Answer

Anlamlılık düzeyi

0,16

ve testin gücü

0,36

olarak hesaplanan seçenek doğrudur.

Testin anlamlılık düzeyi,

H_0

doğruyken reddetme olasılığıdır. Burada red bölgesi her iki ürünün de kusurlu olması (

0,4 \times 0,4 = 0,16

) olarak verilmiştir. Testin gücü ise

H_1

doğruyken reddetme olasılığıdır, bu da

0,6 \times 0,6 = 0,36

değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1

Anlamlılık düzeyini (

\alpha

) tanımlayın ve hesaplayın.

\alpha = P(X_1=1, X_2=1 | p=0,4) = 0,4 \times 0,4 = 0,16

Anlamlılık düzeyi,

H_0

hipotezi doğruyken onun reddedilme olasılığıdır (I. Tip Hata).

2

II. Tip hata olasılığını (

\beta

) veya doğrudan testin gücünü (

1-\beta

) tanımlayın.

\text{Güç} = P(X_1=1, X_2=1 | p=0,6) = 0,6 \times 0,6 = 0,36

Testin gücü,

H_1

hipotezi doğruyken

H_0

hipotezinin reddedilme olasılığıdır.

Key Concept

I. Tip hata (

\alpha

), doğru olan

H_0

'ın reddedilmesidir; testin gücü (

1-\beta

) ise yanlış olan

H_0

'ın reddedilmesidir.

Question 49Question →

Bir kamu araştırma projesinde incelenen bir sürecin $f(x; \theta) = \theta e^{-\theta x}, x > 0$ olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bir üstel dağılımdan geldiği varsayılmaktadır. $\theta$ parametresi için kurulan $H_0: \theta = 1$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \theta = 2$ alternatif hipotezi, $x \leq 0,5$ ise $H_0$ reddedilir karar kuralı ile test edilmektedir. Buna göre, bu test sürecinde gerçekleşecek II. Tip hata ( $\beta$ ) olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

e^{-1}

1 - e^{-1}

1 - e^{-0,5}

e^{-0,5}

1 - 2e^{-1}

Show answer & explanation

Answer: $e^{-1}$

Answer

Yapılan integral hesabı sonucunda II. Tip hata olasılığı

e^{-1}

olarak bulunur.

Doğru cevap olan ifade, alternatif hipotez (

H_1: \theta = 2

) doğruyken, gözlemin kabul bölgesine (

x > 0,5

) düşme olasılığını tam olarak temsil etmektedir.

\int_{0,5}^{\infty} 2e^{-2x} dx

integralinin sonucu olan

e^{-1}

değeri, bu testin II. Tip hata olasılığıdır.

Step-by-Step Solution

1

II. Tip hatanın (

\beta

) tanımını belirleyin.

\beta = P(H_0 \text{ kabul} | H_1 \text{ doğru})

II. Tip hata, yanlış olan bir yokluk hipotezinin reddedilememesi durumudur.

2

Karar kuralına göre kabul bölgesini tespit edin.

Kabul Bölgesi:

C^c = \{x : x > 0,5\}

Red bölgesi

x \leq 0,5

olarak verildiğinden, bunun tümleyeni kabul bölgesini oluşturur.

3

H_1

hipotezi altındaki olasılık yoğunluk fonksiyonunu kullanarak olasılığı hesaplayın.

\beta = \int_{0,5}^{\infty} 2e^{-2x} dx

H_1: \theta = 2

olduğu için integral bu parametre değeriyle alınmalıdır.

4

İntegrali çözerek sonucu bulun.

[-e^{-2x}]_{0,5}^{\infty} = 0 - (-e^{-2(0,5)}) = e^{-1}

Üstel dağılımın integral kuralları uygulanarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

II. Tip hata (beta), alternatif hipotez (

H_1

) altında test istatistiğinin kabul bölgesine düşme olasılığıdır.

Practice More

Örneklem çapı (

n

) artırıldığında

\alpha

sabit tutulurken

\beta

ve testin gücünün nasıl değişeceğini inceleyiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 50Question →

Bir kalite kontrol sürecinde, bir makinenin ürettiği parçaların kusurlu olma olasılığı $p$ parametresi ile modellenmektedir. Rastgele seçilen $n$ adet parça incelenmiş ve $X_1, X_2, \dots, X_n$ gözlemleri elde edilmiştir ( $X_i \in \{0, 1\}$ ).

$p_1 > p_0$ olduğu bilindiğine göre;
$H_0: p = p_0$
$H_1: p = p_1$

hipotezlerini test etmek için Neyman-Pearson Lemması kullanılarak oluşturulan en güçlü (most powerful) testin red bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^n X_i \geq c

\sum_{i=1}^n X_i \leq c

\sum_{i=1}^n X_i^2 \geq c

\prod_{i=1}^n X_i \geq c

\bar{X} \leq c

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^n X_i \geq c$

Answer

En güçlü red bölgesi, gözlemlerin toplamının belirli bir kritik değerden büyük veya eşit olduğu durum olan

\sum X_i \geq c

şeklindedir.

Neyman-Pearson Lemması'na göre en güçlü test bölgesi

L(H_0)/L(H_1) \leq k

eşitsizliği ile bulunur. Bernoulli dağılımında

p_1 > p_0

olduğunda bu oran

\sum X_i

değerine bağlı olarak azalan bir yapı sergiler. Dolayısıyla oranın küçük bir değerden az olması,

\sum X_i

toplamının kritik bir değerden büyük olmasını gerektirir.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik fonksiyonunu (Likelihood) tanımlayın.

L(p) = p^{\sum x_i} (1-p)^{n-\sum x_i}

Bernoulli dağılımına sahip

n

adet bağımsız gözlemin ortak olasılık fonksiyonu budur.

2

Neyman-Pearson oranını (

L(p_0)/L(p_1)

) kurun.

\Lambda = \frac{p_0^{\sum x_i} (1-p_0)^{n-\sum x_i}}{p_1^{\sum x_i} (1-p_1)^{n-\sum x_i}} = \left[ \frac{p_0(1-p_1)}{p_1(1-p_0)} \right]^{\sum x_i} \left( \frac{1-p_0}{1-p_1} \right)^n

En güçlü testi bulmak için iki olabilirlik fonksiyonunun birbirine oranı incelenir.

3

Oranın monotonluğunu parametre değerlerine göre analiz edin.

p_1 > p_0 \Rightarrow \frac{p_0(1-p_1)}{p_1(1-p_0)} < 1

p_1 > p_0

olduğu için tabandaki değer 1'den küçüktür, bu da fonksiyonun

\sum x_i

değişkenine göre azalan olduğunu gösterir.

4

Red bölgesini

\Lambda \leq k

şartına göre belirleyin.

\Lambda \leq k \Rightarrow \sum X_i \geq c

Azalan bir fonksiyonun belirli bir eşik değerinden küçük olması, bağımsız değişkenin (toplamın) büyük değerler almasıyla mümkündür.

Key Concept

Neyman-Pearson Lemması uyarınca basit hipotezler için en güçlü test, olabilirlik oranının sabit bir değerden küçük olduğu bölgedir.

Alternative Method

Bernoulli dağılımı

p

parametresine göre Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğine sahip bir Üstel Aile üyesidir.

p

arttıkça olabilirlik oranı

\sum X_i

istatistiğine göre monoton olarak arttığından (veya

L(H_0)/L(H_1)

azaldığından), en güçlü testin red bölgesi doğrudan

\sum X_i \geq c

olarak söylenebilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 51Question →

Bir kamu kurumundaki veri giriş uzmanlarının saatlik yaptıkları hata sayısı $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına uymaktadır. $\lambda$ parametresi için $H_0: \lambda = 1$ hipotezine karşı $H_1: \lambda = 2$ alternatif hipotezi test edilmek istenmektedir. Testin kritik bölgesi (red bölgesi) tek bir gözlem ( $n=1$ ) için $X \geq 2$ olarak belirlenmiştir. Buna göre, bu testin gücü aşağıdakilerden hangisidir?

1 - 3e^{-2}

3e^{-2}

1 - 2e^{-1}

1 - 2e^{-2}

1 - e^{-2}

Show answer & explanation

Answer: $1 - 3e^{-2}$

Answer

Testin gücü

1 - 3e^{-2}

olarak hesaplanır.

Testin gücü, alternatif hipotez (

\lambda=2

) geçerliyken test istatistiğinin red bölgesine (

X \geq 2

) düşme olasılığıdır. Poisson dağılımı kurallarına göre bu olasılık

1 - P(X=0) - P(X=1)

şeklinde hesaplanır ve

1 - 3e^{-2}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Testin gücü tanımını belirle.

\text{Güç} = P(X \in \text{Red Bölgesi} \mid H_1 \text{ doğrudur})

Testin gücü, yanlış olan yokluk hipotezinin reddedilme olasılığıdır.

2

Alternatif hipotez (

H_1

) altındaki dağılımı ve parametreyi tanımla.

X \sim \text{Poisson}(\lambda = 2)

Güç hesaplanırken parametrenin alternatif hipotezdeki değeri kullanılır.

3

Red bölgesi olasılığını Poisson formülü ile hesapla.

P(X \geq 2 \mid \lambda=2) = 1 - [P(X=0 \mid \lambda=2) + P(X=1 \mid \lambda=2)]

Toplam olasılığın 1 olmasından yararlanarak tamamlayan olasılık üzerinden hesaplama yapmak daha pratiktir.

4

Olasılık değerlerini yerine koy ve sonucu bul.

1 - [\frac{e^{-2} \cdot 2^0}{0!} + \frac{e^{-2} \cdot 2^1}{1!}] = 1 - [e^{-2} + 2e^{-2}] = 1 - 3e^{-2}

Poisson olasılık kütle fonksiyonu

P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}

formülü uygulanmıştır.

Key Concept

Güç fonksiyonu

\gamma(\theta)

, parametrenin her bir değeri için yokluk hipotezinin reddedilme olasılığını verir. Alternatif hipotezin kapsadığı noktadaki güç fonksiyonu değeri 'testin gücü' olarak adlandırılır.

Alternative Method

Güç fonksiyonu

\gamma(\lambda) = 1 - e^{-\lambda} - \lambda e^{-\lambda}

genel formülü türetildikten sonra

\lambda=2

değeri yerine yazılarak da sonuca gidilebilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 52Question →

Bir elektronik bileşenin ömrü ( $X$ ), biçim parametresi $\alpha = 3$ (biliniyor) ve ölçek parametresi $\theta > 0$ olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bir Gamma dağılımına uymaktadır:

f(x; \theta) = \frac{1}{2\theta^3} x^2 e^{-x/\theta}, \quad x > 0

Bileşenlerin ortalama ömrünün hedeflenen bir $\theta_0$ değerinden daha düşük olup olmadığını test etmek amacıyla $H_0: \theta \geq \theta_0$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \theta < \theta_0$ alternatif hipotezi kurulmuştur. $n$ birimlik bağımsız ve tesadüfi bir örneklem için bu testin düzgün en güçlü (UMP) reddetme bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^n X_i < k

\sum_{i=1}^n X_i > k

\prod_{i=1}^n X_i < k

\sum_{i=1}^n X_i^2 < k

Bu hipotez yapısı için düzgün en güçlü (UMP) test mevcut değildir.

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^n X_i < k$

Answer

Düzgün en güçlü (UMP) reddetme bölgesi, gözlemlerin toplamının belirli bir kritik değerden küçük olduğu

\sum_{i=1}^n X_i < k

bölgesidir.

Gamma dağılımı tek parametreli üstel aileye aittir ve yeterli istatistik olan

T = \sum X_i

üzerinde artan monoton olabilirlik oranına (MLR) sahiptir. Karlin-Rubin Teoremi'ne göre, MLR özelliği sağlandığında sol yönlü alternatif hipotezler (

H_1: \theta < \theta_0

) için UMP testi, yeterli istatistiğin küçük değerlerinin seçildiği

T < k

bölgesinde kurulur.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik fonksiyonunu ve yeterli istatistiği belirlemek

L(\theta) = \frac{1}{(2\theta^3)^n} (\prod x_i)^2 e^{-\sum x_i / \theta}

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca

T = \sum X_i

istatistiğinin

\theta

için yeterli istatistik olduğu görülür.

2

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğini kontrol etmek

\theta_2 > \theta_1

için

\frac{L(\theta_2)}{L(\theta_1)} = (\frac{\theta_1}{\theta_2})^{3n} e^{-(\sum x_i)(\frac{1}{\theta_2} - \frac{1}{\theta_1})}

oranı

T = \sum X_i

değerinin artan bir fonksiyonudur.

\theta_2 > \theta_1

olduğunda

(\frac{1}{\theta_2} - \frac{1}{\theta_1}) < 0

olur, bu da üssün pozitif bir katsayı ile

T

ile çarpılmasına neden olarak oranı monoton artan yapar.

3

Karlin-Rubin teoremini uygulamak

H_1: \theta < \theta_0

için reddetme bölgesi

T < k

şeklindedir.

Oran

T

ile artan olduğundan, parametrenin azaldığı yöndeki (

H_1: \theta < \theta_0

) en güçlü test istatistiğin küçük değerlerini seçer.

Key Concept

Karlin-Rubin Teoremi ve Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Practice More

Benzer bir analizi, varyansı bilinen bir Normal dağılımda kitlenin ortalaması için yaparak reddetme bölgesinin yönünü karşılaştırınız.

Estimated Time:1m 30s

Question 53Question →

Bir kalite kontrol mühendisi, bir üretim hattından rastgele seçilen ürünlerin 'kusurlu' (1) veya 'kusursuz' (0) olma durumlarını $p \in (0, 1)$ parametreli Bernoulli dağılımı ile modellemektedir. Mühendis, $n$ birimlik bir örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) kullanarak kusur oranı üzerine hipotez testi yapacaktır. Buna göre, bu dağılım ailesi için olabilirlik oranının $p$ parametresine göre monoton artan olduğu yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^n X_i

istatistiğine göre monoton artandır.

\sum_{i=1}^n X_i

istatistiğine göre monoton azalandır.

\prod_{i=1}^n X_i

istatistiğine göre monoton artandır.

\max(X_1, \dots, X_n)

istatistiğine göre monoton artandır.

\sum_{i=1}^n X_i^2

istatistiğine göre monoton azalandır.

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^n X_i$ istatistiğine göre monoton artandır.

Answer

Bernoulli dağılımı ailesi, toplam istatistiği olan

\sum X_i

değerine göre monoton artan olabilirlik oranına sahiptir.

Bernoulli dağılımı, yeterli istatistiği

T(X) = \sum X_i

olan bir üstel aile üyesidir.

p_2 > p_1

için olabilirlik oranı

L(p_2)/L(p_1)

yazıldığında,

\sum X_i

teriminin katsayısı olan

\ln[p_2(1-p_1)/p_1(1-p_2)]

değeri pozitif çıkar, bu da oranın toplam istatistiğine göre monoton artan olduğunu gösterir.

Step-by-Step Solution

1

Bernoulli dağılımının olabilirlik fonksiyonunu yazın.

L(p) = \prod_{i=1}^n p^{x_i}(1-p)^{1-x_i} = p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i}

Olabilirlik oranını hesaplamak için önce örneklemin ortak olasılık fonksiyonu belirlenmelidir.

2

p_2 > p_1

durumu için olabilirlik oranını (

R

) hesaplayın.

R = \frac{L(p_2)}{L(p_1)} = \left( \frac{p_2(1-p_1)}{p_1(1-p_2)} \right)^{\sum x_i} \left( \frac{1-p_2}{1-p_1} \right)^n

Monotonluk özelliğini incelemek için iki farklı parametre değeri arasındaki oran yapılandırılır.

3

T = \sum X_i

istatistiğine göre monotonluğu kontrol edin.

p_2 > p_1 \Rightarrow \frac{p_2}{1-p_2} > \frac{p_1}{1-p_1}

olduğundan taban değer

1

'den büyüktür. Bu durumda oran,

T

arttıkça artar.

p/(1-p)

fonksiyonu

(0, 1)

aralığında artan bir fonksiyon olduğu için oranın tabanı pozitiftir ve birden büyüktür.

Key Concept

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) ve Üstel Aileler

Question 54Question →

İstatistiksel hipotez testlerinde, kitlede gerçekte doğru olan bir yokluk hipotezinin ( $H_0$ ) örneklem verilerine dayanarak reddedilmesi durumunda işlenen hata türü aşağıdakilerden hangisidir?

I. Tip Hata

II. Tip Hata

Testin Gücü

Güven Düzeyi

Örnekleme Hatası

Show answer & explanation

Answer: I. Tip Hata

Answer

Gerçekte doğru olan bir yokluk hipotezinin reddedilmesi 'I. Tip Hata' olarak adlandırılır.

I. Tip Hata, yokluk hipotezi (

H_0

) gerçekte doğruyken, test sonucunda bu hipotezin reddedilmesi durumunda işlenen hatadır. Bu hatanın işlenme olasılığına anlamlılık düzeyi (

\alpha

) denir.

Step-by-Step Solution

1

Durumun başlangıç koşullarını belirleyin.

H_0

hipotezinin gerçekte 'doğru' olduğu kabul edilmiştir.

Hata türünü belirlemek için kitledeki gerçek durumun bilinmesi gerekir.

2

Test sonucunda verilen kararı tanımlayın.

H_0

hipotezinin 'reddedildiği' belirtilmiştir.

Hata, gerçek durum ile test sonucunun uyumsuz olması durumunda ortaya çıkar.

3

Hata tanımlarını kullanarak eşleştirme yapın.

Doğru bir hipotezi reddetmek I. Tip Hata'dır.

Tanım gereği, doğru bir hipotezin reddedilme olasılığı

\alpha

(anlamlılık düzeyi) olup bu duruma I. Tip Hata denir.

Key Concept

I. ve II. Tip Hatalar arasındaki temel fark, gerçek durumun ne olduğu ve hangi kararın verildiği ile ilgilidir.

Question 55Question →

Bir araştırma kapsamında incelenen ve $\theta > 0$ parametreli üstel dağılıma ( $f(x; \theta) = \theta e^{-\theta x}, \quad x > 0$ ) sahip olan bir kitle üzerinden $X$ şeklinde tek bir gözlem yapılmıştır. $H_0: \theta = \theta_0$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \theta = \theta_1$ (burada $\theta_1 > \theta_0$ ) alternatif hipotezini test etmek amacıyla Neyman-Pearson Lemması kullanılarak oluşturulan en güçlü (MP) testin red bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

x \leq c

x \geq c

e^x \geq c

x = c

x^2 \leq c

Show answer & explanation

Answer: $x \leq c$

Answer

En güçlü testin red bölgesi

x \leq c

formundadır.

Neyman-Pearson Lemması'na göre en güçlü test,

\frac{L(\theta_0)}{L(\theta_1)} \leq k

şartını sağlayan bölgedir. Üstel dağılım için bu oran

\frac{\theta_0}{\theta_1} e^{(\theta_1 - \theta_0)x} \leq k

halini alır.

\theta_1 > \theta_0

olduğu için

(\theta_1 - \theta_0)

pozitiftir ve logaritma alındığında

x

değişkeninin yönü 'küçüktür' (

x \leq c

) şeklinde kalır. Sezgisel olarak, büyük bir

\theta

parametresi daha küçük gözlem değerleri üretme eğilimindedir, bu yüzden küçük değerler alternatif hipotezi işaret eder.

Step-by-Step Solution

1

Yokluk ve alternatif hipotezler altında olabilirlik fonksiyonlarını yazın.

L(\theta_0) = \theta_0 e^{-\theta_0 x}

ve

L(\theta_1) = \theta_1 e^{-\theta_1 x}

Neyman-Pearson Lemması olabilirlik oranının kullanılmasını gerektirir.

2

Olabilirlik oranını (

k

sabitine göre) oluşturun.

\frac{L(\theta_0)}{L(\theta_1)} = \frac{\theta_0 e^{-\theta_0 x}}{\theta_1 e^{-\theta_1 x}} \leq k

En güçlü testin kritik bölgesi bu oranın belirli bir eşik değerinden küçük olduğu bölgedir.

3

Eşitsizliği

x

değişkeni için sadeleştirin.

\frac{\theta_0}{\theta_1} e^{(\theta_1 - \theta_0)x} \leq k \Rightarrow e^{(\theta_1 - \theta_0)x} \leq k' \Rightarrow (\theta_1 - \theta_0)x \leq \ln(k')

Üstel ifadeleri sadeleştirmek için her iki tarafın logaritması alınır.

4

\theta_1 > \theta_0

bilgisini kullanarak nihai yönü belirleyin.

x \leq \frac{\ln(k')}{\theta_1 - \theta_0} = c

\theta_1 - \theta_0 > 0

olduğu için eşitsizlik yön değiştirmez.

Key Concept

Neyman-Pearson Lemması'na göre basit hipotezler için en güçlü test, olabilirlik oranının (

L(H_0)/L(H_1)

) bir eşik değerinden küçük olduğu bölgeyi esas alır.

Hints

1

Neyman-Pearson Lemması'nın temel formülü olan

\frac{L(\theta_0)}{L(\theta_1)} \leq k

yapısını hatırlayın.

2

Üstel dağılımın beklenen değerinin

1/\theta

olduğunu düşünün. Eğer alternatif hipotezdeki

\theta

daha büyükse, beklenen değer hakkında ne söylenebilir?

3

Olabilirlik oranını yazdıktan sonra her iki tarafın doğal logaritmasını (ln) alarak

x

değerini yalnız bırakın ve

\theta_1 - \theta_0

farkının işaretine dikkat edin.

Practice More

Aynı soruyu

\theta_1 < \theta_0

durumu için çözerek red bölgesinin yönünün nasıl değiştiğini gözlemleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 56Question →

Bir kamu bankasında görevli müfettişler, kredi başvurularındaki hatalı bildirimlerin parasal tutarlarını analiz etmektedir. Bu tutarların $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ dağılımına sahip olduğu ve varyansın $\sigma^2 = 400$ olarak bilindiği varsayılmaktadır. $\mu$ parametresi için monoton olabilirlik oranı (MLR) özelliği incelenirken, $\mu_1 < \mu_2$ durumunda olabilirlik oranının ( $L(\mu_2)/L(\mu_1)$ ) monoton artan bir fonksiyonu olduğu istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

Gözlemlerin aritmetik ortalaması (

\bar{X}

)

Gözlemlerin toplamının ters işaretlisi (

-\sum_{i=1}^n X_i

)

Örneklem varyansı (

S^2

)

Örneklemdeki en büyük değer (

X_{(n)}

)

Gözlemlerin kareleri toplamı (

\sum_{i=1}^n X_i^2

)

Show answer & explanation

Answer: Gözlemlerin aritmetik ortalaması ( $\bar{X}$ )

Answer

Gözlemlerin aritmetik ortalaması (

\bar{X}

)

Normal dağılımda kitle ortalaması

\mu

parametresi için olabilirlik oranı, örneklem toplamı

\sum X_i

istatistiğinin monoton artan bir fonksiyonudur. Aritmetik ortalama (

\bar{X}

), örneklem toplamının birebir ve artan bir dönüşümü olduğu için olabilirlik oranı bu istatistiğe göre de monoton artan bir özellik gösterir.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik fonksiyonunun yazılması

L(\mu) = (2\pi \sigma^2)^{-n/2} \exp\left[-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2\right]

Verilerin normal dağılımdan geldiği bilindiği için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu oluşturulur.

2

Olabilirlik oranının oluşturulması

\frac{L(\mu_2)}{L(\mu_1)} = \exp\left[\frac{\mu_2 - \mu_1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n x_i - \frac{n(\mu_2^2 - \mu_1^2)}{2\sigma^2}\right]

İki farklı parametre değeri

\mu_1

ve

\mu_2

için oran kurularak üstel ifadeler sadeleştirilir.

3

Monotonluk yönünün tayin edilmesi

\mu_2 > \mu_1

ve

\sigma^2 > 0

olduğu için

\sum x_i

katsayısı pozitiftir; oran

\sum x_i

(ve dolayısıyla

\bar{x}

) ile artar.

Eksponansiyel fonksiyonun argümanındaki istatistiğin katsayısı pozitifse, fonksiyon o istatistiğe göre monoton artandır.

Key Concept

Normal Dağılımda Ortalamaya Göre Monoton Olabilirlik Oranı

Practice More

Varyansın bilinmediği durumda ortalama için MLR ve UMP testlerin varlığını araştırınız.

Alternative Method

Üstel aile (exponential family) formundan yararlanarak,

f(x|\theta) = h(x)c(\theta)\exp(w(\theta)T(x))

yapısında

w(\theta)

fonksiyonunun monotonluğu üzerinden de

T(x)

'in MLR sağladığı doğrudan görülebilir.

Estimated Time:45s

Question 57Question →

Bir istatistiksel modelleme çalışmasında, gözlemlerin $0 < x < 1$ aralığında tanımlı ve $\theta > 0$ parametresine sahip $f(x|\theta) = \theta x^{\theta-1}$ olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bir dağılımdan geldiği varsayılmaktadır. Buna göre, bu dağılım ailesi için $\theta_1 < \theta_2$ olduğunda, olabilirlik oranının ( $f(x|\theta_2) / f(x|\theta_1)$ ) $x$ değerine göre monotonluk durumu aşağıdakilerden hangisidir?

x

değerine göre monoton artandır

x

değerine göre monoton azalandır

x

değerine göre monotonluk özelliği göstermez

Sadece

\theta > 1

olduğu durumlarda monoton azalandır

x

değerine bağlı olmayıp sabit bir değerdir

Show answer & explanation

Answer: $x$ değerine göre monoton artandır

Answer

Verilen dağılım ailesi için olabilirlik oranı x değerine göre monoton artan bir yapı sergilemektedir.

Olabilirlik oranı sadeleştirildiğinde

x

değişkeninin üssü

\theta_2 - \theta_1

olur. Soruda verilen

\theta_1 < \theta_2

koşulu nedeniyle bu üs pozitiftir. Pozitif bir kuvvete sahip olan

x

değişkeni, tanım aralığında arttıkça fonksiyonun değeri de artacağından oran monoton artandır.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik oranını yazın.

R(x) = \frac{f(x|\theta_2)}{f(x|\theta_1)} = \frac{\theta_2 x^{\theta_2-1}}{\theta_1 x^{\theta_1-1}}

Monoton olabilirlik oranı (MLR) özelliğini belirlemek için iki farklı parametre değeri arasındaki oran incelenmelidir.

2

Matematiksel ifadeyi sadeleştirin.

R(x) = \frac{\theta_2}{\theta_1} x^{\theta_2-\theta_1}

Üslü sayı kuralları kullanılarak

x

değişkenine bağlı terimler birleştirilir.

3

Monotonluk yönünü analiz edin.

\theta_2 > \theta_1 \Rightarrow \theta_2 - \theta_1 > 0

. Bu durumda

R(x)

fonksiyonu

x

değişkeninin pozitif bir kuvvetidir ve

x \in (0, 1)

aralığında artandır.

Pozitif üslü bir fonksiyon, taban arttıkça artan değerler alır.

Key Concept

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) ve Üstel Aileler

Practice More

Aynı dağılım için n birimlik bir örneklem durumunda olabilirlik oranının hangi istatistiğe bağlı olduğunu düşünün.

Estimated Time:45s

Question 58Question →

Bir yazılım test uzmanı, yeni geliştirilen bir veri sıkıştırma algoritmasının işlem süresinin mevcut sistemden daha kısa olup olmadığını test etmektedir. Uzman, çalışması için anlamlılık düzeyini $\alpha = 0,01$ olarak belirlemiştir. Yapılan analizler sonucunda elde edilen $p$ -değeri $0,0064$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, test uzmanının vermesi gereken istatistiksel karar ve bu karar doğrultusunda ortaya çıkabilecek olası hata türü aşağıdakilerden hangisidir?

H_0

hipotezi reddedilir; I. Tip hata yapılmış olabilir.

H_0

hipotezi reddedilir; II. Tip hata yapılmış olabilir.

H_0

hipotezi reddedilemez; I. Tip hata yapılmış olabilir.

H_0

hipotezi reddedilemez; II. Tip hata yapılmış olabilir.

H_0

hipotezi reddedilir; örneklem hacmi yeterli olduğu için hata yapma olasılığı yoktur.

Show answer & explanation

Answer: $H_0$ hipotezi reddedilir; I. Tip hata yapılmış olabilir.

Answer

Sıfır hipotezi (

H_0

) reddedilir ve bu karar sonucunda I. Tip hata yapılmış olabilir.

Verilen senaryoda

p

-değeri (

0,0064

), araştırmacının belirlediği anlamlılık düzeyi olan

\alpha = 0,01

değerinden küçüktür. İstatistiksel karar kuralına göre

p < \alpha

ise sıfır hipotezi (

H_0

) reddedilir. Sıfır hipotezinin reddedildiği bir durumda, araştırmacının yapmış olabileceği tek hata türü, aslında doğru olan bir hipotezi reddetmek anlamına gelen I. Tip hatadır.

Step-by-Step Solution

1

p

-değeri ile anlamlılık düzeyini (

\alpha

) karşılaştırın.

0,0064 < 0,01

olduğu için

p < \alpha

şartı sağlanır.

Bir hipotez testinde p-değeri, belirlenen anlamlılık düzeyinden (alfa) küçükse sıfır hipotezi istatistiksel olarak anlamlı düzeyde reddedilir.

2

Karar doğrultusunda oluşabilecek hata türünü belirleyin.

I. Tip hata yapılmış olabilir.

I. Tip hata, gerçekte doğru olan bir

H_0

hipotezinin reddedilmesidir. Test sonucu

H_0

'ın reddi yönünde olduğundan, eğer gerçekte

H_0

doğruysa bir hata yapılmış olur ve bu hata türü I. Tip hatadır.

Key Concept

P-değeri Karar Kuralı ve Hata Türleri İlişkisi

Estimated Time:45s

Question 59Question →

Bir kamu kurumunda yapılan performans ölçümlerinde, sistemdeki gecikme sürelerinin parametresi $\theta > 0$ olan bir Üstel dağılıma ( $f(x; \theta) = \theta e^{-\theta x}, x > 0$ ) uygun olduğu varsayılmaktadır. Bu dağılımdan çekilen bağımsız bir örneklem için $\theta_2 > \theta_1$ koşulu altında olabilirlik oranı $R = \frac{L(\theta_2)}{L(\theta_1)}$ hesaplanmıştır.

Buna göre $R$ oranı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

\sum_{i=1}^n X_i

istatistiğine göre monoton azalan bir fonksiyondur.

\sum_{i=1}^n X_i

istatistiğine göre monoton artan bir fonksiyondur.

\prod_{i=1}^n X_i

istatistiğine göre monoton azalan bir fonksiyondur.

\max(X_1, \dots, X_n)

istatistiğine göre monoton artan bir fonksiyondur.

\sum_{i=1}^n X_i^2

istatistiğine göre monoton azalan bir fonksiyondur.

Show answer & explanation

Answer: $\sum_{i=1}^n X_i$ istatistiğine göre monoton azalan bir fonksiyondur.

Answer

Olabilirlik oranı, gözlemlerin toplamı istatistiğine göre monoton azalan bir fonksiyondur.

Üstel dağılım ailesinde olabilirlik oranı hesaplandığında, sabit terimler dışındaki değişken kısım

e^{-(\theta_2 - \theta_1) \sum X_i}

şeklindedir.

\theta_2 > \theta_1

varsayımı altında, üstteki katsayı negatif olduğundan, bu oran toplam istatistiği arttıkça azalmaktadır. Dolayısıyla gözlemlerin toplamına göre monoton azalan bir yapı sergiler.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik fonksiyonunu yazın.

L(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta e^{-\theta x_i} = \theta^n e^{-\theta \sum x_i}

Bağımsız gözlemlerin ortak yoğunluk fonksiyonunu elde etmek için.

2

\theta_2 > \theta_1

için olabilirlik oranını oluşturun.

R = \frac{L(\theta_2)}{L(\theta_1)} = \frac{\theta_2^n e^{-\theta_2 \sum x_i}}{\theta_1^n e^{-\theta_1 \sum x_i}} = \left(\frac{\theta_2}{\theta_1}\right)^n e^{-(\theta_2 - \theta_1) \sum x_i}

Monotonluk özelliğinin hangi istatistiğe bağlı olduğunu görmek için.

3

Oranın

T(X) = \sum X_i

istatistiğine göre değişimini inceleyin.

\theta_2 > \theta_1

olduğundan

(\theta_2 - \theta_1) > 0

olur. Bu durumda

e^{-(\text{pozitif}) \cdot T(X)}

ifadesi

T(X)

arttıkça azalır.

Monotonluk yönünü belirlemek için.

Key Concept

Üstel aile dağılımlarında Monoton Olabilirlik Oranı (MLR), yeterli istatistiğin bir fonksiyonudur ve bu fonksiyonun yönü parametrik yapıya bağlıdır.

Hints

1

Üstel dağılımın olabilirlik fonksiyonunu yazarak gözlemlerin hangi biçimde (toplam, çarpım vb.) birleştiğine bakın.

2

Olabilirlik oranında

e

üzerindeki ifadenin işaretine dikkat edin. Pozitif bir katsayı ile çarpılan negatif bir değişken azalanlığı ifade eder.

Practice More

Aynı soruyu

\theta

yerine ortalama parametresi olan

\mu = 1/\theta

üzerinden çözerek monotonluk yönünün nasıl değiştiğini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Üstel aile formunu (

f(x|\theta) = h(x)c(\theta)\exp[w(\theta)T(x)]

) kullanarak doğrudan

T(x) = x

ve

w(\theta) = -\theta

olduğunu görebilirsiniz.

w(\theta)

azalan olduğu için oran

T(x)

'e göre azalan olacaktır.

Estimated Time:45s

Question 60Question →

Bir kamu personel alım sınavına hazırlanan adayların, başarılı bir sonuç elde edene kadar girdikleri deneme sınavı sayısı $X$ ile gösterilmekte ve $f(x; p) = p(1-p)^{x-1}, x=1, 2, \dots$ olasılık fonksiyonu ile modellenmektedir. Bu süreçte başarı olasılığı $p$ için monoton olabilirlik oranı (MLR) özelliğini sağlayan temel istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

Gözlemlerin toplamı

Gözlemlerin çarpımı

Örneklem varyansı

Gözlemlerin en büyüğü

Gözlemlerin harmonik ortalaması

Show answer & explanation

Answer: Gözlemlerin toplamı

Answer

Geometrik dağılım için monoton olabilirlik oranı özelliğini sağlayan temel istatistik gözlemlerin toplamıdır.

Geometrik dağılım, tek parametreli bir üstel aile (exponential family) üyesidir. Bu tür ailelerde olabilirlik oranı, dağılımın yeterli istatistiği üzerinden monotonluk gösterir. Geometrik dağılımda olabilirlik fonksiyonu

p^n (1-p)^{\sum x_i - n}

olarak yazıldığından, gözlemlere bağlı olan temel istatistik gözlemlerin toplamı olan

\sum X_i

ifadesidir. Bu nedenle oran, toplam istatistiğine göre monoton bir davranış sergiler.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik fonksiyonunu (

L(p)

) oluşturun.

L(p) = \prod_{i=1}^n p(1-p)^{x_i-1} = p^n (1-p)^{\sum x_i - n}

Bağımsız ve aynı dağılımlı gözlemlerin ortak olasılık fonksiyonu olabilirlik fonksiyonunu verir.

2

İki farklı parametre değeri (

p_1 < p_2

) için olabilirlik oranını yazın.

\frac{L(p_2)}{L(p_1)} = \left( \frac{p_2}{p_1} \right)^n \left( \frac{1-p_1}{1-p_2} \right)^n \left( \frac{1-p_2}{1-p_1} \right)^{\sum x_i}

MLR tanımı gereği iki farklı parametre değerindeki fonksiyonların oranı incelenmelidir.

3

Oranın gözlemlere bağlı olan kısmını analiz edin.

Oran,

T = \sum X_i

istatistiğinin bir fonksiyonudur.

Gözlemlerden gelen tüm bilgi oran içerisinde toplam sembolü altında toplanmıştır.

4

Monotonluk yönünü belirleyin.

p_1 < p_2

ise

1-p_2 < 1-p_1

olduğundan oran,

\sum X_i

arttıkça azalan (monoton) bir yapıdadır.

Üstel tabanın 1'den küçük olması, fonksiyonun azalan bir monotonluk sergilemesine neden olur.

Key Concept

Geometrik dağılımın üstel aile formunda yazılması ve yeterli istatistiğin belirlenmesi

Estimated Time:45s

Hipotez Testleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Alternative Method