All practice questions

Question 2681Question →

1

'den farklı

x

ve

y

pozitif gerçel sayıları için,

\log_3 x + \log_x y = 4

\log_y 3 + \log_3 y = \frac{10}{3}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu eşitlikleri sağlayan tüm farklı $x$ gerçel sayılarının çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

3^4

3^6

3^8

3^9

3^{12}

Show answer & explanation

Answer: $3^8$

Answer

Eşitlikleri sağlayan tüm farklı

x

değerlerinin çarpımı

3^8

olarak bulunur.

Sorudaki sistem çözüldüğünde

\log_3 y

değeri için

3

ve

1/3

olmak üzere iki farklı durum ortaya çıkar. Her iki durum için

\log_3 x

değişkenine bağlı elde edilen ikinci dereceden denklemlerin kökler toplamı Vieta formülünden

4

olarak bulunur. Köklerin toplamı

8

olduğundan,

x

değerlerinin çarpımı

3^8

değerine eşit olur.

Step-by-Step Solution

1

İkinci denklemde değişken dönüşümü yapılması

w + \frac{1}{w} = \frac{10}{3} \implies 3w^2 - 10w + 3 = 0

denklemi elde edilir.

\log_3 y = w

dönüşümü yapıldığında

\log_y 3 = \frac{1}{w}

olur.

2

Elde edilen ikinci dereceden denklemin çözülmesi

(3w - 1)(w - 3) = 0 \implies w = 3 \text{ veya } w = \frac{1}{3}

bulunur.

\log_3 y

ifadesinin alabileceği olası değerleri bulmak amacıyla çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.

3

Birinci denklemde taban değiştirme kuralının uygulanması

\log_x y = \frac{\log_3 y}{\log_3 x} = \frac{w}{u} \implies u + \frac{w}{u} = 4 \implies u^2 - 4u + w = 0

denklemi elde edilir.

\log_3 x = u

dönüşümü yapılarak denklem tek bir değişken cinsinden ifade edilir.

4

İki farklı

w

durumu için kökler toplamının incelenmesi

w = 3 \implies u^2 - 4u + 3 = 0 \implies u_1 + u_2 = 4

w = \frac{1}{3} \implies 3u^2 - 12u + 1 = 0 \implies u_3 + u_4 = 4

Toplam kökler toplamı:

u_1 + u_2 + u_3 + u_4 = 8

olur.

Vieta formüllerine göre

x^2 - Sx + P = 0

denkleminde kökler toplamı

S

'dir. Her iki durumda da diskriminant sıfırdan büyük olduğundan tüm kökler gerçeldir.

5

x

değerlerinin çarpımının hesaplanması

x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = 3^{u_1} \cdot 3^{u_2} \cdot 3^{u_3} \cdot 3^{u_4} = 3^{u_1 + u_2 + u_3 + u_4} = 3^8

u = \log_3 x \implies x = 3^u

ilişkisi kullanılarak çarpım, tabanları aynı olan üslü sayıların üslerinin toplanmasıyla bulunur.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme özelliği ve logaritmik denklemlerin ikinci dereceden denklemlere dönüştürülerek çözülmesi.

Estimated Time:2m 30s

Question 2682Question →

$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 3x) \geq -2$ eşitsizliğini sağlayan tüm $x$ tam sayılarının toplamı $3$ 'tür.

True

False

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen ifade doğrudur.

Logaritmik eşitsizliğin çözümü sürecinde hem tabanın basit kesir olması nedeniyle yön değiştirme kuralı hem de logaritmanın tanım kümesi kuralı doğru uygulanmış ve elde edilen tam sayıların toplamının

3

olduğu kesin olarak gösterilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için gereken tanım kümesi belirlenir.

x^2 - 3x > 0 \implies x(x-3) > 0 \implies x < 0

veya

x > 3

Logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması zorunludur.

2

Logaritmik eşitsizlik çözülür. Taban

0 < \frac{1}{2} < 1

(basit kesir) olduğundan eşitsizlik yönü tersine çevrilir.

x^2 - 3x \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \implies x^2 - 3x \leq 4

Taban

1

'den küçük olduğunda logaritma fonksiyonu azalandır.

3

Elde edilen ikinci dereceden eşitsizlik çarpanlarına ayrılarak çözüm kümesi bulunur.

x^2 - 3x - 4 \leq 0 \implies (x-4)(x+1) \leq 0 \implies x \in [-1, 4]

Kökler

-1

ve

4

olup, başkatsayı pozitif olduğundan bu iki kök arasında ifade negatif veya sıfırdır.

4

Tanım kümesi koşulu ile eşitsizlikten elde edilen aralığın kesişimi alınarak gerçek çözüm kümesi oluşturulur.

([-1, 4]) \cap ((-\infty, 0) \cup (3, \infty)) \implies [-1, 0) \cup (3, 4]

Çözüm kümesindeki tüm elemanların logaritma fonksiyonunu tanımlı kılması şarttır.

5

Elde edilen çözüm kümesindeki tam sayı değerleri listelenir ve toplanır.

Tam sayılar:

-1

ve

4

. Toplam:

-1 + 4 = 3

[-1, 0)

aralığındaki tam sayı

-1

ve

(3, 4]

aralığındaki tam sayı

4

'tür. Bu değerlerin toplamı

3

olur.

Key Concept

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın basit kesir olması durumunda eşitsizlik yönünün değişmesi ve logaritma tanım kümesinin (

f(x) > 0

) çözüm kümesine dahil edilmesi.

Question 2683Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ikinci dereceden bir $f$ fonksiyonu için $f(x) < 0$ eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi $(2, 12)$ aralığıdır.

Buna göre,

f(x^2 - x) < 0

eşitsizliğini sağlayan kaç farklı

x

tam sayı değeri vardır?

1

2

3

4

5

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Eşitsizliği sağlayan 2 farklı tam sayı değeri vardır.

Doğru seçenekte belirtilen 2 değeri,

2 < x^2 - x < 12

eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesi olan

(-3, -1) \cup (2, 4)

aralığındaki tam sayıların sayısıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar yalnızca

-2

ve

3

değerleridir.

Step-by-Step Solution

1

f(x) < 0

eşitsizliğinin çözüm kümesinden hareketle değişken tanımlaması yapılması.

f(x) < 0

eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi

(2, 12)

olduğundan,

f(u) < 0 \iff 2 < u < 12

elde edilir. Buradan

f(x^2 - x) < 0

eşitsizliği

2 < x^2 - x < 12

eşitsizlik sistemine dönüşür.

Fonksiyonun girdisi olan

x^2 - x

ifadesinin değer alabileceği aralığı belirlemek için.

2

x^2 - x > 2

eşitsizliğinin çözülmesi.

x^2 - x - 2 > 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 1) > 0

olur. Kökler

x = -1

ve

x = 2

olup, işaret tablosuna göre bu eşitsizliğin çözüm kümesi

(-\infty, -1) \cup (2, \infty)

aralığıdır.

Sistemin ilk eşitsizliğini sağlayan

x

değerlerini bulmak için.

3

x^2 - x < 12

eşitsizliğinin çözülmesi.

x^2 - x - 12 < 0 \Rightarrow (x - 4)(x + 3) < 0

olur. Kökler

x = -3

ve

x = 4

olup, işaret tablosuna göre bu eşitsizliğin çözüm kümesi

(-3, 4)

aralığıdır.

Sistemin ikinci eşitsizliğini sağlayan

x

değerlerini bulmak için.

4

Bulunan iki çözüm kümesinin kesiştirilmesi ve ortak tam sayıların belirlenmesi.

İki çözüm kümesinin kesişimi

\left( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \right) \cap (-3, 4) = (-3, -1) \cup (2, 4)

olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar sadece

-2

ve

3

değerleridir. Dolayısıyla 2 farklı değer vardır.

Eşitsizlik sistemini aynı anda sağlayan ortak

x

tam sayılarını bulmak için.

Key Concept

İkinci dereceden eşitsizlik sistemlerinin işaret tablosu yardımıyla çözülmesi ve bileşke fonksiyon içeren eşitsizliklerin analizi.

Estimated Time:2m 0s

Question 2684Question →

Ortak çarpanı $1$ ’den farklı olan bir $(a_n)$ geometrik dizisinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n$ ile gösterilmektedir.

Her

n \ge 1

için

S_{n+2} - 4S_{n+1} + 3S_n = 0

eşitliği sağlanmaktadır.

Bu dizinin üçüncü terimi $a_3 = 36$ olduğuna göre, dizinin ilk $4$ teriminin toplamı olan $S_4$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 160

Answer

Dizinin ilk 4 teriminin toplamı olan

S_4

değeri 160'tır.

Verilen yinelemeli bağıntıda geometrik dizinin ilk

n

terim toplam formülü yerine yazıldığında, ortak çarpan

r

değerini belirleyen

r^2 - 4r + 3 = 0

denklemi elde edilir.

r \neq 1

olduğu için

r = 3

bulunur. Ardından

a_3 = 36

bilgisi kullanılarak ilk terim

a_1 = 4

olarak hesaplanır. Son adımda

S_4

formülüyle dizinin ilk

4

teriminin toplamı 160 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

İlk n terim toplam formülünü tanımlama

S_n = C(r^n - 1)

(burada

C = \frac{a_1}{r-1}

)

Verilen denklemde terim toplamlarını ortak çarpan cinsinden ifade etmek için

2

Formülü verilen yinelemeli bağıntıda yerine yazarak sadeleştirme yapma

C \cdot r^n (r^2 - 4r + 3) = 0

Ortak çarpan

r

değerini belirleyecek olan denklemi elde etmek için

3

Elde edilen denklemi çözerek ortak çarpanı bulma

r = 3

r \neq 1

ve

r \neq 0

koşullarını değerlendirerek doğru ortak çarpanı seçmek için

4

Verilen

a_3

terimini kullanarak ilk terim olan

a_1

'i bulma

a_1 = 4

Dizinin terimlerinin değerini belirlemek için

5

İlk 4 terim toplamı

S_4

'ü hesaplama

160

İstenen toplam değerine ulaşmak için

Key Concept

Geometrik dizinin ilk n teriminin toplam formülü

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

bağıntısı ve bu bağıntının cebirsel uygulamaları.

Estimated Time:2m 0s

Question 2685Question →

Analitik düzlemde sınırları verilen bazı kapalı bölgeler sol sütunda, bu bölgelerin alanlarını veren belirli integral ifadeleri ise sağ sütunda karışık olarak verilmiştir. Buna göre, sol sütundaki bölgeleri sağ sütundaki doğru integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

Click a left item, then click its matching right item

Show answer & explanation

Answer

y = x^2

ile

y = 2x

bölgesi

\int_0^2 (2x - x^2) \, dx

integraliyle;

y = x^2

ile

y = 8 - x^2

bölgesi

\int_{-2}^2 (8 - 2x^2) \, dx

integraliyle;

x = y^2

ile

x = y + 2

bölgesi ise

\int_{-1}^2 (y + 2 - y^2) \, dy

integraliyle eşleşir.

Her bir bölge için sınır eğrilerinin kesişim noktaları cebirsel olarak doğru hesaplanmış ve integral sınırları olarak atanmıştır. Ardından, verilen aralıklarda hangi eğrinin üstte (veya sağda) yer aldığı tespit edilerek doğru integral ifadeleriyle eşleştirme yapılmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Birinci bölge için kesim noktalarını ve üstteki fonksiyonu belirleyin.

Kesim noktaları

x=0

ve

x=2

; üstteki fonksiyon

y=2x

.

İntegrasyon sınırlarını ve integrandın işaretini belirlemek için eğrilerin kesişim noktaları ve birbirlerine göre konumları bulunur.

2

İkinci bölge için kesim noktalarını ve üstteki fonksiyonu belirleyin.

Kesim noktaları

x=-2

ve

x=2

; üstteki fonksiyon

y=8-x^2

.

İki parabol arasındaki bölgenin alanını hesaplarken üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak integral kurulur.

3

Üçüncü bölge için değişkeni

y

seçerek sınırları ve sağdaki fonksiyonu belirleyin.

Kesim noktaları

y=-1

ve

y=2

; sağdaki fonksiyon

x=y+2

.

Eğriler

y

değişkenine bağlı olarak daha kolay ifade edildiğinden entegrasyon

y

eksenine göre yapılır.

Key Concept

İki eğri arasında kalan alanın belirli integral kullanılarak ifade edilmesi ve hesaplanması.

Estimated Time:2m 0s

Question 2686Question →

Bir

f

fonksiyonu, her

x

gerçel sayısı için

f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(a^2 - 1)x + b

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $f$ fonksiyonunun yerel maksimum değeri ile yerel minimum değeri arasındaki fark kaçtır?

-4

0

2

4

8

Show answer & explanation

Answer: $4$

Answer

Yerel maksimum değeri ile yerel minimum değeri arasındaki fark 4'tür.

Fonksiyonun türevinin kökleri olan

x = a - 1

(yerel maksimum) ve

x = a + 1

(yerel minimum) noktaları fonksiyonda yerine yazıldığında, elde edilen yerel maksimum değeri

a^3 - 3a + 2 + b

ve yerel minimum değeri

a^3 - 3a - 2 + b

olmaktadır. Bu iki değerin farkı hesaplandığında parametreler sadeleşir ve sonuç

4

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları bulunuz.

f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3(a^2 - 1) = 3(x^2 - 2ax + a^2 - 1) = 3(x - a + 1)(x - a - 1) = 0 \implies x_1 = a - 1

ve

x_2 = a + 1

Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum noktası adaylarıdır.

2

Türevin işaret tablosunu oluşturarak yerel maksimum ve minimum noktalarını belirleyiniz.

x = a - 1

yerel maksimum noktası,

x = a + 1

yerel minimum noktasıdır.

Türevin başkatsayısı pozitif olduğundan, türevin işareti

x = a - 1

noktasında artıdan eksiye,

x = a + 1

noktasında ise eksiden artıya geçmektedir.

3

Bulunan noktaları fonksiyonda yerine yazıp yerel ekstremum değerlerini hesaplayınız ve farkını bulunuz.

f(a - 1) = a^3 - 3a + 2 + b

ve

f(a + 1) = a^3 - 3a - 2 + b

elde edilir. Bu iki değerin farkı:

f(a - 1) - f(a + 1) = (a^3 - 3a + 2 + b) - (a^3 - 3a - 2 + b) = 4

bulunur.

Soruda istenen yerel maksimum değeri ile yerel minimum değeri arasındaki farkı elde etmek için bu iki değer birbirinden çıkarılır.

Key Concept

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Question 2687Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 10

\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = 6

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(x^2) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

-8

-4

1

4

10

Show answer & explanation

Answer: -4

Answer

-4

Verilen iki integralde sırasıyla

x^2 + 1 = u

ve

2x - 1 = v

değişken değiştirmeleri yapılıp sınırlar doğru güncellendiğinde

\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 20

ve

\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12

elde edilir. Buradan sınır parçalama özelliğiyle

\int_{1}^{2} f(x) \, dx = -8

bulunur. İstenen integralde

x^2 = w

dönüşümü yapılıp sınır güncellemesiyle elde edilen

\frac{1}{2} \int_{1}^{2} f(w) \, dw

ifadesinde yerine yazıldığında sonuç

-4

olur.

Step-by-Step Solution

1

Birinci integralde değişken değiştirme uygulanır.

\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 10

integralinde

u = x^2 + 1

dönüşümü yapılırsa

du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}

olur. Sınırlar güncellendiğinde;

x = 1 \implies u = 2

ve

x = 2 \implies u = 5

elde edilir. Böylece integral

\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du = 10 \implies \int_{2}^{5} f(x) \, dx = 20

olarak bulunur.

Verilen ilk integrali f(x) fonksiyonunun belirli bir aralıktaki integrali cinsinden ifade etmek.

2

İkinci integralde değişken değiştirme uygulanır.

\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = 6

integralinde

v = 2x - 1

dönüşümü yapılırsa

dv = 2 \, dx \implies dx = \frac{dv}{2}

olur. Sınırlar güncellendiğinde;

x = 1 \implies v = 1

ve

x = 3 \implies v = 5

elde edilir. Böylece integral

\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(v) \, dv = 6 \implies \int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12

olarak bulunur.

İkinci integrali de f(x) fonksiyonunun belirli bir aralıktaki integrali şeklinde yazarak ilk adımla ilişkilendirmek.

3

Belirli integralin sınır parçalama özelliği kullanılır.

\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{5} f(x) \, dx

eşitliğinden yararlanarak;

12 = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + 20 \implies \int_{1}^{2} f(x) \, dx = -8

bulunur.

İstenen integralin sınırlarına (1 ve 2) ulaşmak amacıyla elde edilen integral değerlerini birleştirmek.

4

İstenen integralde değişken değiştirme yapılarak sonuca ulaşılır.

\int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(x^2) \, dx

integralinde

w = x^2

dönüşümü yapılırsa

dw = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{dw}{2}

olur. Sınırlar güncellendiğinde;

x = 1 \implies w = 1

ve

x = \sqrt{2} \implies w = 2

elde edilir. Buradan integral

\frac{1}{2} \int_{1}^{2} f(w) \, dw = \frac{1}{2} \cdot (-8) = -4

olarak hesaplanır.

Elde edilen integral değerini kullanarak aranan integralin sonucunu bulmak.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve belirli integralin sınır parçalama özelliği.

Question 2688Question →

(a_n)

terimleri gerçel sayı olan sabit bir dizi olmak üzere, her

n \in \mathbb{Z}^+

için genel terimi

a_n = \frac{m \cdot n^2 - (k-3)n + 15}{n^2 - 8n + p}

biçiminde tanımlanıyor.

$m, k$ ve $p$ birer tam sayı olduğuna göre, $m$ 'nin alabileceği en büyük değer için $k + p$ toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 124

Answer

m'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 15 olup, bu değer için k = 123 ve p = 1'dir. Buradan k + p toplamı 124 olarak bulunur.

Sabit dizi koşulu gereğince değişkenlerin katsayıları oranlanarak m, k, p arasındaki ilişkiler bulunur. Ayrıca dizinin her n pozitif tam sayısı için tanımlı olabilmesi amacıyla paydanın köklerinin pozitif tam sayı olmaması gerektiği tespit edilir. Bu koşulları sağlayan en büyük m tam sayısı 15 olarak belirlenir ve bu değer için k = 123, p = 1 bulunarak toplam 124 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Sabit dizi tanımını kullanarak pay ve paydadaki terimlerin katsayılarını oranlama.

\frac{m}{1} = \frac{-(k-3)}{-8} = \frac{15}{p} = C

eşitliği elde edilir. Buradan

m = C

,

k = 8m + 3

ve

p = \frac{15}{m}

bağıntıları bulunur.

Bir rasyonel ifadenin sabit dizi belirtmesi için dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları oranının sabit bir gerçel sayıya eşit olması gerekir.

2

Tam sayı koşullarını inceleyerek m'nin alabileceği olası değerleri listeleme.

m

ve

p

tam sayı olduğundan

m

,

15

'in bir tam sayı böleni olmalıdır. O halde

m \in \{-15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15\}

olabilir.

p = \frac{15}{m}

ifadesinde

p

ve

m

tam sayı olduğundan,

m

değeri

15

'i tam bölmelidir.

3

Tanım kümesi koşulunu inceleyerek paydayı sıfır yapan pozitif tam sayıları belirleme.

Payda

D(n) = n^2 - 8n + p

ifadesidir.

D(n) = 0

denkleminin kökleri pozitif tam sayılar ise, kökler toplamı

n_1 + n_2 = 8

ve kökler çarpımı

n_1 n_2 = p

olur. Bu koşulu sağlayan pozitif tam sayı kök çiftleri ve bunlara karşılık gelen

p

değerleri şunlardır:
-

n \in \{1, 7\} \implies p = 7

-

n \in \{2, 6\} \implies p = 12

-

n \in \{3, 5\} \implies p = 15

-

n \in \{4, 4\} \implies p = 16

Dolayısıyla

p \in \{7, 12, 15, 16\}

durumlarında dizi bazı

n \in \mathbb{Z}^+

değerleri için tanımsız olur.

Dizinin terimlerinin birer gerçel sayı belirtebilmesi için paydanın hiçbir pozitif tam sayı

n

değeri için sıfır olmaması gerekir.

4

Bulunan olası

m

değerlerini kontrol etme ve en büyük geçerli

m

'yi belirleme.

m

değerlerinin en büyüğü olan

m = 15

için

p = 1

olur.

1 \notin \{7, 12, 15, 16\}

olduğundan

m = 15

geçerlidir. (Eğer en büyük bölen olarak

m = 1

seçilseydi

p = 15

olurdu ve bu durum diziyi

n=3

ile

n=5

değerlerinde tanımsız yapardı).

m

'nin alabileceği en büyük değeri bulmak için bölenler büyükten küçüğe doğru test edilir.

5

Seçilen

m = 15

değeri için

k

ve

p

değerlerini bulup toplamı hesaplama.

m = 15

için:

p = \frac{15}{15} = 1

k = 8(15) + 3 = 123

Buradan

k + p = 123 + 1 = 124

elde edilir.

Soruda istenen

k + p

toplamını hesaplamak.

Key Concept

Sabit dizilerde katsayılar oranı ve rasyonel dizilerde paydanın pozitif tam sayılar kümesinde sıfırdan farklı olması (tanımlılık) koşulu.

Question 2689Question →

\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^7

ifadesinin $x$ 'in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki $x^2$ 'li terimin katsayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 280

Answer

Doğru cevap 280'dir.

Açılımın genel terimi yazılıp

x

'in kuvveti 2'ye eşitlendiğinde

r=4

bulunur. Bu değer genel terimde yerine konduğunda katsayı 280 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Binom açılımının genel terim formülü kurulur.

T_{r+1} = \binom{7}{r} (2x^2)^{7-r} \left(-\frac{1}{x}\right)^r

İstenen terimin derecesini belirleyecek genel ifadeyi elde etmek için.

2

x

değişkenine ait üsler düzenlenerek birleştirilir.

T_{r+1} = \binom{7}{r} 2^{7-r} (-1)^r x^{14-3r}

x

'in toplam derecesini netleştirerek denklem kurmayı kolaylaştırmak için.

3

x^2

'li terimi bulmak için üs 2'ye eşitlenir ve

r

değeri hesaplanır.

14 - 3r = 2 \implies 3r = 12 \implies r = 4

İstenen terimin açılımdaki yerini (indisini) belirlemek için.

4

r = 4

değeri katsayı ifadesinde yerine yazılarak sonuç hesaplanır.

\binom{7}{4} 2^{7-4} (-1)^4 = 35 \cdot 8 \cdot 1 = 280

x^2

'li terimin katsayı değerini elde etmek için.

Key Concept

Binom Açılımı

Question 2690Question →

Türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

f(0) = 4

f(1) = 3

f(2) = 9

f(3) = 11

f(4) = 5

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{4} \frac{f'(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx

integralinin değeri kaçtır?

4

6

14

12

3

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Doğru cevap 12 olan seçenektir.

Dönüşüm

u = \sqrt{x}

olarak yapıldığında, sınırlar

1

ve

2

olur. Diferansiyel ifadesi

2 \, du

olarak yerine konur ve integral

2[f(2) - f(1)]

haline gelir. Verilen değerler kullanıldığında

2[9 - 3] = 12

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

u = \sqrt{x}

dönüşümü yapılır.

du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx

elde edilir. Buradan

\frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \, du

olur.

İntegral içindeki ifadeyi sadeleştirmek ve değişken değiştirme yöntemini uygulamak için.

2

Belirli integralin sınırları

u

değişkenine göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 1 \Rightarrow u = \sqrt{1} = 1

olur. Üst sınır için

x = 4 \Rightarrow u = \sqrt{4} = 2

olur.

Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre yeniden belirlenmesi gerekir.

3

Elde edilen yeni integral ifadesi hesaplanır.

\int_{1}^{4} \frac{f'(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx = \int_{1}^{2} f'(u) \cdot 2 \, du = 2 \int_{1}^{2} f'(u) \, du = 2 [f(2) - f(1)]

Türevin integrali kendisidir, bu nedenle temel integral alma kuralı uygulanır.

4

Verilen fonksiyon değerleri yerine yazılır.

2 [f(2) - f(1)] = 2 [9 - 3] = 2 \cdot 6 = 12

Soruda verilen fonksiyon değerlerini kullanarak nihai sayısal sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel hesabındaki katsayılara dikkat edilmesi gerekir.

Estimated Time:2m 0s

Question 2691Question →

Ortak ��arpanı

1

'den büyük ve tüm terimleri pozitif gerçel sayılar olan bir

(a_n)

geometrik dizisi için,

a_4 \cdot a_{10} = 36

a_5 + a_9 = 15

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin $13$ . terimi olan $a_{13}$ kaçtır?

18

24

30

48

96

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

Dizinin 13. terimi olan

a_{13}

değeri 48'dir.

Verilen

a_4 \cdot a_{10} = 36

eşitliğinden

a_7^2 = 36 \implies a_7 = 6

bulunur. Buradan

a_5 \cdot a_9 = a_7^2 = 36

ve

a_5 + a_9 = 15

denklemleri çözüldüğünde, ortak çarpanı 1'den büyük olan bu artan dizi için

a_5 = 3

ve

a_9 = 12

olarak bulunur.

a_9 = a_5 \cdot r^4 \implies r^4 = 4

olur. Dizinin 13. terimi

a_{13} = a_9 \cdot r^4 = 12 \cdot 4 = 48

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Geometrik dizinin terimleri arasındaki indis ilişkisini kullanarak

a_7

terimini bulun.

a_7 = 6

Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir:

a_4 \cdot a_{10} = a_7^2 = 36

. Dizi pozitif terimli olduğundan

a_7 = 6

olur.

2

a_5 \cdot a_9

çarpımını

a_7

cinsinden yazın.

a_5 \cdot a_9 = 36

5 + 9 = 7 + 7

olduğundan geometrik dizinin özelliğinden

a_5 \cdot a_9 = a_7^2 = 36

elde edilir.

3

Verilen toplam ve çarpım bilgilerini kullanarak

a_5

ve

a_9

terimlerini belirleyin.

a_5 = 3

ve

a_9 = 12

Toplamları 15 ve çarpımları 36 olan sayılar 3 ve 12'dir. Ortak çarpan

1

'den büyük olduğundan dizi artandır, dolayısıyla küçük indisli terim olan

a_5 = 3

ve büyük indisli terim olan

a_9 = 12

olmalıdır.

4

Dizinin ortak çarpanının dördüncü kuvvetini (

r^4

) bulun.

r^4 = 4

a_9 = a_5 \cdot r^4 \implies 12 = 3 \cdot r^4 \implies r^4 = 4

olarak bulunur.

5

a_{13}

terimini ortak çarpan yardımıyla hesaplayın.

a_{13} = 48

a_{13} = a_9 \cdot r^4

bağıntısından

a_{13} = 12 \cdot 4 = 48

elde edilir.

Key Concept

Geometrik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımlarının eşitliği ve terimler arası ilişkiler

Question 2692Question →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^2 - 2x$ parabolü, bu parabolün $x = 3$ noktasındaki teğet doğrusu ve $y$ -ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

\frac{103}{12}

\frac{26}{3}

9

18

27

Show answer & explanation

Answer: $9$

Answer

Parabolün verilen noktadaki teğet doğrusu ile parabolün kendisi ve

y

-ekseni arasında kalan bölgenin alanı

9

birimkaredir.

Parabolün

x = 3

noktasındaki teğetinin denklemi

y = 4x - 9

olarak bulunur. Sınırlar

x = 0

(

y

-ekseni) ile teğet noktası olan

x = 3

arasındadır. Bu aralıkta parabol her zaman teğet doğrusunun üstünde kaldığı için sınırlı bölgenin alanı, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyonun çıkarılmasıyla oluşturulan belirli integral yardımıyla

9

birimkare olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Teğet doğrusunun denklemini türev yardımıyla bulma

y = 4x - 9

teğet doğrusu denklemi

f(x) = x^2 - 2x

için teğet noktasının apsisi

x=3

olup ordinatı

f(3) = 3

olur. Türev

f'(x) = 2x - 2

olup teğet eğimi

m = f'(3) = 4

olarak elde edilir. Buradan teğet denklemi

y - 3 = 4(x - 3) \implies y = 4x - 9

bulunur.

2

Sınırları ve integrali alınacak fark fonksiyonunu belirleme

Sınırlar

[0, 3]

ve integral fonksiyonu

g(x) = x^2 - 6x + 9

Teğet noktası

x=3

ve

y

-ekseni

x=0

olduğundan integral sınırları

[0, 3]

aralığıdır. Bu aral��kta parabol doğrunun üzerinde yer aldığından alan

\int_{0}^{3} ((x^2 - 2x) - (4x - 9)) dx = \int_{0}^{3} (x-3)^2 dx

integrali ile hesaplanır.

3

Belirli integrali hesaplama

9

birimkare

\int_{0}^{3} (x-3)^2 dx = \left[ \frac{(x-3)^3}{3} \right]_{0}^{3} = 0 - \left(-\frac{27}{3}\right) = 9

elde edilir.

Key Concept

İki fonksiyon grafiği ve düşey doğrular arasında kalan kapalı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.

Question 2693Question →

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası analitik düzlemin birinci bölgesinde olan

f(x) = ax^2 + bx + c

parabolünün simetri ekseni

x = 2

doğrusudur.

Parabol, $x$ -eksenini farklı $A$ ve $B$ noktalarında kesmektedir. Parabolün tepe noktası $T$ olmak üzere, köşeleri $T$ , $A$ ve $B$ noktaları olan $TAB$ üçgeni bir eşkenar üçgendir.

Parabolün $y$ -eksenini kestiği noktanın ordinatı $-1$ olduğuna göre, $f(-2)$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -13

Answer

Parabolün x = -2 noktasındaki değeri -13't��r.

Parabolün simetri ekseni

x=2

olduğundan tepe noktasının apsisi

r=2

olur.

TAB

eşkenar üçgeninin yüksekliği

k = d\sqrt{3}

bağıntısıyla ifade edilir. Köklerin simetri eksenine uzaklığı

d

olduğundan

f(2-d)=0

eşitliği

k = -ad^2

sonucunu verir. Bu iki bağıntıdan

d = -\frac{\sqrt{3}}{a}

ve

k = -\frac{3}{a}

elde edilir.

f(0) = -1

bilgisi kullanılarak

4a - \frac{3}{a} = -1 \implies 4a^2+a-3=0

denklemi kurulur. Tepe noktası birinci bölgede olduğundan

k > 0

ve dolayısıyla

a < 0

olmalıdır. Bu şartı sağlayan

a = -1

değeri kullanılarak parabol denklemi

f(x) = -(x-2)^2 + 3

olarak bulunur. Burada

x = -2

yazıldığında sonuç

-13

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Simetri ekseni kullanılarak tepe noktasının koordinatları belirlenir.

r = 2

ve

T(2, k)

(

k > 0

)

Simetri ekseni

x = r

doğrusudur ve tepe noktası birinci bölgededir.

2

Eşkenar üçgen geometrisi ile tepe noktasının ordinatı ve köklerin simetri eksenine olan uzaklığı ilişkilendirilir.

k = d\sqrt{3}

Eşkenar üçgende yükseklik, tabanın yarısının

\sqrt{3}

katıdır.

3

Parabolün tepe noktası formundan yararlanılarak katsayılar arasındaki ilişki kurulur.

d = -\frac{\sqrt{3}}{a}

ve

k = -\frac{3}{a}

f(2-d) = 0 \implies a \cdot d^2 + k = 0

denkleminden elde edilir.

4

y-eksenini kestiği nokta kullanılarak başkatsayı

a

değeri bulunur.

a = -1

f(0) = 4a - \frac{3}{a} = -1 \implies 4a^2 + a - 3 = 0 \implies a = -1

(kollar aşağı doğru olmalı ve tepe noktası birinci bölgede bulunmalıdır).

5

Parabol denklemi oluşturulur ve istenen değer hesaplanır.

f(-2) = -13

f(x) = -(x-2)^2 + 3

fonksiyonunda

x = -2

yazılır.

Key Concept

Parabolün simetri ekseni, tepe noktası ve köklerin simetrisi arasındaki geometrik ve cebirsel ilişkiler.

Question 2694Question →

Dik koordinat düzleminde,

a

bir gerçel sayı olmak üzere,

f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 2a

parabolü veriliyor. Bu parabolün tepe noktasının orijine olan uzaklığı, parabolün simetri ekseni ile

y = 3x - 2

doğrusunun kesişim noktasının orijine olan uzaklığına eşittir.

Buna göre, $a$ gerçel sayısının alabileceği tam sayı değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Parabolün tepe noktasının ve simetri ekseni ile doğrunun kesişim noktasının orijine olan uzaklıklarının eşitlenmesiyle elde edilen denklemin tam sayı kökü olan 2'dir.

Parabolün tepe noktası

T(a, -2a)

ve simetri ekseni

x = a

doğrusudur. Kesişim noktası

P(a, 3a - 2)

'dir. Bu iki noktanın apsisleri aynı olduğundan, orijine olan uzaklıklarının eşit olması ordinatlarının mutlak değerce eşit olmasını gerektirir. Buradan

|-2a| = |3a - 2|

eşitliği kurulur. Bu denklemin çözümlerinden elde edilen tam sayı kök 2'dir.

Step-by-Step Solution

1

Parabolün tepe noktasının koordinatlarını belirleme

f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 2a

parabolünün tepe noktası

T(r, k)

olsun.

r = -\frac{-2a}{2} = a

ve

k = f(a) = a^2 - 2a^2 + a^2 - 2a = -2a

olduğundan

T(a, -2a)

elde edilir.

Tepe noktasının koordinatları

(r, f(r))

formülü ile bulunur.

2

Tepe noktasının orijine olan uzaklığının karesini hesaplama

|OT|^2 = a^2 + (-2a)^2 = 5a^2

İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanmıştır.

3

Simetri ekseni ile doğrunun kesişim noktasını bulma

Parabolün simetri ekseni

x = r \implies x = a

doğrusudur. Bu doğrunun

y = 3x - 2

doğrusuyla kesişim noktası

P(a, 3a - 2)

olur.

Kesişim noktasının apsisi simetri ekseni üzerinde olduğu için

a

'dır; ordinatı ise doğru denkleminde yerine yazılarak bulunur.

4

Kesişim noktasının orijine olan uzaklığının karesini hesaplama ve uzaklıkları eşitleme

|OP|^2 = a^2 + (3a-2)^2

. Uzaklıkların eşitliğinden

|OT|^2 = |OP|^2 \implies 5a^2 = a^2 + (3a-2)^2 \implies 5a^2 = 10a^2 - 12a + 4 \implies 5a^2 - 12a + 4 = 0

denklemi elde edilir.

Soruda her iki noktanın da orijine olan uzaklıklarının eşit olduğu belirtilmiştir.

5

İkinci dereceden denklemi çözüp tam sayı olan kökü seçme

5a^2 - 12a + 4 = 0 \implies (5a - 2)(a - 2) = 0

olur. Buradan

a = \frac{2}{5}

veya

a = 2

bulunur. Tam sayı değeri istendiği için

a = 2

olarak elde edilir.

Çarpanlara ayırma yöntemiyle denklemin kökleri bulunmuş ve tam sayı olan kök seçilmiştir.

Key Concept

Parabolün tepe noktası

T(r, k)

ve simetri ekseni

x = r

doğrusudur. Parabol üzerindeki noktaların veya simetri ekseniyle ilişkili geometrik yapıların analitik incelenmesinde uzaklık formülü kullanılır.

Alternative Method

Tepe noktasının ve kesişim noktasının apsisleri aynı (

x = a

) olduğundan, bu noktaların orijine olan uzaklıklarının eşit olması ancak ve ancak ordinatlarının mutlak değerce eşit olmasıyla mümkündür. Yani

|-2a| = |3a - 2|

denklemi kurulabilir. Buradan

-2a = -(3a - 2) \implies a = 2

veya

-2a = 3a - 2 \implies a = 2/5

hızlıca bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 2695Question →

x \neq 1

olmak üzere, pozitif bir

x

gerçel sayısı için,

\frac{2}{\log_3 x} + \frac{3}{\log_2 x} - \frac{1}{\log_{12} x} = 1

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu eşitliği sağlayan $x$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Denklemi sağlayan x gerçel sayısı 6'dır.

Verilen denklemde taban değiştirme kuralı kullanılarak tüm logaritmalar x tabanına dönüştürülür. Katsayılar kuvvet olarak yazıldıktan sonra toplama ve çıkarma kuralları uygulanarak denklem log_x(6) = 1 biçimine sadeleştirilir. Buradan x = 6 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Taban değiştirme özelliğini uygulama

2\log_x 3 + 3\log_x 2 - \log_x 12 = 1

Logaritmik terimlerin tabanlarını eşitleyerek işlem yapabilmek için rasyonel ifadeleri taban değiştirme kuralı yardımıyla düzenleriz.

2

Logaritma katsayılarını kuvvete taşıma

\log_x 9 + \log_x 8 - \log_x 12 = 1

Logaritma önündeki katsayılar, logaritması alınan sayıların üzerine üs olarak yazılır.

3

Toplama ve çıkarma özelliklerini kullanarak birleştirme

\log_x 6 = 1

Aynı tabandaki logaritma ifadelerinin toplamı çarpım, farkı ise bölüm şeklinde tek bir logaritma altında birleştirilir.

4

Bilinmeyeni çözme

x = 6

Logaritma tanımına göre log_x(a) = b ifadesi x^b = a anlamına gelir.

Key Concept

Logaritma taban değiştirme kuralı ve logaritmanın temel özellikleri

Estimated Time:2m 0s

Question 2696Question →

Sürekli bir

f

fonksiyonu için,

\int_{0}^{3} f(x+2) \, dx = 10

\int_{2}^{9} f(x) \, dx = 24

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,

\int_{1}^{2} f(4x+1) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

14

34

\frac{17}{2}

\frac{7}{2}

56

Show answer & explanation

Answer: $\frac{7}{2}$

Answer

İntegralinin değeri \frac{7}{2} olarak bulunur.

Doğru seçenekte belirtilen değer olan \frac{7}{2}, birinci integralde yapılan u = x+2 dönüşümüyle \int_{2}^{5} f(x) dx = 10 değeri bulunduktan sonra, aralık bölme özelliğiyle \int_{5}^{9} f(x) dx = 14 değerine ulaşılması ve son olarak hedeflenen integralde w = 4x+1 dönüşümü yapılarak elde edilen \frac{1}{4} \int_{5}^{9} f(w) dw ifadesinde değerin yerine yazılmasıyla doğru bir şekilde hesaplanmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Birinci integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır.

u = x+2

dönüşümü yapıldığında

du = dx

olur. Sınırlar güncellendiğinde;

x = 0

için

u = 2

ve

x = 3

için

u = 5

elde edilir. Buradan,

\int_{2}^{5} f(u) \, du = 10

bulunur.

Verilen integral ifadesini sadeleştirmek ve sınırları f(x) fonksiyonunun tanım kümesine uygun hale getirmek amacıyla bu dönüşüm yapılır.

2

Belirli integralin aralık bölme özelliği kullanılarak diğer integral parçalanır.

\int_{2}^{9} f(x) \, dx = \int_{2}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{9} f(x) \, dx

yazılabilir. Verilen değerler yerine yazıldığında;

24 = 10 + \int_{5}^{9} f(x) \, dx \implies \int_{5}^{9} f(x) \, dx = 14

elde edilir.

[2, 9]

aralığındaki integralin değerini ve elimizdeki

[2, 5]

aralığının değerini kullanarak

[5, 9]

aralığındaki integralin değerine ulaşmak hedeflenir.

3

İstenen integralde değişken değiştirme uygulanarak sonuca ulaşılır.

\int_{1}^{2} f(4x+1) \, dx

integralinde

w = 4x+1

dönüşümü yapılırsa

dw = 4 \, dx \implies dx = \frac{1}{4} \, dw

olur. Sınırlar güncellendiğinde;

x = 1

için

w = 5

ve

x = 2

için

w = 9

olur. İntegral şu hali alır:

\int_{5}^{9} f(w) \cdot \frac{1}{4} \, dw = \frac{1}{4} \int_{5}^{9} f(w) \, dw

. Bir önceki adımda bu integralin değerini

14

bulmuştuk, dolayısıyla sonuç

\frac{1}{4} \cdot 14 = \frac{7}{2}

olur.

4x+1

ifadesini tek bir değişkene indirgeyip sınırları elde ettiğimiz verilerle uyumlu hale getirerek integralin sayısal değerini hesaplamak amaçlanır.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi ile belirli integralin aralık bölme özelliği.

Question 2697Question →

Bir mikroçip üzerindeki iletim hatları yatay ve dikey yollardan oluşmaktadır. Elektrik akımı, sol alt köşedeki $S(0,0)$ giriş kapısından başlayıp sadece sağa (pozitif $x$ yönünde) veya yukarı (pozitif $y$ yön��nde) hareket ederek sağ üst köşedeki $E(5,4)$ çıkış kapısına ulaşacaktır. Mikroçipteki üretim hatasından dolayı $C(2,2)$ ve $D(3,3)$ koordinatlarındaki bağlantı noktalarından akım geçememektedir. Buna göre, akım giriş kapısından çıkış kapısına kaç farklı en kısa yoldan ulaşabilir?

6

42

66

84

90

Show answer & explanation

Answer: 42

Answer

Doğru cevap 42'dir. Tüm yolların sayısından, geçilemeyen noktalardan geçen yolların sayısı çıkarılarak bulunur.

Doğru cevap 42'dir.

S(0,0)

noktasından başlayıp sadece sağa ve yukarı hareket ederek

E(5,4)

noktasına ulaşan tüm yolların sayısı

126

olarak bulunur. Yasaklı olan

C(2,2)

noktasından geçen yolların sayısı

60

,

D(3,3)

noktasından geçen yolların sayısı da

60

adettir. Hem

C(2,2)

hem de

D(3,3)

noktalarından sırasıyla geçen yolların sayısı

36

'dır. Küme birleşim formülü (içerme-dışarma ilkesi) gereği, engelli noktalardan en az birinden geçen toplam yol sayısı

60 + 60 - 36 = 84

olur. Bu durumda geriye kalan geçerli yolların sayısı

126 - 84 = 42

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

S(0,0)

noktasından

E(5,4)

noktasına olan tüm en kısa yolların sayısını tekrarlı permütasyon ile hesaplayın.

\frac{(5+4)!}{5! \times 4!} = \frac{9!}{5! \times 4!} = 126

Herhangi bir kısıtlama olmadan gidilebilecek tüm yolların toplam sayısını belirlemek için.

2

C(2,2)

noktasından geçen en kısa yolların sayısını hesaplay��n.

S(0,0) \rightarrow C(2,2)

için

2

sağ,

2

yukarı

\Rightarrow \frac{4!}{2! \times 2!} = 6

yol.

C(2,2) \rightarrow E(5,4)

için

3

sağ,

2

yukarı

\Rightarrow \frac{5!}{3! \times 2!} = 10

yol. Toplam:

6 \times 10 = 60

yol.

İlk arızalı noktaya uğrayan tüm geçersiz yolların sayısını belirlemek için.

3

D(3,3)

noktasından geçen en kısa yolların sayısını hesaplayın.

S(0,0) \rightarrow D(3,3)

için

3

sağ,

3

yukarı

\Rightarrow \frac{6!}{3! \times 3!} = 20

yol.

D(3,3) \rightarrow E(5,4)

için

2

sağ,

1

yukarı

\Rightarrow \frac{3!}{2! \times 1!} = 3

yol. Toplam:

20 \times 3 = 60

yol.

İkinci arızalı noktaya uğrayan tüm geçersiz yolların sayısını belirlemek için.

4

Hem

C(2,2)

hem de

D(3,3)

noktasından geçen en kısa yolların sayısını hesaplayın.

S(0,0) \rightarrow C(2,2)

için

6

yol.

C(2,2) \rightarrow D(3,3)

için

1

sağ,

1

yukarı

\Rightarrow \frac{2!}{1! \times 1!} = 2

yol.

D(3,3) \rightarrow E(5,4)

için

3

yol. Toplam:

6 \times 2 \times 3 = 36

yol.

Her iki engelli noktaya da sırasıyla uğrayan ortak yolların sayısını belirlemek için. Bu yollar hem adım 2'de hem de adım 3'te iki kez sayılmıştır.

5

İçerme-Dışarma İlkesi kullanarak en az bir engelli noktadan geçen toplam yol sayısını bulun.

60 + 60 - 36 = 84

yol.

Kesişim kümesindeki ortak yolların mükerrer sayılmasını engellemek amacıyla.

6

Toplam yol sayısından engelli noktalardan geçen yolların sayısını çıkararak geçerli yolların sayısını bulun.

126 - 84 = 42

yol.

Hiçbir engelli noktaya uğramayan geçerli iletim hatlarının sayısını bulmak için.

Key Concept

Tekrarlı permütasyon formülü ve İçerme-Dışarma İlkesi (Kümelerde Birleşim Formülü) kullanılarak kısıtlı ızgara yollarının hesaplanması.

Alternative Method

Nokta toplama yöntemi (veya köşegen toplama yöntemi) kullanılarak da sonuca ulaşılabilir.

S(0,0)

noktasından başlanarak her bir kesişim noktasındaki yolların sayısı, o noktanın solundaki ve altındaki noktaların yol sayılarının toplamı olarak yazılır. Bu işlem sırasında

C(2,2)

ve

D(3,3)

noktalarının üzerindeki yol sayıları arızalı oldukları için

0

kabul edilir ve toplama işlemine bu şekilde devam edilerek

E(5,4)

noktasına ulaşıldığında

42

değeri elde edilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 2698Question →

$A = \{1, 2, 3, 4\}$ ve $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ kümeleri veriliyor. $A$ kümesinden $B$ kümesine tanımlanabilecek tüm fonksiyonlar arasından rastgele seçilen bir fonksiyonun bire bir fonksiyon olma olasılığı kaçtır?

\frac{5}{18}

\frac{5}{54}

\frac{5}{108}

\frac{1}{54}

\frac{5}{432}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{5}{18}$

Answer

Beş bölü on sekiz

Seçilen fonksiyonun bire bir olması için tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde farklı bir elemanla eşleşmesi gerekir. Bu koşulu sağlayan durum sayısı

360

, tanımlanabilecek tüm fonksiyonların sayısı ise

1296

'dır. Bu iki değer oranlandığında olasılık beş bölü on sekiz olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Örnek uzayın eleman sayısını (tanımlanabilecek tüm fonksiyonların sayısını) bulun.

Tüm fonksiyonların sayısı

s(B)^{s(A)} = 6^4 = 1296

olur.

A kümesindeki her bir eleman, B kümesindeki 6 farklı elemandan herhangi biriyle eşleşebilir.

2

İstenen olayın eleman sayısını (bire bir fonksiyon sayısını) hesaplayın.

Bire bir fonksiyon sayısı

P(6, 4) = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360

olur.

Bire bir fonksiyonda A kümesinin her elemanı B kümesinden farklı bir elemana gitmelidir. Birinci eleman için 6, ikinci için 5, üçüncü için 4 ve dördüncü için 3 seçenek vardır.

3

İstenen olayın olasılığını hesaplayın ve sadeleştirin.

Olasılık

\frac{360}{1296} = \frac{5}{18}

olarak bulunur.

Olasılık, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına oranıdır.

Key Concept

Bir fonksiyonun bire bir olma olasılığı, bire bir fonksiyon sayısının tanımlanabilecek tüm fonksiyonların sayısına oranı ile hesaplanır.

Question 2699Question →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^2 - 2x + a$ parabolü koordinat eksenlerini $A(x_1, 0)$ , $B(x_2, 0)$ ve $C(0, y_0)$ noktalarında kesmektedir.

$x_1 < 0 < x_2$ olmak üzere, $A$ ve $B$ noktalarının orijine olan uzaklıkları toplamı, $C$ noktasının orijine olan uzaklığının $\frac{3}{4}$ ’üne eşittir.

Buna göre, $a$ değeri kaçtır?

-8

-6

-3

4

8

Show answer & explanation

Answer: -8

Answer

-8 değeri

Parabolün y-eksenini kestiği noktanın ordinatı

a

’dır. Köklerden biri negatif, diğeri pozitif olduğu için kökler çarpımı olan

a

değeri negatiftir. Buradan

C

noktasının orijine uzaklığı

-a

olur. x-eksenini kesim noktalarının orijine uzaklıkları toplamı ise

-x_1 + x_2

’dir. İlgili oran kullanılarak

(x_2-x_1) = -\frac{3}{4}a

yazılır. Kökler toplamının 2 olduğu bilgisiyle birlikte iki kare farkı ve tam kare ilişkilerinden yararlanılarak

a = -8

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Eksenleri kesim noktalarını cebirsel olarak ifade etmek

y-eksenini kestiği nokta

C(0, a)

ve x-eksenini kestiği noktalar

A(x_1, 0)

ile

B(x_2, 0)

’dir.

Eksenleri kestiği noktaların apsis ve ordinatlarını parabol denkleminden belirlemek amacıyla.

2

Köklerin işaretlerini ve uzaklık ilişkisini belirlemek

x_1 < 0 < x_2

olduğundan kökler çarpımı

x_1 x_2 = a < 0

’dır. Bu durumda

C(0, a)

noktasının orijine uzaklığı

|a| = -a

birimdir.

A

ve

B

noktalarının orijine uzaklıkları toplamı ise

|x_1| + |x_2| = -x_1 + x_2

birimdir.

Uzaklıkların mutlak değerce pozitif olması gerektiğini uygulayarak cebirsel ifadeyi doğru kurmak için.

3

Verilen oranı kullanarak köklerin farkını

a

cinsinden yazmak

x_2 - x_1 = -\frac{3}{4}a

denklemi elde edilir.

Kökler farkı ile parabolün y-eksenini kestiği nokta arasındaki doğrusal bağıntıyı kurmak için.

4

Kökler toplamı ve çarpımı ilişkisini kullanarak ikinci dereceden denklem oluşturmak

x_1 + x_2 = 2

ve

x_1 x_2 = a

olduğundan,

(x_2 - x_1)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2

özdeşliğinden

\left(-\frac{3}{4}a\right)^2 = 2^2 - 4a \Rightarrow \frac{9}{16}a^2 + 4a - 4 = 0

elde edilir.

Köklerin farkı ile toplamı ve çarpımı arasındaki özdeşlik yardımıyla

a

parametresine bağlı tek değişkenli denkleme ulaşmak için.

5

Oluşan denklemi çözerek

a

değerini bulmak

9a^2 + 64a - 64 = 0 \Rightarrow (9a - 8)(a + 8) = 0

elde edilir. Buradan

a = \frac{8}{9}

veya

a = -8

bulunur.

a < 0

olması gerektiğinden

a = -8

’dir.

Denklemin köklerinden parabolün varlık koşuluna ve köklerin işaret durumuna uygun olan negatif değeri seçmek için.

Key Concept

Parabolün eksenleri kestiği noktaların ordinat ve apsis değerlerinin kök katsayı ilişkileriyle analitik olarak incelenmesi.

Estimated Time:2m 0s

Question 2700Question →

Birden büyük

a

,

b

ve

c

gerçel sayıları için,

\log_a(bc) + \log_b(ac) = 7

\log_c(ab) = 2

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $\log_a b + \log_b a$ ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

İfadenin doğru değeri 4'tür.

Verilen iki denklem

x = \log_a c

ve

y = \log_b c

dönüşümleriyle ortak bir tabana indirgendiğinde

x+y = 3

ve

xy = 3/2

bağıntıları elde edilir. İstenen

\log_a b + \log_b a

ifadesi

\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2+y^2}{xy}

olup, bu iki bağıntı yerine yazıldığında sonuç 4 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

x = \log_a c

ve

y = \log_b c

değişken dönüşümlerini tanımlayınız.

Taban değiştirme kuralına göre

\log_c a = \frac{1}{x}

ve

\log_c b = \frac{1}{y}

elde edilir.

Verilen ifadeleri daha kolay işleyebilmek amacıyla tüm logaritma terimlerini

c

tabanı ile ilişkilendirmek için.

2

İkinci denklemi tanımlanan değişkenler cinsinden ifade ediniz.

\log_c(ab) = \log_c a + \log_c b = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 \implies \frac{x+y}{xy} = 2 \implies x+y = 2xy

bağıntısı elde edilir.

Logaritmanın çarpım özelliğini ve taban değiştirme sonucunu uygulamak için.

3

Birinci denklemi çarpım özelliğini kullanarak düzenleyiniz ve değişkenler cinsinden yazınız.

\log_a(bc) + \log_b(ac) = \log_a b + \log_a c + \log_b a + \log_b c = 7

olur.

\log_a b = \frac{x}{y}

ve

\log_b a = \frac{y}{x}

olduğundan denklem

\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + x + y = 7

şekline gelir.

Denklemin terimlerini

x

ve

y

cinsinden ifade ederek tek bir cebirsel sistem oluşturmak için.

4

Cebirsel ifadeyi özdeşlikler yardımıyla düzenleyiniz.

\frac{x^2+y^2}{xy} + (x+y) = 7 \implies \frac{(x+y)^2 - 2xy}{xy} + (x+y) = 7 \implies \frac{(x+y)^2}{xy} + (x+y) = 9

elde edilir.

x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy

özdeşliğini yerine yazarak ifadeyi

x+y

ve

xy

cinsine dönüştürmek için.

5

xy = \frac{x+y}{2}

bağıntısını kullanarak

x+y

değerini hesaplayınız.

\frac{(x+y)^2}{\frac{x+y}{2}} + (x+y) = 9 \implies 2(x+y) + (x+y) = 9 \implies 3(x+y) = 9 \implies x+y = 3

bulunur. Buradan

xy = \frac{3}{2}

elde edilir.

xy

terimini yok ederek denklemden doğrudan

x+y

toplamına ulaşmak için.

6

İstenen

\log_a b + \log_b a

ifadesini hesaplayınız.

\log_a b + \log_b a = \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{(x+y)^2 - 2xy}{xy} = \frac{3^2 - 2(3/2)}{3/2} = \frac{6}{3/2} = 4

bulunur.

Elde edilen

x+y = 3

ve

xy = 3/2

değerlerini nihai ifadede yerine yazmak için.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme kuralı ve çarpım özelliğinin cebirsel özdeşliklerle ortak çözümü.

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer