Examkin

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

46 questions

Question 41Question →
Tanım kümesi R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} olan ve bu tanım kümesinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi her x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} için
f′(x)=(x−2)2(x+3)(x−5)x−1f'(x) = \frac{(x - 2)^2(x + 3)(x - 5)}{x - 1}
olarak verilmiştir.
Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 2'dir.
Türevin tek katlı kökleri olan ve fonksiyonun tanım kümesinde yer alan x=−3x = -3 ve x=5x = 5 noktalarında türev işaret değiştirdiği için bu noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Bunların toplamı ise 22 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Türevin sıfır olduğu kritik noktaları ve tanımsız olduğu noktaları belirlemek.
Türevi sıfır yapan noktalar x=−3x = -3, x=2x = 2 ve x=5x = 5'dir. Türevin tanımsız olduğu tek nokta ise paydanın kökü olan x=1x = 1'dir.
Yerel ekstremum noktaları adayları, fonksiyonun tanımlı olduğu aralıktaki türevin sıfır olduğu (kritik) veya türevin var olmadığı noktalardır.
2
Tanım kümesini kontrol ederek aday noktaları elemek.
Fonksiyonun tanım kümesi R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} olarak verildiğinden, x=1x = 1 noktası tanım kümesinde değildir. Dolayısıyla x=1x = 1 bir ekstremum noktası olamaz. Diğer noktalar (x=−3x = -3, x=2x = 2, x=5x = 5) tanım kümesindedir.
Bir noktanın yerel ekstremum noktası olabilmesi için fonksiyonun o noktada tanımlı olması şarttır.
3
Türevin işaret tablosunu oluşturmak ve işaret değişimlerini incelemek.
İşaret tablosu yapıldığında:

Aralık(−∞,−3)(-\infty, -3)−3-3(−3,1)(-3, 1)11(1,2)(1, 2)22(2,5)(2, 5)55(5,∞)(5, \infty)
f′(x)f'(x)−-00++tanımsız−-00−-00++
f(x)f(x)↘\searrowYerel Min↗\nearrowtanımsız↘\searrowEkstremum yok↘\searrowYerel Min↗\nearrow
Buradan, x=−3x = -3 noktasında türev eksiden artıya geçerek yerel minimum oluşturur. x=2x = 2 çift katlı kök olduğundan işaret değişmez (ekstremum yoktur). x=5x = 5 noktasında türev eksiden artıya geçerek yerel minimum oluşturur.
Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Çift katlı köklerde işaret değişmediği için bu noktalarda ekstremum oluşmaz.
4
Yerel ekstremum noktalarının apsislerini toplayarak sonuca ulaşmak.
Belirlenen yerel ekstremum noktalarının apsisleri x=−3x = -3 ve x=5x = 5 olup, bunların toplamı −3+5=2-3 + 5 = 2 olarak hesaplanır.
Soru, yerel ekstremum noktalarının apsislerinin toplamını sormaktadır.

Key Concept

Türevin işaret tablosu yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi, çift katlı köklerin ve tanım kümesi sınırlarının ekstremum üzerindeki etkisi.
Question 42Question →
f(x)=x3−6x2+9x+af(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + a

fonksiyonunun [−1,2][-1, 2] kapalı aralığındaki mutlak maksimum değeri ile mutlak minimum değerinin toplamı 1616'dır.

Buna göre, aa sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1414

Answer

Fonksiyonun [−1,2][-1, 2] aralığındaki mutlak maksimum ve minimum değerlerinin toplamından aa parametresi 1414 olarak bulunur.
Verilen fonksiyonun [−1,2][-1, 2] aralığındaki mutlak maksimum değeri x=1x=1 noktasında a+4a+4 ve mutlak minimum değeri x=−1x=-1 noktasında a−16a-16 olup, bu değerlerin toplamı 2a−12=162a-12=16 eşitliğinden a=14a=14 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alıp kritik noktalarını belirleme
f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3) elde edilir. f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin kökleri x=1x = 1 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, türevinin sıfır olduğu veya tanımlı olmadığı kritik noktalarda aranır.
2
Aralığa uygun kritik noktaları seçme
x=3x = 3 noktası [−1,2][-1, 2] aralığının dışında kaldığından elenir. İncelenecek tek kritik nokta x=1x = 1 noktasıdır.
Mutlak ekstremum değerleri bulunurken yalnızca verilen kapalı aralığa ait kritik noktalar değerlendirilmelidir.
3
Sınır noktaları ve aralıktaki kritik noktadaki fonksiyon değerlerini hesaplama
f(−1)=(−1)3−6(−1)2+9(−1)+a=a−16f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 9(-1) + a = a - 16
f(1)=13−6(1)2+9(1)+a=a+4f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + a = a + 4
f(2)=23−6(2)2+9(2)+a=a+2f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9(2) + a = a + 2
değerleri elde edilir.
Kapalı bir aralıktaki mutlak ekstremum değerleri, aralığın uç noktalarında veya bu aralıktaki yerel ekstremum noktalarında gerçekleşir.
4
Mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini belirleyip toplama
En büyük değer a+4a+4 (mutlak maksimum), en küçük değer ise a−16a-16 (mutlak minimum) olur. Toplamları: (a+4)+(a−16)=2a−12(a+4) + (a-16) = 2a-12 olarak bulunur.
Elde edilen değerler karşılaştırılarak en büyük ve en küçük olanlar mutlak ekstremumlar olarak seçilir.
5
Verilen toplam değerini kullanarak bilinmeyeni çözme
2a−12=16  ⟹  2a=28  ⟹  a=142a - 12 = 16 \implies 2a = 28 \implies a = 14 elde edilir.
Soruda verilen mutlak maksimum ve minimum değerlerin toplamının 16 olması bilgisiyle denklem kurulup çözülür.

Key Concept

Kapalı bir aralıkta sürekli bir fonksiyonun mutlak maksimum ve mutlak minimum değerleri, aralığın uç noktalarındaki değerleri ile aralık içindeki yerel ekstremum değerleri karşılaştırılarak bulunur.
Question 43Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonu

f(x)={x2+4x+a,x≤1−x2+bx+3,x>1f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + a, & x \le 1 \\ -x^2 + bx + 3, & x > 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamı 20'dir.
Fonksiyonun gerçel sayılar kümesinde türevlenebilir olması, x = 1 noktasında hem sürekli hem de türevlenebilir olmasını gerektirir. Bu koşullardan b = 8 ve a = 5 elde edilir. Fonksiyonun yerel ekstremum noktaları türevin sıfır olup işaret değiştirdiği x = -2 (yerel minimum) ve x = 4 (yerel maksimum) noktalarıdır. Bu noktaların ordinatları sırasıyla f(-2) = 1 ve f(4) = 19 olup, toplamları 20 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Türevlenebilir her fonksiyon sürekli olmak zorunda olduğundan, fonksiyonun x = 1 noktasındaki sağdan ve soldan limitlerinin eşitliğini yazarız.
5+a=b+2  ⟹  b−a=35 + a = b + 2 \implies b - a = 3
x = 1 noktasında limitlerin ve fonksiyon değerinin eşit olması süreklilik şartıdır.
2
Fonksiyonun x = 1 noktasındaki sağdan ve soldan türevlerinin eşitliğini kurarız.
2(1)+4=−2(1)+b  ⟹  6=−2+b  ⟹  b=82(1) + 4 = -2(1) + b \implies 6 = -2 + b \implies b = 8
Kritik noktada türevin var olması için sağ ve sol türevler eşit olmalıdır.
3
Elde edilen b değerini birinci adımdaki denklemde yerine yazarak a değerini buluruz.
8−a=3  ⟹  a=58 - a = 3 \implies a = 5
Süreklilikten elde edilen bağıntıda b yerine 8 yazılır.
4
Fonksiyonun parçalı tanımlı kısımları için türev fonksiyonunu oluşturup türevin köklerini (kritik noktaları) buluruz.
x<1x < 1 için f′(x)=2x+4=0  ⟹  x=−2f'(x) = 2x + 4 = 0 \implies x = -2 ve x>1x > 1 için f′(x)=−2x+8=0  ⟹  x=4f'(x) = -2x + 8 = 0 \implies x = 4
Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Bulunan kökler kendi tanımlı oldukları aralıklara uygundur.
5
Kritik noktaların ordinatlarını (y değerlerini) hesaplarız.
f(−2)=(−2)2+4(−2)+5=1f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 1 (yerel minimum ordinatı) ve f(4)=−(4)2+8(4)+3=19f(4) = -(4)^2 + 8(4) + 3 = 19 (yerel maksimum ordinatı)
Bulunan apsis değerleri ilgili fonksiyon parçalarında yerine yazılır.
6
Ordinat değerlerini toplarız.
1+19=201 + 19 = 20
Soru bizden ekstremum noktalarının ordinatları toplamını istemektedir.

Key Concept

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda süreklilik, türevlenebilirlik ve yerel ekstremum noktalarının bulunması
Question 44Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−3x2−9x+kf(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + k
fonksiyonunun yerel minimum değeri, yerel maksimum değerinin yarısına eşittir.

Buna göre, kk gerçel sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 59

Answer

59 değeri
Fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen kökler x=−1x = -1 (yerel maksimum noktası) ve x=3x = 3 (yerel minimum noktası) olur. Bu apsis değerleri fonksiyonda yerine yazıldığında yerel maksimum değeri k+5k+5, yerel minimum değeri ise k−27k-27 olarak bulunur. Yerel minimum değerinin, yerel maksimum değerinin yarısına eşitlendiği denklem çözüldüğünde doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları belirleyiniz.
f′(x)=3x2−6x−9f'(x) = 3x^2 - 6x - 9
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, fonksiyonun türevlenebilir olduğu yerlerde türevinin sıfır olduğu noktalardır.
2
Türev fonksiyonunu sıfıra eşitleyip köklerini bulunuz.
3(x2−2x−3)=0  ⟹  3(x−3)(x+1)=03(x^2 - 2x - 3) = 0 \implies 3(x - 3)(x + 1) = 0 denkleminden kökler x=3x = 3 ve x=−1x = -1 olarak bulunur.
Türevi sıfır yapan noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin işaret tablosunu inceleyerek yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını belirleyiniz.
x<−1x < -1 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan), −1<x<3-1 < x < 3 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan) ve x>3x > 3 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan) olur. Dolayısıyla, x=−1x = -1 yerel maksimum noktası ve x=3x = 3 yerel minimum noktasıdır.
Türevin işaretinin artıdan eksiye geçtiği yer yerel maksimum, eksiden artıya geçtiği yer ise yerel minimum noktasıdır.
4
Fonksiyonda yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini yazarak aralarındaki ilişkiyi kurup kk değerini çözünüz.
Yerel maksimum değeri: f(−1)=(−1)3−3(−1)2−9(−1)+k=k+5f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + k = k + 5
Yerel minimum değeri: f(3)=33−3(3)2−9(3)+k=k−27f(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) + k = k - 27
Verilen kurala göre: f(3)=f(−1)2  ⟹  k−27=k+52  ⟹  2k−54=k+5  ⟹  k=59f(3) = \frac{f(-1)}{2} \implies k - 27 = \frac{k + 5}{2} \implies 2k - 54 = k + 5 \implies k = 59 bulunur.
Yerel minimum değerinin yerel maksimum değerinin yarısı olduğu bilgisi kullanılarak cebirsel eşitlik çözülür.

Key Concept

Türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının koordinatlarının belirlenmesi ve fonksiyon değerleri arasındaki ilişkilerin çözülmesi.
Estimated Time:2m 0s
Question 45Question →
f(x)=∣x2−3x∣−2xf(x) = |x^2 - 3x| - 2x

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: −234-\frac{23}{4}

Answer

Yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamı -23/4'tür.
Doğru cevap, fonksiyonun tüm yerel ekstremum noktalarının belirlenerek y-değerlerinin doğru bir şekilde toplanmasıyla elde edilen -23/4 değeridir. Bu süreçte fonksiyon parçalı olarak yazılmış, kritik noktalarda türevin yön değişimi analiz edilmiş ve yerel minimum noktaları ile yerel maksimum noktasının ordinatları toplanmıştır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonu mutlak değerin tanımına göre parçalı fonksiyon biçiminde yazın.
x2−3x≥0  ⟹  x≤0x^2 - 3x \geq 0 \implies x \le 0 veya x≥3x \ge 3 için f(x)=x2−5xf(x) = x^2 - 5x; 0<x<30 < x < 3 için f(x)=−x2+xf(x) = -x^2 + x olarak bulunur.
Mutlak değerli ifadelerin türev ve yön analizi yapılmadan önce kritik noktalara göre parçalanması gerekir.
2
Parçalı fonksiyonun her bir aralıktaki türevini alarak işaret tablosunu oluşturun.
x<0x < 0 veya x>3x > 3 için f′(x)=2x−5f'(x) = 2x - 5; 0<x<30 < x < 3 için f′(x)=−2x+1f'(x) = -2x + 1 olur. f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin kökü x=1/2x = 1/2 olup 0<x<30 < x < 3 aral��ğındadır. x=5/2x = 5/2 ise tanım dışıdır.
Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin işaret değişimine göre yerel minimum ve maksimum noktalarını belirleyin.
x=0x = 0 ve x=3x = 3 noktalarında türev işareti eksiden artıya geçtiği için yerel minimum; x=1/2x = 1/2 noktas��nda artıdan eksiye geçtiği için yerel maksimum vardır.
Bir noktada türevin (veya fonksiyonun yönünün) eksi değerlerden artı değerlere geçmesi yerel minimumu, artıdan eksiye geçmesi yerel maksimumu belirtir.
4
Belirlenen yerel ekstremum noktalarının ordinatlarını (y-değerlerini) hesaplay��n ve toplayın.
f(0)=0f(0) = 0, f(3)=−6f(3) = -6, f(1/2)=1/4f(1/2) = 1/4 olup, ordinatlar toplamı 0+1/4−6=−23/40 + 1/4 - 6 = -23/4 olarak bulunur.
Soru yerel ekstremum noktalarının apsislerini değil, ordinatlarının toplamını istemektedir.

Key Concept

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının parçalı ve mutlak değerli fonksiyonlar üzerinde türev ve yön değişimi yardımıyla belirlenmesi.
Estimated Time:2m 0s
Question 46Question →
Bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)=x3−3ax2+3(a2−1)x+bf(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(a^2 - 1)x + b
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel maksimum değeri ile yerel minimum değeri arasındaki fark kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 44

Answer

Yerel maksimum değeri ile yerel minimum değeri arasındaki fark 4'tür.
Fonksiyonun türevinin kökleri olan x=a−1x = a - 1 (yerel maksimum) ve x=a+1x = a + 1 (yerel minimum) noktaları fonksiyonda yerine yazıldığında, elde edilen yerel maksimum değeri a3−3a+2+ba^3 - 3a + 2 + b ve yerel minimum değeri a3−3a−2+ba^3 - 3a - 2 + b olmaktadır. Bu iki değerin farkı hesaplandığında parametreler sadeleşir ve sonuç 44 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları bulunuz.
f′(x)=3x2−6ax+3(a2−1)=3(x2−2ax+a2−1)=3(x−a+1)(x−a−1)=0  ⟹  x1=a−1f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3(a^2 - 1) = 3(x^2 - 2ax + a^2 - 1) = 3(x - a + 1)(x - a - 1) = 0 \implies x_1 = a - 1 ve x2=a+1x_2 = a + 1
Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum noktası adaylarıdır.
2
Türevin işaret tablosunu oluşturarak yerel maksimum ve minimum noktalarını belirleyiniz.
x=a−1x = a - 1 yerel maksimum noktası, x=a+1x = a + 1 yerel minimum noktasıdır.
Türevin başkatsayısı pozitif olduğundan, türevin işareti x=a−1x = a - 1 noktasında artıdan eksiye, x=a+1x = a + 1 noktasında ise eksiden artıya geçmektedir.
3
Bulunan noktaları fonksiyonda yerine yazıp yerel ekstremum değerlerini hesaplayınız ve farkını bulunuz.
f(a−1)=a3−3a+2+bf(a - 1) = a^3 - 3a + 2 + b ve f(a+1)=a3−3a−2+bf(a + 1) = a^3 - 3a - 2 + b elde edilir. Bu iki değerin farkı: f(a−1)−f(a+1)=(a3−3a+2+b)−(a3−3a−2+b)=4f(a - 1) - f(a + 1) = (a^3 - 3a + 2 + b) - (a^3 - 3a - 2 + b) = 4 bulunur.
Soruda istenen yerel maksimum değeri ile yerel minimum değeri arasındaki farkı elde etmek için bu iki değer birbirinden çıkarılır.

Key Concept

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
PreviousPage 3 / 3
Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 3 | Examkin