Trigonometri Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 5

Question 81Question →

Bir matematik öğretmeni, trigonometrik indirgeme formülleri ve esas ��lçü kavramlarını pekiştirmek amacıyla tahtaya aşağıdaki $x$ , $y$ ve $z$ değerlerini yazmıştır:

x = \sin\left(\frac{25\pi}{6}\right)

y = \cos\left(-\frac{16\pi}{3}\right)

z = \tan\left(\frac{29\pi}{4}\right)

Buna göre; $x$ , $y$ ve $z$ sayılarını en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

y < x < z

(en küçük

y

, sonra

x

, en büyük

z

)

Verilen ifadelerin esas ölçüleri ve bölgelere göre indirgenmiş değerleri hesaplandığında

y = -\frac{1}{2}

ile en küçük,

x = \frac{1}{2}

ile ortanca ve

z = 1

ile en büyük değer olur.

Step-by-Step Solution

1

x

sayısının esas ölçüsünü bulma ve değerini hesaplama

x = \frac{1}{2}

\frac{25\pi}{6}

açısının esas ölçüsü, payın paydanın iki katına bölünmesiyle (25'in 12'ye bölümünden kalan 1)

\frac{\pi}{6}

radyandır. Birinci bölgede sinüs pozitif olup

\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}

elde edilir.

2

y

sayısının esas ölçüsünü bulma ve değerini hesaplama

y = -\frac{1}{2}

-\frac{16\pi}{3}

negatif açısına esas ölçüyü bulmak için

2\pi

'nin en küçük pozitif katı olan

6\pi

eklenir:

-\frac{16\pi}{3} + 6\pi = \frac{2\pi}{3}

radyan olur. İkinci bölgede kosinüs negatif değer alır. İndirgeme formülüyle

\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}

bulunur.

3

z

sayısının esas ölçüsünü bulma ve değerini hesaplama

z = 1

\frac{29\pi}{4}

açısının esas ölçüsü, payın paydanın iki katına bölünmesiyle (29'un 8'e bölümünden kalan 5)

\frac{5\pi}{4}

radyandır. Üçüncü bölgede tanjant pozitif değer alır. İndirgeme formülüyle

\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \tan(225^\circ) = \tan(180^\circ + 45^\circ) = \tan(45^\circ) = 1

elde edilir.

4

Elde edilen değerleri sayı doğrusu üzerindeki büyüklüklerine göre sıralama

y < x < z

-\frac{1}{2} < \frac{1}{2} < 1

olduğundan doğru sıralama

y < x < z

şeklindedir.

Key Concept

Radyan cinsinden verilen açıların esas ölçülerinin bulunması ve bölgelere göre trigonometrik fonksiyon değerlerinin indirgeme formülleriyle hesaplanması.

Question 82Question →

Analitik düzlemde, başlangıç kenarı $Ox$ ekseninin pozitif kısmı olan $\alpha$ ve $\beta$ yönlü açılarının bitiş kenarları sırasıyla koordinat düzleminin III. ve IV. bölgelerindedir.

$\alpha$ açısının esas ölçüsü $\frac{11\pi}{8}$ radyan olup, $\alpha - \beta$ açısının esas ölçüsü $315^\circ 45' 12''$ dir.

Buna göre, $\beta$ açısının esas ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?

203^\circ 15' 12''

111^\circ 44' 48''

291^\circ 44' 48''

292^\circ 45' 48''

292^\circ 04' 48''

Show answer & explanation

Answer: $291^\circ 44' 48''$

Answer

291^\circ 44' 48''

Doğru olan

291^\circ 44' 48''

değeri,

\alpha

açısının derece ve dakika karşılığı olan

247^\circ 30' 00''

değerinden, verilen

\alpha - \beta

farkı çıkarılıp elde edilen negatif değerin üzerine

360^\circ

eklenmesiyle elde edilir. Bu açı IV. bölgede yer alır.

Step-by-Step Solution

1

\alpha

açısının radyan cinsinden verilen esas ölçüsünü dereceye dönüştürme.

\alpha = \frac{11 \times 180^\circ}{8} = 247.5^\circ

İşlemlerin derece, dakika ve saniye cinsinden yapılabilmesi için birim dönüşümü gereklidir.

2

Ondalık dereceyi derece ve dakika cinsinden ifade etme.

247.5^\circ = 247^\circ 30' 00''

0.5^\circ = 0.5 \times 60' = 30'

olduğundan ondalık kısım dakikaya çevrilir.

3

\alpha - \beta

farkının esas ölçü denklemini kurarak

\beta

açısını yalnız bırakma.

\beta \equiv 247^\circ 30' 00'' - 315^\circ 45' 12'' + 360^\circ \pmod{360^\circ} \Rightarrow \beta = 607^\circ 30' 00'' - 315^\circ 45' 12''

Negatif yönlü açıyı pozitif bir esas ölçüye dönüştürmek için açıya

360^\circ

eklenir.

4

Derece, dakika ve saniye çıkarma işlemini gerçekleştirme.

607^\circ 30' 00'' = 606^\circ 89' 60''

yazılır. Çıkarma sonucunda

291^\circ 44' 48''

elde edilir.

Saniye ve dakika hanelerinde çıkarma yapılabilmesi için soldaki basamaklardan borç alınarak

1^\circ = 60'

ve

1' = 60''

dönüşümleri uygulanır. Elde edilen

291^\circ 44' 48''

açısı IV. bölgede yer aldığından bölge şartı da sağlanır.

Key Concept

Derece, dakika, saniye birimleri arasındaki dönüşümler ve yönlü açılarda esas ölçü hesabı

Estimated Time:2m 30s

Question 83Question →

a = \sin(70^\circ)

b = \cos(70^\circ)

c = \tan(70^\circ)

olduğuna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

b < a < c

b < c < a

a < b < c

c < b < a

a < c < b

Show answer & explanation

Answer: $b < a < c$

Answer

b < a < c sıralaması doğrudur.

Verilen açının birinci bölgede (

0^\circ < 70^\circ < 90^\circ

) olduğu görülür. Birinci bölgede

45^\circ

'den büyük açıların tanjant değeri daima

1

'den büyüktür, dolayısıyla

c = \tan(70^\circ) > 1

olur. Sinüs değeri ise

1

'den küçük olacağından en büyük değer tanjanttır (

a < c

). Ayrıca birinci bölgede açılar

45^\circ

ile

90^\circ

arasındayken sinüs değeri kosinüs değerinden büyüktür. Yani

\sin(70^\circ) > \cos(70^\circ)

olup

b < a

elde edilir. Bu iki bilgi birleştirildiğinde

b < a < c

sıralaması bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Tanjant değerinin sınırını belirleme

c = \tan(70^\circ) > \tan(45^\circ) = 1

Birinci bölgede tanjant fonksiyonu artandır ve

45^\circ

üzerindeki açılar için tanjant değeri

1

'den büyüktür.

2

Sinüs değerinin sınırını belirleme ve tanjant ile karşılaştırma

a = \sin(70^\circ) < 1 < c

Sinüs fonksiyonu tüm reel sayılar için en fazla

1

değerini alabilir. Bu nedenle

a < c

olur.

3

Sinüs ve kosinüs değerlerini karşılaştırma

b = \cos(70^\circ) = \sin(20^\circ)

ve

\sin(20^\circ) < \sin(70^\circ)

olduğundan

b < a

olur.

Birinci bölgede sinüs fonksiyonu artan olduğundan

\sin(20^\circ) < \sin(70^\circ)

olur veya

45^\circ

ile

90^\circ

arasındaki açılar için

\sin(x) > \cos(x)

özelliği geçerlidir.

4

Tüm adımları birleştirerek nihai sıralamayı elde etme

b < a < c

Önceki adımlarda elde edilen

b < a

ve

a < c

eşitsizlikleri birleştirildiğinde doğru sıralama bulunmuş olur.

Key Concept

Birinci bölgedeki trigonometrik fonksiyon değerlerinin sıralanması

Estimated Time:1m 30s

Question 84Question →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember ve bu çembere $A(1, 0)$ noktasında teğet olan $x = 1$ doğrusu verilmiştir. Başlangıç kenarı pozitif $x$ -ekseni olan ve ölçüsü $\alpha$ radyan olan bir yönlü açının biti�� kenarının birim çemberi kestiği nokta $P$ , bitiş kenarını taşıyan doğrunun $x = 1$ doğrusunu kestiği nokta ise $T$ noktasıdır.

$\alpha \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$ olmak üzere, $P$ noktasının $x$ -eksenine olan uzaklığı ile $T$ noktasının orijine olan uzaklığının çarpımı $\frac{\sqrt{3}}{3}$ birimdir.

Buna göre, $\sin\alpha$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -0.5

Answer

İstenen sinüs değeri -0.5'tir.

Üçüncü bölgedeki açının sinüs değeri negatif olup, uzaklıklar çarpımından elde edilen tanjant değerinin 1/kök(3) olmasını sağlayan 210 derecelik açının sinüsü -0.5'tir.

Step-by-Step Solution

1

Birim çember üzerindeki P noktasının ve

x = 1

teğet doğrusu üzerindeki T noktasının koordinatlarını belirleme.

P(\cos\alpha, \sin\alpha)

ve

T(1, \tan\alpha)

Uzaklıkları trigonometrik oranlar cinsinden yazabilmek için.

2

Noktaların eksenlere ve orijine olan uzaklıklarını mutlak değer dışına çıkarma.

d_1 = -\sin\alpha

ve

d_2 = -\frac{1}{\cos\alpha}

Üçüncü bölgede

\sin\alpha < 0

ve

\cos\alpha < 0

olduğundan uzaklıkların pozitif değer alması sağlanır.

3

Uzaklıkların çarpımını eşitleyerek

\tan\alpha

değerini ve açıyı bulma.

\tan\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies \alpha = 210^\circ

(veya

\frac{7\pi}{6}

radyan)

Verilen çarpım ilişkisinden

\tan\alpha

oranına ulaşmak için.

4

Belirlenen açının sinüs değerini hesaplama.

\sin(210^\circ) = -0.5

Soruda istenen nihai trigonometrik değeri elde etmek için.

Key Concept

Birim çember üzerindeki koordinatlar ile trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri arasındaki ilişki

Estimated Time:2m 0s

Question 85Question →

Dik koordinat düzleminde, birim çember üzerinde ve ikinci bölgede bulunan bir $P$ noktasının ordinatı $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 'dir. Buna göre, $P$ noktasının apsisi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -0.5

Answer

P noktasının apsisi -0.5'tir.

Birim çember denklemi olan

x^2 + y^2 = 1

eşitliğinde

y = \frac{\sqrt{3}}{2}

yazıldığında

x^2 = \frac{1}{4}

elde edilir. Nokta ikinci bölgede olduğundan apsis değeri negatif olmalıdır, bu nedenle apsis

x = -0.5

olur.

Step-by-Step Solution

1

Birim çember denklemini kurmak

x^2 + y^2 = 1

Birim çember üzerindeki tüm noktaların koordinatları bu denklemi sağlamak zorundadır.

2

Verilen ordinat değerini kullanarak apsisin mutlak değerini bulmak

x^2 = \frac{1}{4} \implies |x| = 0.5

y = \frac{\sqrt{3}}{2}

değeri denklemde yerine yazıldığında

x^2 + \frac{3}{4} = 1

elde edilir.

3

Bölge bilgisini değerlendirerek apsisin işaretini belirlemek

x = -0.5

İkinci bölgede apsis (x-koordinatı) negatif işaretli olduğundan pozitif kök elenir ve negatif değer alınır.

Key Concept

Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarının

x^2 + y^2 = 1

denklemini sağlaması ve koordinatların bölgelere göre işaretleri.

Question 86Question →

$a = \sin(70^\circ)$
$b = \cos(160^\circ)$
$c = \tan(200^\circ)$
olduğuna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

c < b < a

b < a < c

b < c < a

a < c < b

c < a < b

Show answer & explanation

Answer: $b < c < a$

Answer

Doğru sıralama b < c < a şeklindedir.

Negatif olan kosinüs değeri en küçük değerdir. Pozitif olan değerlerden tanjant değeri sinüs değerinden daha küçük olduğu için doğru sıralama b < c < a olur.

Step-by-Step Solution

1

Trigonometrik değerlerin bulundukları bölgelere göre işaretlerini belirleme.

a = \sin(70^\circ) > 0

(1. bölge, pozitif),

b = \cos(160^\circ) < 0

(2. bölge, negatif),

c = \tan(200^\circ) > 0

(3. bölge, pozitif).

Genel büyüklük ve işaret ilişkisini kurmak için.

2

Pozitif olan a ve c değerlerini dar açıya indirgeyerek karşılaştırma.

a = \sin(70^\circ) = \cos(20^\circ) \approx 0{}94

,

c = \tan(200^\circ) = \tan(20^\circ) \approx 0{}36

.
Buradan

c < a

elde edilir.

Pozitif değerlerin kendi arasındaki sıralamasını belirlemek için.

3

Negatif ve pozitif değerleri birleştirerek nihai sıralamayı elde etme.

Negatif olan

b

en küçük değerdir. Pozitif değerler arasında

c < a

olduğundan sıralama

b < c < a

olur.

Tüm değerleri küçükten büyüğe sıralamak için.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve dar açı cinsinden sıralanması.

Estimated Time:1m 30s

Question 87Question →

Tanımlı olduğu $x$ gerçel sayı değerleri için,

f(x) = \frac{\sin\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) - \cos(x - 1260^\circ)}{\sin(11\pi - x) \cdot \tan(810^\circ + x)}

ifadesi veriliyor.

Buna göre, $f(x)$ ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

2

0

2\cot(x)

-2

-2\tan(x)

Show answer & explanation

Answer: $-2$

Answer

-2

İfadedeki pay kısmında yer alan terimler indirgendiğinde

2\cos(x)

, payda kısmında yer alan çarpım durumundaki terimler indirgenip sadeleştirildiğinde

-\cos(x)

elde edilir. Bu iki değer birbirine oranlandığında değişkenler sadeleşir ve sonuç

-2

olarak bulunur. Dolayısıyla doğru cevap

-2

değeridir.

Step-by-Step Solution

1

Payda yer alan

\sin\left(\frac{5\pi}{2} - x\right)

ifadesini indirgeyiniz.

\sin\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)

\frac{5\pi}{2}

açısının esas ölçüsü

\frac{\pi}{2}

'dir. Birinci bölgede sinüs fonksiyonu pozitif işaretlidir ve

\frac{\pi}{2}

açısına göre indirgeme yapıldığından fonksiyon isim değiştirerek kosinüse dönüşür.

2

Payda yer alan

\cos(x - 1260^\circ)

ifadesini indirgeyiniz.

\cos(x - 1260^\circ) = \cos(1260^\circ - x) = \cos(180^\circ - x) = -\cos(x)

Kosinüs çift fonksiyon olduğundan

\cos(x - 1260^\circ) = \cos(1260^\circ - x)

olur.

1260^\circ

açısının esas ölçüsü

1260^\circ - 3 \cdot 360^\circ = 180^\circ

olarak bulunur. İkinci bölgede kosinüs negatif işaretlidir ve isim değiştirmez.

3

Pay kısmının toplam değerini hesaplayınız.

\text{Pay} = \cos(x) - (-\cos(x)) = 2\cos(x)

Bulunan sadeleşmiş terimler pay kısmındaki çıkarma işleminde yerine yazılarak ifade düzenlenir.

4

Paydadaki

\sin(11\pi - x)

ve

\tan(810^\circ + x)

ifadelerini ayrı ayrı indirgeyiniz.

\sin(11\pi - x) = \sin(\pi - x) = \sin(x)

ve

\tan(810^\circ + x) = \tan(90^\circ + x) = -\cot(x)

11\pi

açısının esas ölçüsü

\pi

'dir. İkinci bölgede sinüs pozitif olup isim değiştirmez.

810^\circ

açısının esas ölçüsü

90^\circ

'dir. İkinci bölgede tanjant negatif işaretlidir ve

90^\circ

açısına göre indirgendiğinden ismi kotanjanta dönüşür.

5

Payda kısmını çarpım olarak hesaplayınız ve tüm ifadeyi oranlayınız.

\text{Payda} = \sin(x) \cdot (-\cot(x)) = \sin(x) \cdot \left(-\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right) = -\cos(x)

. Buradan

f(x) = \frac{2\cos(x)}{-\cos(x)} = -2

bulunur.

Kotanjantın

\frac{\cos(x)}{\sin(x)}

eşitliği kullanılarak payda basitleştirilir, ardından pay paydaya bölünerek en sade biçim elde edilir.

Key Concept

Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Question 88Question →

Analitik düzlemde, başlangıç kenarı $Ox$ ekseninin pozitif kısmı olan ve ölçüsü $-\frac{43\pi}{6}$ radyan olan yönlü açının bitiş kenarı, koordinat düzleminin ikinci bölgesindedir.

True

False

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen ifade doğrudur.

Verilen negatif yönlü açının esas ölçüsü

\frac{5\pi}{6}

radyan yani

150^\circ

olarak bulunur.

150^\circ

açısının bitiş kenarı ikinci bölgede olduğundan ifade doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Negatif yönlü açının esas ölçüsünü bulmak için açıya

2\pi

'nin en küçük pozitif katını ekleyelim.

-\frac{43\pi}{6} + 8\pi = \frac{-43\pi + 48\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}

radyan

Esas ölçünün

[0, 2\pi)

aralğında olması gerektiğinden negatif açılara uygun

2\pi

katı eklenir.

2

Elde edilen radyan cinsinden esas ölçüy�� derece birimine dönüştürelim.

\frac{5\pi}{6} \text{ radyan} = \frac{5 \times 180^\circ}{6} = 150^\circ

Derece birimi, koordinat düzlemindeki bölgelerin sınırlarını (

0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ, 360^\circ

) görselleştirmeyi kolaylaştırır.

3

Açının koordinat düzleminde hangi bölgeye karşılık geldiğini belirleyelim.

90^\circ < 150^\circ < 180^\circ

olduğundan açı ikinci bölgededir.

İkinci bölge

90^\circ

ile

180^\circ

arasındaki açıları kapsar.

Key Concept

Yönlü açılar, esas ölçü bulma ve koordinat düzlemindeki bölgeler.

Question 89Question →

Şekildeki $ABCD$ kirişler dörtgeninde $[AC]$ köşegendir.

$|AB| = 4\text{ birim}$ ,
$|BC| = 1\text{ birim}$ ,
$|CD| = 4\text{ birim}$ ve
$|DA| = 5\text{ birim}$

olduğuna göre, $|AC|$ uzunluğu kaç birimdir?

\sqrt{13}

\sqrt{21}

\sqrt{11}

\sqrt{61}

\sqrt{71}

Show answer & explanation

Answer: $\sqrt{21}$

Answer

Köşegen uzunluğu

\sqrt{21}

birimdir.

Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünler olduğundan

m(\widehat{ADC}) = \alpha

iken

m(\widehat{ABC}) = 180^\circ - \alpha

olur. Kosinüs Teoremi her iki üçgene uygulandığında sırasıyla

|AC|^2 = 41 - 40\cos\alpha

ve

|AC|^2 = 17 + 8\cos\alpha

(çünkü

\cos(180^\circ-\alpha) = -\cos\alpha

) denklemleri elde edilir. Bu iki denklem eşitlendiğinde

48\cos\alpha = 24

ve buradan

\cos\alpha = 1/2

bulunur. Bulunan değer yerine yerleştirildiğinde köşegen uzunluğunun karesi

21

birimkare, kendisi ise kök 21 birim olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Kirişler dörtgeninin özelliğini kullanarak karşılıklı açıları tanımlamak.

m(\widehat{ADC}) = \alpha

olsun. Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünler olduğundan

m(\widehat{ABC}) = 180^\circ - \alpha

olur.

Karşılıklı açıların toplamının

180^\circ

olması, trigonometrik indirgemede birbirini bütünleyen açıların kosinüs değerlerinin zıt işaretli olmasını sağlar.

2

ADC

üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulamak.

|AC|^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos\alpha = 41 - 40\cos\alpha

Köşegen uzunluğunu

\alpha

açısı cinsinden ifade etmek için kenar uzunlukları

5

ve

4

olan ��çgende teorem uygulanır.

3

ABC

üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulamak ve bütünler açı indirgemesini yapmak.

|AC|^2 = 4^2 + 1^2 - 2 \cdot 4 \cdot 1 \cdot \cos(180^\circ - \alpha) = 17 - 8(-\cos\alpha) = 17 + 8\cos\alpha

İkinci bölgedeki bir açının kosinüsünün zıt işaretlisine e��it olmasından dolayı,

\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha

eşitliği kullanılır.

4

Elde edilen iki farklı

|AC|^2

ifadesini birbirine eşitleyerek

\cos\alpha

değerini bulmak.

41 - 40\cos\alpha = 17 + 8\cos\alpha \Rightarrow 24 = 48\cos\alpha \Rightarrow \cos\alpha = \frac{1}{2}

Aynı köşegen uzunluğunun iki farklı ifadesi eşitlenerek bilinmeyen açının kosinüsüne ulaşılır.

5

Bulunan kosinüs değerini denklemlerden birinde yerine yazıp köşegen uzunluğunu hesaplamak.

|AC|^2 = 41 - 40 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 41 - 20 = 21 \Rightarrow |AC| = \sqrt{21}

Köşegen uzunluğunun karesi olan

21

değerinin karekökü alınarak nihai sonuca varılır.

Key Concept

Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların bütünler olması özelliğinin Kosinüs Teoremi ve trigonometrik indirgeme kuralları ile birleştirilmesi.

Estimated Time:3m 0s

Question 90Question →

$\theta \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}\right)$ olmak üzere,

x = \frac{\sin^3\theta - \cos^3\theta}{1 + \sin\theta\cos\theta}

y = \frac{1 - \sec^2\theta}{1 - \csc^2\theta}

z = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} + \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta}

ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; $x$ , $y$ ve $z$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama z < x < y şeklindedir.

İfadelerin sadeleşmiş biçimleri sırasıyla

x = \sin\theta - \cos\theta

,

y = \tan^4\theta

ve

z = 2\csc\theta

olarak bulunur. Verilen

\theta

aralığında

z

değeri

-2

değerinden küçük negatif bir sayı,

x

değeri

-1

ile

0

arasında negatif bir sayı ve

y

değeri

1

değerinden büyük pozitif bir sayı olduğundan doğru sıralama

z < x < y

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

x

ifadesini çarpanlara ayırma özdeşliklerini kullanarak sadeleştirin.

x = \sin\theta - \cos\theta

Pay kısmındaki

\sin^3\theta - \cos^3\theta

ifadesi küp farkı açılımı ile

(\sin\theta - \cos\theta)(\sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)

olarak yazılır.

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

olduğu için bu ifade

(\sin\theta - \cos\theta)(1 + \sin\theta\cos\theta)

olur. Payda ile sadeleştiğinde geriye

\sin\theta - \cos\theta

kalır.

2

y

ifadesini temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla basitleştirin.

y = \tan^4\theta

1 - \sec^2\theta = -\tan^2\theta

ve

1 - \csc^2\theta = -\cot^2\theta

özdeşlikleri yerlerine yazıldığında,

y = \frac{-\tan^2\theta}{-\cot^2\theta} = \frac{\tan^2\theta}{\cot^2\theta} = \tan^4\theta

elde edilir.

3

z

ifadesinde paydaları eşitleyerek sadeleştirme yapın.

z = \frac{2}{\sin\theta} = 2\csc\theta

Paydalar eşlendiğinde pay kısmında

\sin^2\theta + (1 + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta

ifadesi oluşur.

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

olduğundan pay kısmı

2 + 2\cos\theta = 2(1 + \cos\theta)

haline gelir. Paydadaki

1 + \cos\theta

çarpanı ile sadeleştiğinde geriye

\frac{2}{\sin\theta}

kalır.

4

\theta \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}\right)

aralığına göre elde edilen ifadelerin değer sınırlarını karşılaştırın.

z < x < y

Bu aralık birim çemberin üçüncü bölgesindedir. Burada

\sin\theta < \cos\theta < 0

olduğundan,

x = \sin\theta - \cos\theta < 0

olur.

\sin\theta \in \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

olduğu için

z = \frac{2}{\sin\theta} < -2

bulunur. Üçüncü bölgede

\tan\theta > 1

olduğundan,

y = \tan^4\theta > 1

olur. Bu durumda negatif ve mutlak değerce en büyük olan

z

en küçük, negatif olan

x

ortanca, pozitif olan

y

ise en büyüktür.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama Analizi

Estimated Time:3m 0s

Question 91Question →

Tanımlı olduğu $x$ gerçel sayı değerleri için,

\frac{\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) + \sin(x - 5\pi)}{\sin\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) + \cos(3\pi - x)}

ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?

-\tan(x)

\cot(x)

\tan(x)

-\cot(x)

-1

Show answer & explanation

Answer: $\tan(x)$

Answer

\tan(x)

İfadenin payı sadeleştirildiğinde

-2\sin(x)

, paydası ise

-2\cos(x)

olarak elde edilir. Bu iki değerin birbirine bölünmesiyle

\frac{-2\sin(x)}{-2\cos(x)} = \tan(x)

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Pay kısmındaki

\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right)

ve

\sin(x - 5\pi)

ifadelerini indirgeyiniz.

\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = -\sin(x)

ve

\sin(x - 5\pi) = -\sin(x)

olur. Buradan pay kısmı

-\sin(x) + (-\sin(x)) = -2\sin(x)

olarak bulunur.

\frac{7\pi}{2}

açısının esas ölçüsü

\frac{3\pi}{2}

'dir. Açı üçüncü bölgede olduğundan kosinüsün işareti negatif olur ve

\frac{\pi}{2}

'nin tek katı kullanıldığı için fonksiyon sinüse dönüşür.

x - 5\pi

açısı ise esas ölç��süne tamamlandığında

x + \pi

olur; bu üçüncü bölgede sinüs negatiftir ve fonksiyon ismi değişmez.

2

Payda kısmındaki

\sin\left(\frac{11\pi}{2} + x\right)

ve

\cos(3\pi - x)

ifadelerini indirgeyiniz.

\sin\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) = -\cos(x)

ve

\cos(3\pi - x) = -\cos(x)

olur. Buradan payda kısmı

-\cos(x) + (-\cos(x)) = -2\cos(x)

olarak bulunur.

\frac{11\pi}{2}

açısının esas ölçüsü

\frac{3\pi}{2}

'dir. Açı dördüncü bölgede olduğundan sinüsün işareti negatif olur ve

\frac{\pi}{2}

'nin tek katı kullanıldığı için fonksiyon kosinüse dönüşür.

3\pi - x

açısının esas ölçüsü

\pi - x

olup ikinci bölgede kosinüs negatiftir ve fonksiyon ismi değişmez.

3

Bulunan pay ve payda değerlerini oranlayarak ifadeyi sadeleştiriniz.

\frac{-2\sin(x)}{-2\cos(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)

olarak elde edilir.

Pay ve paydadaki

-2

katsayıları sadeleşir. Kalan

\frac{\sin(x)}{\cos(x)}

oranı tanım gereği tanjant fonksiyonuna eşittir.

Key Concept

Trigonometrik oranların

\pi

ve

\frac{\pi}{2}

'nin katları kullanılarak bölgelere göre indirgenmesi ve bu işlemlerde işaret ve isim değişikliği kurallarının uygulanması.

Estimated Time:2m 0s

Question 92Question →

Aşağıda verilen $a$ , $b$ ve $c$ trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama

b < a < c

şeklindedir.

Verilen değerlerin işaretleri incelendiğinde

b

değerinin negatif,

a

ve

c

değerlerinin ise pozitif olduğu görülür. Buradan en küçük değerin

b

olduğu anlaşılır. Pozitif olan

a

ve

c

değerleri birinci bölgeye indirgendiğinde

a = \sin(20^\circ)

ve

c = \tan(40^\circ)

olur. Birinci bölgede

\sin(20^\circ) < \tan(40^\circ)

bağıntısı geçerli olduğundan

a < c

elde edilir. Bu durumları birleştirdiğimizde doğru sıralama

b < a < c

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

a

,

b

ve

c

değerlerinin açılarını bulundukları bölgelere göre inceleyip işaretlerini belirleyelim.

160^\circ

ikinci bölgede olduğundan

a = \sin(160^\circ) > 0

(pozitif),

250^\circ

üçüncü bölgede olduğundan

b = \cos(250^\circ) < 0

(negatif) ve

220^\circ

üçüncü bölgede olduğundan

c = \tan(220^\circ) > 0

(pozitif) olur. Buradan negatif olan

b

değerinin en küçük olduğu tespit edilir.

Farklı bölgelerdeki trigonometrik değerleri sıralarken işaret analizi yapmak kıyaslamayı büyük ölçüde kolaylaştırır.

2

Pozitif olan

a

ve

c

değerlerini kıyaslayabilmek için açıları birinci bölgeye indirgeyelim.

a = \sin(160^\circ) = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin(20^\circ)

ve

c = \tan(220^\circ) = \tan(180^\circ + 40^\circ) = \tan(40^\circ)

eşitlikleri elde edilir.

Pozitif değerleri büyüklük yönünden karşılaştırmak için hepsini dar açı (birinci bölge) cinsinden ifade etmek gerekir.

3

Birinci bölgedeki

\sin(20^\circ)

ile

\tan(40^\circ)

değerlerini karşılaştıralım.

Birinci bölgede (

0^\circ < x < 90^\circ

) her

x

açısı için

\sin(x) < \tan(x)

eşitsizliği geçerlidir. Ayrıca açı büyüdükçe sinüs ve tanjant değerleri artar. Bu durumda

\sin(20^\circ) < \sin(40^\circ) < \tan(40^\circ)

olduğundan

a < c

elde edilir. Negatif olan

b

en küçük olduğuna göre doğru sıralama

b < a < c

olur.

Birinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların artış eğilimlerini ve birbirleriyle olan büyüklük ilişkilerini kullanarak sıralamayı tamamlamak için.

Key Concept

Trigonometrik Değerlerin Sıralanması ve Bölgelere Göre İndirgeme

Question 93Question →

Her

x

açısı için,

\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) + \cos(\pi - x)

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

2\cos(x)

0

-2\cos(x)

-2\sin(x)

2\sin(x)

Show answer & explanation

Answer: $-2\cos(x)$

Answer

-2\cos(x)

Doğru cevap olan

-2\cos(x)

ifadesi, trigonometrik indirgeme kurallarının her iki terim için de hatasız uygulanmasıyla bulunur. IV. bölgedeki sinüs değerinin işareti negatif olup isim değişir ve

-\cos(x)

elde edilir; II. bölgedeki kosinüs değerinin işareti negatif olup isim değişmez ve

-\cos(x)

elde edilir. Toplamları

-2\cos(x)

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)

ifadesi sadeleştirilir.

\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos(x)

\frac{3\pi}{2} + x

açısı koordinat düzleminin IV. bölgesindedir. IV. bölgede sinüsün işareti negatif (

-

) olup, açı

\frac{3\pi}{2}

referansıyla yazıldığı i��in fonksiyon isim değiştirerek kosinüse dönüşür.

2

\cos(\pi - x)

ifadesi sadeleştirilir.

\cos(\pi - x) = -\cos(x)

\pi - x

açısı II. bölgededir. II. bölgede kosinüsün işareti negatif (

-

) olup, açı

\pi

referansıyla yazıldığı için fonksiyon isim değiştirmez.

3

Elde edilen indirgenmiş ifadeler toplanır.

-\cos(x) + (-\cos(x)) = -2\cos(x)

Toplama işlemiyle ifadenin en sade hali elde edilir.

Key Concept

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Estimated Time:1m 0s

Question 94Question →

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

olmak üzere,

a = \sin(810^\circ - x)

b = \cos(7\pi + x)

c = \tan(x - 270^\circ)

olarak veriliyor.

Buna göre;

a

,

b

ve

c

değerlerini küçükten büyüğe do��ru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

c < a < b

Verilen ifadeler sadeleştirildiğinde

a = \cos(x)

,

b = -\cos(x)

ve

c = -\cot(x)

elde edilir.

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığında kosinüs değeri

-1

ile

-0.707

arasındadır. Dolayısıyla

a

negatif bir değerdir.

b

ise negatif bir değerin eksiyle çarpımı olduğundan pozitif bir değerdir. Bu aralıkta kotanjant değeri

1

'den büyüktür, dolayısıyla

c = -\cot(x)

değeri

-1

'den küçüktür. Bu durumda en küçük değer

-1

'den küçük olan c, ardından sıfıra daha yakın negatif değer olan a ve en büyük değer ise pozitif olan b'dir.

Step-by-Step Solution

1

a ifadesini sadeleştirin.

a = \sin(810^\circ - x) = \sin(90^\circ - x) = \cos(x)

810^\circ

açısının esas ölçüsü

90^\circ

'dir (

810^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 90^\circ

). Birinci bölgede sinüs fonksiyonu kosinüse dönüşür.

2

b ifadesini sadeleştirin.

b = \cos(7\pi + x) = \cos(\pi + x) = -\cos(x)

7\pi

açısının esas ölçüsü

\pi

'dir. Üçüncü bölgede kosinüs fonksiyonu negatif işaretlidir.

3

c ifadesini sadeleştirin.

c = \tan(x - 270^\circ) = \tan(x + 90^\circ) = -\cot(x)

x - 270^\circ

açısına

360^\circ

eklenerek esas ölçüsü

x + 90^\circ

bulunur. İkinci bölgede tanjant fonksiyonu negatif işaretlidir ve isim değiştirerek kotanjanta dönüşür.

4

Verilen aralığa göre değerleri karşılaştırın.

c < a < b

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)

aralığı üçüncü bölgededir (

180^\circ < x < 225^\circ

). Bu aralıkta

\cos(x) \in \left(-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

olduğundan

a \in (-1, -0.707)

olur.

b = -\cos(x)

olduğundan

b \in (0.707, 1)

pozitif aralığındadır. Bu aralıkta

\cot(x) > 1

olduğundan

c = -\cot(x) < -1

olur. Bu durumda aralıklar

c < -1 < a < 0 < b

şeklinde sıralanır.

Key Concept

Trigonometrik oranların bölgelere göre indirgenmesi ve sıralanması

Question 95Question →

Aşağıdaki trigonometrik ifadelerin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama

a < c < b

şeklindedir.

İfadelerin dar açı cinsinden karşılıkları ve işaretleri incelendiğinde;

a = -\cos(40^\circ)

negatif,

b = \sin(50^\circ)

ve

c = \tan(20^\circ)

pozitif bulunur. Pozitif değerlerden

\tan(20^\circ)

değeri

\sin(50^\circ)

değerinden küçük olduğu için en küçükten büyüğe sıralama

a < c < b

şeklinde elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Açıların esas ölçülerini bulma ve birim çember üzerindeki bölgelerini belirleme.

220^\circ

açısı 3. bölgededir.

-310^\circ

açısının esas ölçüsü

-310^\circ + 360^\circ = 50^\circ

olup 1. bölgededir.

200^\circ

açısı ise 3. bölgededir.

Trigonometrik oranların işaretlerini doğru saptayabilmek için açıların birim çemberdeki bölgelerini belirlemek gerekir.

2

İfadeleri dar açı cinsinden indirgeme formülleriyle yazma.

a = \cos(220^\circ) = \cos(180^\circ + 40^\circ) = -\cos(40^\circ)

,

b = \sin(-310^\circ) = \sin(50^\circ)

ve

c = \tan(200^\circ) = \tan(180^\circ + 20^\circ) = \tan(20^\circ)

olarak elde edilir.

Farklı bölgelerdeki açıların büyüklüklerini karşılaştırabilmek amacıyla dar açı cinsinden karşılıkları bulunur.

3

İşaret ve değer analizi yaparak sıralamayı gerçekleştirme.

a < 0

olduğundan en küçük değerdir. Pozitif olan

b

ve

c

değerleri için;

\tan(20^\circ) < \tan(30^\circ) \approx 0.577

ve

\sin(50^\circ) > \sin(45^\circ) \approx 0.707

olduğundan

c < b

eşitsizliği geçerlidir. Buradan genel sıralama

a < c < b

olarak bulunur.

Negatif sayıların pozitif sayılardan küçük olması ve pozitif dar açıların bilinen referans değerlerle kıyaslanması sıralamayı belirler.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaret analizi ve dar açı cinsinden indirgenmesi

Question 96Question →

Bir radar ekranında bulunan dairesel tarama ibresi, saat yönünde saniyede $\frac{7\pi}{12}$ radyanlık sabit bir hızla dönmektedir. Buna göre, bu ibre çalıştırıldıktan $130$ saniye sonra taradığı yönlü açının esas ölçüsü kaç radyandır?

\frac{\pi}{6}

\frac{5\pi}{6}

\frac{7\pi}{6}

\frac{11\pi}{6}

\frac{\pi}{12}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\pi}{6}$

Answer

\frac{\pi}{6}

İbre saat yönünde yani negatif yönde hareket ettiği için

130

saniyede taradığı toplam açı

-\frac{455\pi}{6}

radyandır. Bu açının içerisindeki tam turlar ayıklandığında geriye

-\frac{11\pi}{6}

kalır. Esas ölçü negatif olamayacağı için bu değere

2\pi

eklendiğinde elde edilen

\frac{\pi}{6}

değeri doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1

İbrenin taradığı toplam açıyı yönüyle birlikte hesaplama.

İbre saat yönünde (negatif yönde) döndüğü için açısal hız

-\frac{7\pi}{12}

radyan/saniyedir.

130

saniyede taranan toplam açı:

130 \times \left(-\frac{7\pi}{12}\right) = -\frac{910\pi}{12} = -\frac{455\pi}{6}

radyandır.

Trigonometrik yön kurallarına göre saat yönü negatif, saat yönünün tersi ise pozitif yöndür.

2

Negatif açının içerisindeki tam turları ayıklama.

Pay olan

455

, paydanın iki katı olan

12

sayısına bölünür:

455 = 12 \times 37 + 11

. Buradan

-\frac{455\pi}{6} = -37 \times 2\pi - \frac{11\pi}{6}

elde edilir.

Radyan cinsinden esas ölçü bulunurken

2\pi

ve katları (tam turlar) denklemden çıkarılır. Bu yüzden pay, paydanın iki katına bölünerek kalan bulunur.

3

Kalan negatif açıyı

[0, 2\pi)

aralığına taşımak için

2\pi

ekleme.

-\frac{11\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6}

radyan bulunur.

Esas ölçü negatif olamaz, değeri

[0, 2\pi)

aralığında olmalıdır. Negatif yönlü kalan açıya

2\pi

eklenerek pozitif yönlü esas ölçüsü elde edilir.

Key Concept

Yönlü açılarda saat yönünün negatif yön olarak alınması ve radyan cinsinden negatif açıların esas ölçüsünün bulunması.

Question 97Question →

$x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right)$ olmak üzere,

a = \cos(x - \pi)

b = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)

c = \cot\left(x - \frac{\pi}{2}\right)

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

b < c < a

b < a < c

c < b < a

a < c < b

a < b < c

Show answer & explanation

Answer: $b < c < a$

Answer

b < c < a

Verilen ifadeler sadeleştirildiğinde

b

değerinin negatif,

a

ve

c

değerlerinin ise pozitif olduğu görülür. İkinci bölgenin son kısmında yer alan açılar için kosinüs değerinin mutlak değeri tanjant değerinin mutlak değerinden büyük olduğundan, pozitif halleri karşılaştırıldığında

a

değeri

c

değerinden daha büyük olur. Bu durum en küçük değerin

b

, en büyük değerin ise

a

olmasını gerektirir.

Step-by-Step Solution

1

İfadeleri trigonometrik indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirin.

a = \cos(x - \pi) = \cos(\pi - x) = -\cos x

b = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x

c = \cot\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\tan x

Değerleri aynı açı cinsinden yazarak karşılaştırmayı kolaylaştırmak.

2

x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right)

aralığına göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleyin.

İkinci bölgede olduğumuz için:

\sin x > 0

\cos x < 0

\tan x < 0

Buna göre:

b = \cos x < 0

(negatif)

a = -\cos x > 0

(pozitif)

c = -\tan x > 0

(pozitif)

Sıralamadaki temel işaret farklılıklarını tespit etmek.

3

a

ve

c

pozitif değerlerini karşılaştırmak için farklarını inceleyin.

a - c = -\cos x - (-\tan x) = \tan x - \cos x = \frac{\sin x - \cos^2 x}{\cos x}

olarak yazılır.

x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right)

aralığında

0 < \sin x < \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}

olur.

Pay kısmını

\sin x

cinsinden yazarsak:

\sin x - \cos^2 x = \sin^2 x + \sin x - 1

\sin x = t

dönüşümüyle,

t \in \left(0, \frac{1}{2}\right)

için

t^2 + t - 1 < \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{4} < 0

olur. Yani pay negatiftir.

Payda olan

\cos x

de ikinci bölgede negatif olduğundan, iki negatifin oranı pozitiftir:

a - c > 0 \implies a > c

.

Aynı işaretli iki ifadenin büyüklük ilişkisini kesin olarak saptamak.

4

Elde edilen tüm sonuçları birleştirerek sıralamayı oluşturun.

b < 0

ve

a > c > 0

olduğundan, doğru sıralama

b < c < a

şeklindedir.

Sorunun nihai cevabına ulaşmak.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesi ve sıralanması

Question 98Question →

Bir kenar uzunluğu 6 birim olan bir küpün köşeleri $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ , $G$ , $H$ olarak adlandırılmıştır. Bu küpte $ABCD$ taban yüzeyi, $EFGH$ ise bu yüzeyin üzerindeki tavan yüzeyidir ( $E$ köşesi $A$ 'nın, $F$ köşesi $B$ 'nin, $G$ köşesi $C$ 'nin ve $H$ köşesi $D$ 'nin üzerindedir).

Küpün $ADHE$ yan yüzeyi üzerinde bir $P$ noktası; $AE$ ayrıtına 3 birim, $AD$ ayrıtına 2 birim uzaklıkta olacak şekilde belirleniyor.
Küpün $CDHG$ yan yüzeyi üzerinde bir $Q$ noktası; $CG$ ayrıtına 2 birim, $CD$ ayrıtına 3 birim uzaklıkta olacak şekilde belirleniyor.

Buna göre, $49 \cdot \cos(\widehat{PBQ})$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

İstenen

49 \cdot \cos(\widehat{PBQ})

ifadesinin değeri 36'dır.

Küp üzerinde koordinatlar doğru yerleştirildiğinde kenar uzunlukları

BP=7

,

BQ=7

ve

PQ=\sqrt{26}

olarak bulunur.

PBQ

üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında

\cos(\widehat{PBQ}) = 36/49

elde edilir. Bu değer 49 ile çarpıldığında sonuç 36 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Küpü 3 boyutlu kartezyen koordinat sistemine yerleştirme

B

köşesi başlangıç noktası

(0,0,0)

olarak seçilir. Bu durumda

BA

doğrusu

x

ekseni,

BC

doğrusu

y

ekseni ve

BF

doğrusu

z

ekseni üzerindedir. Böylece küpün köşeleri

A(6,0,0)

,

C(0,6,0)

,

D(6,6,0)

,

E(6,0,6)

,

F(0,0,6)

,

G(0,6,6)

ve

H(6,6,6)

olur.

Noktaların konumlarını ve aralarındaki uzaklıkları analitik olarak kolayca hesaplayabilmek için

2

P

ve

Q

noktalarının koordinatlarını belirleme

P

noktası

x=6

düzleminde (

ADHE

yüzeyi) yer alır.

AE

doğrusuna (

x=6, y=0

) uzaklığı 3 birim olduğundan

y

-koordinatı 3'tür.

AD

doğrusuna (

x=6, z=0

) uzaklığı 2 birim olduğundan

z

-koordinatı 2'dir. Buradan

P(6,3,2)

bulunur. Benzer şekilde,

Q

noktası

y=6

düzleminde (

CDHG

yüzeyi) yer alır.

CG

doğrusuna (

x=0, y=6

) uzaklığı 2 birim olduğundan

x

-koordinatı 2'dir.

CD

doğrusuna (

y=6, z=0

) uzaklığı 3 birim olduğundan

z

-koordinatı 3'tür. Buradan

Q(2,6,3)

bulunur.

Verilen sözel uzaklık tanımlarını koordinat değerlerine dönüştürerek noktaların yerlerini kesinleştirmek için

3

BP

,

BQ

ve

PQ

doğru parçalarının uzunluklarını hesaplama

İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanır:

BP = \sqrt{(6-0)^2 + (3-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{36+9+4} = \sqrt{49} = 7

birim.

BQ = \sqrt{(2-0)^2 + (6-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4+36+9} = \sqrt{49} = 7

birim.

PQ = \sqrt{(6-2)^2 + (3-6)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16+9+1} = \sqrt{26}

birim.

Kosinüs Teoremi'ni uygulayabilmek için üçgenin üç kenar uzunluğunu elde etmek amacıyla

4

PBQ

üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulama

PQ^2 = BP^2 + BQ^2 - 2 \cdot BP \cdot BQ \cdot \cos(\widehat{PBQ})

(\sqrt{26})^2 = 7^2 + 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot \cos(\widehat{PBQ})

26 = 49 + 49 - 98 \cdot \cos(\widehat{PBQ})

26 = 98 - 98 \cdot \cos(\widehat{PBQ})

98 \cdot \cos(\widehat{PBQ}) = 72 \implies \cos(\widehat{PBQ}) = \frac{72}{98} = \frac{36}{49}

Açının kosinüs değerini kenar uzunlukları arasındaki bağıntı yardımıyla bulmak için

5

İstenen nihai değeri hesaplama

49 \cdot \cos(\widehat{PBQ}) = 49 \cdot \frac{36}{49} = 36

elde edilir.

Soruda yöneltilen özel ifadenin değerini hesaplamak için

Key Concept

Üç boyutlu uzayda Kosinüs Teoremi ve iki nokta arasındaki uzaklık formülü

Question 99Question →

Bir $ABC$ üçgeninde, $m(\widehat{BAC}) = 60^\circ$ , $|AB| = 5\text{ birim}$ ve $|AC| = 8\text{ birim}$ dir.

Buna göre, $|BC|$ uzunluğu kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

BC uzunluğu 7 birimdir.

Kosinüs teoremi doğrudan uygulanarak

8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ

işleminden

|BC|^2 = 49

elde edilir. Buradan

|BC| = 7

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Kosinüs teoremi formülünü belirleme

|BC|^2 = |AC|^2 + |AB|^2 - 2|AC||AB|\cos(\widehat{BAC})

Bir üçgende iki kenar ve aralarındaki açı bilindiğinde üçüncü kenarı bulmak için kosinüs teoremi uygulanır.

2

Bilinen değerleri formüle yerleştirme

|BC|^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ)

Verilen

|AC| = 8

,

|AB| = 5

ve

m(\widehat{BAC}) = 60^\circ

değerlerini formülde yerine koymak gerekir.

3

Hesaplamayı gerçekleştirme

|BC|^2 = 64 + 25 - 40 = 49 \Rightarrow |BC| = 7

\cos(60^\circ) = 0.5

değeri kullanılarak cebirsel işlemler yapılır ve karekök alınarak kenar uzunluğu bulunur.

Key Concept

Kosinüs Teoremi

Question 100Question →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember ile $y = 1$ teğet doğrusu verilmiştir.

$\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ olmak üzere, başlangıç kenarı pozitif $x$ -ekseni olan yönlü $\theta$ aç��sının bitim kolunun birim çemberi kestiği nokta $P$ , $y = 1$ doğrusunu kestiği nokta ise $K$ 'dir.

$P$ noktasının $y$ -ekseni üzerindeki dik izdüşümü $H$ ve birim çemberin $y$ -eksenini kestiği pozitif nokta $A(0,1)$ 'dir.

Buna göre, $AHPK$ yamuğunun alanının $\theta$ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

-\frac{\cot\theta \cos^2\theta}{2}

\frac{\cot\theta \cos^2\theta}{2}

-\frac{\tan\theta \sin^2\theta}{2}

\frac{\tan\theta \sin^2\theta}{2}

-\frac{\cot\theta \sin^2\theta}{2}

Show answer & explanation

Answer: $-\frac{\cot\theta \cos^2\theta}{2}$

Answer

-\frac{\cot\theta \cos^2\theta}{2}

İkinci bölgede

\cos\theta < 0

ve

\cot\theta < 0

olduğundan, yamuğun taban uzunlukları sırasıyla

-\cos\theta

ve

-\cot\theta

olur. Yükseklik ise

1 - \sin\theta

olarak bulunur. Alan formülü uygulanıp sadeleştirildiğinde alan

-\frac{\cot\theta \cos^2\theta}{2}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Açının bölgesini ve fonksiyonların işaretlerini belirleme

\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

olduğundan açı ikinci bölgededir. Bu bölgede

\sin\theta > 0

,

\cos\theta < 0

ve

\cot\theta < 0

olur.

Geometrik uzunluklar daima pozitif olmalıdır. Bu yüzden koordinat değerlerini uzunluğa çevirirken bölgeye göre işaret analizi yapılması gerekir.

2

P

ve

K

noktalarının koordinatlarını bulma

P

noktası birim çember üzerinde olduğundan koordinatları

P(\cos\theta, \sin\theta)

'dir.

K

noktası ise terminal doğrusunun

y = 1

doğrusunu kestiği nokta olduğundan,

y_K = 1

ve

x_K = \cot\theta

olup

K(\cot\theta, 1)

'dir.

Yamuğun köşe koordinatlarını belirlemek, taban ve yükseklik uzunluklarını hesaplamamızı sağlar.

3

Yamuğun taban uzunluklarını ve yüksekliğini hesaplama

Yamuğun tabanları y-eksenine paralel dik izdüşümler arasındaki yatay uzaklıklardır: Üst taban

AK = 0 - \cot\theta = -\cot\theta

, alt taban

HP = 0 - \cos\theta = -\cos\theta

. Yükseklik ise y-ekseni üzerindeki dikey uzaklıktır:

AH = y_A - y_H = 1 - \sin\theta

olarak bulunur.

Yamuğun alan formülü olan

\frac{a+c}{2} \cdot h

ifadesini uygulamak için gerekli tüm geometrik uzunlukları elde etmek.

4

Yamuğun alanını hesaplama ve trigonometrik olarak sadeleştirme

\text{Alan}(AHPK) = \frac{(-\cot\theta) + (-\cos\theta)}{2} \cdot (1 - \sin\theta) = -\frac{\cos\theta(1 + \sin\theta)}{2\sin\theta} \cdot (1 - \sin\theta) = -\frac{\cos\theta(1 - \sin^2\theta)}{2\sin\theta} = -\frac{\cos^3\theta}{2\sin\theta} = -\frac{\cot\theta\cos^2\theta}{2}

Yamuk alan formülünü uygulayıp

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

özdeşliğini kullanarak en sade hali bulmak.

Key Concept

Birim çember üzerindeki noktaların ve teğet doğrularının kestikleri noktaların koordinatlarının trigonometrik fonksiyonlar cinsinden ifade edilmesi ve bölgelere göre işaret analizi.

Estimated Time:2m 0s

Trigonometri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept