Rastgele Değişkenlerin Dönüşümleri Practice Questions — KPSS İstatistik

$X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,

f(x,y) = \begin{cases} 24xy, & x > 0, \ y > 0 \text{ ve } x+y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

olarak verilmiştir.

$U = \frac{X}{Y}$ ve $V = X+Y$ dönüşümleri tanımlanıyor.

Buna göre, $U$ rastgele değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_U(u)$ aşağıdakilerden hangisidir?

\displaystyle \frac{6u}{(u+1)^4}, \quad u > 0

\displaystyle \frac{8u}{(u+1)^2}, \quad u > 0

\displaystyle \frac{6u}{(u+1)^2}, \quad u > 0

\displaystyle \frac{8u}{(u+1)^4}, \quad u > 0

\displaystyle 4u^3, \quad 0 < u < 1

Show answer & explanation

Answer: $\displaystyle \frac{6u}{(u+1)^4}, \quad u > 0$

Answer

\displaystyle f_U(u) = \frac{6u}{(u+1)^4}, \quad u > 0

İki değişkenli dönüşüm problemlerinde öncelikle ters dönüşümler hesaplanarak

x = uv/(u+1)

ve

y = v/(u+1)

eşitlikleri elde edilir. Bu dönüşümün Jakobiyen determinantı

J = v/(u+1)^2

olarak bulunur. Yeni ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(x,y)|J|

formülünden

\frac{24uv^3}{(u+1)^4}

olarak ortaya çıkar.

x+y<1

koşulu

v<1

aralığını,

x>0

ve

y>0

koşulları ise

u>0

ve

v>0

aralıklarını verir.

U

'nun marjinal dağılımını bulmak için bu ortak fonksiyon,

v

'nin sınırları olan

0

ile

1

arasında entegre edildiğinde doğru sonuç

\frac{6u}{(u+1)^4} \ (u > 0)

şeklinde elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

x

ve

y

'yi

u

ve

v

cinsinden ifade edin (ters dönüşüm).

U = \frac{X}{Y}

ve

V = X+Y

denklemleri çözülürse;

X = \frac{UV}{U+1}

ve

Y = \frac{V}{U+1}

bulunur.

Yeni değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için değişken değiştirme (Jakobiyen) yöntemini uygulamak gereklidir.

2

Dönüşümün Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplayın.

J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} \frac{v}{(u+1)^2} & \frac{u}{u+1} \\ -\frac{v}{(u+1)^2} & \frac{1}{u+1} \end{pmatrix} = \frac{v}{(u+1)^2}

Dönüşüm sonrasında alan elementindeki değişimi (ölçek faktörünü) hesaba katmak zorunludur.

3

U

ve

V

'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

f_{U,V}(u,v)

) ve entegrasyon sınırlarını bulun.

f_{U,V}(u,v) = 24\left(\frac{uv}{u+1}\right)\left(\frac{v}{u+1}\right) \left|\frac{v}{(u+1)^2}\right| = \frac{24uv^3}{(u+1)^4}

. Sınırlar:

x>0, y>0 \Rightarrow u>0

ve

x+y<1 \Rightarrow v<1

. Dolayısıyla

u > 0

ve

0 < v < 1

.

Marjinal dağılımı bulmak için önce doğru sınırlar altındaki ortak dağılımı elde etmeliyiz.

4

Ortak yoğunluk fonksiyonunun

v

değişkeni üzerinden integralini alarak

U

'nun marjinal yoğunluk fonksiyonunu hesaplayın.

f_U(u) = \int_{0}^{1} \frac{24uv^3}{(u+1)^4} dv = \frac{24u}{(u+1)^4} \left[ \frac{v^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{6u}{(u+1)^4}, \quad u > 0

Bir değişkenin marjinal dağılımı, ortak dağılımın diğer değişken (burada

v

) üzerinden entegre edilmesiyle bulunur.

Key Concept

İki Değişkenli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler ve Jakobiyen Yöntemi

Question 2Question →

Bir finansal portföyde yer alan iki farklı hisse senedinin getiri oranlarına bağlı bir risk göstergesi, $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. $X$ ve $Y$ birbirinden bağımsız olup olasılık yoğunluk fonksiyonları sırasıyla aşağıdaki gibi verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & 0 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 < y < 2 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Buna göre, bu iki risk göstergesinin toplamını ifade eden $Z = X + Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunun $2 \le z < 4$ aralığındaki ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{z^2}{8}

\frac{z}{4}

\frac{4z - z^2}{8}

\frac{4z - z^2}{4}

\frac{1}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{4z - z^2}{8}$

Answer

İlgili aralıktaki olasılık yoğunluk fonksiyonu

\frac{4z - z^2}{8}

ifadesidir.

Bağımsız iki rastgele değişkenin toplamının olasılık yoğunluk fonksiyonu evrişim (konvolüsyon) integrali ile bulunur. Z = X + Y için konvolüsyon integrali

f_Z(z) = \int f_X(x)f_Y(z-x) dx

şeklindedir. İki değişkenin sıfırdan farklı olduğu aralıklar

0 < x < 2

ve

0 < z-x < 2

eşitsizlikleri ile belirlenir. İkinci eşitsizlik düzenlendiğinde

z-2 < x < z

koşulu ortaya çıkar. Soruda bizden istenen

2 \le z < 4

aralığı olduğu için, alt sınır

z-2

, üst sınır ise x'in mutlak üst sınırı olan

2

olacaktır. Buna göre integral

\int_{z-2}^2 (x/2)(1/2) dx

şeklinde kurulur. Hesaplama yapıldığında

\frac{1}{4} [x^2/2]_{z-2}^2 = (4z - z^2)/8

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Z = X + Y için konvolüsyon (evrişim) integralini tanımla.

f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)f_Y(z-x) dx

Bağımsız iki sürekli rastgele değişkenin toplamının dağılımı evrişim integrali ile bulunur.

2

X

ve

Y

'nin tanım kümelerine dayanarak

2 \le z < 4

aralığı için integral sınırlarını belirle.

0 < x < 2

ve

0 < z-x < 2 \implies z-2 < x < z

. Verilen

z

aralığı (

z \ge 2

) için alt sınır

z-2

, üst sınır ise

X

'in maksimum değeri olan

2

olmalıdır.

İntegralin sıfırdan farklı değer alabilmesi için hem

f_X(x)

hem de

f_Y(z-x)

fonksiyonlarının kendi tanım aralıklarında olması gerekir.

3

Belirlenen sınırlar üzerinden integrali hesapla.

f_Z(z) = \int_{z-2}^{2} \left(\frac{x}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) dx = \frac{1}{4} \int_{z-2}^{2} x dx

Yoğunluk fonksiyonlarının çarpımı integre edilerek olasılık yoğunluk fonksiyonuna ulaşılır.

4

Belirli integralin sonucunu

z

cinsinden bul.

f_Z(z) = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{z-2}^2 = \frac{1}{8} \left( 4 - (z-2)^2 \right) = \frac{1}{8} (4 - (z^2 - 4z + 4)) = \frac{4z - z^2}{8}

Matematiksel işlemler tamamlanarak fonksiyonun son hali elde edilir.

Key Concept

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Konvolüsyon (Evrişim)

Question 3Question →

Bir fabrikadaki üretim hattında, bir ürünün iki farklı kalite kontrol aşamasından geçmesi gerekmektedir.
Birinci kalite kontrol aşamasının süresi $X$ (saat) rastgele değişkeni ile modellenmekte olup, $0 < x < 1$ aralığında $f_X(x) = 2x$ olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir.
İkinci kalite kontrol aşamasının süresi $Y$ (saat) rastgele değişkeni ile modellenmekte olup, $X$ 'ten bağımsızdır ve $0 < y < 1$ aralığında $f_Y(y) = 3y^2$ olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir.

Bu iki aşamanın toplam süresi $Z = X + Y$ rastgele değişkeni ile ifade edildiğine göre, toplam kalite kontrol süresinin $1 \le z \le 2$ aralığındaki olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Z(z)$ aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{6z^2 - 8z + 3}{2}

\frac{z^4 - 4z + 3}{2}

\frac{-z^4 + 6z^2 - 4z}{2}

2z + 3z^2

6z^3

Show answer & explanation

Answer: $\frac{-z^4 + 6z^2 - 4z}{2}$

Answer

Doğru seçenek, sınırların

z-1

'den

1

'e olarak belirlenip doğru konvolüsyon integrali işleminin uygulandığı

\frac{-z^4 + 6z^2 - 4z}{2}

ifadesidir.

Toplam rastgele değişkenin (

Z = X + Y

) olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için konvolüsyon (evrişim) integrali

f_Z(z) = \int f_X(x)f_Y(z-x)dx

uygulanmalıdır. İki değişken de

(0,1)

aralığında tanımlı olduğundan

0 < x < 1

ve

0 < z-x < 1

şartları sağlanmalıdır.

1 \le z \le 2

aralığı istendiği için, bu kısıtların kesişimi integrasyon sınırlarının

z-1 < x < 1

olmasını gerektirir. Sınırlar dahilinde hesaplanan

6 \int_{z-1}^1 x(z-x)^2 dx

integrali polinom kurallarıyla çözümlendiğinde sonuç

\frac{-z^4 + 6z^2 - 4z}{2}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Bağımsız iki rastgele değişkenin toplamının (Z = X + Y) dağılımını bulmak için konvolüsyon formülü yazılır.

f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamlarının olasılık yoğunluk fonksiyonu her zaman evrişim (konvolüsyon) integrali ile elde edilir.

2

1 \le z \le 2

aralığı için integrasyon sınırları belirlenir.

Fonksiyonların tanımlı olduğu aralıklar

0 < x < 1

ve

0 < z-x < 1

şeklindedir. İkinci eşitsizlikten

z-1 < x < z

bulunur.

1 \le z \le 2

aralığında bu iki eşitsizliğin kesişimi

z-1 < x < 1

olur.

Her iki fonksiyonun da eşzamanlı olarak sıfırdan farklı olduğu ortak

x

bölgesi integrasyon aralığını oluşturur.

3

Belirlenen integrasyon sınırları dikkate alınarak denklem kurulur.

f_Z(z) = \int_{z-1}^1 (2x) \cdot 3(z-x)^2 dx = 6 \int_{z-1}^1 x(z^2 - 2zx + x^2) dx

Olasılık yoğunluk fonksiyonlarının denklemleri, sınırlar eşliğinde integrale yerleştirilir.

4

İntegral içerisindeki ifade genişletilerek

x

'e göre belirli integral hesaplanır.

6 \int_{z-1}^1 (z^2 x - 2z x^2 + x^3) dx = 6 \left[ \frac{z^2 x^2}{2} - \frac{2z x^3}{3} + \frac{x^4}{4} \right]_{z-1}^1

Polinom fonksiyonlarının temel integrasyon kuralları uygulanarak çözümleme yapılır.

5

Bulunan ifadede üst sınır (1) ve alt sınır (z-1) yerine konarak sonuç sadeleştirilir.

Üst sınır için:

\frac{6z^2 - 8z + 3}{12}

Alt sınır için:

\frac{z^4 - 4z + 3}{12}

İki ifadenin farkı alınıp dışarıdaki

6

katsayısı ile çarpıldığında sonuç

\frac{-z^4 + 6z^2 - 4z}{2}

bulunur.

Belirli integralin temel teoremi uygulanarak işlemin cebirsel çözüm aşaması hatasız tamamlanmalıdır.

Key Concept

Bağımsız Rastgele Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)

Question 4Question →

Bir veri analisti, belirli bir algoritmada kullanmak üzere sürekli bir $X$ rastgele değişkeninin dağılımına uygun sentetik veriler oluşturacaktır. Sisteme tanımlanan rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:

f(x) = \begin{cases} \frac{x}{6}, & 2 < x < 4 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Analist, verileri türetmek için olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm) tekniğini kodlamıştır. Algoritmanın rastgele sayı üretecinden çektiği standart düzgün dağılımlı değer $u = \frac{5}{12}$ olarak gerçekleşmiştir.

Buna göre, algoritmanın çıktı olarak vereceği sentetik $x$ veri noktası kaçtır?

3

2.5

\sqrt{5}

-3

1

Show answer & explanation

Answer: $3$

Answer

Algoritmanın çıktı olarak vereceği sentetik veri noktası 3'tür.

Doğru yanıt olan

3

değeri,

X

rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu

F(x) = (x^2 - 4) / 12

hesaplandıktan sonra bu fonksiyonun verilen

u = 5/12

değerine eşitlenmesiyle elde edilir. Denklemden çıkan

x^2 = 9

sonucunda, değişkenin

2 < x < 4

aralığındaki tanımı gereği pozitif olan

3

değeri alınır.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun

2

alt sınırından

x

'e kadar integrali alınarak birikimli dağılım fonksiyonu

F(x)

bulunur.

F(x) = \int_2^x \frac{t}{6} dt = \left[ \frac{t^2}{12} \right]_2^x = \frac{x^2 - 4}{12}

Ters dönüşüm yöntemi doğrudan PDF üzerinden değil, birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) üzerinden çalışır.

2

Elde edilen

F(x)

fonksiyonu, simülasyondan üretilen

u

rassal değerine eşitlenir.

\frac{x^2 - 4}{12} = \frac{5}{12}

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre

X = F^{-1}(U)

bağıntısı geçerlidir.

3

Elde edilen denklem

x

için çözülür ve fonksiyonun tanım aralığına uygun olan kök belirlenir.

x^2 - 4 = 5 \implies x^2 = 9 \implies x = 3

X

'in tanım aralığı

2 < x < 4

olduğu için negatif kök olan

-3

elenir ve geçerli değer

3

olarak onaylanır.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm Yöntemi)

Estimated Time:2m 0s

Question 5Question →

Bir mühendislik uygulamasında, bir sistemin iki farklı bileşeninin çalışma sürelerini etkileyen $X$ ve $Y$ çevresel faktörleri birbirinden bağımsız olarak modellenmiştir. Bu faktörlerin her ikisi de $(0, 1)$ aralığında standart düzgün dağılıma, $U(0,1)$ , sahiptir.

Sistemin tepki süresi, bu iki faktörün oranına bağlı olarak $W = \frac{X}{Y}$ rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir.

Buna göre, $W$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_W(w)$ aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

f_W(w) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 < w \leq 1 \\ \frac{1}{2w^2}, & w > 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

f_W(w) = \begin{cases} 1, & 0 < w \leq 1 \\ \frac{1}{w}, & w > 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

f_W(w) = \begin{cases} 1, & 0 < w < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

f_W(w) = \begin{cases} \frac{1}{2w^2}, & w > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

f_W(w) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 < w \leq 1 \\ \frac{1}{w^3}, & w > 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Show answer & explanation

Answer: $f_W(w) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 < w \leq 1 \\ \frac{1}{2w^2}, & w > 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}$

Answer

0 < w \leq 1

aralığında

1/2

ve

w > 1

aralığında

1/(2w^2)

değerini alan parçalı olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

Doğru yanıt, birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) veya Jakobiyen yöntemiyle iki boyutlu düzlemde doğru sınırların entegre edilmesiyle bulunur. Düzgün dağılımlı iki değişkenin oranı için

P(X \leq wY)

hesaplanırken,

x = wy

doğrusunun birim kare içindeki hareketi

w \leq 1

ve

w > 1

durumlarında farklı geometrik bölgeler oluşturur. Bu alanların türevi alındığında

0 < w \leq 1

için yoğunluk

1/2

,

w > 1

için

1/(2w^2)

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

X

ve

Y

'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirleme.

f_{X,Y}(x,y) = 1 \quad (0 < x < 1, \ 0 < y < 1)

Her iki değişken de bağımsız standart düzgün dağılıma sahip olduğu için ortak yoğunluk fonksiyonu, marjinal olasılık fonksiyonlarının çarpımıdır.

2

Birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) yöntemini kullanarak

P(W \leq w)

olasılığını tanımlama.

F_W(w) = P\left(\frac{X}{Y} \leq w\right) = P(X \leq wY)

Y

değişkeni sadece pozitif değerler aldığından eşitsizlik yön değiştirmez. Çözüm,

xy

düzlemindeki birim kare içerisinde

x \leq wy

bölgesinin alanını hesaplamaktır.

3

0 < w \leq 1

durumu için olasılığı hesaplama ve türev alma.

Bu durumda

x = wy

doğrusu tavanı (

y=1

)

x=w

noktasında keser. Taralı alan bir üçgendir. Alan =

\frac{w \cdot 1}{2} = \frac{w}{2}

. Türevi:

f_W(w) = \frac{1}{2}

w \leq 1

iken doğrunun eğimi diktir ve taranan bölge basit bir dik üçgen oluşturur.

4

w > 1

durumu için olasılığı hesaplama ve türev alma.

Bu durumda doğru, sağ duvarı (

x=1

)

y=\frac{1}{w}

noktasında keser. İstenmeyen bölge (

X > wY

) bir üçgendir ve alanı

\frac{1 \cdot (1/w)}{2} = \frac{1}{2w}

olur. Tüm alandan çıkarırsak:

F_W(w) = 1 - \frac{1}{2w}

. Türevi:

f_W(w) = \frac{1}{2w^2}

w > 1

iken bölge kırılmaya uğrar ve yamuk şeklini alır. Tüm kareden (1), dışarıda kalan sağ alt üçgeni çıkarmak hesaplamayı kolaylaştırır.

5

Parçalı olasılık yoğunluk fonksiyonunu yazma.

f_W(w) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 < w \leq 1 \\ \frac{1}{2w^2}, & w > 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Her iki farklı

w

bölgesi için elde edilen türev sonuçları birleştirilerek tam dağılım fonksiyonu elde edilir.

Key Concept

İki bağımsız rastgele değişkenin oranının dağılımı ve geometrik CDF hesaplaması

Question 6Question →

$X$ sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{3}{10}(x^2 + 1), & 1 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $Y = \frac{1}{X}$ dönüşümü ile elde edilen $Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

f_Y(y) = \frac{3(y^2+1)}{10y^2}, \quad \frac{1}{2} < y < 1

f_Y(y) = \frac{3(y^2+1)}{10}, \quad \frac{1}{2} < y < 1

f_Y(y) = \frac{3(y^2+1)}{10y^4}, \quad \frac{1}{2} < y < 1

f_Y(y) = \frac{3(y^2+1)}{10y^3}, \quad \frac{1}{2} < y < 1

f_Y(y) = \frac{3(y^2+1)}{10y^4}, \quad 1 < y < 2

Show answer & explanation

Answer: $f_Y(y) = \frac{3(y^2+1)}{10y^4}, \quad \frac{1}{2} < y < 1$

Answer

Doğru fonksiyon

f_Y(y) = \frac{3(y^2+1)}{10y^4}, \quad \frac{1}{2} < y < 1

olarak hesaplanır.

Doğru dönüşüm için öncelikle

X

,

Y

cinsinden yalnız bırakılır:

x = 1/y

. Yeni sınırlar

1 < x < 2

yerine konularak

1/2 < y < 1

olarak bulunur. Dönüşümün türevinin mutlak değeri (Jakobiyen)

|dx/dy| = |-1/y^2| = 1/y^2

şeklindedir. Tüm bu ifadeler olasılık yoğunluk fonksiyonunda yerine yazıldığında

f_Y(y) = f_X(1/y) \cdot |dx/dy| = \frac{3}{10}\left(\frac{1}{y^2} + 1\right) \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{3(y^2+1)}{10y^4}

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Dönüşümün ters fonksiyonunu ve tanım aralığını bulmak.

y = \frac{1}{x} \implies x = \frac{1}{y}

olarak bulunur. Sınırlar için:

1 < x < 2 \implies 1 < \frac{1}{y} < 2 \implies \frac{1}{2} < y < 1

elde edilir.

Yeni değişken

Y

'nin tanım kümesini ve

X

'i

Y

cinsinden belirlememiz gerekir.

2

Jakobiyen (türev) değerini hesaplamak.

\frac{dx}{dy} = -\frac{1}{y^2} \implies |J| = \left|-\frac{1}{y^2}\right| = \frac{1}{y^2}

Tek değişkenli dönüşüm teoreminde olasılık yoğunluğunu korumak için, alan değişimini temsil eden türevin mutlak değeri (Jakobiyen) ile çarpım yapılmalıdır.

3

Olasılık yoğunluk fonksiyonunda yerine koyma işlemini gerçekleştirmek.

f_Y(y) = f_X\left(\frac{1}{y}\right) \cdot |J| = \frac{3}{10}\left(\left(\frac{1}{y}\right)^2 + 1\right) \cdot \frac{1}{y^2}

Genel dönüşüm kuralı

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |J|

formülüyle uygulanır.

4

İfadeyi cebirsel olarak düzenlemek.

f_Y(y) = \frac{3}{10}\left(\frac{1+y^2}{y^2}\right) \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{3(y^2+1)}{10y^4}

Fonksiyonu şıklarda verilen en sade halinde ifade etmek için parantez içi toplanır ve çarpılır.

Key Concept

Tek değişkenli sürekli dönüşümlerde, ters fonksiyonun bulunarak olasılık yoğunluk fonksiyonunda yerine yazılması ve mutlak değerli Jakobiyen terimi ile çarpılması.

Question 7Question →

Bir vergi dairesinde, günlük incelenen beyanname sayısındaki hedef sapmaları $X$ kesikli rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu (PMF) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$P(X=x)$	$0.10$	$0.25$	$0.30$	$0.20$	$0.15$

Bu sapmaların kurumun günlük iş yüküne getirdiği ek maliyet faktörü, $Y = X^2$ dönüşümü ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, ek maliyet değişkeni $Y$ 'nin $4$ değerini alma olasılığı ( $P(Y=4)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0.10

0.15

0.25

0.45

0.75

Show answer & explanation

Answer: $0.25$

Answer

Ek maliyet değişkeni Y'nin 4 değerini alma olasılığı 0.25'tir.

Verilen

Y = X^2

dönüşümüne göre,

Y

'nin

4

değerini alabilmesi için

X^2 = 4

eşitliğinin sağlanması gerekir. Bu eşitliği sağlayan

X

değerleri

-2

ve

2

'dir. Kesikli rastgele değişkenlerin dönüşümlerinde, aynı

Y

değerine ulaşan tüm ayrık

X

durumlarının olasılıkları toplanmalıdır. Tablodan değerler okunduğunda

P(X=-2) = 0.10

ve

P(X=2) = 0.15

olarak verilmiştir. Bu nedenle

P(Y=4) = P(X=-2) + P(X=2) = 0.10 + 0.15 = 0.25

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Y = X^2

denkleminde

Y = 4

yapan orijinal

X

değerlerini belirleme.

X^2 = 4 \implies X = -2

veya

X = 2

Kesikli rastgele değişkenlerde dönüştürülmüş değişkenin belirli bir değeri alma olasılığı, o değeri üreten tüm ayrık

X

değerlerinin olasılıklarının toplamına eşittir.

2

Belirlenen

X

değerlerine karşılık gelen olasılıkları tablodan bulup toplama.

P(Y=4) = P(X=-2) + P(X=2) = 0.10 + 0.15 = 0.25

X=-2

ve

X=2

olayları ayrık (kesişimleri boş küme) olduğundan, olasılık fonksiyonunda bu iki duruma ait olasılık değerleri doğrudan toplanır.

Key Concept

Bire-bir olmayan dönüşümlerde olasılık kütle fonksiyonunun hesaplanması

Question 8Question →

Bir endüstriyel üretim bandında üretilen parçaların standart ölçüden sapma miktarı $X$ (milimetre cinsinden) rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in $-1$ ile $3$ değerleri arasında sürekli düzgün (uniform) dağılıma sahip olduğu bilinmektedir.

Kalite kontrol birimi, parçaların hata alanını değerlendirmek için $Y = X^2$ dönüşümü ile yeni bir risk faktörü değişkeni tanımlamıştır.

Buna göre, dağılım fonksiyonu (CDF) yöntemi kullanılarak hesaplandığında, $Y$ risk faktörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

0 < y < 1

için

\frac{1}{4\sqrt{y}}

ve

1 \le y < 9

için

\frac{1}{8\sqrt{y}}

0 < y < 9

için

\frac{1}{8\sqrt{y}}

0 < y < 9

için

\frac{1}{4\sqrt{y}}

0 < y < 1

için

\frac{1}{2}

ve

1 \le y < 9

için

\frac{1}{4}

0 < y < 1

için

\frac{1}{2\sqrt{y}}

ve

1 \le y < 9

için

\frac{1}{4\sqrt{y}}

Show answer & explanation

Answer: $0 < y < 1$ için $\frac{1}{4\sqrt{y}}$ ve $1 \le y < 9$ için $\frac{1}{8\sqrt{y}}$

Answer

0 < y < 1 için fonksiyon 1/(4√y) ve 1 ≤ y < 9 için fonksiyon 1/(8√y) olarak iki parçalı tanımlanan seçenektir.

Doğru yanıt, Y'nin CDF'si hesaplanırken X'in asimetrik tanım aralığı sınırlarına (-1 ile 3) dikkat edilerek integrasyon bölgesinin ikiye ayrılmasıyla elde edilen parçalı fonksiyondur. 0 < y < 1 aralığında X, her iki kökü (-\sqrt{y} ve \sqrt{y}) de içerdiği için CDF'nin türevine çift yönlü katkı gelir ve yoğunluk 1/(4\sqrt{y}) olur. Ancak 1 < y < 9 aralığında X'in alt sınırı -1'de kesildiği için integral -1'den \sqrt{y}'ye kadar alınır, bu yüzden sadece pozitif yönden katkı gelir ve yoğunluk yarıya düşerek 1/(8\sqrt{y}) olur.

Step-by-Step Solution

1

X

rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) belirleme.

X \sim U(-1, 3)

olduğu için aralık uzunluğu

3 - (-1) = 4

'tür. Dolayısıyla

-1 < x < 3

için

f_X(x) = \frac{1}{4}

olur.

Dönüşüm sırasında başlangıç dağılımının temel özellikleri kullanılarak CDF hesaplanmalıdır.

2

Y = X^2

dönüşümü için birikimli dağılım fonksiyonunun (CDF) genel tanımını yazma.

F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^2 \le y) = P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y})

.

CDF yöntemi, hedef değişkenin dağılım fonksiyonunu başlangıç değişkeninin dağılım fonksiyonu cinsinden ifade etmeyi gerektirir.

3

y

'nin

0 < y < 1

aralığındaki bölgesi için olasılık yoğunluk fonksiyonunu hesaplama.

Bu aralıkta

-\sqrt{y} > -1

olduğundan tüm alan

X

'in tanım kümesindedir.

F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{4} dx = \frac{2\sqrt{y}}{4} = \frac{\sqrt{y}}{2}

. Türevi alındığında

f_Y(y) = \frac{1}{4\sqrt{y}}

bulunur.

Y'nin küçük değerleri için X'in hem negatif hem de pozitif tarafı simetrik olarak integral sınırları içinde kalır.

4

y

'nin

1 \le y < 9

aralığındaki bölgesi için olasılık yoğunluk fonksiyonunu hesaplama.

Bu aralıkta

-\sqrt{y} \le -1

olur. Ancak

X

,

-1

'den küçük değerler alamadığı için integral

-1

'den başlar.

F_Y(y) = \int_{-1}^{\sqrt{y}} \frac{1}{4} dx = \frac{\sqrt{y} - (-1)}{4} = \frac{\sqrt{y} + 1}{4}

. Türevi alındığında

f_Y(y) = \frac{1}{8\sqrt{y}}

bulunur.

Y'nin büyük değerleri için X'in negatif tarafındaki sınır, dağılımın kendi tanım aralığı olan -1 noktasına takılır.

Key Concept

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ile Bire-Bir Olmayan Dönüşümler

Question 9Question →

Bir kalite kontrol mühendisi, ürettikleri hassas bir sensörün ölçüm sapmalarını sürekli bir $X$ rastgele değişkeni ile modellemektedir. $X$ rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu olan $F(x)$ , tanımlı olduğu aralıkta kesin artan ve süreklidir.

Mühendis, bu sapmaları standartlaştırmak amacıyla

K

adlı yeni bir performans indeksi tanımlamıştır:

K = 4 \left( F(X) - \frac{1}{2} \right)^2

Buna göre, $K$ performans indeksinin olasılık yoğunluk fonksiyonu ( $f_K(k)$ ), $0 < k < 1$ aralığı için aşağıdakilerden hangisidir?

f_K(k) = \frac{1}{2\sqrt{k}}

f_K(k) = \frac{1}{4\sqrt{k}}

f_K(k) = \frac{1}{\sqrt{k}}

f_K(k) = 1

f_K(k) = 2k

Show answer & explanation

Answer: $f_K(k) = \frac{1}{2\sqrt{k}}$

Answer

Doğru yanıt

f_K(k) = \frac{1}{2\sqrt{k}}

fonksiyonunu veren seçenektir.

Olasılık İntegral Dönüşümü teoremine göre

U = F(X)

değişkeni

(0,1)

aralığında Uniform dağılıma sahiptir. İfadeyi

K = (2U-1)^2

şeklinde yazıp

P(K \le k)

birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) araştırıldığında,

U

'nun sınırları

\frac{1-\sqrt{k}}{2} \le U \le \frac{1+\sqrt{k}}{2}

olarak bulunur.

U

'nun dağılımı

(0,1)

aralığında düzgün olduğu için bu bölgenin olasılığı, üst ve alt sınırlar arasındaki uzunluğa, yani

\sqrt{k}

'ya eşittir. Olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için

F_K(k) = \sqrt{k}

fonksiyonunun türevi alındığında

f_K(k) = \frac{1}{2\sqrt{k}}

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık İntegral Dönüşümü teoremini uygulayın.

X

sürekli rastgele değişken olduğundan,

U = F(X)

rastgele değişkeni

(0,1)

aralığında sürekli düzgün (Uniform) dağılıma sahiptir (

U \sim U(0,1)

).

Teoreme göre her sürekli dağılımın kendi birikimli dağılım fonksiyonundan (CDF) geçirilmesi Uniform(0,1) üretir.

2

K

indeksini

U

cinsinden ifade edin.

K = 4 \left( U - \frac{1}{2} \right)^2 = \left( 2U - 1 \right)^2

Değişken dönüşüm işlemlerini kolaylaştırmak için ifadeyi tam kare formuna getirmeliyiz.

3

K

'nın birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF)

P(K \le k)

olarak kurup

U

'ya göre eşitsizliği çözün.

P((2U - 1)^2 \le k) \implies -\sqrt{k} \le 2U - 1 \le \sqrt{k} \implies \frac{1 - \sqrt{k}}{2} \le U \le \frac{1 + \sqrt{k}}{2}

Karesel bir dönüşüm (bire-bir olmayan) olduğu için mutlak değer kuralına dikkat ederek

U

'nun alt ve üst sınırlarını belirlemek zorundayız.

4

U \sim U(0,1)

bilgisini kullanarak CDF değerini hesaplayın.

U

'nun olasılık yoğunluğu

1

olduğu için, bu aralıktaki olasılık üst ve alt sınırın farkıdır:

F_K(k) = \frac{1 + \sqrt{k}}{2} - \frac{1 - \sqrt{k}}{2} = \sqrt{k}

.

Uniform(0,1) dağılımında

P(a \le U \le b) = b - a

kuralı geçerlidir.

5

K

'nın olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) elde etmek için CDF'nin

k

'ya göre türevini alın.

f_K(k) = \frac{d}{dk} F_K(k) = \frac{d}{dk} (k^{1/2}) = \frac{1}{2} k^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{k}}

Sürekli rastgele değişkenlerde yoğunluk fonksiyonu, birikimli dağılım fonksiyonunun türevidir.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü ve Bire-bir Olmayan Değişken Dönüşümleri

Alternative Method

Jakobiyen tekniği kullanılabilir:

k = 4(u-1/2)^2

fonksiyonu

u=1/2

noktasında simetriktir ve iki farklı ters fonksiyonu vardır:

u_1 = \frac{1-\sqrt{k}}{2}

ve

u_2 = \frac{1+\sqrt{k}}{2}

. Her bir dal için Jakobiyen (türevlerin mutlak değeri) hesaplandığında

|du_1/dk| = |du_2/dk| = \frac{1}{4\sqrt{k}}

elde edilir.

f_K(k) = f_U(u_1)|du_1/dk| + f_U(u_2)|du_2/dk|

formülünden

1\cdot\frac{1}{4\sqrt{k}} + 1\cdot\frac{1}{4\sqrt{k}} = \frac{1}{2\sqrt{k}}

doğrudan bulunabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 10Question →

Bir donanım parçasının arızalanma süresini (yıl olarak) modelleyen $X$ sürekli rassal değişkeninin yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki biçimde tanımlanmıştır:

f(x) = \begin{cases} \frac{4}{15}x^3, & 1 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Donanımın zaman içindeki değer kaybını asimptotik olarak modellemek amacıyla $Y = \frac{1}{X}$ dönüşümü kullanılarak yeni bir $Y$ rassal değişkeni elde ediliyor.

Buna göre, $Y$ rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu olan $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

\frac{4}{15y^5}, \quad \frac{1}{2} < y < 1

\frac{4}{15y^5}, \quad 1 < y < 2

\frac{4}{15y^3}, \quad \frac{1}{2} < y < 1

\frac{4}{15y}, \quad \frac{1}{2} < y < 1

\frac{4y}{15}, \quad \frac{1}{2} < y < 1

Show answer & explanation

Answer: $\frac{4}{15y^5}, \quad \frac{1}{2} < y < 1$

Answer

Doğru cevap, yoğunluk fonksiyonunu

f_Y(y) = \frac{4}{15y^5}

ve tanım aralığını

\frac{1}{2} < y < 1

olarak veren seçenektir.

Tek değişkenli sürekli rassal değişkenlerde dönüşüm kuralı

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right|

şeklindedir. Burada

x = \frac{1}{y}

olup, türevin mutlak değeri

\frac{1}{y^2}

'dir. Formülde yerine konulduğunda

\frac{4}{15}\left(\frac{1}{y}\right)^3 \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{4}{15y^5}

elde edilir. Tanım aralığı ise eşitsizlik kuralları gereği

1 < \frac{1}{y} < 2

üzerinden çözüldüğünde

\frac{1}{2} < y < 1

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Y = \frac{1}{X}

dönüşümünün ters fonksiyonunu elde etme.

X = \frac{1}{Y} = Y^{-1}

Değişken değiştirme yönteminde

f_X(x)

fonksiyonunda

x

yerine yazılacak eşitliğin bulunması gerekir.

2

Ters dönüşümün türevini alarak Jakobiyen (mutlak değer) faktörünü hesaplama.

\frac{dx}{dy} = -Y^{-2} \implies |J| = \left|-\frac{1}{y^2}\right| = \frac{1}{y^2}

Olasılıkların korunması için türevin mutlak değeriyle yoğunluk fonksiyonunun çarpılması zorunludur.

3

Ana formülü (

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |J|

) uygulama.

f_Y(y) = \frac{4}{15}\left(\frac{1}{y}\right)^3 \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{4}{15y^5}

Yeni rassal değişkenin matematiksel formunu elde etmek içindir.

4

Yeni değişkenin (

Y

) tanım sınırlarını bulma.

1 < x < 2 \implies 1 < \frac{1}{y} < 2 \implies \frac{1}{2} < y < 1

Dönüşüm sonucunda yoğunluk fonksiyonunun geçerli olduğu aralığın da dönüştürülmesi gerekir.

Key Concept

Tek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme) Yöntemi

Question 11Question →

Bir otomotiv fabrikasında üretilen özel alaşımlı millerin çaplarındaki referans değere göre mikron cinsinden sapmalar $X$ kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Aşağıdaki tabloda $X$ rastgele değişkeninin olasılık dağılımı verilmiştir:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X=x)$	$0.15$	$0.10$	$0.10$	$0.30$	$0.10$	$0.10$	$0.15$

Kalite kontrol departmanı, millerin sapmalarından kaynaklanan işçilik ve malzeme kaybı maliyetini hesaplamak için $Y = X^2 - 2|X| + 1$ dönüşümünü kullanmaktadır.

Buna göre, maliyeti temsil eden $Y$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(Y)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

2.41

3.60

5.30

11.11

28.81

Show answer & explanation

Answer: 2.41

Answer

Doğru yanıt 2.41'dir.

Y = X^2 - 2|X| + 1

ifadesi tam kareye tamamlandığında

(|X| - 1)^2

elde edilir. Bu dönüşüm uygulandığında,

X

rastgele değişkeninin aldığı değerler örtüşerek

Y

değişkeni için yalnızca 0, 1 ve 4 değerlerini üretir. Kütle olasılıkları toplandığında

P(Y=0)=0.20

,

P(Y=1)=0.50

ve

P(Y=4)=0.30

bulunur. Bu noktadan itibaren

E[Y] = 1.70

ve

E[Y^2] = 5.30

olarak hesaplanır. Varyans genel kuralı olan

Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2

formülü uygulandığında sonucun

5.30 - 2.89 = 2.41

olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1

Y = X^2 - 2|X| + 1

dönüşümünü düzenleyerek

Y

rastgele değişkeninin alabileceği değerleri tespit etmek.

Y = (|X| - 1)^2

fonksiyonu kullanılarak

X

değerleri için

Y

sonuçları bulunur:

X=0 \rightarrow Y=1

;

X=\pm 1 \rightarrow Y=0

;

X=\pm 2 \rightarrow Y=1

;

X=\pm 3 \rightarrow Y=4

.

Varyans hesaplaması için yeni rastgele değişkenin olasılık kütle fonksiyonunu (PMF) oluşturmak gereklidir.

2

Y

değerlerinin örtüştüğü durumlardaki olasılıkları toplamak ve

Y

'nin olasılık dağılımını elde etmek.

P(Y=0) = P(X=-1) + P(X=1) = 0.10 + 0.10 = 0.20

.

P(Y=1) = P(X=0) + P(X=-2) + P(X=2) = 0.30 + 0.10 + 0.10 = 0.50

.

P(Y=4) = P(X=-3) + P(X=3) = 0.15 + 0.15 = 0.30

.

Aynı

Y

değerine dönüşen

X

durumları ayrık olaylar olduğu için olasılıkları toplanmalıdır.

3

Y

rastgele değişkeninin beklenen değerini (

E[Y]

) hesaplamak.

E[Y] = (0 \times 0.20) + (1 \times 0.50) + (4 \times 0.30) = 0 + 0.50 + 1.20 = 1.70

.

Varyans formülü

Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2

işleminde

E[Y]

değerine ihtiyaç vardır.

4

Y

rastgele değişkeninin ikinci momentini (

E[Y^2]

) hesaplamak.

E[Y^2] = (0^2 \times 0.20) + (1^2 \times 0.50) + (4^2 \times 0.30) = 0 + 0.50 + (16 \times 0.30) = 5.30

.

Varyans formülünün diğer bileşenini elde etmek içindir.

5

Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2

formülünü uygulamak.

Var(Y) = 5.30 - (1.70)^2 = 5.30 - 2.89 = 2.41

.

Y

rastgele değişkeninin varyansını nihai olarak bulmak.

Key Concept

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Doğrusal Olmayan Dönüşümler ve Dağılım Eldesi

Question 12Question →

Bir yöneylem araştırmacısı, bir tedarik zinciri ağındaki belirli bir teslimatın gecikme süresini (gün cinsinden) modelleyen sürekli bir $X$ rastgele değişkeni için aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonunu kullanmaktadır:

f(x) = \begin{cases} 2(1-x), & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Araştırmacı, bir simülasyon çalışması kapsamında, $(0,1)$ aralığında standart düzgün dağılıma sahip bir $U$ rastgele değişkeninden yararlanarak ters dönüşüm (olasılık integral dönüşümü) yöntemiyle $X$ değişkenine ait rassal değerler üretmek istemektedir.

Buna göre, araştırmacının kullanması gereken dönüşüm denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

1 - \sqrt{1-U}

1 + \sqrt{1-U}

1 - \frac{U}{2}

\sqrt{1-U}

2U - U^2

Show answer & explanation

Answer: $1 - \sqrt{1-U}$

Answer

Araştırmacının kullanması gereken doğru dönüşüm denklemi

1 - \sqrt{1-U}

ifadesidir.

Ters dönüşüm yönteminde, rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) bulunur ve bu fonksiyon standart düzgün dağılımlı

U

değişkenine eşitlenerek

X

yalnız bırakılır.

f(x) = 2(1-x)

fonksiyonunun

0

'dan

x

'e integrali alındığında

F(x) = 2x - x^2

elde edilir. Dönüşüm gereği

U = 2X - X^2

eşitliği kurularak tam kareye tamamlama yöntemiyle

(X-1)^2 = 1-U

denklemine ulaşılır.

X

'in tanım kümesi

(0,1)

aralığı olduğu için denklemin eksi işaretli kökü olan

X = 1 - \sqrt{1-U}

doğru dönüşüm formülüdür.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) integralini alarak birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) hesaplayın.

F(x) = \int_{0}^{x} 2(1-t) dt = \left[2t - t^2\right]_{0}^{x} = 2x - x^2

Ters dönüşüm yönteminin temeli, rastgele değişkenin CDF'ini

(0,1)

aralığındaki düzgün dağılıma eşitlemektir.

2

Elde edilen birikimli dağılım fonksiyonunu standart düzgün dağılımlı

U

rastgele değişkenine eşitleyin.

U = 2X - X^2

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre

F(X) \sim Uniform(0,1)

'dir.

3

Oluşan ikinci dereceden denklemde

X

değişkenini yalnız bırakacak şekilde düzenlemeler yapın.

X^2 - 2X + U = 0 \implies X^2 - 2X + 1 = 1 - U \implies (X - 1)^2 = 1 - U

X = F^{-1}(U)

ters fonksiyonunu elde etmek için cebirsel çözüm gereklidir.

4

Her iki tarafın karekökünü alarak denklemin köklerini bulun ve tanım aralığına uygun olanı seçin.

X - 1 = \pm\sqrt{1-U} \implies X = 1 \pm \sqrt{1-U}

X

'in

0 < X < 1

aralığında tanımlı olması nedeniyle, sonucu

(1,2)

aralığına taşıyacak olan pozitif kök elenmeli,

X = 1 - \sqrt{1-U}

seçilmelidir.

Key Concept

Ters Dönüşüm (Inverse Transform) Yöntemi ile rassal sayı üretimi, bir değişkenin birikimli dağılım fonksiyonunun (CDF) tersinin alınarak

X = F^{-1}(U)

eşitliğinin kullanılması esasına dayanır.

Question 13Question →

Bir kamu kurumunun proje değerlendirme birimi, belirli bir ölçekteki projelerin tamamlanma süresini (yıl cinsinden) $0 < x < 1$ aralığında tanımlı $f(x) = 2x$ olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip sürekli bir $X$ rastgele değişkeni ile modellemektedir. Kurumun risk yönetimi prosedürleri gereği, ilk 6 ay ( $0.5$ yıl) içinde tamamlanamayan projeler için gecikme maliyetlerini tahmin etmek amacıyla bir simülasyon çalışması yapılacaktır.

Uzman, projenin ilk 6 ayda tamamlanamadığı bilindiğine göre ( $X > 0.5$ ), geri kalan projelerin tamamlanma süresini simüle etmek için Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm) yöntemini kullanacaktır.

Standart bir $U \sim \text{Uniform}(0, 1)$ rastgele değişkeni üretildiğine göre, aranan koşullu $X$ simülasyon değerlerini elde etmek için kullanılması gereken standart ters dönüşüm fonksiyonu ( $X = F^{-1}(U)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\sqrt{3U + 1}}{2}

\frac{\sqrt{3U}}{2}

\frac{\sqrt{U + 1}}{2}

\sqrt{U + 0.25}

\frac{\sqrt{U} + 1}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\sqrt{3U + 1}}{2}$

Answer

Doğru dönüşüm

\frac{\sqrt{3U + 1}}{2}

ifadesini içeren seçenektir.

Olasılık integral (ters) dönüşümünde simülasyon yapılacak bölge için önce koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF) bulunur.

X > 0.5

koşulu altında alan

P(X > 0.5) = 0.75

olduğundan, yeni PDF

g(x) = \frac{2x}{0.75} = \frac{8x}{3}

olur. Bu fonksiyonun

0.5

alt sınırı ile birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) hesaplandığında

G(x) = \frac{4x^2 - 1}{3}

elde edilir. Ters dönüşüm metodu gereği

G(X) = U

eşitliğinde

X

yalnız bırakılarak çözüldüğünde

\frac{\sqrt{3U + 1}}{2}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

X > 0.5

durumu için koşullu olasılığı (paydayı) hesaplamak.

P(X > 0.5) = \int_{0.5}^{1} 2x dx = x^2 \Big|_{0.5}^{1} = 1 - 0.25 = 0.75 = \frac{3}{4}

Koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulabilmek için öncelikle koşul olayının gerçekleşme olasılığına ihtiyaç vardır.

2

X > 0.5

kısıtı altında yeni koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

g(x)

) türetmek.

g(x) = \frac{f(x)}{P(X > 0.5)} = \frac{2x}{3/4} = \frac{8x}{3}

(Sadece

0.5 < x < 1

aralığı için geçerlidir)

Simülasyon sadece

X > 0.5

olan projeler için yapılacağından, ilgilenilen bölgedeki yeni PDF belirlenmelidir.

3

Koşullu birikimli dağılım fonksiyonunu (

G(x)

) hesaplamak.

G(x) = \int_{0.5}^{x} \frac{8t}{3} dt = \frac{4t^2}{3} \Big|_{0.5}^{x} = \frac{4x^2}{3} - \frac{4(0.5)^2}{3} = \frac{4x^2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4x^2 - 1}{3}

Olasılık integral (ters) dönüşümü, birikimli dağılım fonksiyonunun Uniform dağılıma eşitlenmesine (G(X) = U) dayanır.

4

G(X) = U

eşitliğini çözerek

X

'i yalnız bırakmak ve ters dönüşümü elde etmek.

\frac{4X^2 - 1}{3} = U \implies 4X^2 - 1 = 3U \implies 4X^2 = 3U + 1 \implies X = \sqrt{\frac{3U + 1}{4}} = \frac{\sqrt{3U + 1}}{2}

Simülasyon algoritmasında üretilen

U(0,1)

rastgele sayılarından istenen dağılıma sahip

X

değerlerini elde etmek için

F^{-1}(U)

fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm Yöntemi) ve Koşullu Olasılık Dağılımları

Alternative Method

Daha pratik ve ileri düzey bir yaklaşım: Orijinal dağılımın CDF'i

F(x) = x^2

olduğundan standart ters dönüşüm

X = \sqrt{V}

şeklindedir (

V \sim U(0,1)

). Soru bizden

X > 0.5

olmasını istemektedir.

X > 0.5 \implies \sqrt{V} > 0.5 \implies V > 0.25

olmalıdır. Demek ki

V

rastgele değişkenini

(0.25, 1)

aralığından tekdüze (uniform) seçmeliyiz. Standart bir

U \sim U(0,1)

değerini bu aralığa eşlersek:

V = 0.25 + 0.75U = \frac{1 + 3U}{4}

olur. Bunu orijinal ters dönüşüme yazarsak:

X = \sqrt{V} = \sqrt{\frac{3U+1}{4}} = \frac{\sqrt{3U+1}}{2}

bulunur.

Estimated Time:3m 30s

Question 14Question →

Bir kamu kurumunun çağrı merkezine gelen ardışık iki çağrı arasındaki bekleme süresi $X$ (dakika) sürekli rastgele değişkeni ile modellenmekte olup, $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f_X(x) = \begin{cases} 2e^{-2x}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Sistemin yoğunluk endeksi $Y$ , bekleme süresine bağlı olarak $Y = e^X$ dönüşümü ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, yoğunluk endeksi $Y$ 'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

f_Y(y) = \frac{2}{y^3}, \quad y > 1

f_Y(y) = \frac{2}{y^2}, \quad y > 1

f_Y(y) = \frac{2}{y^3}, \quad y > 0

f_Y(y) = \frac{2}{y}, \quad y > 1

f_Y(y) = 2e^{-2y}, \quad y > 1

Show answer & explanation

Answer: $f_Y(y) = \frac{2}{y^3}, \quad y > 1$

Answer

Doğru fonksiyon, Jakobiyen ile çarpılıp sınırları güncellenmiş olan

f_Y(y) = \frac{2}{y^3}, \; y > 1

ifadesidir.

Doğru cevap, değişken değiştirme yönteminin tüm adımlarının (ters fonksiyonun bulunması, Jakobiyenin mutlak değerinin çarpım olarak eklenmesi ve tanım aralığının dönüştürülmesi) eksiksiz uygulanmasıyla elde edilen fonksiyondur.

Step-by-Step Solution

1

Ters fonksiyonun bulunması

X = \ln(Y)

Değişken değiştirme kuralını uygulayabilmek için öncelikle

X

değişkenini

Y

cinsinden yalnız bırakarak ifade etmeliyiz.

2

Jakobiyen (türev) değerinin hesaplanması

|J| = \left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{y}

Dönüşüm sırasında toplam olasılık alanının 1 olarak korunabilmesi için, ters fonksiyonun

y

'ye göre türevinin mutlak değeri kural gereği eklenmelidir.

3

Dönüşüm formülünün uygulanması

f_Y(y) = 2e^{-2\ln(y)} \cdot \frac{1}{y} = 2(y^{-2}) \cdot y^{-1} = \frac{2}{y^3}

f_Y(y) = f_X(x(y)) \cdot |J|

kuralı gereğince

X

yerine

\ln(y)

yazılır ve elde edilen ifade Jakobiyen ile çarpılır.

4

Yeni tanım kümesinin (sınırların) belirlenmesi

y > 1

Orijinal dağılımda alt sınır

x > 0

olduğu için, bu sınır

y = e^x

denklemine konularak

y > e^0 = 1

elde edilir.

Key Concept

Tek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme) Yöntemi

Question 15Question →

Bir yatırım portföyünde bulunan A ve B hisse senetlerinin günlük getiri oranları bağımsız rastgele değişkenler olup, sırasıyla $X$ ve $Y$ ile gösterilmektedir. Bu değişkenlerin moment çıkaran fonksiyonları:

M_X(t) = e^{10t + 2t^2}

M_Y(t) = e^{15t + 4.5t^2}

olarak hesaplanmıştır.

Bir yatırımcının bu hisse senetlerinden oluşturduğu portföyün toplam günlük getirisi $W = 3X - 2Y + 5$ denklemi ile modellenmektedir.

Buna göre, $W$ portföy getirisinin moment çıkaran fonksiyonu ( $M_W(t)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

e^{5t}

e^{5t - 3t^2}

e^{5t + 15t^2}

e^{5t + 36t^2}

e^{36t^2}

Show answer & explanation

Answer: $e^{5t + 36t^2}$

Answer

Doğru cevap

e^{5t + 36t^2}

ifadesini içeren seçenektir.

Bağımsız değişkenlerin doğrusal fonksiyonlarının moment çıkaran fonksiyonu

M_{aX+bY+c}(t) = e^{ct} \cdot M_X(at) \cdot M_Y(bt)

formülü ile bulunur.

X

için

t

yerine

3t

,

Y

için

t

yerine

-2t

yazılarak elde edilen ifadeler sabit terimden gelen

e^{5t}

ile çarpıldığında,

30t

ve

-30t

terimleri birbirini götürürken

t^2

katsayıları toplanarak

36t^2

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Bağımsız rastgele değişkenlerin doğrusal kombinasyonu için moment çıkaran fonksiyon kuralını kurma.

M_W(t) = e^{5t} \cdot M_X(3t) \cdot M_Y(-2t)

Birbirinden bağımsız

X

ve

Y

değişkenleri için

W = aX + bY + c

dönüşümünde temel kural

M_W(t) = e^{ct}M_X(at)M_Y(bt)

şeklindedir.

2

X

değişkeni için doğrusal dönüşüm olan

M_X(3t)

değerini hesaplama.

M_X(3t) = e^{10(3t) + 2(3t)^2} = e^{30t + 18t^2}

t

yerine

3t

konulduğunda,

t^2

'li terim için katsayının karesi (

3^2 = 9

) alınarak (2 * 9 = 18) işlem yapılır.

3

Y

değişkeni için doğrusal dönüşüm olan

M_Y(-2t)

değerini hesaplama.

M_Y(-2t) = e^{15(-2t) + 4.5(-2t)^2} = e^{-30t + 4.5(4)t^2} = e^{-30t + 18t^2}

Negatif katsayı durumunda (-2), karesi alındığında pozitif değere dönüşür (4) ve varyans kısmı eksilmez, toplanmaya devam eder.

4

Elde edilen ifadeleri çarparak nihai sonuca ulaşma.

M_W(t) = e^{5t} \cdot e^{30t + 18t^2} \cdot e^{-30t + 18t^2} = e^{5t + (30t - 30t) + (18t^2 + 18t^2)} = e^{5t + 36t^2}

Üslü sayıların çarpım kuralı gereği tabanlar aynı iken (e) üsler toplanır;

30t

ve

-30t

birbirini götürür.

Key Concept

Bağımsız Değişkenlerin Doğrusal Dönüşümlerinde Moment Çıkaran Fonksiyon (MGF)

Alternative Method

Alternatif olarak, MGF yapıları incelendiğinde

X

'in normal dağılıma (

N(10, 4)

) ve

Y

'nin normal dağılıma (

N(15, 9)

) sahip olduğu görülür. Normal dağılımlı bağımsız değişkenlerin doğrusal kombinasyonu da normal dağılır.

E[W] = 3E[X] - 2E[Y] + 5 = 3(10) - 2(15) + 5 = 5

.

Var(W) = 3^2 Var(X) + (-2)^2 Var(Y) = 9(4) + 4(9) = 72

.

W \sim N(5, 72)

olduğundan, doğrudan MGF kuralı (

e^{\mu t + \sigma^2 t^2 / 2}

) ile

M_W(t) = e^{5t + 72t^2/2} = e^{5t + 36t^2}

yazılabilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 16Question →

Bir üretim sürecinde ölçülen iki farklı kalite göstergesi $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. $X$ ve $Y$ 'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} 4xy, & 0 < x < 1 \text{ ve } 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Sürecin performansını değerlendirmek için $U = X^2 Y$ ve $V = X^2$ dönüşümleri tanımlanmıştır.

Buna göre, $U$ ve $V$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u,v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

h(u,v) = \begin{cases} 2uv^{-2}, & 0 < u < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

h(u,v) = \begin{cases} 4uv^{-1/2}, & 0 < u < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

h(u,v) = \begin{cases} 8uv, & 0 < u < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

h(u,v) = \begin{cases} 2uv^{-2}, & 0 < u < 1 \text{ ve } 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

h(u,v) = \begin{cases} 8uv, & 0 < u < 1 \text{ ve } 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Show answer & explanation

Answer: $h(u,v) = \begin{cases} 2uv^{-2}, & 0 < u < v < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$

Answer

Ortak yoğunluk fonksiyonu mutlak Jakobiyen ile çarpılarak elde edilen ve sınırların doğru daraltıldığı fonksiyon seçeneğidir:

2uv^{-2}

,

0 < u < v < 1

.

Doğru yaklaşım için üç aşama eksiksiz uygulanmalıdır: İlk olarak ters dönüşümler

x = \sqrt{v}

ve

y = u/v

olarak tanımlanır. Ardından, kısmı türevler alınarak Jakobiyen determinantı hesaplanır ve mutlak değeri

|J| = \frac{1}{2}v^{-3/2}

elde edilir. Üçüncü olarak sınırlar analiz edildiğinde

0 < y < 1

kuralının

0 < u/v < 1 \implies 0 < u < v

bağımlılığını oluşturduğu görülür. Formülde yerine yazıldığında işlem sonucu

h(u,v) = 2uv^{-2}

(burada

0 < u < v < 1

) çıkmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

x

ve

y

değişkenlerini

u

ve

v

cinsinden ifade etme (Ters dönüşüm).

V = X^2 \implies x = v^{1/2}

ve

U = X^2 Y = v \cdot y \implies y = u v^{-1}

elde edilir.

Jakobiyen determinantını ve yeni ortak yoğunluk fonksiyonunu hesaplamak için değişkenlerin birbirleri cinsinden yazılması şarttır.

2

Ters dönüşümlerin Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplama.

J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}v^{-1/2} \\ v^{-1} & -uv^{-2} \end{pmatrix} = (0) - (\frac{1}{2}v^{-1/2})(v^{-1}) = -\frac{1}{2}v^{-3/2}

bulunur.

Değişken değiştirmede yoğunluk fonksiyonunun ölçeklenmesini sağlamak için mutlak Jakobiyen (

|J|

) çarpanı gereklidir.

3

u

ve

v

'nin tanım aralığını (sınırlarını) belirleme.

0 < x < 1 \implies 0 < v^{1/2} < 1 \implies 0 < v < 1

ve

0 < y < 1 \implies 0 < uv^{-1} < 1 \implies 0 < u < v

elde edilir. Yeni sınırlar

0 < u < v < 1

şeklindedir.

Dönüşüm sonrası yeni rastgele değişkenlerin hangi bölgede tanımlı olduğunu bulmak kural gereğidir.

4

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu,

h(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J|

kuralı ile oluşturma.

h(u,v) = 4(v^{1/2})(uv^{-1}) \cdot \left| -\frac{1}{2}v^{-3/2} \right| = (4uv^{-1/2}) \cdot (\frac{1}{2}v^{-3/2}) = 2uv^{-2}

hesaplanır.

Olasılığın korunumu ilkesine dayanan çok değişkenli dönüşüm teoremini tamamlamak için son adımdır.

Key Concept

Jakobiyen kullanılarak iki boyutlu rastgele değişkenlerde çok değişkenli dönüşüm uygulaması

Alternative Method

Jakobiyeni ters fonksiyonlardan türetmek yerine doğrudan ilk dönüşümlerin matrisi ile de bulabiliriz:

J^* = \det \begin{pmatrix} \partial u/\partial x & \partial u/\partial y \\ \partial v/\partial x & \partial v/\partial y \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 2xy & x^2 \\ 2x & 0 \end{pmatrix} = -2x^3

. Buradan asıl Jakobiyen katsayısı olan

|J| = 1/|J^*| = \frac{1}{2x^3} = \frac{1}{2}v^{-3/2}

bulunur.

Estimated Time:2m 0s

Question 17Question →

Bir sinyal işleme sisteminde, arka plan gürültüsünün genliği $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{2(x+1)}{9}, & -1 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Sistemin ürettiği enerji tepkisi ise genliğin karesi ile orantılı olup $Y = X^2$ dönüşümü ile hesaplanmaktadır.

Dağılım fonksiyonu (CDF) yöntemi kullanılarak $Y$ 'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ elde edilmek istendiğinde, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

f_Y(y) = \begin{cases} \frac{2}{9\sqrt{y}}, & 0 < y \le 1 \\ \frac{\sqrt{y} + 1}{9\sqrt{y}}, & 1 < y < 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

f_Y(y) = \begin{cases} \frac{\sqrt{y} + 1}{9\sqrt{y}}, & 0 < y < 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

f_Y(y) = \begin{cases} \frac{2}{9\sqrt{y}}, & 0 < y < 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

f_Y(y) = \begin{cases} \frac{\sqrt{y} + 1}{9\sqrt{y}}, & 0 < y \le 1 \\ \frac{2}{9\sqrt{y}}, & 1 < y < 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

f_Y(y) = \begin{cases} \frac{2}{9\sqrt{y}}, & 0 < y \le 2 \\ \frac{\sqrt{y} + 1}{9\sqrt{y}}, & 2 < y < 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Show answer & explanation

Answer: $f_Y(y) = \begin{cases} \frac{2}{9\sqrt{y}}, & 0 < y \le 1 \\ \frac{\sqrt{y} + 1}{9\sqrt{y}}, & 1 < y < 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}$

Answer

Y

'nin tanımlı olduğu aralıklar

0 < y \le 1

ve

1 < y < 4

olarak iki parçaya ayrılarak yoğunluk fonksiyonu doğru sınırlarla hesaplanmalıdır.

Dağılım fonksiyonu yönteminde,

Y=X^2

dönüşümü için

F_Y(y) = P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y})

eşitsizliği temel alınır.

X

'in tanımlı olduğu aralık

(-1, 2)

olduğundan,

Y \in (0, 1]

değerleri için integral sınırları

-\sqrt{y}

ile

\sqrt{y}

arasındadır. Fakat

Y \in (1, 4)

değerleri için

-\sqrt{y} < -1

olacağından integralin alt sınırı zorunlu olarak

-1

noktasından başlatılmalıdır. İki farklı durum için integraller alınıp

y

'ye göre türevlendiğinde, her iki parça için doğru yoğunluk fonksiyonu parçaları elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Y=X^2

için Dağılım Fonksiyonu (CDF) eşitsizliğini kurmak.

F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^2 \le y) = P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y})

olarak yazılır.

Olasılık yoğunluk fonksiyonuna geçmeden önce aralık sınırlarını birikimli olasılık (CDF) tanımı üzerinden netleştirmek gerekir.

2

X

'in

(-1, 2)

tanım aralığını dikkate alarak

Y

'nin sınırlarını parçalara ayırmak.

Kare alındığında

Y \in (0, 4)

aralığına düşer. Ancak

X

'in negatif sınırı

-1

olduğundan,

\sqrt{y} > 1

olduğunda alt sınır aşılır. Bu yüzden hesaplama

0 < y \le 1

ve

1 < y < 4

olarak ikiye bölünmelidir.

Dönüşüm fonksiyonu (

X^2

) monoton olmadığı için ve

X

asimetrik bir aralıkta tanımlı olduğu için integral sınırları her

y

değeri için sabit kalmaz.

3

0 < y \le 1

aralığı için yoğunluk fonksiyonunu hesaplamak.

Bu aralıkta

-\sqrt{y}

alt sınırı

-1

'den büyük olduğundan

F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{2x+2}{9} dx = \frac{1}{9} [x^2 + 2x]_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} = \frac{4\sqrt{y}}{9}

bulunur. Türevi alındığında

f_Y(y) = \frac{2}{9\sqrt{y}}

elde edilir.

Bu bölgede

\pm\sqrt{y}

sınırlarının ikisi de

X

'in tanım aralığı

(-1, 2)

içindedir.

4

1 < y < 4

aralığı için yoğunluk fonksiyonunu hesaplamak.

Bu bölgede

-\sqrt{y}

değeri

-1

'den küçüktür. Bu sebeple alt sınır

-1

olmalıdır.

F_Y(y) = \int_{-1}^{\sqrt{y}} \frac{2x+2}{9} dx = \frac{1}{9} (y + 2\sqrt{y} + 1)

bulunur. Türevi alındığında

f_Y(y) = \frac{\sqrt{y} + 1}{9\sqrt{y}}

elde edilir.

y

'nin 1'den büyük olduğu durumlarda

X

'in negatif ucundan artık ek olasılık gelmez.

Key Concept

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yönteminde Parçalı Bölgeler ve Sınırların Belirlenmesi

Estimated Time:4m 0s

Question 18Question →

Bir finansal modelde $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri, iki farklı yatırım aracının bağımsız risk faktörlerini temsil etmektedir. Bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} e^{-(x+y)}, & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Analiz sürecinde, portföyün risk metriklerini hesaplamak amacıyla $U = X - Y$ ve $V = X + Y$ şeklinde yeni rastgele değişkenler tanımlanmıştır.

Buna göre, $U$ ve $V$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u,v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

h(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2}e^{-v}, & v > 0, -v < u < v \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

h(u,v) = \begin{cases} e^{-v}, & v > 0, -v < u < v \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

h(u,v) = \begin{cases} 2e^{-v}, & v > 0, -v < u < v \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

h(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2}e^{-v}, & u > 0, v > 0 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

h(u,v) = \begin{cases} v e^{-v}, & v > 0 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Show answer & explanation

Answer: $h(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2}e^{-v}, & v > 0, -v < u < v \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$

Answer

Sınırların

-v < u < v

ve

v > 0

olduğu, fonksiyonun ise

1/2 e^{-v}

olarak bulunduğu seçenektir.

Doğru yanıt, çok değişkenli dönüşüm teoreminin (

h(u,v) = f(x,y)|J|

) ve yeni sınırların eksiksiz uygulandığı durumdur. Ters dönüşümler elde edildiğinde

X = (U+V)/2

ve

Y = (V-U)/2

bulunur ve bu dönüşümün Jakobiyen determinantı

1/2

'dir. Fonksiyon

e^{-v}

halini alır ve

|J|

ile çarpılarak

\frac{1}{2}e^{-v}

elde edilir. Sınırlar ise

X>0

ve

Y>0

şartlarından hareketle eşitsizliklerin çözülmesiyle

-v < u < v

ve

v > 0

olarak tespit edilir.

Step-by-Step Solution

1

U = X - Y

ve

V = X + Y

denklemlerinden

X

ve

Y

'yi yalnız bırakarak ters dönüşümleri elde etme.

Taraf tarafa toplama ve çıkarma ile

X = \frac{U+V}{2}

ve

Y = \frac{V-U}{2}

bulunur.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu yeni değişkenler (

U,V

) cinsinden yazabilmek için eski değişkenlerin yeni değişkenler türünden ifadesine ihtiyacımız vardır.

2

Ters dönüşümlerin Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplama.

J = \begin{vmatrix} \frac{\partial X}{\partial U} & \frac{\partial X}{\partial V} \\ \frac{\partial Y}{\partial U} & \frac{\partial Y}{\partial V} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 \end{vmatrix} = (\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Çok değişkenli dönüşümlerde alan değişim oranını dengelemek için Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile çarpım yapılması zorunludur.

3

Yeni sınırları (destek kümesini) belirleme.

X > 0 \implies \frac{U+V}{2} > 0 \implies U > -V

Y > 0 \implies \frac{V-U}{2} > 0 \implies U < V

Bu iki eşitsizlik birleştirildiğinde

-V < U < V

elde edilir. Bu durumun sağlanabilmesi için

V > 0

olması gerekir.

Dönüşüm sonrasında fonksiyonun sıfırdan farklı olduğu yeni bölgenin geometrik sınırlarının doğru tanımlanması gerekir.

4

Bulunan değerleri orijinal

f(x,y)

fonksiyonunda yerine koyarak

h(u,v)

ortak yoğunluk fonksiyonunu oluşturma.

h(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J| = e^{-(\frac{U+V}{2} + \frac{V-U}{2})} \cdot \left|\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} e^{-V}

Dönüşüm teoreminin temel formülü olan

h(u,v) = f(x,y)|J|

eşitliği uygulanarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

İki Değişkenli Rastgele Değişkenlerde Jakobiyen Dönüşümü

Question 19Question →

Meteoroloji Genel Müdürlüğü'nde görevli bir uzman, belirli bir bölgedeki yıllık maksimum rüzgar hızlarının limit aşım değerlerini sürekli bir $X$ rastgele değişkeni ile modellemektedir. Bu değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu $F(x)$ 'tir. Uzman, aşırı rüzgar hızlarının dönüş periyotlarını ve risk analizlerini yapabilmek için olasılık integral dönüşümünden yararlanarak yeni bir $Y$ rastgele değişkenini aşağıdaki gibi tanımlamıştır:

Y = -4 \ln(1 - F(X))

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin beklenen değeri $E(Y)$ ve varyansı $Var(Y)$ sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

E(Y) = 4, \quad Var(Y) = 16

E(Y) = \frac{1}{4}, \quad Var(Y) = \frac{1}{16}

E(Y) = 4, \quad Var(Y) = 4

E(Y) = -4 \ln(0.5), \quad Var(Y) = 16 \ln^2(0.5)

E(Y) = 1, \quad Var(Y) = 1

Show answer & explanation

Answer: $E(Y) = 4, \quad Var(Y) = 16$

Answer

E(Y) = 4, \quad Var(Y) = 16

seçeneği doğrudur.

Sürekli bir

X

rastgele değişkeni için

F(X)

standart düzgün dağılıma (

U(0,1)

) sahiptir.

1 - F(X)

dönüşümü de yapısal olarak aynı sınırları koruduğu için o da

U(0,1)

dağılır. İfadeyi

U = 1 - F(X)

olarak tanımladığımızda,

Y = -4 \ln(U)

olur. Bu dönüşüm, ortalaması 4 olan bir Üstel (Exponential) dağılım yaratır. Üstel dağılımın özellikleri gereği

E(Y) = 4

ve varyansı

Var(Y) = 4^2 = 16

'dır.

Step-by-Step Solution

1

F(X)

'in dağılımını belirleme

F(X) \sim U(0,1)

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, sürekli bir rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu kendi üzerinden değerlendirildiğinde her zaman

(0,1)

aralığında standart düzgün dağılıma (Uniform) uyar.

2

1 - F(X)

ifadesinin dağılımını bulma

U = 1 - F(X) \sim U(0,1)

Eğer bir değişken

(0,1)

aralığında düzgün dağılıyorsa, o değişkeni 1'den çıkarmak dağılımı değiştirmez (simetri özelliği).

3

Y = -4 \ln(U)

değişkeninin dağılımını türetme

P(Y \leq y) = 1 - e^{-y/4}

Birikimli dağılım yöntemiyle (CDF):

P(-4 \ln U \leq y) = P(\ln U \geq -y/4) = P(U \geq e^{-y/4})

.

U \sim U(0,1)

olduğu için

P(U \geq k) = 1 - k

'dır. Bu da bize

1 - e^{-y/4}

fonksiyonunu verir.

4

Elde edilen dağılımın beklenen değerini ve varyansını hesaplama

E(Y) = 4, \quad Var(Y) = 16

Bulunan CDF,

\lambda = 1/4

oran parametresine sahip (veya

\theta = 4

ortalamalı) bir Üstel (Exponential) dağılımdır. Üstel dağılımda ortalama

1/\lambda

, varyans ise

1/\lambda^2

olarak hesaplanır.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü ve Ters Dönüşüm Yöntemi

Question 20Question →

Bir finansal modelde, belirli bir hisse senedinin günlük getiri oranındaki sapmayı ifade eden $X$ rastgele değişkeni $(-2, 4)$ aralığında sürekli düzgün (üniform) dağılıma sahiptir. Bu hisse senedine bağlı özel bir türev ürünün getiri dalgalanması ise $Y = X^2$ dönüşümü ile modellenmektedir.

Dağılım fonksiyonu (CDF) yöntemi kullanılarak hesaplama yapıldığında, $Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu olan $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{12\sqrt{y}}, & 0 < y < 16 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{6\sqrt{y}}, & 0 < y < 16 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{6\sqrt{y}}, & 0 < y < 4 \\ \frac{1}{12\sqrt{y}}, & 4 \leq y < 16 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{12\sqrt{y}}, & 0 < y < 4 \\ \frac{1}{6\sqrt{y}}, & 4 \leq y < 16 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{16}, & 0 < y < 16 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Show answer & explanation

Answer: $f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{6\sqrt{y}}, & 0 < y < 4 \\ \frac{1}{12\sqrt{y}}, & 4 \leq y < 16 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}$

Answer

Y

rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu

0 < y < 4

aralığında

\frac{1}{6\sqrt{y}}

ve

4 \leq y < 16

aralığında

\frac{1}{12\sqrt{y}}

olacak şekilde parçalı formdadır.

Doğru cevapta, parçalı fonksiyonun kırılma noktası

y=4

olarak doğru belirlenmiştir.

0 < y < 4

aralığı için simetrik iki kökün (

-\sqrt{y}

ve

+\sqrt{y}

) olasılık katkısı alınırken,

4 \leq y < 16

aralığı için

X

'in alt sınırı

-2

olduğundan sadece üst sınıra doğru artan olasılık katkısı hesaba katılmış ve türev (PDF) işlemleri doğru şekilde yapılmıştır.

Step-by-Step Solution

1

X

'in olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) yazılması.

X \sim U(-2, 4)

olduğundan

f_X(x) = \frac{1}{4 - (-2)} = \frac{1}{6}

(

-2 < x < 4

için).

Dönüşüm sonrasında

Y

'nin dağılımını bulmak için öncelikle

X

'in tanım aralığı ve yoğunluk fonksiyonu gereklidir.

2

Y = X^2

dönüşümü için birikimli dağılım fonksiyonunun (CDF) oluşturulması.

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})

olarak ifade edilir.

CDF yöntemi, hedef değişkenin dağılımını asıl değişkenin olasılık sınırları üzerinden hesaplamayı temel alır.

3

0 < y < 4

aralığı için CDF ve PDF hesaplaması.

Bu aralıkta

-\sqrt{y}

ve

\sqrt{y}

değerleri

[-2, 4]

içindedir.

F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{6} dx = \frac{2\sqrt{y}}{6}

. Türevi alınırsa

f_Y(y) = \frac{1}{6\sqrt{y}}

bulunur.

X

'in alt sınırı

-2

olduğu için

y=4

'e kadar olan bölgede simetrik olasılık hesabı yapılabilir.

4

4 \leq y < 16

aralığı için CDF ve PDF hesaplaması.

Bu aralıkta

-\sqrt{y}

değeri

-2

'den küçüktür, bu yüzden alt sınır

-2

alınır.

F_Y(y) = \int_{-2}^{\sqrt{y}} \frac{1}{6} dx = \frac{\sqrt{y} + 2}{6}

. Türevi alınırsa

f_Y(y) = \frac{1}{12\sqrt{y}}

bulunur.

X

,

-2

'den küçük değer alamayacağı için sol kuyruk kesilir ve olasılık hesabı sadece sağ taraftaki artıştan etkilenir.

Key Concept

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ve Parçalı Dönüşümler

Rastgele Değişkenlerin Dönüşümleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept