Nokta Tahmini ve Özellikleri Practice Questions — KPSS İstatistik — Page 3

Question 41Question →

Bir veri analiz sürecinde araştırmacı, olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x; \alpha, \beta)$ olan ve her iki parametresi de $(\alpha, \beta)$ bilinmeyen bir kitle modelinden alınan $n$ birimlik bağımsız ve aynı dağılımlı bir rastgele örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) ile çalışmaktadır. Araştırmacının amacı, yalnızca $\alpha$ parametresinin tahmin edilmesi için matematiksel bir yapı kurmaktır.

Söz konusu tahmin işlemi için araştırmacı tarafından veri setine uygulanmak üzere aşağıdaki farklı matematiksel dönüşümler (fonksiyonlar) tanımlanmıştır:

I. $W_1 = \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \right) + \beta$
II. $W_2 = \frac{1}{\alpha} \prod_{i=1}^n X_i$
III. $W_3 = \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$
IV. $W_4 = \sum_{i=1}^n e^{X_i}$

Bu fonksiyonların $\alpha$ parametresini kestirmek amacıyla birer nokta tahmin edici (point estimator) adayı olarak kullanılabilirliği ve "istatistik" kavramının teorik tanımları dikkate alındığında, aşağıdaki yargılardan hangisi kesinlikle doğrudur?

W_3

ve

W_4

fonksiyonları, hesaplanmaları aşamasında

\alpha

veya

\beta

gibi bilinmeyen kitle parametrelerine ihtiyaç duymayan ve yalnızca örneklem gözlemlerine dayanan yapıları nedeniyle teorik olarak birer istatistiktir ve

\alpha

için nokta tahmin edici adayı olabilirler.

W_3

fonksiyonu bilinmeyen parametre içermediğinden geçerli bir tahmin edicidir; ancak

\alpha

parametresi için hesaplanacak Hata Kareler Ortalaması (MSE) ile varyansı, yan (bias) durumundan bağımsız olarak daima birbirine eşit olmak zorundadır.

W_4

fonksiyonu bir istatistik özelliği taşır ve eğer bu tahmin edici

\alpha

için yansız (unbiased) bir forma dönüştürülebilirse, örneklem çapı sonsuza büyüdüğünde

\alpha

'ya olasılıkta yakınsayacağı (tutarlı olacağı) istisnasız olarak garanti edilir.

W_1

fonksiyonu hedef parametre olan

\alpha

'yı içermediği için

\alpha

'nın geçerli bir tahmin edicisidir ve şayet

\alpha

için yeterli (sufficient) bir yapıdaysa, tamlık (completeness) koşuluna bakılmaksızın doğrudan Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) olur.

W_2

fonksiyonundaki

\frac{1}{\alpha}

terimi, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre yeterli istatistiğin (sufficient statistic) formülünde yer alması gereken mecburi bir bileşendir ve bu parametrik bağımlılık onun istatistik olma özelliğini bozmaz.

Show answer & explanation

Answer: $W_3$ ve $W_4$ fonksiyonları, hesaplanmaları aşamasında $\alpha$ veya $\beta$ gibi bilinmeyen kitle parametrelerine ihtiyaç duymayan ve yalnızca örneklem gözlemlerine dayanan yapıları nedeniyle teorik olarak birer istatistiktir ve $\alpha$ için nokta tahmin edici adayı olabilirler.

Answer

W_3

ve

W_4

fonksiyonlarının, bilinmeyen parametreler içermedikleri için tanım gereği birer istatistik olduğu ve bu nedenle nokta tahmin edici adayı olabileceklerini belirten ifadedir.

İstatistiksel çıkarım teorisine göre, bir 'istatistik', yalnızca örneklemdeki gözlemlere dayanan ve kitleye ait bilinmeyen hiçbir parametreyi barındırmayan gözlemlenebilir bir rastgele değişkendir.

W_1

fonksiyonu bilinmeyen

\beta

'yı,

W_2

ise bilinmeyen

\alpha

'yı içerdiği için birer istatistik değildirler ve tahmin edici fonksiyon olamazlar.

W_3

ve

W_4

ise yalnızca gözlemlere (

X_i

) dayanır.

W_4

formülünün

\alpha

ile analitik veya sezgisel bir yakınlığı olmasa dahi, matematiksel olarak geçerli bir istatistiktir ve

\alpha

için teknik bağlamda bir nokta tahmin edici adayı olarak literatüre sunulabilir. Seçenek bu kuralı eksiksiz tanımlamaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Nokta tahmin edici ve istatistik kavramlarının temel tanımlarını hatırlamak.

Bir fonksiyonun istatistik (ve dolayısıyla nokta tahmin edici adayı) olabilmesi için kitleye ait bilinmeyen hiçbir parametre içermemesi ve sadece örneklem gözlemlerine (

X_i

) bağlı olması gerektiği tespit edilir.

Teorik tanım sınırlarını belirleyerek seçeneklerdeki fonksiyonların geçerliliğini test etmek.

2

Verilen fonksiyonları (

W_1, W_2, W_3, W_4

) parametre bağımlılığı açısından incelemek.

W_1

fonksiyonunun bilinmeyen

\beta

parametresini,

W_2

fonksiyonunun ise bilinmeyen

\alpha

parametresini içerdiği görülür.

W_3

ve

W_4

ise yalnızca

X_i

değerlerine bağlıdır.

Hangi fonksiyonların geçerli birer istatistik olduğunu ayıklamak.

3

Geçerli istatistiklerin tahmin edici niteliğini değerlendirmek.

W_3

ve

W_4

bilinmeyen parametre içermediklerinden tanım gereği istatistiktir. Bir istatistik, sezgisel bir bağlam taşımasa dahi teorik olarak nokta tahmin edici adayı olarak sunulabilir.

Tahmin edici tanımının kısıtlayıcı olmadığını, sadece istatistik olma şartına bağlı olduğunu teyit etmek.

4

Diğer seçeneklerdeki teorik özellikleri analiz edip elemeleri gerçekleştirmek.

MSE'nin her zaman varyansa eşit olduğu (yanlış), yansızlığın kesin tutarlılık getirdiği (yanlış), tamlık olmadan UMVUE olunacağı (yanlış) yargıları tespit edilerek yanlış seçenekler doğrulanır.

İstatistiksel tahmin kuramının MSE, tutarlılık ve Lehmann-Scheffe teoremi altındaki sınırlamalarını doğru uygulamak.

Key Concept

İstatistik ve Nokta Tahmin Edici Kavramlarının Matematiksel Sınırları

Question 42Question →

Olasılık yoğunluk fonksiyonu,

f(x; \theta) = \begin{cases} \theta x^{-(\theta+1)}, & x \geq 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

şeklinde verilen bir dağılımdan

n

birimlik rastgele bir örneklem çekilmiştir (

\theta > 1

). Bu dağılımın beklenen değerinin

\mu = \frac{\theta}{\theta-1}

olduğu bilinmektedir.

Düzenlilik (regularity) koşullarının sağlandığı varsayımı altında, kitle ortalaması $\mu$ 'nün herhangi bir yansız tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı (CRLB) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

\frac{\theta^2}{n(\theta-1)^4}

\frac{\theta^2}{n(\theta-1)^2}

\frac{\theta^2}{n}

\frac{\theta}{n(\theta-1)^4}

\frac{1}{n\theta^2(\theta-1)^4}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\theta^2}{n(\theta-1)^4}$

Answer

İstenilen tahmin edici için alt sınır

\frac{\theta^2}{n(\theta-1)^4}

ifadesidir.

Verilen dağılım için tek bir gözleme ait Fisher bilgi miktarı

I(\theta) = 1/\theta^2

'dir. Soru,

\theta

'nın değil kitle ortalaması olan

\mu = \theta/(\theta-1)

ifadesinin yansız bir tahmin edicisinin varyans alt sınırını sormaktadır. Parametrenin bir fonksiyonu olan

g(\theta)

için Cramer-Rao alt sınırı

CRLB = [g'(\theta)]^2 / (n \cdot I(\theta))

formülüyle bulunur.

g'(\theta) = -1/(\theta-1)^2

olduğundan, karesi

1/(\theta-1)^4

yapar. Bu ifade,

n \cdot (1/\theta^2)

değerine bölündüğünde doğru yanıt olan

\theta^2 / [n(\theta-1)^4]

değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Tek bir gözlem için log-olabilirlik fonksiyonunu bulun.

\ln f(x; \theta) = \ln \theta - (\theta+1)\ln x

Fisher bilgi miktarını hesaplamak için olabilirlik fonksiyonunun logaritmasının türevlerine ihtiyacımız vardır.

2

Log-olabilirlik fonksiyonunun

\theta

'ya göre birinci ve ikinci türevlerini alıp Fisher bilgi miktarını hesaplayın.

\frac{\partial}{\partial \theta} \ln f = \frac{1}{\theta} - \ln x \implies \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \ln f = -\frac{1}{\theta^2}

. Buradan

I(\theta) = -E\left[-\frac{1}{\theta^2}\right] = \frac{1}{\theta^2}

elde edilir.

CRLB formülünün paydasında yer alan

n \cdot I(\theta)

ifadesini oluşturmak için birim Fisher bilgisi bulunmalıdır.

3

Tahmin edilecek parametre fonksiyonunu belirleyip

\theta

'ya göre türevini alın.

g(\theta) = \mu = \frac{\theta}{\theta-1}

olmak üzere,

g'(\theta) = \frac{1 \cdot (\theta-1) - \theta \cdot 1}{(\theta-1)^2} = -\frac{1}{(\theta-1)^2}

olarak bulunur.

Alt sınırı bulurken doğrudan

\theta

'nın değil, bir fonksiyonu olan kitle ortalamasının tahmin edildiği durumlarda türev karesi pay kısmına yazılır.

4

Elde edilen verileri Cramer-Rao alt sınırı formülünde yerine koyun.

CRLB = \frac{[g'(\theta)]^2}{n \cdot I(\theta)} = \frac{\left(-\frac{1}{(\theta-1)^2}\right)^2}{n \cdot \frac{1}{\theta^2}} = \frac{\frac{1}{(\theta-1)^4}}{\frac{n}{\theta^2}} = \frac{\theta^2}{n(\theta-1)^4}

Bu işlem yansız tahmin edicinin sahip olabileceği teorik minimum varyansı (alt sınırı) verir.

Key Concept

Cramer-Rao Alt Sınırı (Bir Fonksiyon İçin)

Estimated Time:2m 30s

Question 43Question →

$X_1, X_2, \dots, X_n$ ( $n > 1$ ), ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan bir kitleye ait rastgele bir örneklem olsun. $\bar{X}$ örneklem ortalamasını ve $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$ örneklem varyansını göstermek üzere, $\mu^2$ parametresi için $T = \bar{X}^2 - kS^2$ biçiminde bir tahmin edici önerilmiştir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin $\mu^2$ için yansız (unbiased) bir tahmin edici olması için $k$ sabiti aşağıdakilerden hangisine eşit olmalıdır?

\frac{1}{n}

\frac{1}{n-1}

\frac{1}{n^2}

\frac{n-1}{n}

1

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{n}$

Answer

k sabitinin değeri

\frac{1}{n}

olmalıdır.

Verilen

T

tahmin edicisinin

\mu^2

için yansız olabilmesi,

E[T] = \mu^2

şartını sağlamasına bağlıdır. Beklenen değerin doğrusal olma özelliğinden yararlanarak

E[\bar{X}^2] = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}

ve

E[S^2] = \sigma^2

ifadeleri yerine yazılır.

E[T] = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n} - k\sigma^2 = \mu^2

denkleminden, gerekli düzeltme faktörü olan

k

'nın

\frac{1}{n}

olması gerektiği bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem ortalamasının karesinin beklenen değerini,

V(\bar{X}) = E[\bar{X}^2] - (E[\bar{X}])^2

formülünden çekerek hesaplamak.

E[\bar{X}^2] = V(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2

Yansızlık hesabı yapabilmek için öncelikle

\bar{X}^2

teriminin beklenen değerini bulmak gerekir.

2

Örneklem varyansının (

S^2

) beklenen değerini hatırlamak.

E[S^2] = \sigma^2

Tahmin edici içerisindeki

S^2

teriminin beklenen değerini formülde yerine koymak için gereklidir.

3

Önerilen

T

tahmin edicisinin beklenen değerini (

E[T]

) hesaplamak ve yansızlık şartını (

\mu^2

'ye eşitlik) uygulamak.

E[T] = E[\bar{X}^2 - kS^2] = \left(\mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}\right) - k\sigma^2 = \mu^2

Yansız bir tahmin edicinin beklenen değeri, tahmin edilen parametreye eşit olmalıdır.

4

Elde edilen denklemi

k

için çözmek.

\frac{\sigma^2}{n} - k\sigma^2 = 0 \implies k\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n} \implies k = \frac{1}{n}

Bizden istenen yansızlık katsayısı olan

k

değerine ulaşmak içindir.

Key Concept

Bir tahmin edicinin yansızlığı ve varyans formülünden yararlanarak beklenen değer hesabı.

Question 44Question →

Bir araştırmacı, başarı olasılığı $p$ olan Bernoulli dağılımına sahip bir kitleden $n$ ( $n \ge 2$ ) çaplı bağımsız bir rastgele örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) almıştır. Kitle varyansı olan $\theta = p(1-p)$ parametresini tahmin etmek için en çok olabilirlik tahmin edicisi olan $\hat{\theta} = \bar{X}(1-\bar{X})$ istatistiği önerilmiştir.

Buna göre, $\hat{\theta}$ tahmin edicisinin yansızlık durumu ve yan miktarı (Bias) ile asimptotik yansızlık özelliği aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Yanlıdır ancak asimptotik yansızdır; yan miktarı

-\frac{p(1-p)}{n}

olur.

Yanlıdır ancak asimptotik yansızdır; yan miktarı

\frac{p(1-p)}{n}

olur.

Yansızdır ve asimptotik yansızdır; yan miktarı

0

olur.

Yanlıdır ancak asimptotik yansızdır; yan miktarı

-\frac{p^2}{n}

olur.

Yanlıdır ve asimptotik yansız değildir; yan miktarı

-\frac{p(1-p)}{n}

olur.

Show answer & explanation

Answer: Yanlıdır ancak asimptotik yansızdır; yan miktarı $-\frac{p(1-p)}{n}$ olur.

Answer

Tahmin edici yanlıdır ancak asimptotik yansızdır; yan miktarı

-\frac{p(1-p)}{n}

olarak bulunur.

Tahmin edicinin beklenen değeri

E[\bar{X} - \bar{X}^2]

işlemiyle hesaplandığında

p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n}

bulunur. Gerçek parametre değeri olan

p(1-p)

çıkarıldığında yan miktarı

-\frac{p(1-p)}{n}

elde edilir. Yan miktarı sıfırdan farklı olduğu için tahmin edici yanlıdır. Ancak

n \to \infty

için yan miktarının limiti

0

'a yaklaştığından asimptotik olarak yansızdır.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem ortalaması

\bar{X}

'in beklenen değerini ve varyansını belirle.

E[\bar{X}] = p

ve

Var(\bar{X}) = \frac{p(1-p)}{n}

elde edilir.

Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplarken

\bar{X}

ve

\bar{X}^2

'nin özelliklerine ihtiyaç duyulacaktır.

2

Tahmin ediciyi genişleterek

E[\bar{X}^2]

terimini hesapla.

E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 = \frac{p(1-p)}{n} + p^2

bulunur.

\hat{\theta} = \bar{X}(1-\bar{X}) = \bar{X} - \bar{X}^2

olduğu için

E[\bar{X}^2]

değeri denkleme dahil edilmelidir.

3

Tahmin edicinin beklenen değerini

E[\hat{\theta}] = E[\bar{X}] - E[\bar{X}^2]

formülüyle hesapla.

E[\hat{\theta}] = p - \left( \frac{p(1-p)}{n} + p^2 \right) = p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n}

olarak sadeleştirilir.

Yansızlık durumunu kontrol etmek için tahmin edicinin ortalaması (beklenen değeri) bulunmalıdır.

4

Yan miktarını (Bias) hesapla ve asimptotik durumunu

n \to \infty

için değerlendir.

Yan = E[\hat{\theta}] - \theta = -\frac{p(1-p)}{n}

. Limit alındığında

\lim_{n \to \infty} -\frac{p(1-p)}{n} = 0

'dır.

Yan miktarı sıfırdan farklı olduğu için tahmin edici yanlıdır, ancak limiti sıfıra gittiği için asimptotik yansızdır.

Key Concept

Asimptotik Yansızlık

Alternative Method

Beklenen değeri bulmak için Bernoulli örneklem varyansı formülünden yararlanılabilir.

S^2 = \frac{n}{n-1}\bar{X}(1-\bar{X})

yansız bir tahmin edicidir. Buradan

E[\bar{X}(1-\bar{X})] = \frac{n-1}{n}E[S^2] = \frac{n-1}{n}p(1-p)

olduğu doğrudan görülebilir ve yan hesabı yapılabilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 45Question →

$X_1, X_2, \dots, X_n$ kitle ortalaması $0$ ve varyansı $\theta$ ( $\theta > 0$ ) olan normal dağılımdan alınan $n$ ( $n \geq 2$ ) hacimli bir rastgele örneklem olsun.

Buna göre, $\theta^2$ parametresi için Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{(\sum_{i=1}^n X_i^2)^2}{n(n+2)}

\frac{(\sum_{i=1}^n X_i^2)^2}{n^2}

\frac{\sum_{i=1}^n X_i^4}{3n}

\frac{(\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2)^2}{n^2-1}

\frac{(\sum_{i=1}^n X_i^2)^2}{n(n-1)}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{(\sum_{i=1}^n X_i^2)^2}{n(n+2)}$

Answer

Düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE), tam ve yeterli istatistiğin ikinci momentinden türetilen formüldür.

Normal dağılımda kitle ortalaması bilindiğinde (

0

), varyans parametresi

\theta

için tam ve yeterli istatistik

T = \sum_{i=1}^n X_i^2

toplamıdır.

T/\theta \sim \chi^2_n

dağılımına sahiptir. Ki-kare dağılımının ikinci momenti

E[(T/\theta)^2] = n(n+2)

'dir. Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu her zaman UMVUE'dir. Bu nedenle

E[\frac{T^2}{n(n+2)}] = \theta^2

eşitliğinden yola çıkarak elde edilen

\frac{(\sum_{i=1}^n X_i^2)^2}{n(n+2)}

ifadesi

\theta^2

için UMVUE olur.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik fonksiyonu (likelihood) yazılarak yeterli istatistiğin belirlenmesi.

f(x;\theta) \sim N(0, \theta)

için olabilirlik fonksiyonu incelendiğinde

T = \sum_{i=1}^n X_i^2

istatistiğinin tam ve yeterli (complete and sufficient) istatistik olduğu görülür.

Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE, her zaman tam ve yeterli istatistiğin bir fonksiyonu olmalıdır.

2

Yeterli istatistiğin dağılımının ve momentlerinin belirlenmesi.

X_i \sim N(0, \theta)

olduğundan,

X_i/\sqrt{\theta} \sim N(0,1)

olur. Bu durumda standart normal değişkenlerin kareleri toplamından yola çıkarak

T/\theta = \sum_{i=1}^n (X_i/\sqrt{\theta})^2 \sim \chi^2_n

(n serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı) elde edilir.

Tahmin edicinin yansız olabilmesi için

T

'nin karesinin beklenen değerine (ikinci momentine) ihtiyaç vardır.

3

Ki-kare dağılımının momentlerinden yararlanarak yansız tahmin edicinin oluşturulması.

Bir

Y \sim \chi^2_n

değişkeni için

E[Y] = n

ve

Var(Y) = 2n

'dir. Buradan

E[Y^2] = Var(Y) + (E[Y])^2 = 2n + n^2 = n(n+2)

olur.

E[(T/\theta)^2] = n(n+2)

denkleminden

E[\frac{T^2}{n(n+2)}] = \theta^2

bulunur.

T

tam ve yeterli istatistik olduğundan, Lehmann-Scheffe teoremine göre elde edilen bu yansız tahmin edici

\theta^2

için UMVUE'dir.

Key Concept

Lehmann-Scheffe Teoremi ve Tam Yeterli İstatistik

Question 46Question →

Ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan bir kütleden alınan $n$ hacimli ( $n > 1$ ) bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele bir örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ ile gösterilsin. Kütle ortalamasının karesi olan $\theta = \mu^2$ parametresinin tahmini için,

T_n = \bar{X}^2 - \frac{\hat{\sigma}^2}{n}

istatistiği önerilmiştir. Burada $\bar{X}$ örneklem ortalamasını ve $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$ ise kütle varyansının en çok olabilirlik tahmin edicisini ifade etmektedir.

Buna göre, $T_n$ tahmin edicisinin $\theta = \mu^2$ parametresi için yan miktarı (bias) ve asimptotik yansızlık durumu aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Yan miktarı

0

'dır, yansız ve asimptotik yansızdır.

Yan miktarı

\frac{\sigma^2}{n}

'dir, yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.

Yan miktarı

\frac{\sigma^2}{n^2}

'dir, yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.

Yan miktarı

-\frac{\sigma^2}{n^2}

'dir, yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.

Yan miktarı

\frac{\sigma^2}{n-1}

'dir, yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.

Show answer & explanation

Answer: Yan miktarı $\frac{\sigma^2}{n^2}$ 'dir, yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.

Answer

Doğru seçenek, yan miktarının

\frac{\sigma^2}{n^2}

olduğunu ve tahmin edicinin asimptotik yansız olduğunu belirten seçenektir.

Tahmin edicinin beklenen değeri

E[T_n] = E[\bar{X}^2] - \frac{1}{n}E[\hat{\sigma}^2]

formülü ile hesaplanır. İlk olarak,

E[\bar{X}^2] = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}

eşitsizliği bilinmelidir. İkinci terimde yer alan

\hat{\sigma}^2

en çok olabilirlik varyans tahmin edicisi olduğu için beklenen değeri

\frac{n-1}{n}\sigma^2

'dir. Bunlar denklemde yerine konulduğunda,

E[T_n] = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n} - \frac{n-1}{n^2}\sigma^2 = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n^2}

elde edilir. Parametremiz

\theta = \mu^2

olduğundan yan miktarı

E[T_n] - \theta = \frac{\sigma^2}{n^2}

olur.

n

sonsuza giderken bu yan miktarı limit olarak sıfıra yaklaştığı için tahmin edici yanlıdır ancak asimptotik olarak yansızdır.

Step-by-Step Solution

1

\bar{X}^2

'nin beklenen değerinin hesaplanması

E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2

Yan miktarını bulmak için

T_n

tahmin edicisini oluşturan terimlerin ayrı ayrı beklenen değerleri bulunmalıdır.

2

\hat{\sigma}^2

'nin beklenen değerinin bulunması

\hat{\sigma}^2 = \frac{n-1}{n} S^2

olduğundan,

E[\hat{\sigma}^2] = \frac{n-1}{n} \sigma^2

olur.

En çok olabilirlik varyans tahmin edicisi yanlıdır ve beklenen değeri kütle varyansının

\frac{n-1}{n}

katıdır.

3

T_n

'nin beklenen değerinin ve yan miktarının hesaplanması

E[T_n] = E[\bar{X}^2] - \frac{1}{n}E[\hat{\sigma}^2] = \left(\mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}\right) - \frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{n}\sigma^2\right) = \mu^2 + \frac{n\sigma^2 - (n-1)\sigma^2}{n^2} = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n^2}

. Yan miktarı

= E[T_n] - \theta = \frac{\sigma^2}{n^2}

.

Tahmin edicinin beklenen değerinden, tahmin edilen gerçek parametrenin (

\mu^2

) çıkarılması yan miktarını (bias) verir.

4

Asimptotik yansızlık durumunun incelenmesi

\lim_{n \to \infty} Yan(T_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{\sigma^2}{n^2} = 0

. Tahmin edici asimptotik yansızdır.

Örneklem hacmi sonsuza giderken yan miktarı sıfıra yakınsıyorsa, söz konusu tahmin edici asimptotik olarak yansızdır.

Key Concept

Yan Miktarı (Bias) ve Asimptotik Yansızlık

Question 47Question →

Bir tarımsal araştırma enstitüsü, yeni geliştirilen bir buğday türünün dönüm başına verim miktarını $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ dağılımı ile modellemektedir. Yapılan uzun soluklu çalışmalar sonucunda, kitle varyansının $\sigma^2 = 120$ olduğu kesin olarak bilinmekte, ancak kitle ortalaması ( $\mu$ ) bilinmemektedir. Araştırmacılar, kitleye ait istatistiksel çıkarsamalar yapmak amacıyla $n$ çaplı bir rastgele örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) almıştır.

İstatistiksel çıkarım teorisine göre, aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi gözlemlenen örneklem üzerinden doğrudan hesaplanabilen geçerli bir istatistik (statistic) niteliği taşır?

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2

\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sqrt{120}}

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2 - 120

E\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right]

\frac{\partial}{\partial \mu} \ln L(\mu; X_1, \dots, X_n)

(Burada

L

, olabilirlik fonksiyonudur)

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2 - 120$

Answer

İçerisinde hiçbir bilinmeyen parametre barındırmayan ve yalnızca örneklem değerleri ile bilinen sabitlerden oluşan

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2 - 120

fonksiyonudur.

Bir rastgele değişken fonksiyonunun 'istatistik' (statistic) olarak adlandırılabilmesi ve potansiyel bir tahmin edici olabilmesi için, kitleye ait bilinmeyen hiçbir parametre içermemesi gerekir. Verilen senaryoda kitle ortalaması (

\mu

) bilinmemekte, ancak varyans (120) kesin olarak bilinmektedir. Doğru yanıttaki

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2 - 120

fonksiyonu, yalnızca gözlemlenebilir örneklem değerlerinden (

X_i

) ve bilinen sabitlerden (

n

ve 120) oluşur. İçerisinde bilinmeyen

\mu

parametresini barındırmadığı için, örneklem çekildikten sonra doğrudan hesaplanabilir ve teorik açıdan geçerli bir istatistiktir.

Step-by-Step Solution

1

İstatistik kavramının matematiksel tanımının hatırlanması

Bir istatistiğin, yalnızca gözlemlenen örneklem değerlerine (

X_i

) ve bilinen sabitlere bağlı olması gerektiği, bilinmeyen hiçbir parametre içermemesi gerektiği belirlenir.

Nokta tahmin teorisinde tahmin ediciler birer istatistiktir ve hesaplanabilmeleri için tamamen veriye dayalı olmaları zorunludur.

2

Senaryodaki bilinen ve bilinmeyen kitle özelliklerinin tespiti

Kitle varyansı

\sigma^2 = 120

olarak bilinen bir sabittir. Kitle ortalaması

\mu

ise bilinmeyen bir parametredir.

Hangi fonksiyonların hesaplanabilir (istatistik) hangilerinin hesaplanamaz (parametreye bağlı) olduğunu ayırt etmek için gereklidir.

3

Seçeneklerdeki fonksiyonların parametre bağımlılığı açısından analizi

İçerisinde

\mu

sembolü geçen fonksiyonlar ile sonucu doğrudan

\mu

'ye eşit olan beklenen değer fonksiyonlarının istatistik tanımına uymadığı görülür.

Bilinmeyen bir parametreyi içeren hiçbir fonksiyon, veriler elde edildikten sonra sayısal bir değere (tahmin - estimate) dönüştürülemez.

4

Geçerli istatistiğin belirlenmesi

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2 - 120

formülünün yalnızca verilerden (

X_i

) ve 120 sabitinden oluştuğu tespit edilir ve geçerli istatistik olarak seçilir.

Hiçbir bilinmeyen parametre içermediğinden, tanıma tam uyum sağlayan yegane fonksiyondur.

Key Concept

İstatistik (Statistic) Tanımı ve Parametre-İstatistik Ayrımı

Alternative Method

İstatistik tespiti problemlerinde tüm seçenekleri bir veri seti (örneğin X_1=5, X_2=7) varmış gibi sayısal olarak hesaplamayı denemek çok etkilidir.

\mu

'nün bilinmediği bir durumda

\mu

harfi barındıran hiçbir seçeneğin nihai bir sayısal sonuç üretemeyeceği kolayca fark edilebilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 48Question →

Bir endüstriyel sistemde kullanılan belirli bir sensör tipinin arızalanana kadar geçen çalışma süresi, beklenen değeri $\theta$ olan üstel dağılım göstermektedir. Bu sensörlerden $n$ ( $n > 1$ ) adedi bağımsız olarak test edilmiş ve elde edilen çalışma sürelerinin örneklem ortalaması $\bar{X}$ olarak hesaplanmıştır. Sistem mühendisleri, sensörün bozulma oranını ifade eden $\lambda = \frac{1}{\theta}$ parametresini tahmin etmek amacıyla, en çok olabilirlik tahmin edicisi olan $\hat{\lambda} = \frac{1}{\bar{X}}$ istatistiğini kullanmaya karar vermişlerdir.

Buna göre, $\hat{\lambda}$ tahmin edicisinin $\lambda$ parametresi için yan miktarı (bias) aşağıdakilerden hangisidir?

0

\frac{1}{n\theta}

\frac{n}{(n-1)\theta}

\frac{1}{(n-1)\theta}

-\frac{1}{n\theta}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{(n-1)\theta}$

Answer

\frac{1}{(n-1)\theta}

formülü ile ifade edilen seçenektir.

Yan miktarı formülü

B(\hat{\lambda}) = E[\hat{\lambda}] - \lambda

olarak tanımlanır.

X_i \sim \text{Üstel}(\theta)

olduğunda örneklem toplamı olan

\sum X_i \sim \text{Gamma}(n, \theta)

dağılımına sahip olur. Bu durumda en çok olabilirlik tahmin edicisi olan

\hat{\lambda} = \frac{n}{\sum X_i}

istatistiğinin beklenen değeri hesaplandığında

E[\hat{\lambda}] = \frac{n}{(n-1)\theta}

bulunur. Buradan, tahmin edilmek istenen gerçek parametre değeri olan

\lambda = \frac{1}{\theta}

çıkarıldığında yan miktarı

\frac{1}{(n-1)\theta}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem toplamının dağılımını belirleme

Y = \sum_{i=1}^n X_i \sim \text{Gamma}(n, \theta)

Üstel dağılıma sahip bağımsız rastgele değişkenlerin toplamı Gamma dağılımı gösterir.

2

Toplamın tersinin beklenen değerini hesaplama

E\left[\frac{1}{Y}\right] = \frac{1}{(n-1)\theta}

Gamma dağılımının özellikleri veya integral tanımı kullanılarak

(-1).

moment hesaplanır.

3

\hat{\lambda}

tahmin edicisinin beklenen değerini bulma

E[\hat{\lambda}] = E\left[\frac{n}{Y}\right] = \frac{n}{(n-1)\theta}

Örneklem ortalaması

\bar{X} = Y/n

olduğundan,

\hat{\lambda} = n/Y

şeklindedir ve beklenen değer operatörünün doğrusallığı kullanılır.

4

Yan miktarını (bias) hesaplama

B(\hat{\lambda}) = E[\hat{\lambda}] - \lambda = \frac{n}{(n-1)\theta} - \frac{1}{\theta} = \frac{1}{(n-1)\theta}

Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile tahmin edilmek istenen parametrenin gerçek değeri arasındaki farktır.

Key Concept

Tahmin Edicilerin Yansızlığı ve Yan Miktarı (Bias) Hesaplaması

Question 49Question →

Bir çağrı merkezine gelen ardışık çağrılar arasındaki bekleme süreleri, beklenen değeri $\theta$ ve varyansı $\theta^2$ olan üstel dağılıma uygun olarak modellenmektedir. Sistem performansını değerlendiren bir analist, $\theta^2$ parametresini tahmin etmek için $n$ çaplı bağımsız bir rastgele örneklem üzerinden $T_n = (\bar{X})^2$ tahmin edicisini oluşturmuştur.

Buna göre, $T_n$ tahmin edicisinin $\theta^2$ için yansızlık durumu ve $n \to \infty$ iken asimptotik davranışı aşağıdakilerin hangisinde doğru ifade edilmiştir?

Beklenen değeri

E(T_n) = \frac{n+1}{n}\theta^2

olduğundan sonlu örneklemlerde yanlıdır; fakat

n \to \infty

için limit yan miktarı sıfır olduğundan asimptotik olarak yansızdır.

E(T_n) = \theta^2

eşitliğini her

n

için sağladığından, örneklem çapından bağımsız olarak hem yansız hem de asimptotik yansız bir tahmin edicidir.

Tahmin edici yanlıdır ve asimptotik yansızlık şartını sağlayabilmesi için tahmin edicinin varyansının hata kareler ortalamasına (MSE) eşit olması zorunludur.

Büyük örneklemlerde varyansı sıfıra yakınsadığı ve tutarlı olduğu için matematiksel olarak doğrudan yansız kabul edilir, yan miktarı hesaplanmaz.

\bar{X}

yansız bir tahmin edici olsa da, karesi alındığında değişmezlik bozulduğu için

n \to \infty

durumunda yan miktarı sonsuza ıraksar.

Show answer & explanation

Answer: Beklenen değeri $E(T_n) = \frac{n+1}{n}\theta^2$ olduğundan sonlu örneklemlerde yanlıdır; fakat $n \to \infty$ için limit yan miktarı sıfır olduğundan asimptotik olarak yansızdır.

Answer

Verilen tahmin edicinin beklenen değeri hesaplandığında sonlu örneklemlerde yanlı olduğu; ancak örneklem çapı sonsuza giderken yan miktarının sıfıra ulaştığı, dolayısıyla asimptotik yansız olduğu görülür.

Verilen

T_n = (\bar{X})^2

tahmin edicisinin beklenen değerini bulmak için, örneklem ortalamasının varyansından yararlanılmalıdır. Bir rastgele değişkenin karesinin beklenen değeri, varyansı ile beklenen değerinin karesinin toplamına eşittir:

E(\bar{X}^2) = Var(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2

. Soruda verilen üstel dağılım için

E(X) = \theta

ve

Var(X) = \theta^2

'dir.

n

çaplı örneklem ortalaması için

E(\bar{X}) = \theta

ve

Var(\bar{X}) = \frac{\theta^2}{n}

olur. Bu değerler yerine konulduğunda

E(T_n) = \frac{\theta^2}{n} + \theta^2 = \frac{n+1}{n}\theta^2

elde edilir. Görüldüğü gibi tahmin edicinin beklenen değeri

\theta^2

'ye eşit olmadığından sonlu örneklemlerde yanlıdır ve yan miktarı

\frac{\theta^2}{n}

'dir. Ancak örneklem çapı sonsuza giderken limit alındığında (

\lim_{n \to \infty} \frac{\theta^2}{n} = 0

) yan miktarı sıfıra yaklaştığı için tahmin edici asimptotik olarak yansızdır.

Step-by-Step Solution

1

Tahmin edicinin beklenen değerini varyans formülü aracılığıyla hesaplama.

E(\bar{X}^2) = Var(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2 = \frac{\theta^2}{n} + \theta^2 = \frac{n+1}{n}\theta^2

Beklenen değer doğrusal bir operatördür ancak karesel ifadelerde (

E(Y^2)

), istatistiğin varyansının da hesaba katılması matematiksel bir zorunluluktur.

2

Tahmin edicinin yan miktarını (bias) formülize etme.

Yan(T_n) = E(T_n) - \theta^2 = \frac{n+1}{n}\theta^2 - \theta^2 = \frac{\theta^2}{n}

Yan miktarı, tahmin edicinin teorik beklenen değeri ile tahmin edilmek istenen gerçek parametre değeri arasındaki fark olarak tanımlanır.

3

Örneklem çapı (

n

) sonsuza giderken yan miktarının limitini alma.

\lim_{n \to \infty} \frac{\theta^2}{n} = 0

Asimptotik yansızlık, örneklem çapı sonsuza doğru büyüdükçe tahmin edicinin yan miktarının sıfıra yakınsaması durumudur.

Key Concept

Asimptotik Yansızlık ve Beklenen Değer Özellikleri

Question 50Question →

Bir çağrı merkezine belirli bir saat diliminde gelen müşteri şikayetleri sayısı, ortalaması $\lambda$ olan Poisson dağılımına uymaktadır. Bu çağrı merkezinden rastgele seçilen $3$ farklı gündeki şikayet sayıları $X_1, X_2$ ve $X_3$ olmak üzere, $\lambda$ parametresini tahmin etmek için aşağıdaki iki yansız tahmin edici önerilmiştir:

T_1 = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}

T_2 = \frac{X_1 + 2X_2 + 3X_3}{6}

Buna göre, $T_1$ tahmin edicisinin Cramer-Rao alt sınırına göre mutlak etkinliği ile $T_1$ 'in $T_2$ 'ye göre göreli etkinliği $\left( RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} \right)$ sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

1

ve

\frac{7}{6}

1

ve

\frac{6}{7}

3

ve

\frac{7}{6}

\frac{6}{7}

ve

\frac{7}{6}

1

ve

\frac{1}{2}

Show answer & explanation

Answer: $1$ ve $\frac{7}{6}$

Answer

Mutlak Etkinlik

1

ve Göreli Etkinlik

\frac{7}{6}

olan seçenektir.

Poisson dağılımında

\lambda

parametresi için Cramer-Rao alt sınırı

CRLB = \frac{\lambda}{n} = \frac{\lambda}{3}

olarak bulunur.

T_1

örneklem ortalaması olduğundan varyansı da

\frac{\lambda}{3}

'tür. Bu durumda

T_1

'in mutlak etkinliği

e(T_1) = \frac{CRLB}{Var(T_1)} = 1

olur. Diğer yandan

T_2

'nin varyansı katsayıların kareleri dikkate alınarak

Var(T_2) = \frac{1}{36}(1^2\lambda + 2^2\lambda + 3^2\lambda) = \frac{14\lambda}{36} = \frac{7\lambda}{18}

olarak hesaplanır.

T_1

'in

T_2

'ye göre göreli etkinliği, soruda verilen

RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)}

formülüne göre

\frac{7\lambda/18}{\lambda/3} = \frac{7}{6}

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Poisson dağılımı için Cramer-Rao alt sınırını (CRLB) hesaplama

I_n(\lambda) = \frac{3}{\lambda}

ve

CRLB = \frac{\lambda}{3}

T_1

'in mutlak etkinliğini bulabilmek için Fisher bilgi matrisi ve CRLB'ye ihtiyaç vardır.

2

T_1

tahmin edicisinin varyansını ve mutlak etkinliğini belirleme

Var(T_1) = \frac{\lambda}{3}

ve Mutlak Etkinlik

e(T_1) = 1

Örneklem ortalamasının varyansı popülasyon varyansının

n

'e bölümüdür. Mutlak etkinlik

CRLB / Var(T_1)

ile bulunur.

3

T_2

tahmin edicisinin varyansını hesaplama

Var(T_2) = \frac{1}{36}(Var(X_1) + 4Var(X_2) + 9Var(X_3)) = \frac{14\lambda}{36} = \frac{7\lambda}{18}

Doğrusal kombinasyonların varyansı bulunurken bağımsız değişken katsayılarının karesi alınır.

4

T_1

'in

T_2

'ye göre göreli etkinliğini oranlama

RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} = \frac{7\lambda/18}{\lambda/3} = \frac{7}{6}

Soruda formülü verilen göreli etkinlik tanımı gereği

T_2

'nin varyansı

T_1

'in varyansına bölünür.

Key Concept

Tahmin Edicilerde Mutlak Etkinlik ve Göreli Etkinlik

Estimated Time:2m 0s

Question 51Question →

Bir sigorta şirketine belirli bir saat diliminde gelen hasar ihbarlarının sayısı, parametresi $\lambda > 0$ olan Poisson dağılımına uymaktadır. Bu süreçten $n$ ( $n > 1$ ) saatlik rastgele bir örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) alınmıştır.

Sigorta şirketi, rastgele seçilen belirli bir saatte tam olarak 1 (bir) adet hasar ihbarı gelme olasılığını tahmin etmek istemektedir. Kitleye ait bu olasılık $P(X = 1) = \lambda e^{-\lambda}$ formülü ile verilmektedir.

Buna göre, $P(X = 1)$ parametresi için Lehmann-Scheffe teoremi kullanılarak elde edilen Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?
(Burada $T = \sum_{i=1}^n X_i$ yeterli ve tam istatistiği göstermektedir.)

\left(\frac{n-1}{n}\right)^T

\frac{T}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^T

\frac{T}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{T-1}

\frac{T}{n} e^{-T/n}

\frac{1}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{T-1}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{T}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{T-1}$

Answer

Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE),

\frac{T}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{T-1}

ifadesidir.

Lehmann-Scheffe teoremine göre; tam ve yeterli bir istatistiğin (burada T), herhangi bir yansız tahmin edici üzerinden Rao-Blackwell teoremine sokulmasıyla (koşullu beklenen değerinin alınmasıyla) elde edilen yeni tahmin edici, o parametre için eşsiz Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicidir (UMVUE).

P(X=1)

'in en basit yansız tahmin edicisi olan

I(X_1=1)

fonksiyonu, tam ve yeterli olan

T

toplamına koşullandırıldığında matematiksel olarak

\frac{T}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{T-1}

ifadesine sadeleşir.

Step-by-Step Solution

1

Poisson dağılımı için tam ve yeterli istatistiğin belirlenmesi.

T = \sum_{i=1}^n X_i \sim Poisson(n\lambda)

kitle için tam ve yeterli bir istatistiktir.

Lehmann-Scheffe teoremini uygulamak için parametreyi barındıran tam ve yeterli istatistiğe ihtiyaç duyulur.

2

P(X = 1) = \lambda e^{-\lambda}

parametresi için basit bir yansız tahmin edici bulunması.

I(X_1 = 1)

gösterge fonksiyonu tanımlanır.

E[I(X_1 = 1)] = P(X_1 = 1) = \lambda e^{-\lambda}

olduğundan,

I(X_1 = 1)

yansız bir tahmin edicidir.

Rao-Blackwelllaştırma yapabilmek için öncelikle parametrenin yansız bir tahmin edicisi gereklidir.

3

Bulunan yansız tahmin edicinin, tam ve yeterli istatistik

T

verildiğinde koşullu beklenen değerinin hesaplanması.

E[I(X_1 = 1) | T = t] = P(X_1 = 1 | \sum_{i=1}^n X_i = t) = \frac{P(X_1 = 1, \sum_{i=2}^n X_i = t-1)}{P(\sum_{i=1}^n X_i = t)}

formülü yazılır.

Lehmann-Scheffe teoremine göre, bu koşullu beklenen değer doğrudan UMVUE'yi verir.

4

Koşullu olasılık ifadesindeki dağılımların yerine konularak sonucun

T

ve

n

cinsinden sadeleştirilmesi.

Pay:

(\lambda e^{-\lambda}) \cdot \frac{((n-1)\lambda)^{t-1} e^{-(n-1)\lambda}}{(t-1)!}

Payda:

\frac{(n\lambda)^t e^{-n\lambda}}{t!}

İki ifade oranlanıp sadeleştirildiğinde

\frac{t}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{t-1}

bulunur.

UMVUE sadece gözlemlenebilen

n

ve

T

değerlerine bağlı olmalı, bilinmeyen

\lambda

parametresini içermemelidir.

Key Concept

Lehmann-Scheffe Teoremi ve Rao-Blackwelllaştırma

Question 52Question →

İstatistiksel çıkarım sürecinde bir araştırmacı, ilgilenilen $\theta$ parametresi için yansız bir $W$ tahmin edicisi ile örneklemin bir fonksiyonu olan $T$ istatistiğini dikkate almaktadır. Araştırmacı, $\phi(T) = E(W \mid T)$ koşullu beklenen değerini hesaplayarak yeni bir tahmin edici elde etmek istemektedir.

Rao-Blackwell teoremine göre, $\phi(T)$ 'nin örneklem verilerinden doğrudan hesaplanabilen (içinde bilinmeyen $\theta$ parametresini barındırmayan) geçerli bir istatistik olması ve genel özellikleri bağlamında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

T

,

\theta

için yeterli (sufficient) bir istatistik olmalıdır; bu durumda

\phi(T)

,

\theta

için yansız ve

W

'ye göre eşit veya daha küçük varyanslı bir tahmin edici olur.

T

'nin yeterli istatistik olmasının yanı sıra tam (complete) olması da teorem gereği zorunludur; böylece

\phi(T)

düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE) olur.

T

,

\theta

için yeterli bir istatistik olmalıdır ancak koşullama işlemi nedeniyle

\phi(T)

yanlı (biased) hâle gelir; bu yüzden hata kareler ortalaması (MSE) varyansından büyüktür.

T

'nin yeterli istatistik olması şart değildir;

W

yansız olduğu için

\phi(T)

her zaman hesaplanabilir ve

\theta

için tutarlı (consistent) bir tahmin edici olur.

T

, olabilirlik fonksiyonunu çarpanlarına ayırma kuralını sağlamayan yardımcı (ancillary) bir istatistik olmalıdır ki

\phi(T)

varyans küçültme işlemini gerçekleştirebilsin.

Show answer & explanation

Answer: $T$ , $\theta$ için yeterli (sufficient) bir istatistik olmalıdır; bu durumda $\phi(T)$ , $\theta$ için yansız ve $W$ 'ye göre eşit veya daha küçük varyanslı bir tahmin edici olur.

Answer

T

'nin yeterli istatistik olması gerektiğini ve

\phi(T)

'nin yansız, daha küçük veya eşit varyanslı bir tahmin edici olacağını belirten seçenektir.

Rao-Blackwell teoremine göre, elde edilen

\phi(T) = E(W \mid T)

fonksiyonunun bilinemeyen

\theta

parametresinden bağımsız olarak, sadece örneklemden hesaplanabilmesi için

T

'nin yeterli (sufficient) istatistik olması şarttır. Teorem, toplam beklenen değer ve toplam varyans kuralları gereği

\phi(T)

'nin yansızlığını koruduğunu ve varyansının ilk tahmin edicinin varyansından her zaman küçük veya ona eşit olduğunu matematiksel olarak kesinleştirir.

Step-by-Step Solution

1

Koşullu beklenen değerin

\phi(T) = E(W \mid T)

bir istatistik olup olmadığını değerlendir.

Bir ifadenin geçerli bir tahmin edici (istatistik) olabilmesi için bilinmeyen

\theta

parametresini içermemesi gerekir. Bu ancak

W

'nin

T

bilindiğindeki koşullu dağılımı

\theta

'dan bağımsızsa mümkündür.

Yeterli istatistiğin (sufficient statistic) tanımı gereği, örneklemin

T

koşulu altındaki dağılımı parametreden bağımsızdır.

2

\phi(T)

'nin beklenen değerini toplam beklenen değer kuralı ile hesapla.

E[\phi(T)] = E[E(W \mid T)] = E[W]

.

W

yansız olduğu için

E[W] = \theta

olur, dolayısıyla

\phi(T)

de yansızdır.

Rao-Blackwell teoreminin yansızlığı koruma özelliğini matematiksel olarak doğrulamak.

3

\phi(T)

'nin varyansını toplam varyans kuralı ile incele.

Var(W) = Var(E(W \mid T)) + E[Var(W \mid T)] = Var(\phi(T)) + E[Var(W \mid T)]

. Varyans negatif olamayacağından

Var(\phi(T)) \leq Var(W)

elde edilir.

Teoremin varyans küçültme (veya koruma) mantığını ispatlamak.

Key Concept

Rao-Blackwell Teoremi ve Özellikleri

Question 53Question →

Bir elektronik sensör üretim hattında üretilen sensörlerin çalışma ömrü (yıl cinsinden), $x \ge \theta$ olmak üzere $f(x; \theta) = e^{-(x-\theta)}$ olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip kaydırılmış üstel (shifted exponential) dağılım ile modellenmektedir. Kalite kontrol mühendisi, rastgele seçilen $n$ adet sensörün çalışma ömürlerini $X_1, X_2, \dots, X_n$ olarak gözlemlemiş ve sistemin minimum garanti süresi olan bilinmeyen $\theta$ ( $\theta > 0$ ) parametresini tahmin etmek için $T_n = \min(X_1, X_2, \dots, X_n)$ tahmin edicisini önermiştir.

Buna göre, $T_n$ tahmin edicisinin yansızlık ve asimptotik yansızlık özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

T_n

tahmin edicisinin yan miktarı

\frac{1}{n}

'dir; dolayısıyla yanlı bir tahmin edicidir ancak asimptotik olarak yansızdır.

T_n

her örneklem çapı için yansız bir tahmin edicidir, çünkü parametreye olasılıkta yakınsayan tutarlı her tahmin edici aynı zamanda yansız olmak zorundadır.

T_n

tahmin edicisinin beklenen değeri

\theta + 1

olduğundan, bu tahmin edici hem küçük örneklemlerde hem de asimptotik olarak yanlıdır.

T_n

asimptotik olarak yansızdır; ancak yanlı olduğu için Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesaplanamaz ve varyansa eşitlenemez.

T_n

tahmin edicisi yanlıdır ve yan miktarı örneklem çapından bağımsız olarak sabit kaldığı için asimptotik yansızlık şartını sağlamaz.

Show answer & explanation

Answer: $T_n$ tahmin edicisinin yan miktarı $\frac{1}{n}$ 'dir; dolayısıyla yanlı bir tahmin edicidir ancak asimptotik olarak yansızdır.

Answer

Tahmin edicinin yan miktarı

\frac{1}{n}

'dir; bu nedenle yanlı bir tahmin edicidir ancak asimptotik olarak yansızdır.

Verilen dağılım modelinde minimum sıra istatistiğinin olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_{T_n}(x) = n e^{-n(x-\theta)}

şeklindedir. Bu ifadenin

x

ile çarpılarak integrali alındığında beklenen değer

E(T_n) = \theta + \frac{1}{n}

olarak bulunur. Parametre

\theta

'dan farkı olan yan miktarı

\frac{1}{n}

olduğu için tahmin edici yanlıdır. Ancak örneklem hacmi büyüdükçe (

n \to \infty

), limit

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

değerine eşittir. Bu matematiksel gerçek, tahmin edicinin asimptotik olarak yansız olduğunu kanıtlar.

Step-by-Step Solution

1

Tek bir gözlem için birikimli dağılım fonksiyonundan hareketle aşma olasılığını hesaplayın.

P(X > x) = \int_{x}^{\infty} e^{-(t-\theta)} dt = e^{-(x-\theta)}

Minimum sıra istatistiğinin (T_n) dağılımını bulabilmek için tüm X_i'lerin x'ten büyük olma olasılığını belirlemek gerekir.

2

Bağımsızlık varsayımı ile

T_n = \min(X_1, \dots, X_n)

tahmin edicisinin dağılımını türetin.

P(T_n > x) = [P(X > x)]^n = e^{-n(x-\theta)}

, dolayısıyla olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_{T_n}(x) = n e^{-n(x-\theta)}

olur (

x \ge \theta

).

T_n

'nin beklenen değerini (E(T_n)) bulabilmek için kendi özel dağılım fonksiyonunun formülüne ihtiyaç vardır.

3

T_n

'nin beklenen değerini integral yardımıyla hesaplayın.

E(T_n) = \int_{\theta}^{\infty} x \cdot n e^{-n(x-\theta)} dx = \theta + \frac{1}{n}

Yansızlık durumunu test edebilmek için tahmin edicinin kitlenin üzerinden beklenen değeri (ortalaması) bulunmalıdır.

4

Tahmin edicinin yan miktarını (Bias) hesaplayıp sonlu örneklemler için yansızlık durumunu kontrol edin.

Yan(T_n) = E(T_n) - \theta = (\theta + \frac{1}{n}) - \theta = \frac{1}{n}

. Sıfırdan farklı olduğu için

T_n

yanlıdır.

Yan miktarının sıfıra eşit olmaması, tahmin edicinin yansızlık özelliğini taşımadığını matematiksel olarak kanıtlar.

5

Yan miktarının

n \to \infty

için limitini alarak asimptotik yansızlığı değerlendirin.

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

olduğu için

T_n

asimptotik olarak yansızdır.

Asimptotik yansızlık tanımı gereği, örneklem çapı sonsuza giderken yan miktarının sıfıra yakınsaması koşulu sağlanır.

Key Concept

Kaydırılmış üstel dağılımda minimum sıra istatistiğinin özellikleri ve asimptotik yansızlık

Question 54Question →

Bir kimyasal reaksiyonun başlama süresi (saniye cinsinden) $X$ rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere, aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} e^{-(x-\theta)}, & x \geq \theta \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Bu reaksiyon için aynı koşullar altında birbirinden bağımsız $n$ ( $n \geq 2$ ) farklı ölçüm yapılmış ve $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemi elde edilmiştir.

Buna göre, Lehmann-Scheffe teoremi kullanılarak bulunacak olan $\theta$ parametresinin düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?
(Burada $X_{(1)} = \min(X_1, \dots, X_n)$ ve $\bar{X}$ örneklem ortalamasıdır.)

X_{(1)} - \frac{1}{n}

X_{(1)}

\bar{X} - 1

\bar{X}

X_{(n)} - \frac{1}{n}

Show answer & explanation

Answer: $X_{(1)} - \frac{1}{n}$

Answer

X_{(1)} - \frac{1}{n}

ifadesi

\theta

için düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicidir (UMVUE).

Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE bulmak için tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu oluşturulmalıdır. Olabilirlik fonksiyonu

L(\theta) = e^{-\sum x_i} e^{n\theta} I(X_{(1)} \geq \theta)

formunda çarpanlarına ayrıldığından, en küçük sıra istatistiği olan

X_{(1)}

tam ve yeterli istatistiktir.

X_{(1)}

'in dağılımı incelendiğinde ortalamasının

E[X_{(1)}] = \theta + \frac{1}{n}

olduğu görülür. Yansız bir tahmin edici elde etmek için bu ifadeden

\frac{1}{n}

çıkarıldığında

E[X_{(1)} - \frac{1}{n}] = \theta

eşitliği sağlanır. Tam ve yeterli istatistiğin yansız fonksiyonu olduğu için bu ifade UMVUE'dir.

Step-by-Step Solution

1

Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu yazarak Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ile yeterli istatistiği belirlemek.

L(\theta) = \prod_{i=1}^n e^{-(x_i-\theta)} I(x_i \geq \theta) = e^{-\sum x_i} e^{n\theta} I(X_{(1)} \geq \theta)

elde edilir. Bu fonksiyonda parametreye bağlı kısım

X_{(1)}

'i içerdiğinden,

T = X_{(1)}

tam ve yeterli istatistiktir.

Lehmann-Scheffe teoremini uygulayabilmek için öncelikle tam ve yeterli bir istatistik bulunmalıdır.

2

Yeterli istatistiğin (

X_{(1)}

) kümülatif dağılım fonksiyonundan faydalanarak beklenen değerini hesaplamak.

P(X_{(1)} > t) = P(X_1 > t)^n = \left(e^{-(t-\theta)}\right)^n = e^{-n(t-\theta)}

olduğundan

X_{(1)} \sim \text{Kaydırılmış Üstel}(\theta, n)

dağılır. Beklenen değeri

E[X_{(1)}] = \theta + \frac{1}{n}

olarak bulunur.

UMVUE olabilmesi için tahmin edicinin yansız (beklenen değerinin aranan parametreye eşit) olması zorunludur.

3

Beklenen değerdeki yan miktarını düzelterek (yansızlaştırma) Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE'yi elde etmek.

E\left[X_{(1)} - \frac{1}{n}\right] = \theta

eşitliği sağlanır.

X_{(1)} - \frac{1}{n}

tam ve yeterli istatistiğin bir fonksiyonu ve yansız olduğu için UMVUE'dir.

Tam ve yeterli bir istatistiğin yansız bir fonksiyonu, Lehmann-Scheffe teoremine göre tek ve düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicidir.

Key Concept

Kaydırılmış Üstel Dağılımda Yeterli İstatistik ve Lehmann-Scheffe Teoremi

Question 55Question →

Bir kalite kontrol uzmanı, bir üretim hattındaki kusurlu ürün oranını ( $\theta$ ) tahmin etmek için rastgele bir örneklem çekmiştir. Uzman, $\theta$ parametresi için yansız bir tahmin edici olan $\tilde{\theta}$ ile $\theta$ için yeterli (sufficient) bir istatistik olan $S$ 'yi kullanarak yeni bir $\theta^*$ tahmin edicisi oluşturmak istemektedir. Bunun için $\theta^* = E(\tilde{\theta} \mid S)$ koşullu beklenen değerini hesaplamıştır.

Rao-Blackwell teoremine göre, oluşturulan bu yeni $\theta^*$ tahmin edicisi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

\theta^*

tahmin edicisi

\theta

için yansızdır ve varyansı

\tilde{\theta}

tahmin edicisinin varyansına eşit veya ondan daha küçüktür.

\theta^*

'ın

\theta

için yansız bir tahmin edici olmasını sağlayan zorunlu şart,

S

istatistiğinin aynı zamanda tam (complete) olmasıdır.

\theta^*

tahmin edicisinin varyansı, her koşulda kesin olarak Cramer-Rao alt sınırına ulaşır ve her zaman en etkin tahmin edici elde edilir.

Koşullandırma işlemi sonucunda

\theta^*

'ın varyansı her zaman artar, ancak hata kareler ortalaması (MSE) sabit kaldığı için istatistiksel açıdan daha etkindir.

\theta^*

tahmin edicisi

\theta

için yansızlığını korur, ancak bu koşullandırma işlemi sonucunda her zaman tutarlılık (consistency) özelliğini kaybeder.

Show answer & explanation

Answer: $\theta^*$ tahmin edicisi $\theta$ için yansızdır ve varyansı $\tilde{\theta}$ tahmin edicisinin varyansına eşit veya ondan daha küçüktür.

Answer

\theta^*

tahmin edicisi

\theta

için yansızdır ve varyansı

\tilde{\theta}

tahmin edicisinin varyansına eşit veya ondan daha küçüktür.

Rao-Blackwell teoremine göre,

\theta

'nın yansız bir tahmin edicisi (

\tilde{\theta}

), yeterli bir istatistiğe (

S

) göre koşullandırılarak yeni bir tahmin edici (

\theta^*

) elde edildiğinde; Beklenen Değerin Beklenen Değeri kuralı gereği yeni tahmin edici yansız kalır (

E(\theta^*) = \theta

). Koşullu varyans teoremi (Eve Yasası) gereği ise yeni tahmin edicinin varyansı ilk tahmin edicinin varyansını geçemez (

Var(\theta^*) \leq Var(\tilde{\theta})

).

Step-by-Step Solution

1

Koşullu beklenen değerin (

\theta^*

) yansızlığını kontrol et.

E(\theta^*) = E[E(\tilde{\theta} \mid S)] = E(\tilde{\theta}) = \theta

olarak hesaplanır.

Toplam beklenen değer kuralı (Adam Yasası) gereği, yeni tahmin edicinin beklenen değeri ilk tahmin edicinin beklenen değerine eşittir.

2

Koşullu varyans formülünü (Eve Yasası) kullanarak varyansları karşılaştır.

Var(\tilde{\theta}) = E[Var(\tilde{\theta} \mid S)] + Var(E[\tilde{\theta} \mid S]) = E[Var(\tilde{\theta} \mid S)] + Var(\theta^*)

eşitliği yazılır.

Varyansın parçalanması teoremine göre, ilk tahmin edicinin varyansı iki pozitif (veya sıfır) terimin toplamına eşittir.

3

Varyans eşitsizliğini oluştur.

E[Var(\tilde{\theta} \mid S)] \geq 0

olduğundan, denklem

Var(\tilde{\theta}) \geq Var(\theta^*)

şeklinde özetlenir.

Rao-Blackwell teoreminin temel sonucu olan varyansın küçülmesi (veya aynı kalması) özelliği bu eşitsizlikten elde edilir.

Key Concept

Rao-Blackwell teoreminin yansızlık ve varyans küçültme özellikleri

Question 56Question →

Bir fabrikada üretilen elektronik parçaların kusurlu olma durumu incelenmektedir. Kalite kontrol süreci için $n$ çaplı bağımsız bir rastgele örneklem alınmış ve $X_i$ rastgele değişkeni, $i$ . parçanın kusurlu olması durumunda 1, kusursuz olması durumunda 0 değerini alacak şekilde tanımlanmıştır. Parçaların kusurlu olma olasılığının $p$ olduğu bilinmektedir.

Kitle varyansını, yani $\theta = p(1-p)$ parametresini tahmin etmek amacıyla, örneklem ortalaması $\bar{X}$ kullanılarak $\hat{\theta} = \bar{X}(1 - \bar{X})$ tahmin edicisi önerilmiştir.

Buna göre, $\hat{\theta}$ tahmin edicisinin yan miktarı ( $B(\hat{\theta})$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

-\frac{p(1-p)}{n}

\frac{p(1-p)}{n}

0

-\frac{p^2}{n}

-\frac{p(1-p)}{n-1}

Show answer & explanation

Answer: $-\frac{p(1-p)}{n}$

Answer

\hat{\theta}

tahmin edicisinin yan miktarı

-\frac{p(1-p)}{n}

ifadesine eşittir.

Yan miktarı,

B(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta

formülüyle bulunur.

\hat{\theta} = \bar{X}(1 - \bar{X})

tahmin edicisinin beklenen değeri alınırken

E[\bar{X}^2]

ifadesi

Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2

eşitliğinden faydalanarak hesaplanmalıdır. Buradan

E[\bar{X}^2] = \frac{p(1-p)}{n} + p^2

bulunur. İfadeler yerine konduğunda

E[\hat{\theta}] = p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n}

elde edilir. Gerçek kitle varyansı olan

p(1-p)

bu değerden çıkarıldığında geriye

-\frac{p(1-p)}{n}

yan miktarı kalır.

Step-by-Step Solution

1

Tahmin edicinin beklenen değerini, beklenen değer operatörünün doğrusallığını kullanarak ifade etme.

E[\hat{\theta}] = E[\bar{X}(1-\bar{X})] = E[\bar{X} - \bar{X}^2] = E[\bar{X}] - E[\bar{X}^2]

Yan miktarını bulabilmek için öncelikle tahmin edicinin beklenen değerinin tam olarak hesaplanması gerekir.

2

Örneklem ortalamasının beklenen değeri ve varyansını belirleme.

X_i \sim Bernoulli(p)

olduğundan

E[\bar{X}] = p

ve

Var(\bar{X}) = \frac{p(1-p)}{n}

elde edilir.

Örneklem ortalamasının momentleri, kitle dağılımının momentlerine doğrudan bağlıdır.

3

\bar{X}

'in karesinin beklenen değerini, varyans formülü üzerinden hesaplama.

E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 = \frac{p(1-p)}{n} + p^2

Bir rastgele değişkenin karesinin beklenen değerini bulmak için varyans ile beklenen değerin karesi toplanmalıdır.

4

Tahmin edicinin beklenen değerini formülde yerine koyarak bulma.

E[\hat{\theta}] = p - \left( \frac{p(1-p)}{n} + p^2 \right) = p - p^2 - \frac{p(1-p)}{n} = p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n}

Bulunan momentler ana denklemde yerine yazılarak tahmin edicinin dağılım merkezi elde edilir.

5

Yan miktarını (Bias) tanım formülüne göre hesaplama.

B(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta = \left( p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n} \right) - p(1-p) = -\frac{p(1-p)}{n}

Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile tahmin edilmek istenen gerçek parametre değeri arasındaki farktır.

Key Concept

Yansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı (Bias)

Alternative Method

S^2 = \frac{n}{n-1}\bar{X}(1-\bar{X})

formülünün yansız bir örneklem varyansı tahmin edicisi olduğu bilgisinden yola çıkarak,

\hat{\theta} = \frac{n-1}{n}S^2

olduğu görülüp,

E[\hat{\theta}] = \frac{n-1}{n} p(1-p)

eşitliği hızlıca elde edilebilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 57Question →

Bir gazdaki moleküllerin hızlarını modellemek için kullanılan Maxwell-Boltzmann dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x; \theta) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x^2}{\theta^3} \exp\left(-\frac{x^2}{2\theta^2}\right), \quad x > 0, \theta > 0

Burada $\theta$ , sıcaklık ile ilişkili bilinmeyen bir parametredir. $X_1, X_2, \ldots, X_n$ bu dağılımdan alınan $n$ birimlik rastgele bir örneklem olsun.

Bu dağılımın üstel aile formunda yazılması, tamlık (completeness) özelliği ve Lehmann-Scheffe teoremi bağlamında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Doğal (kanonik) parametre

\eta = -\frac{1}{2\theta^2}

'dir. Doğal parametre uzayı

(-\infty, 0)

açık aralığını içerdiği için

T = \sum_{i=1}^n X_i^2

tam ve yeterli istatistiktir; bu nedenle

T

'ye bağlı yansız bir tahmin edici varsa benzersizdir (UMVUE).

Doğal parametre

\eta = -\frac{1}{2\theta^2}

'dir. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun yapısı gereği Neyman çarpanlara ayırma teoremine göre

T = \sum_{i=1}^n X_i

tam ve yeterli istatistiktir ve bu istatistiğe bağlı yansız tahmin ediciler UMVUE özelliği gösterir.

Doğal parametre

\eta = \frac{1}{\theta^3}

'tür.

T = \sum_{i=1}^n X_i^2

tam ve yeterli istatistiktir; elde edilecek UMVUE'nin her zaman tutarlı (consistent) olması da teorik bir zorunluluktur.

Doğal parametre

\eta = -\frac{1}{2\theta^2}

'dir.

T = \sum_{i=1}^n X_i^2

yeterli istatistiktir ve Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE bulmak için istatistiğin yeterli olması kâfidir, ayrıca tamlık koşulunun kanıtlanmasına gerek yoktur.

Doğal parametre

\eta = -\frac{1}{2\theta^2}

'dir.

T = \sum_{i=1}^n X_i^2

tam ve yeterli istatistik olsa dahi, bu istatistikten elde edilen asimptotik yanlı bir tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesaplanırken yalnızca varyans değeri dikkate alınır.

Show answer & explanation

Answer: Doğal (kanonik) parametre $\eta = -\frac{1}{2\theta^2}$ 'dir. Doğal parametre uzayı $(-\infty, 0)$ açık aralığını içerdiği için $T = \sum_{i=1}^n X_i^2$ tam ve yeterli istatistiktir; bu nedenle $T$ 'ye bağlı yansız bir tahmin edici varsa benzersizdir (UMVUE).

Answer

Maxwell-Boltzmann dağılımının doğal parametresi

\eta = -1/(2\theta^2)

'dir ve parametre uzayı

(-\infty, 0)

açık aralığını içerdiğinden

T = \sum_{i=1}^n X_i^2

istatistiği tam ve yeterlidir. Bu sayede Lehmann-Scheffe teoremine göre bu istatistiğe dayalı yansız tahmin edici eşsizdir.

Olasılık yoğunluk fonksiyonu üstel aile formunda düzenlendiğinde, doğal (kanonik) parametrenin

\eta = -1/(2\theta^2)

ve yeterli istatistiğin

T = \sum_{i=1}^n X_i^2

olduğu görülür.

\theta > 0

kısıtı altında

\eta

parametresi

(-\infty, 0)

açık aralığında değer alır. Parametre uzayı açık bir aralık içerdiği için, üstel ailelerin tamlık teoremine göre bu yeterli istatistik tamdır (complete). Tam ve yeterli bir istatistiğe dayalı yansız bir tahmin edici varsa, Lehmann-Scheffe teoremi gereğince bu tahmin edici benzersizdir ve Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) adını alır.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunu üstel aile (exponential family) formatında yazma.

f(x; \theta) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} x^2 \exp\left(-\frac{x^2}{2\theta^2} - 3\ln \theta\right)

şeklinde ifade edilir.

Dağılımın doğal (kanonik) parametresini ve yeterli istatistiğini belirleyebilmek için standart üstel forma dönüştürülmesi gerekir.

2

Doğal parametre ve yeterli istatistiği belirleme.

Örneklem için ortak dağılım üzerinden yeterli istatistik

T = \sum_{i=1}^n X_i^2

ve doğal parametre

\eta = -\frac{1}{2\theta^2}

olarak bulunur.

Neyman çarpanlara ayırma teoremine göre, üstel fonksiyonun içindeki rastgele değişkene bağlı terimlerin toplamı yeterli istatistiği, onun katsayısı ise doğal parametreyi verir.

3

Tamlık (completeness) koşulunu kontrol etme.

\theta > 0

olduğu için

\eta = -1/(2\theta^2)

parametresi

(-\infty, 0)

aralığında değer alır. Bu parametre uzayı gerçel sayılar kümesinde açık bir aralık içerir.

Üstel ailelerde doğal parametre uzayı k boyutlu bir açık dikdörtgen (veya aralık) içeriyorsa, ilgili yeterli istatistik tamdır (complete).

4

Lehmann-Scheffe teoremi ile ilişkilendirme.

T = \sum_{i=1}^n X_i^2

tam ve yeterli bir istatistik olduğundan,

T

'nin bir fonksiyonu yansız bir tahmin edici ise bu tahmin edici benzersizdir (UMVUE).

Lehmann-Scheffe teoremi, tam ve yeterli bir istatistiğe bağlı yansız tahmin edicilerin düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE) olacağını garanti eder.

Key Concept

Üstel Ailelerde Tamlık ve Lehmann-Scheffe Teoremi

Question 58Question →

Bir malzemenin dayanıklılık testinde elde edilen kırılma direnci değerlerinin,

0 < x < \theta

aralığında tanımlı ve olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \frac{2x}{\theta^2}

olan bir dağılıma uyduğu varsayılmaktadır. Bir araştırmacı, bu dağılımdan elde ettiği

n

hacimli (

n > 1

) bağımsız rastgele örneklem (

X_1, X_2, \dots, X_n

) üzerinden

\theta

parametresini tahmin etmek amacıyla en çok olabilirlik tahmin edicisi olan

\hat{\theta} = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)

istatistiğini kullanmaya karar veriyor.

Buna göre, $\hat{\theta}$ tahmin edicisinin beklenen değeri ve $\theta$ parametresi için asimptotik yansızlık durumu aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

E(\hat{\theta}) = \frac{2n}{2n+1}\theta

olup, tahmin edici yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.

E(\hat{\theta}) = \theta

olup, tahmin edici her örneklem çapı için yansızdır ve dolayısıyla asimptotik yansızdır.

E(\hat{\theta}) = \frac{n}{n+1}\theta

olup, tahmin edici yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.

E(\hat{\theta}) = \frac{2n}{2n+1}\theta

olup, tahmin edici yanlıdır ve asimptotik yansız değildir.

E(\hat{\theta}) = \frac{2n+1}{2n}\theta

olup, tahmin edici yanlıdır ve asimptotik yansız değildir.

Show answer & explanation

Answer: $E(\hat{\theta}) = \frac{2n}{2n+1}\theta$ olup, tahmin edici yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.

Answer

\hat{\theta}

tahmin edicisinin beklenen değeri

\frac{2n}{2n+1}\theta

olduğu için yanlıdır, limit durumunda

\theta

'ya eşitlendiği için asimptotik yansızdır.

Tahmin edici olan maksimum sıra istatistiğinin beklenen değeri, kitle dağılımının özellikleri kullanılarak integralle hesaplandığında

E(\hat{\theta}) = \frac{2n}{2n+1}\theta

olarak bulunur. Bu ifade

\theta

'ya eşit olmadığından istatistik yanlı bir tahmin edicidir. Asimptotik yansızlığı incelemek için örneklem çapı sonsuza giderken limit alınmalıdır.

\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{2n+1}\theta = 1 \cdot \theta = \theta

olduğundan, tahmin edicinin beklenen değeri asimptotik olarak parametrenin gerçek değerine yakınsar ve bu nedenle asimptotik yansızdır.

Step-by-Step Solution

1

Dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonunun (CDF) bulunması

F(x) = \int_0^x \frac{2t}{\theta^2} dt = \frac{x^2}{\theta^2}

Maksimum sıra istatistiğinin olasılık yoğunluk fonksiyonunu türetebilmek için öncelikle kitle dağılımının birikimli fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

2

Maksimum sıra istatistiği olan

\hat{\theta} = X_{(n)}

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) elde edilmesi

f_{(n)}(x) = n[F(x)]^{n-1}f(x) = n\left(\frac{x^2}{\theta^2}\right)^{n-1}\left(\frac{2x}{\theta^2}\right) = \frac{2nx^{2n-1}}{\theta^{2n}}

Sıra istatistiklerinin teorik dönüşüm formülü kullanılarak, en büyük değerin dağılımı modellenir.

3

Tahmin edicinin beklenen değerinin hesaplanması

E(\hat{\theta}) = \int_0^\theta x \left(\frac{2nx^{2n-1}}{\theta^{2n}}\right) dx = \frac{2n}{\theta^{2n}} \int_0^\theta x^{2n} dx = \frac{2n}{\theta^{2n}} \left[\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right]_0^\theta = \frac{2n}{2n+1}\theta

Sürekli rassal değişkenlerde beklenen değer formülü (

E(X) = \int x f(x) dx

) uygulanarak istatistiğin ortalama davranışı bulunur.

4

Yanlılık ve asimptotik yansızlık özelliklerinin değerlendirilmesi

E(\hat{\theta}) \neq \theta

olduğu için yanlıdır.

\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{2n+1}\theta = \theta

olduğu için asimptotik yansızdır.

Beklenen değerin kitle parametresine sonlu örneklemde ve sonsuza giden limitte eşit olup olmadığı kontrol edilerek tahmin edicinin özellikleri netleştirilir.

Key Concept

Maksimum sıra istatistiğinin beklenen değeri ve asimptotik limit özelliklerinin incelenmesi

Question 59Question →

Bir tarım araştırma enstitüsünde, belirli bir tohum türünün çimlenme başarısını incelemek amacıyla $5$ tohum bağımsız olarak test edilmiştir. Her bir tohumun çimlenme durumu $X_i \sim Bernoulli(p)$ dağılımına uymaktadır ( $i=1,2,3,4,5$ olmak üzere, tohum çimlendiyse $X_i=1$ , çimlenmediyse $X_i=0$ ).

Bilinmeyen $p$ parametresini (çimlenme olasılığı) tahmin etmek için aşağıdaki iki yansız tahmin edici önerilmiştir:

T_1 = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5}{5}

T_2 = \frac{2X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + 2X_5}{7}

Buna göre, $T_1$ tahmin edicisinin $T_2$ tahmin edicisine göre göreli etkinliği $\left( RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} \right)$ ve $T_1$ tahmin edicisinin mutlak etkinliği sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{49}{55}

ve

1

\frac{55}{49}

ve

\frac{49}{55}

\frac{55}{49}

ve

1

\frac{49}{55}

ve

\frac{49}{55}

\frac{55}{49}

ve

5

Show answer & explanation

Answer: $\frac{55}{49}$ ve $1$

Answer

T_1

tahmin edicisinin

T_2

'ye göre göreli etkinliği

\frac{55}{49}

ve mutlak etkinliği

1

'dir.

T_1

ve

T_2

tahmin edicilerinin varyansları sırasıyla

p(1-p)/5

ve

11p(1-p)/49

olarak hesaplanır. Göreli etkinlik

Var(T_2)/Var(T_1)

oranıyla

\frac{55}{49}

bulunur.

n=5

çaplı Bernoulli örneklemi için Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB)

p(1-p)/5

'tir.

T_1

'in varyansı CRLB'ye eşit olduğu için mutlak etkinliği

1

'dir.

Step-by-Step Solution

1

T_1

ve

T_2

tahmin edicilerinin varyanslarını hesaplamak

Var(T_1) = \frac{p(1-p)}{5}

ve

Var(T_2) = \frac{11p(1-p)}{49}

Göreli etkinlik, tahmin edicilerin varyanslarının oranına bağlıdır.

2

T_1

tahmin edicisinin

T_2

'ye göre göreli etkinliğini bulmak

RE(T_1, T_2) = \frac{11p(1-p)/49}{p(1-p)/5} = \frac{55}{49}

Göreli etkinlik, istenen varyans oranı formülü (

Var(T_2)/Var(T_1)

) ile elde edilir.

3

Bernoulli dağılımı için Cramer-Rao Alt Sınırını (CRLB) hesaplamak

n=5

için Fisher bilgi miktarı

I_n(p) = \frac{5}{p(1-p)}

ve

CRLB = \frac{p(1-p)}{5}

Mutlak etkinliği bulmak için teorik minimum varyans olan Cramer-Rao Alt Sınırı gereklidir.

4

T_1

'in mutlak etkinliğini bulmak

Mutlak Etkinlik =

\frac{CRLB}{Var(T_1)} = \frac{p(1-p)/5}{p(1-p)/5} = 1

Mutlak etkinlik, Cramer-Rao Alt Sınırının ilgili tahmin edicinin varyansına oranıyla bulunur.

Key Concept

Göreli Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Estimated Time:2m 0s

Question 60Question →

Bir belediyenin su tüketim analizi kapsamında, hanelerin günlük su kullanım miktarları ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan bir dağılıma sahip bağımsız rastgele değişkenler ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) olarak modellenmiştir. Kurumdaki bir istatistikçi, bazı teknik kısıtlamalar nedeniyle $\mu$ parametresini tahmin etmek için klasik örneklem ortalaması ( $\bar{X}$ ) yerine,

T_n = \frac{n\bar{X} + 5}{n + 3}

şeklinde tanımlanan yeni bir tahmin edici kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, $T_n$ tahmin edicisinin yansızlık durumu hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Sonlu örneklem çaplarında yanlıdır; ancak örneklem çapı sonsuza giderken beklenen değeri

\mu

'ye yakınsadığı için asimptotik olarak yansızdır.

Her

n

örneklem çapı için beklenen değeri

\mu

'ye eşit olduğundan, hem sonlu örneklemlerde hem de asimptotik olarak yansız bir tahmin edicidir.

Beklenen değer hesabında pay ve paydadaki sabit terimler sadeleşmediği için hem sonlu örneklemlerde hem de asimptotik olarak yanlı bir tahmin edicidir.

Örneklem çapı sonsuza giderken tahmin edicinin varyansı sıfıra yaklaştığı için asimptotik olarak yansızdır.

Tahmin edicinin asimptotik yansız olabilmesi için her

n

değeri için hata kareler ortalamasının (MSE) varyansa eşit olması gerekir, bu nedenle asimptotik yanlıdır.

Show answer & explanation

Answer: Sonlu örneklem çaplarında yanlıdır; ancak örneklem çapı sonsuza giderken beklenen değeri $\mu$ 'ye yakınsadığı için asimptotik olarak yansızdır.

Answer

Tahmin edici sonlu örneklem çaplarında yanlı olsa da, örneklem çapı sonsuza giderken beklenen değeri kitlenin gerçek parametresi olan ortalamaya yakınsadığı için asimptotik olarak yansızdır.

Doğru seçenek,

T_n

tahmin edicisinin sonlu örneklemlerde

E[T_n] = \frac{n\mu + 5}{n + 3}

olması sebebiyle yanlı olduğunu, ancak limit durumunda

\lim_{n \to \infty} \frac{n\mu + 5}{n + 3} = \mu

eşitliği sağlandığı için asimptotik olarak yansız olduğunu eksiksiz biçimde ifade etmektedir.

Step-by-Step Solution

1

T_n

tahmin edicisinin beklenen değerini (

E[T_n]

) hesapla.

E[T_n] = E\left[\frac{n\bar{X} + 5}{n + 3}\right] = \frac{nE[\bar{X}] + 5}{n + 3} = \frac{n\mu + 5}{n + 3}

Yansızlık durumunu incelemek için tahmin edicinin beklenen değerinin kitle parametresine (

\mu

) eşit olup olmadığı kontrol edilmelidir.

2

Sonlu örneklem çapları için yan (bias) miktarını belirle.

Yan =

E[T_n] - \mu = \frac{n\mu + 5}{n + 3} - \mu = \frac{n\mu + 5 - n\mu - 3\mu}{n + 3} = \frac{5 - 3\mu}{n + 3}

. Sonuç sıfır olmadığı için

T_n

yanlıdır.

Beklenen değer doğrudan

\mu

'ye eşit olmadığı için tahmin edicinin sonlu durumlarda yanlı olduğu matematiksel olarak gösterilmiş olur.

3

Örneklem çapı sonsuza giderken (

n \to \infty

) beklenen değerin limitini al.

\lim_{n \to \infty} E[T_n] = \lim_{n \to \infty} \frac{n\mu + 5}{n + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(\mu + \frac{5}{n})}{n(1 + \frac{3}{n})} = \mu

Asimptotik yansızlık, örneklem çapı sonsuza giderken tahmin edicinin beklenen değerinin gerçek parametreye yakınsaması özelliğidir.

Key Concept

Asimptotik Yansızlık (Asymptotic Unbiasedness)

Nokta Tahmini ve Özellikleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes