Examkin

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

46 questions

Question 21Question →
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x3−3(a−1)x2+3(a2−3a+2)x+5f(x) = x^3 - 3(a-1)x^2 + 3(a^2 - 3a + 2)x + 5
fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı, apsisleri çarpımına eşittir.
Buna göre, aa değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Yerel ekstremum noktalarının varlığı için türevin diskriminant��nın pozitif olması (a>1a > 1) gerekir. Apsislerin toplamı ile çarpımının eşitliğinden elde edilen a2−5a+4=0a^2 - 5a + 4 = 0 denkleminin köklerinden bu şartı sağlayan değer 4'tür.
Doğru seçenekteki değer olan 4, türevin sıfıra eşitlendiği denklemin iki farklı reel kökü olmasını (a>1a > 1 şartını) sağlar ve ekstremum noktalarının apsisleri toplamı ile çarpımını birbirine eşitler.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alarak yerel ekstremum noktalarının apsislerini belirleyen denklemi elde etmek.
f′(x)=3x2−6(a−1)x+3(a2−3a+2)=0f'(x) = 3x^2 - 6(a-1)x + 3(a^2 - 3a + 2) = 0 denklemi, yani sadeleştirildiğinde x2−2(a−1)x+(a2−3a+2)=0x^2 - 2(a-1)x + (a^2 - 3a + 2) = 0 denklemi bulunur.
Bir polinom fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri, türevinin işaret değiştirdiği (tek katlı kökleri olan) noktalardır.
2
Ekstremum noktalarının var olabilmesi için türev denkleminin iki farklı reel kökünün olması gerektiğini belirlemek.
Δ>0  ⟹  [−2(a−1)]2−4(a2−3a+2)>0  ⟹  4(a−1)>0  ⟹  a>1\Delta > 0 \implies [-2(a-1)]^2 - 4(a^2 - 3a + 2) > 0 \implies 4(a-1) > 0 \implies a > 1 şartı elde edilir.
Eğer Δ≤0\Delta \le 0 ise türev fonksiyonu işaret değiştirmez, dolayısıyla yerel ekstremum noktası oluşmaz.
3
Kökler toplamı ve k��kler çarpımı formüllerini kullanarak aa parametresine bağlı denklemi kurmak.
Kökler toplamı x1+x2=2(a−1)x_1 + x_2 = 2(a-1), kökler çarpımı x1⋅x2=a2−3a+2x_1 \cdot x_2 = a^2 - 3a + 2 olarak bulunur. Soruda verilen eşitlikten 2(a−1)=a2−3a+2  ⟹  a2−5a+4=02(a-1) = a^2 - 3a + 2 \implies a^2 - 5a + 4 = 0 denklemi elde edilir.
İkinci dereceden bir denklemin kökler toplamı −b/a-b/a ve kökler çarpımı c/ac/a formülleriyle hesaplanır.
4
Elde edilen denklemi çözüp a>1a > 1 şartını sağlayan değeri seçmek.
a2−5a+4=0  ⟹  (a−1)(a−4)=0  ⟹  a=1a^2 - 5a + 4 = 0 \implies (a-1)(a-4) = 0 \implies a = 1 veya a=4a = 4 bulunur. a>1a > 1 olması gerektiğinden a=4a = 4 olarak belirlenir.
a=1a = 1 değeri için Δ=0\Delta = 0 olup fonksiyonun yerel ekstremum noktası bulunmadığından bu değer elenir.

Key Concept

Polinom fonksiyonlarda yerel ekstremum noktalarının varlığı ve türevin kökleri ile ilişkisi.
Question 22Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonunun türevi, x∈R∖{2,4}x \in \mathbb{R} \setminus \{2, 4\} için
f′(x)=(x−1)2(x−3)(x−4)(x−2)(x−4)2f'(x) = \frac{(x-1)^2 (x-3) (x-4)}{(x-2) (x-4)^2}
olarak verilmiştir.
Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 9'dur.
Fonksiyon gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğu için türevinin işaret değiştirdiği her noktada yerel ekstremum vardır. Türev fonksiyonunun sadeleşmiş hali olan f′(x)=(x−1)2(x−3)(x−2)(x−4)f'(x) = \frac{(x-1)^2 (x-3)}{(x-2)(x-4)} ifadesinin işaret tablosu yapıldığında x=2x = 2, x=3x = 3 ve x=4x = 4 noktalarında işaret değişimi olduğu görülür. Dolayısıyla bu üç nokta yerel ekstremum noktasıdır ve apsisleri toplamı 2+3+4=92 + 3 + 4 = 9 olur.

Step-by-Step Solution

1
Türev fonksiyonunun kritik noktalarını belirleme.
Kritik noktalar x=1x = 1, x=2x = 2, x=3x = 3 ve x=4x = 4 olarak bulunur.
Fonksiyonun yerel ekstremum noktaları türevinin işaret değiştirdiği noktalarda oluşabileceğinden, önce türevi sıfır yapan veya tanımsız yapan değerler tespit edilir.
2
Türev fonksiyonunun sadeleşmiş halini ve işaret durumunu analiz etme.
x≠4x \neq 4 i��in türev ifadesi f′(x)=(x−1)2(x−3)(x−2)(x−4)f'(x) = \frac{(x-1)^2 (x-3)}{(x-2)(x-4)} halini alır.
Sadeleştirme işlemi, işaret tablosunun daha rahat incelenmesini sağlar. Ancak paydada sadeleşen terimin çift/tek katlılık durumuna göre etkisi unutulmamalıdır.
3
Türev fonksiyonunun işaret tablosunu oluşturma.
Türevin işaret tablosuna göre; (−∞,1)(-\infty, 1) aralığında negatif, (1,2)(1, 2) aralığında negatif (işaret değişmedi), (2,3)(2, 3) aralığında pozitif (işaret değişti), (3,4)(3, 4) aralığında negatif (işaret değişti), (4,∞)(4, \infty) aralığında pozitif (işaret değişti) olur.
Türevin işaret değiştirdiği noktaları belirlemek yerel ekstremum noktalarını bulmak için gereklidir.
4
Süreklilik şartı altında yerel ekstremum noktalarını belirleyip apsisleri toplama.
Türevin işaret değiştirdiği x=2x = 2, x=3x = 3 ve x=4x = 4 noktaları yerel ekstremum noktalarıdır. Toplamları 2+3+4=92 + 3 + 4 = 9 olur.
ff fonksiyonu tüm gerçel sayılarda sürekli olduğundan, türevinin tanımlı olmadığı x=2x=2 ve x=4x=4 noktalarında da türev işaret değiştirdiği için bu noktalar yerel ekstremumdur.

Key Concept

Bir fonksiyonun sürekli olduğu noktalarda türevinin işaret değiştirmesi, o noktanın yerel ekstremum noktası olması için yeterlidir.
Estimated Time:2m 0s
Question 23Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanıml�� ff fonksiyonu

f(x)={x2+4x+5,x<1x2−6x+15,x≥1f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + 5, & x < 1 \\ x^2 - 6x + 15, & x \ge 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerinin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 17

Answer

Yerel ekstremum değerlerinin toplamı 17'dir.
Yerel ekstremum değerleri, fonksiyonun yerel minimum ve yerel maksimum noktalarındaki görüntüleridir. Fonksiyonun yerel minimumları x=−2x = -2 (f(−2)=1f(-2) = 1) ve x=3x = 3 (f(3)=6f(3) = 6) noktalarında; yerel maksimumu ise türevinin olmadığı fakat sürekli olup artanlıktan azalanlığa geçtiği x=1x = 1 (f(1)=10f(1) = 10) noktasındadır. Bu değerlerin toplamı 1+10+6=171 + 10 + 6 = 17 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Dalların türevlerini alarak kritik noktaları belirleme
x<1x < 1 için f′(x)=2x+4f'(x) = 2x + 4 ve x>1x > 1 için f′(x)=2x−6f'(x) = 2x - 6 bulunur. Buradan türevi sıfır yapan aday noktalar x=−2x = -2 ve x=3x = 3 olarak elde edilir.
Fonksiyonun türevlenebildiği aralıklardaki yerel ekstremum adaylarını bulmak amacıyla türevin kökleri hesaplanır.
2
Kritik noktaların aralıklara uygunluğunu kontrol etme
x=−2x = -2 değeri x<1x < 1 şartını, x=3x = 3 değeri ise x>1x > 1 şartını sağladığı için her ikisi de geçerli kritik noktalardır.
Her bir türev kuralının geçerli olduğu tanım aralığına uygun noktaları belirlemek gerekir.
3
Sınır noktası olan x=1x = 1 noktasında süreklilik ve artanlık-azalanlık incelemesi
lim⁡x→1−f(x)=10\lim_{x \to 1^-} f(x) = 10, lim⁡x→1+f(x)=10\lim_{x \to 1^+} f(x) = 10 ve f(1)=10f(1) = 10 olduğundan fonksiyon x=1x = 1 noktasında süreklidir. x∈(−2,1)x \in (-2, 1) aralığında f′(x)>0f'(x) > 0 (artan) ve x∈(1,3)x \in (1, 3) aralığında f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan) olduğundan x=1x = 1 noktası yerel maksimum noktasıdır.
Fonksiyonun türevinin olmadığı veya kural değiştirdiği noktalarda da yerel ekstremum bulunabileceğini incelemek ve süreklilik şartını doğrulamak gerekir.
4
Ekstremum değerlerini bulma ve toplama
f(−2)=1f(-2) = 1 (yerel minimum), f(1)=10f(1) = 10 (yerel maksimum) ve f(3)=6f(3) = 6 (yerel minimum) değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı 1+10+6=171 + 10 + 6 = 17 olur.
Soruda istenen yerel ekstremum değerlerinin toplamını hesaplamak için bu ordinat değerleri toplanır.

Key Concept

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevinin sıfır olması şart değildir; fonksiyon sürekli olduğu bir noktada artanlıktan azalanlığa (veya tersi) geçiş yapıyorsa o nokta bir yerel ekstremum noktasıdır.
Question 24Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu
f(x)={x2−4x+a,x≤3−x2+bx−5,x>3f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + a, & x \le 3 \\ -x^2 + bx - 5, & x > 3 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında bir yerel maksimumu olduğu bilindiğine göre, aa tam sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

7
Fonksiyonun gerçel sayılar üzerinde sürekli olması sebebiyle x=3x = 3 noktasındaki sol ve sağ limitler birbirine eşit olmalıdır. Buradan a=3b−11a = 3b - 11 ilişkisi elde edilir. x=3x = 3 noktasının bir yerel maksimum noktası olabilmesi için fonksiyonun bu noktanın solunda artan, sağında ise azalan olması gerekir. Sol tarafta (x<3x < 3 için) türev f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4 olup x∈(2,3)x \in (2, 3) aralığında pozitif olduğundan fonksiyon artandır. Sağ tarafta ise (x>3x > 3 için) fonksiyonun azalan olması için türevi olan f′(x)=−2x+b≤0f'(x) = -2x + b \le 0 şartı sağlanmalıdır. Buradan b≤2xb \le 2x ve x→3+x \to 3^+ için b≤6b \le 6 bulunur. Bu sınır değeri a=3b−11a = 3b - 11 eşitliğinde yerine yazıldığında a≤7a \le 7 elde edilir. Dolayısıyla aa tam sayısının alabileceği en büyük değer 7'dir.

Step-by-Step Solution

1
Süreklilik şartını uygulayarak a ve b değişkenleri arasındaki ilişkiyi bulma
a−3=3b−14  ⟹  a=3b−11a - 3 = 3b - 14 \implies a = 3b - 11
Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik nokta olan x=3x = 3 noktasında sol limit, sağ limit ve fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir.
2
x<3x < 3 için fonksiyonun artış/azalış durumunu inceleme
x∈(2,3)x \in (2, 3) aralığında f′(x)=2x−4>0f'(x) = 2x - 4 > 0 olduğundan fonksiyon artandır.
x=3x = 3 noktasının yerel maksimum olabilmesi için fonksiyonun bu noktanın solunda artan, sağında ise azalan (veya sabit) olması gerekir. Sol taraftaki türev incelendiğinde x=3x = 3 noktasına yaklaşırken fonksiyonun artan olduğu görülür.
3
x>3x > 3 için yerel maksimum şartını kullanarak b değerine sınır getirme
b≤6b \le 6
x>3x > 3 için f′(x)=−2x+bf'(x) = -2x + b olur. x=3x=3'ün yerel maksimum olması için x>3x > 3 bölgesinde (3'ün sağ komşuluğunda) fonksiyonun azalan olması, yani f′(x)≤0f'(x) \le 0 olması gerekir. Buradan −2x+b≤0  ⟹  b≤2x-2x + b \le 0 \implies b \le 2x olur. x→3+x \to 3^+ limiti için bu şartın sağlanması b≤6b \le 6 olmasını gerektirir.
4
Elde edilen sınır değerini a'nın ifadesinde yerine yazarak en büyük tam sayı değerini bulma
a≤7a \le 7 olup, en büyük aa tam sayısı 7'dir.
a=3b−11a = 3b - 11 eşitliğinde b≤6b \le 6 sınırını kullanırsak a≤3(6)−11=7a \le 3(6) - 11 = 7 elde ederiz.

Key Concept

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda süreklilik şartı ile türevin işaret değişimine göre yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi
Question 25Question →
aa bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=∣x2−4x∣−axf(x) = |x^2 - 4x| - ax
fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının sayısı 11 olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: (−∞,−4]∪[4,∞)(-\infty, -4] \cup [4, \infty)

Answer

En geniş değer aralığı (−∞,−4]∪[4,∞)(-\infty, -4] \cup [4, \infty) aralığıdır.
Fonksiyonun parçalı tanımından elde edilen parabollerin tepe noktaları incelendiğinde, a≥4a \ge 4 veya a≤−4a \le -4 koşulu sağlandığında iç bölgedeki parabolün tepe noktası (0,4)(0,4) aralığının dışına taşar. Bu durumda sınır noktalarında yön değişimi gerçekleşmez ve fonksiyon tüm gerçel sayılar kümesinde yalnızca tek bir yerel minimum noktasına sahip olur. Dolayısıyla doğru aralık bu iki kümenin birleşimidir.

Step-by-Step Solution

1
Mutlak değer ifadesinin kritik noktaları olan x=0x=0 ve x=4x=4 değerlerine göre fonksiyon parçalı tanımlı olarak yazılır.
f(x)={x2−(4+a)x,x<0 veya x>4−x2+(4−a)x,0≤x≤4f(x) = \begin{cases} x^2 - (4+a)x, & x < 0 \text{ veya } x > 4 \\ -x^2 + (4-a)x, & 0 \le x \le 4 \end{cases}
Fonksiyonun farklı bölgelerdeki davranışını ve türevlenebilen parçalarını ayrı ayrı analiz etmek amacıyla parçalı biçime dönüştürülmüştür.
2
Parçalı fonksiyonun tanımlı olduğu aralıklardaki türev fonksiyonları ve ekstremum adayı olan tepe noktaları belirlenir.
x<0x < 0 ve x>4x > 4 bölgeleri için f′(x)=2x−(4+a)f'(x) = 2x - (4+a) olup tepe noktası x1=4+a2x_1 = \frac{4+a}{2}'dir. 0<x<40 < x < 4 bölgesi için f′(x)=−2x+(4−a)f'(x) = -2x + (4-a) olup tepe noktası x2=4−a2x_2 = \frac{4-a}{2}'dir.
Her bir parabolik parçanın tepe noktasının kendi tanımlı olduğu aralığa düşüp düşmediğini kontrol ederek ekstremum noktalarının varlığını incelemek gerekir.
3
a≥4a \ge 4 koşulu altında fonksiyonun ekstremum noktaları incelenir.
a≥4a \ge 4 için x2=4−a2≤0x_2 = \frac{4-a}{2} \le 0 olur, dolayısıyla (0,4)(0,4) aralığında tepe noktası bulunmaz. Bu aralıkta f′(x)<0f'(x) < 0 olup fonksiyon azalandır. x>4x > 4 bölgesinde ise x1=4+a2≥4x_1 = \frac{4+a}{2} \ge 4 olduğundan bu noktada azalandan artana geçiş olur. Sonuç olarak yalnızca x1x_1 apsisli nokta tek yerel minimum noktasıdır.
Belirlenen parametre sınırında fonksiyonun yalnızca bir yerel ekstremuma sahip olduğunu doğrulamak için bu analiz yapılır.
4
a≤−4a \le -4 koşulu altında fonksiyonun ekstremum noktaları incelenir.
a≤−4a \le -4 için x2=4−a2≥4x_2 = \frac{4-a}{2} \ge 4 olur, yani (0,4)(0,4) aralığında tepe noktası yoktur ve bu aralıkta fonksiyon artandır. x<0x < 0 bölgesinde ise x1=4+a2≤0x_1 = \frac{4+a}{2} \le 0 olup fonksiyon bu noktada azalandan artana geçer. Böylece yalnızca x1x_1 noktası tek yerel minimum noktası olur.
Negatif yöndeki parametre sınırında da tek ekstremum koşulunun sağlandığını göstermek için bu analiz yapılır.
5
Elde edilen iki durum birleştirilerek aa parametresinin en geniş aralığı yazılır.
a∈(−∞,−4]∪[4,∞)a \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)
Her iki bölgede de tek yerel ekstremum noktası şartı sağlandığından bu iki kümenin birleşimi en geniş çözüm kümesini oluşturur.

Key Concept

Mutlak değerli ve parçalı tanımlı fonksiyonlarda türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi
Question 26Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=2x3−3x2+ax+5f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + 5
fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsislerinin çarpımı −2-2'dir.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerinin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -3

Answer

Yerel ekstremum değerlerinin toplamı -3'tür.
Doğru cevap olan −3-3 değeri, türev fonksiyonunun kökler çarpımı özelliğinden a=−12a = -12 parametresinin bulunması, ardından elde edilen türev denkleminin çözülerek yerel maksimum apsisi x=−1x = -1 ve yerel minimum apsisi x=2x = 2 olarak bulunmasıyla elde edilir. Bu apsislerin fonksiyondaki değerleri sırasıyla 1212 ve −15-15 olup toplamları −3-3 yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alarak ekstremum noktalarını belirleyen denklemi oluşturun.
f′(x)=6x2−6x+af'(x) = 6x^2 - 6x + a
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri, türev fonksiyonunu sıfır yapan ve işaret değiştiren köklerdir.
2
Türev denkleminin kökler çarpımı formülünü kullanarak aa parametresini hesaplayın.
x1⋅x2=a6=−2  ⟹  a=−12x_1 \cdot x_2 = \frac{a}{6} = -2 \implies a = -12
Soruda yerel ekstremum noktalarının apsisler çarpımının −2-2 olduğu verilmiştir. İkinci dereceden denklemlerde kökler çarpımı ca\frac{c}{a} formülü ile hesaplanır.
3
a=−12a = -12 değerini türev denkleminde yerine yazarak ekstremum noktalarının apsislerini bulun.
6x2−6x−12=0  ⟹  6(x2−x−2)=0  ⟹  6(x−2)(x+1)=0  ⟹  x1=−16x^2 - 6x - 12 = 0 \implies 6(x^2 - x - 2) = 0 \implies 6(x-2)(x+1) = 0 \implies x_1 = -1 ve x2=2x_2 = 2
Türevin sıfıra eşit olduğu noktaları bulmak için denklem çarpanlarına ayrılır.
4
Bulunan apsis değerlerini orijinal fonksiyonda yerine yazarak yerel ekstremum değerlerini hesaplayın.
f(−1)=2(−1)3−3(−1)2−12(−1)+5=12f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = 12 (yerel maksimum değeri)
f(2)=2(2)3−3(2)2−12(2)+5=−15f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 5 = -15 (yerel minimum değeri)
Bir noktanın ekstremum değeri, o noktanın apsis değerinin fonksiyon altındaki görüntüsüdür.
5
Hesaplanan yerel ekstremum değerlerini toplayın.
12+(−15)=−312 + (-15) = -3
Soruda yerel ekstremum değerlerinin toplamı sorulmaktadır.

Key Concept

Türevin sıfıra eşit olduğu ve işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Bu noktaların fonksiyon altındaki görüntüleri ise yerel ekstremum değerleridir.
Estimated Time:2m 0s
Question 27Question →

aa bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılarda tanımlı

f(x)=x2−ax+4x2+1f(x) = \frac{x^2 - ax + 4}{x^2 + 1}

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 33'tür.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerinin çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Yerel ekstremum değerlerinin çarpımı 3'tür.
Fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen ax2−6x−a=0ax^2 - 6x - a = 0 denkleminin kökleri ekstremum apsisleridir. Apsisler toplamı 3 olarak verildiğinden a=2a = 2 bulunur. Bu durumda apsislerin sağladığı denklem x2−3x−1=0x^2 - 3x - 1 = 0 olur. Fonksiyonun kurallarında derecesi düşürülerek f(xi)=xi+53xi+2f(x_i) = \frac{x_i + 5}{3x_i + 2} elde edilir. Kökler toplamı (33) ve kökler çarpımı (−1-1) değerleri rasyonel çarpımda yerine yazıldığında aranan çarpım değeri 3 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alarak sıfıra eşitleyin.
f′(x)=(2x−a)(x2+1)−2x(x2−ax+4)(x2+1)2=ax2−6x−a(x2+1)2=0f'(x) = \frac{(2x - a)(x^2 + 1) - 2x(x^2 - ax + 4)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{ax^2 - 6x - a}{(x^2 + 1)^2} = 0 denklemi elde edilir.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri, fonksiyonun türevini sıfır yapan noktalardır.
2
Ekstremum noktalarının apsisleri toplamından faydalanarak aa değerini bulun.
ax2−6x−a=0ax^2 - 6x - a = 0 denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2 olsun. Kökler toplamı x1+x2=−−6a=6a=3  ⟹  a=2x_1 + x_2 = -\frac{-6}{a} = \frac{6}{a} = 3 \implies a = 2 bulunur.
İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı formülü −b/a-b/a şeklindedir.
3
aa değerini yerine yazarak apsislerin sağladığı denklemi sadeleştirin.
2x2−6x−2=0  ⟹  x2−3x−1=0  ⟹  x2=3x+12x^2 - 6x - 2 = 0 \implies x^2 - 3x - 1 = 0 \implies x^2 = 3x + 1 bağıntısı elde edilir. Ayrıca kökler çarpımı x1x2=−1x_1 x_2 = -1 ve kökler toplamı x1+x2=3x_1 + x_2 = 3 olur.
Fonksiyon değerlerini sadeleştirmek için x2x^2 yerine doğrusal bir ifade yazmak kolaylık sağlar.
4
Ekstremum noktalarındaki fonksiyon değerlerinin çarpımını hesaplayın.
f(xi)=xi2−2xi+4xi2+1=3xi+1−2xi+43xi+1+1=xi+53xi+2f(x_i) = \frac{x_i^2 - 2x_i + 4}{x_i^2 + 1} = \frac{3x_i + 1 - 2x_i + 4}{3x_i + 1 + 1} = \frac{x_i + 5}{3x_i + 2} olur. Değerlerin çarpımı:

f(x1)⋅f(x2)=x1+53x1+2⋅x2+53x2+2=x1x2+5(x1+x2)+259x1x2+6(x1+x2)+4f(x_1) \cdot f(x_2) = \frac{x_1 + 5}{3x_1 + 2} \cdot \frac{x_2 + 5}{3x_2 + 2} = \frac{x_1 x_2 + 5(x_1 + x_2) + 25}{9x_1 x_2 + 6(x_1 + x_2) + 4}

Burada bilinen değerler yerine yazıldığında:

−1+5(3)+259(−1)+6(3)+4=3913=3\frac{-1 + 5(3) + 25}{9(-1) + 6(3) + 4} = \frac{39}{13} = 3 bulunur.
Yerel ekstremum değerleri, fonksiyonun ekstremum apsislerindeki görüntüleridir. Bu değerlerin çarpımı rasyonel ifadelerin çarpımı ve kök katsayı ilişkileriyle bulunur.

Key Concept

Rasyonel fonksiyonlarda türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi ve ikinci dereceden denklemlerde kök-katsayı ilişkilerinin fonksiyon değerlerine uygulanması.
Estimated Time:2m 30s
Question 28Question →
f:R∖{−1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{-1\} \rightarrow \mathbb{R}

olmak üzere,

f(x)=x2−3xx+1f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -2

Answer

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı -2'dir.
Doğru seçenekte belirtilen -2 değeri, fonksiyonun tanımlı olduğu ve türevinin işaret değiştirdiği x = -3 ve x = 1 yerel ekstremum noktalarının apsislerinin toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1
Bölümün türevi kuralı kullanılarak fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=(2x−3)(x+1)−(x2−3x)(1)(x+1)2=2x2−x−3−x2+3x(x+1)2=x2+2x−3(x+1)2f'(x) = \frac{(2x-3)(x+1) - (x^2-3x)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 - x - 3 - x^2 + 3x}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2}
Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını belirlemek için öncelikle birinci türevi hesaplamamız gerekir.
2
Türevin payını sıfır yapan kritik noktalar bulunur.
x2+2x−3=0  ⟹  (x+3)(x−1)=0  ⟹  x=−3 veya x=1x^2 + 2x - 3 = 0 \implies (x+3)(x-1) = 0 \implies x = -3 \text{ veya } x = 1
Türevin sıfır olduğu noktalar, fonksiyonun yerel ekstremum noktası olmaya aday kritik noktalardır.
3
Türevin işaret tablosu oluşturulur ve yerel ekstremum noktaları belirlenir.
Paydadaki (x+1)2(x+1)^2 ifadesi x≠−1x \neq -1 için daima pozitif olduğundan, türevin işareti payın işaretine bağlıdır. x=−1x = -1 çift katlı kök olup fonksiyon bu noktada tanımsızdır. İşaret tablosu incelendiğinde; x=−3x = -3 noktasında türev pozitiften negatife geçtiği için yerel maksimum, x=1x = 1 noktasında ise türev negatiften pozitife geçtiği için yerel minimum noktası vardır.
Bir kritik noktanın yerel ekstremum noktası olması için türevin o noktada işaret değiştirmesi gerekir.
4
Bulunan yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplanır.
−3+1=−2-3 + 1 = -2
Soruda bizden yerel ekstremum noktalar��nın apsislerinin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Rasyonel fonksiyonların yerel ekstremum noktalarının türev yardımıyla bulunması ve paydanın köklerinin ekstremum noktası olamayacağının belirlenmesi.
Estimated Time:2m 0s
Question 29Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−6x2+9x+kf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + k
fonksiyonunun yerel maksimum noktası AA, yerel minimum noktası BB'dir.

AA ve BB noktalarından geçen doğru orijinden geçtiğine göre, kk kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -6

Answer

-6
Doğru cevap −6-6'dır. f(x)f(x) fonksiyonunun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen x=1x=1 ve x=3x=3 noktaları yerel ekstremum noktalarının apsisleridir. Bu apsisler fonksiyonda yerine yazıldığında ekstremum noktaları A(1,k+4)A(1, k+4) ve B(3,k)B(3, k) olarak elde edilir. Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi −2-2 ve denklemi y=−2x+6+ky = -2x + 6 + k olur. Doğru orijinden geçtiği için sabit terimi sıfır olmalıdır, buradan 6+k=0  ⟹  k=−66 + k = 0 \implies k = -6 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları belirleme.
f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3) elde edilir. Türevin kökleri x=1x = 1 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum noktalarının apsis adaylarıdır.
2
Yerel maksimum ve yerel minimum noktalarının koordinatlarını bulma.
x=1x = 1 için yerel maksimum noktası A(1,k+4)A(1, k+4) ve x=3x = 3 için yerel minimum noktası B(3,k)B(3, k) olarak bulunur.
Apsisleri fonksiyonda yerine yazarak ekstremum noktalarının ordinatlarını kk cinsinden elde etmek gerekir.
3
İki noktadan geçen doğrunun denklemini yazma.
A(1,k+4)A(1, k+4) ve B(3,k)B(3, k) noktalarından geçen doğrunun eğimi m=k−(k+4)3−1=−2m = \frac{k - (k+4)}{3-1} = -2 olur. Doğrunun denklemi y−k=−2(x−3)  ⟹  y=−2x+6+ky - k = -2(x - 3) \implies y = -2x + 6 + k olarak bulunur.
Ekstremum noktalarından geçen doğruyu tanımlamak için iki noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılır.
4
Doğrunun orijinden geçmesi şartını uygulayarak kk değerini bulma.
Doğru (0,0)(0,0) noktasından geçtiği için 0=−2(0)+6+k  ⟹  k=−60 = -2(0) + 6 + k \implies k = -6 bulunur.
Orijinden geçen doğruların denklemleri y=mxy = mx formundadır, yani sabit terimleri sıfır olmalıdır.

Key Concept

Bir fonksiyonun türevini kullanarak yerel ekstremum noktalarını bulma ve bu noktalar yardımıyla analitik geometri kurallarını uygulama.
Question 30Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)=x3−3x2−9x+4f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 4

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, g(x)=f(∣x∣−2)g(x) = f(|x| - 2) fonksiyonunun kaç tane yerel ekstremum noktası vardır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Yerel ekstremum noktalarının sayısı 5'tür.
Doğru cevap 5 olan seçenektir. Çünkü g(x)=f(∣x∣−2)g(x) = f(|x| - 2) fonksiyonu x=−5,−1,0,1,5x = -5, -1, 0, 1, 5 noktalarında yerel ekstremum değerleri alır. x=0x = 0 noktasında türev tanımlı olmamasına karşın fonksiyon süreklidir ve bu noktada yerel minimum değerine ulaşmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
f(x)f(x) fonksiyonunun türevi alınır ve kritik noktaları belirlenir.
f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)=0f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x-3)(x+1) = 0 denkleminden kritik noktalar x=−1x = -1 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türev sıfırdır ve işaret değiştirir.
2
f′(x)f'(x) ifadesinin işaret tablosuna göre ekstremum türleri incelenir.
x=−1x = -1 noktası yerel maksimum, x=3x = 3 noktası ise yerel minimum noktasıdır.
Türev tablosunda x=−1x = -1 noktasında türevin işareti artıdan eksiye (artanlıktan azalanlığa), x=3x = 3 noktasında ise eksiden artıya (azalanlıktan artanlığa) geçmektedir.
3
g(x)=f(∣x∣−2)g(x) = f(|x| - 2) fonksiyonunun çift fonksiyon özelliği kullanılarak pozitif bölgedeki ekstremumları aranır.
x>0x > 0 için g(x)=f(x−2)g(x) = f(x-2) olur. Bu durumda yerel ekstremum adayları x−2=−1  ⟹  x=1x-2 = -1 \implies x = 1 ve x−2=3  ⟹  x=5x-2 = 3 \implies x = 5 noktalarıdır. Her iki nokta da pozitif bölgede yer alır. Çift fonksiyon simetrisi sebebiyle negatif bölgede de x=−1x = -1 ve x=−5x = -5 noktaları ekstremumdur.
g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetrik olduğundan pozitif taraftaki ekstremumların simetriği negatif tarafta da mevcuttur.
4
x=0x = 0 noktasındaki yerel ekstremum durumu incelenir.
x=0x = 0 civarında ∣x∣−2≥−2|x| - 2 \ge -2 olur. f(u)f(u) fonksiyonunun [−2,−1][-2, -1] aralığındaki türevi pozitif olduğundan bu aralıkta artandır. Bu nedenle x=0x = 0 civarında g(x)=f(∣x∣−2)≥f(−2)=g(0)g(x) = f(|x|-2) \ge f(-2) = g(0) eşitsizliği sağlanır. Bu durum x=0x = 0 noktasının bir yerel minimum noktası olduğunu gösterir.
Bir noktanın yerel ekstremum olması için o noktada türevin tanımlı olması zorunlu değildir. Fonksiyon sürekli ise o noktada yön değiştirmesi yeterlidir.
5
Tüm yerel ekstremum noktalarının sayısı toplanır.
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri x=−5,−1,0,1,5x = -5, -1, 0, 1, 5 olmak üzere toplam 5 tanedir.
Bulunan bu 5 nokta da yerel ekstremum tanımını eksiksiz karşılar.

Key Concept

Mutlak değer içeren bileşke fonksiyonlarda türevlenebilirliğin olmadığı sivri (kırılma) noktalarda yerel ekstremum bulunabilmesi ve simetri özelliklerinin analizi.
Question 31Question →
Gerçel say��lar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=(x−3)(x−8)(x+1)f'(x) = (x-3)(x-8)(x+1)
olarak verilmiştir.

Buna göre, g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 5'tir.
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 5 olarak bulunmuştur. Zincir kuralı uygulandıktan sonra elde edilen türev fonksiyonunun tüm kökleri (x=1,3,−1,4,−2x = 1, 3, -1, 4, -2) tek katlı köklerdir. Dolayısıyla bu noktaların tamamında fonksiyonun türevi işaret değiştirir ve hepsi yerel ekstremum noktasıdır. Bu noktaların toplamı da 5'tir.

Step-by-Step Solution

1
g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonunun türevini zincir kuralı kullanarak hesaplayın.
g′(x)=2(x−1)⋅f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1) \cdot f'(x^2 - 2x) elde edilir.
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken içteki fonksiyonun türeviyle çarpılması gerekir.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunun kuralını f′(x2−2x)f'(x^2 - 2x) ifadesinde yerine yazın ve çarpanlarına ayırın.
f′(x2−2x)=(x2−2x−3)(x2−2x−8)(x2−2x+1)=(x−3)(x+1)(x−4)(x+2)(x−1)2f'(x^2 - 2x) = (x^2 - 2x - 3)(x^2 - 2x - 8)(x^2 - 2x + 1) = (x-3)(x+1)(x-4)(x+2)(x-1)^2 elde edilir.
Türevin sıfır olduğu noktaları ve bu noktaların katlılık durumlarını belirlemek için çarpanlara ayırma yapılır.
3
g′(x)g'(x) fonksiyonunu tek bir çarpım şeklinde yazarak tüm kökleri ve katlılık derecelerini belirleyin.
g′(x)=2(x−1)3(x−3)(x+1)(x−4)(x+2)g'(x) = 2(x-1)^3 (x-3)(x+1)(x-4)(x+2) olup, kökler x=1x = 1 (3. dereceden tek katlı), x=3,−1,4,−2x = 3, -1, 4, -2 (1. dereceden tek katlı) olarak bulunur.
Bir noktanın yerel ekstremum noktası olması için türevin o noktada işaret değiştirmesi, yani kökün tek katlı olması gerekir.
4
Tek katlı köklerin apsislerini toplayın.
−2+(−1)+1+3+4=5-2 + (-1) + 1 + 3 + 4 = 5 bulunur.
Tüm kökler tek katlı olduğundan hepsi yerel ekstremum noktasıdır.

Key Concept

Bileşke fonksiyon türevi ve türevin işaret değiştirdiği tek katlı köklerde yerel ekstremum noktalarının bulunması.
Question 32Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu

f(x)=13x3−(a−1)x2+4x+5f(x) = \frac{1}{3}x^3 - (a-1)x^2 + 4x + 5

biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktası olmadığına göre, aa gerçel sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

a sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı 5'tir.
Doğru seçenekte belirtilen değer, fonksiyonun türevinin daima sıfırdan büyük veya eşit olmasını sağlayan diskriminant koşulunun doğru çözülmesi ve elde edilen [−1,3][-1, 3] aralığındaki tam sayıların toplanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=x2−2(a−1)x+4f'(x) = x^2 - 2(a-1)x + 4
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının varlığı ve karakteri, türevinin işaret değiştirdiği noktalar incelenerek belirlenir.
2
Yerel ekstremum noktasının olmaması için gereken şartı belirleyin.
f′(x)f'(x) ifadesinin işaret değiştirmemesi gerekir. Başkatsayısı pozitif olan bu ikinci dereceden ifadenin daima sıfırdan büyük veya eşit olması için diskriminant Δ≤0\Delta \leq 0 olmalıdır.
Eğer türev fonksiyonu işaret değiştirirse, işaret değiştirdiği noktalarda yerel maksimum veya yerel minimum noktaları oluşur. İşaret değiştirmemesi için reel kökünün olmaması veya yalnızca çift katlı kökünün olması gerekir.
3
Diskriminant eşitsizliğini kurun ve çözün.
Δ=[−2(a−1)]2−4⋅1⋅4≤0  ⟹  4(a−1)2−16≤0  ⟹  (a−1)2≤4  ⟹  −2≤a−1≤2  ⟹  −1≤a≤3\Delta = [-2(a-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 \leq 0 \implies 4(a-1)^2 - 16 \leq 0 \implies (a-1)^2 \leq 4 \implies -2 \leq a-1 \leq 2 \implies -1 \leq a \leq 3
Diskriminant formülü Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac kullanılarak parametreye bağlı eşitsizlik elde edilir ve çözülür.
4
Parametrenin alabileceği tam sayı değerlerini belirleyip toplayın.
Alınabilecek tam sayı değerleri −1,0,1,2,3-1, 0, 1, 2, 3 olup, toplamları −1+0+1+2+3=5-1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5 olur.
Bulunan [−1,3][-1, 3] aralığındaki tam sayılar tespit edilerek toplamları hesaplanır.

Key Concept

Bir fonksiyonun türevinin işaret değiştirmediği noktalarda yerel ekstremum noktası bulunmaz. İkinci dereceden bir fonksiyonun daima aynı işaretli kalması için diskriminantının sıfırdan küçük veya eşit olması gerekir.
Question 33Question →
R∖{3}\mathbb{R} \setminus \{3\} kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi her x∈R∖{3}x \in \mathbb{R} \setminus \{3\} için
f′(x)=(x−1)2(x−5)x−3f'(x) = \frac{(x-1)^2(x-5)}{x-3}
olarak verilmiştir.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 5'tir.
Türev fonksiyonunun işaret tablosu incelendiğinde, x=5x = 5 noktasında türevin işareti negatiften pozitife dönmektedir ve fonksiyon bu noktada tanımlıdır. Bu nedenle x=5x = 5 noktası yerel minimum (yerel ekstremum) noktasıdır. Diğer taraftan, x=1x = 1 noktasında türev çift katlı köke sahip olduğundan işaret değiştirmemiştir; x=3x = 3 noktasında ise fonksiyon tanımlı değildir. Dolayısıyla, tek yerel ekstremum noktasının apsisi 5'tir ve apsisler toplamı da 5 olur.

Step-by-Step Solution

1
Türevin kritik noktalarını belirlemek için payı ve paydayı sıfır yapan noktaları bulalım.
Payın kökleri: (x−1)2=0  ⟹  x=1(x-1)^2 = 0 \implies x = 1 (çift katlı kök) ve x−5=0  ⟹  x=5x-5 = 0 \implies x = 5 (tek katlı kök). Paydanın kökü: x−3=0  ⟹  x=3x-3 = 0 \implies x = 3 (tek katlı kök, tanımsızlık noktası).
Yerel ekstremum noktaları türevin işaret değiştirdiği noktalarda oluşur; bu noktaları belirlemek için işaret tablosu oluşturulmalıdır.
2
Bulunan kritik noktalara göre türev fonksiyonunun işaret tablosunu oluşturalım.
x<1x < 1 için f′(x)>0f'(x) > 0 (fonksiyon artan),
1<x<31 < x < 3 için f′(x)>0f'(x) > 0 (fonksiyon artan),
3<x<53 < x < 5 için f′(x)<0f'(x) < 0 (fonksiyon azalan),
x>5x > 5 için f′(x)>0f'(x) > 0 (fonksiyon artan).
İşaret tablosu yardımıyla türevin hangi noktalarda işaret değiştirdiğini belirleyebiliriz.
3
Türevin işaret değiştirdiği noktaları ve bu noktaların tanım kümesinde olup olmadığını kontrol edelim.
x=1x = 1 noktasında türev işaret değiştirmemiştir (++ iken ++ kalmıştır), dolayısıyla bu nokta yerel ekstremum değildir. x=3x = 3 noktasında türev işaret değiştirmiştir ancak fonksiyon bu noktada tanımlı değildir (3∉R∖{3}3 \notin \mathbb{R} \setminus \{3\}), bu yüzden bu nokta da yerel ekstremum olamaz. x=5x = 5 noktasında türev −- işaretinden ++ işaretine geçerek işaret değiştirmiştir ve fonksiyon bu noktada tanımlıdır. Dolayısıyla x=5x = 5 noktası fonksiyonun yerel minimum (yerel ekstremum) noktasıdır.
Bir noktanın yerel ekstremum noktası olabilmesi için o noktada fonksiyonun tanımlı olması ve türevinin işaret değiştirmesi şarttır.
4
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamını bulalım.
Tek yerel ekstremum noktasının apsisi x=5x = 5 olduğundan, apsisler toplamı 55 olur.
Soruda istenen toplam değerini elde etmek için bulduğumuz apsis değerlerini toplarız.

Key Concept

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta türevinin işaret değiştirdiği noktalardır. Türevin çift katlı köklerinde veya fonksiyonun tanımsız olduğu noktalarda yerel ekstremum noktası bulunmaz.
Estimated Time:1m 30s
Question 34Question →
Gerçel sayılar kümesinin x≠4x \neq 4 koşulunu sağlayan elemanları üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu
f(x)=x2−3xx−4f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 4}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 8'dir.
Fonksiyonun türevi olan f′(x)=x2−8x+12(x−4)2f'(x) = \frac{x^2 - 8x + 12}{(x - 4)^2} ifadesini sıfır yapan ve fonksiyonun tanımlı olduğu noktaların apsisleri 22 ve 66 olup, bu noktaların her ikisinde de türev işaret değiştirmektedir. Bu nedenle yerel ekstremum apsisleri toplamı 2+6=82 + 6 = 8 olur.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini bölümün türevi kuralını kullanarak hesaplayın.
f′(x)=(2x−3)(x−4)−(x2−3x)⋅1(x−4)2=x2−8x+12(x−4)2f'(x) = \frac{(2x - 3)(x - 4) - (x^2 - 3x) \cdot 1}{(x - 4)^2} = \frac{x^2 - 8x + 12}{(x - 4)^2}
Yerel ekstremum noktalarının adaylarını belirlemek için öncelikle fonksiyonun birinci türevini bulmamız gerekir.
2
Türevi sıfıra eşitleyen noktaları bulun.
x2−8x+12=0  ⟹  (x−2)(x−6)=0x^2 - 8x + 12 = 0 \implies (x - 2)(x - 6) = 0 denkleminden x=2x = 2 ve x=6x = 6 bulunur.
Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum noktası olmaya aday kritik noktalardır.
3
Bulunan kritik noktaların tanım kümesinde olup olmadığını ve türevin bu noktalarda işaret değiştirip değiştirmediğini inceleyin.
x=2x = 2 ve x=6x = 6 noktaları tanım kümesindedir (2≠42 \neq 4 ve 6≠46 \neq 4). f′(x)f'(x)'in paydası (x−4)2>0(x-4)^2 > 0 olduğundan işaret değişimi sadece payın köklerinde olur. Tabloya göre x=2x = 2 yerel maksimum, x=6x = 6 ise yerel minimum noktasıdır.
Bir noktanın yerel ekstremum noktası olabilmesi için fonksiyonun o noktada tanımlı olması ve türevinin o noktada işaret değiştirmesi şarttır.
4
Yerel ekstremum noktalarının apsislerini toplayın.
2+6=82 + 6 = 8 bulunur.
Bizden yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı istenmiştir.

Key Concept

Bir rasyonel fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için fonksiyonun türevi alınır, türevi sıfır yapan noktalar belirlenir ve bu noktalarda türevin işaret değiştirip değiştirmediği (ekstremum olma koşulu) kontrol edilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 35Question →

Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun yerel minimum noktası A(3,4)A(3, 4) ve yerel maksimum noktası B(1,k)B(1, k) olarak verilmiştir.

f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c

olduğuna göre, a+b+c+ka + b + c + k toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

a + b + c + k toplamı 15 olarak bulunur.
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarında türevi sıfırdır. Bu kuraldan yararlanarak oluşturulan türev denklemlerinin ortak çözümünden a=−6a = -6 ve b=9b = 9 elde edilir. Verilen yerel minimum noktası A(3,4)A(3, 4) fonksiyon kuralında yerine yazılarak c=4c = 4 bulunur. Son olarak yerel maksimum noktası B(1,k)B(1, k) fonksiyon denkleminde yerine yazıldığında yerel maksimum değeri k=8k = 8 olarak hesaplanır. Bu dört değer toplandığında elde edilen sonuç 15 olur.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=3x2+2ax+bf'(x) = 3x^2 + 2ax + b elde edilir.
Yerel ekstremum noktalarında türevin değerini incelemek için birinci türeve ihtiyaç vardır.
2
Yerel ekstremum noktalarında türevin sıfır olması koşulunu kullanarak a ve b değerlerini bulun.
f′(3)=0⇒27+6a+b=0⇒6a+b=−27f'(3) = 0 \Rightarrow 27 + 6a + b = 0 \Rightarrow 6a + b = -27 ve f′(1)=0⇒3+2a+b=0⇒2a+b=−3f'(1) = 0 \Rightarrow 3 + 2a + b = 0 \Rightarrow 2a + b = -3 denklem sistemi çözüldüğünde a=−6a = -6 ve b=9b = 9 elde edilir.
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşittir.
3
A(3, 4) noktasının fonksiyon denklemini sağladığı bilgisinden c sabitini hesaplayın.
f(3)=27+9a+3b+c=4⇒27+9(−6)+3(9)+c=4⇒27−54+27+c=4⇒c=4f(3) = 27 + 9a + 3b + c = 4 \Rightarrow 27 + 9(-6) + 3(9) + c = 4 \Rightarrow 27 - 54 + 27 + c = 4 \Rightarrow c = 4 bulunur.
Fonksiyon grafiği üzerindeki her nokta, fonksiyonun kuralını sağlamak zorundadır.
4
B(1, k) noktasını kullanarak k değerini hesaplayın.
f(1)=1+a+b+c=k⇒1−6+9+4=k⇒k=8f(1) = 1 + a + b + c = k \Rightarrow 1 - 6 + 9 + 4 = k \Rightarrow k = 8 bulunur.
Yerel maksimum noktası da fonksiyon grafiği üzerinde yer aldığından fonksiyon denklemini sağlar.
5
Bulunan a, b, c ve k değerlerini toplayarak sonuca ulaşın.
a+b+c+k=−6+9+4+8=15a + b + c + k = -6 + 9 + 4 + 8 = 15 elde edilir.
Soruda istenen toplam ifadesinin değerini bulmak için tüm değişkenler toplanır.

Key Concept

Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevinin sıfır olması ve bu noktaların fonksiyon denklemini sağlaması.
Question 36Question →
f:[−2,6]→Rf: [-2, 6] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5

fonksiyonunun mutlak maksimum değeri ile mutlak minimum değerinin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 37

Answer

Mutlak maksimum değeri ile mutlak minimum değerinin toplamı 37'dir.
Fonksiyonun verilen kapalı aralıktaki mutlak maksimum değeri uç nokta olan 6 için 59, mutlak minimum değeri ise kritik nokta olan 3 için -22 olup, bu değerlerin toplamı 37 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları (türevin sıfır olduğu yerleri) bulunuz.
f′(x)=3x2−6x−9=3(x2−2x−3)=3(x−3)(x+1)=0f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1) = 0 denkleminin kökleri x=−1x = -1 ve x=3x = 3 olarak bulunur. Her iki nokta da [−2,6][-2, 6] tanım aralığındadır.
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum adayları, türevin sıfır olduğu kritik noktalardır.
2
Kritik noktalardaki ve tanım aralığının uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini hesaplayınız.
Uç noktalardaki değerler:
f(−2)=(−2)3−3(−2)2−9(−2)+5=−8−12+18+5=3f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) + 5 = -8 - 12 + 18 + 5 = 3
f(6)=63−3(62)−9(6)+5=216−108−54+5=59f(6) = 6^3 - 3(6^2) - 9(6) + 5 = 216 - 108 - 54 + 5 = 59

Kritik noktalardaki değerler:
f(−1)=(−1)3−3(−1)2−9(−1)+5=−1−3+9+5=10f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10
f(3)=33−3(32)−9(3)+5=27−27−27+5=−22f(3) = 3^3 - 3(3^2) - 9(3) + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22
olarak bulunur.
Sürekli bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki mutlak ekstremum değerleri, yerel ekstremum noktalarında veya aralığın uç noktalarında gerçekleşir.
3
Hesaplanan değerleri karşılaştırarak mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini belirleyip toplayınız.
Hesaplanan değerler arasından en büyüğü 5959 (mutlak maksimum), en küçüğü ise −22-22 (mutlak minimum) olur. Bu değerlerin toplamı:
59+(−22)=3759 + (-22) = 37
olarak elde edilir.
Soru kökünde bizden mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerinin toplamı istenmektedir.

Key Concept

Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki mutlak ekstremum değerlerini bulmak için, fonksiyonun aralıktaki kritik noktalarında aldığı değerler ile aralığın uç noktalarında aldığı değerler hesaplanıp karşılaştırılır.
Estimated Time:2m 0s
Question 37Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonunun sadece bir tane yerel ekstremum noktası vardır ve bu noktanın apsisi −2-2'dir.

Buna göre, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=g(x2−3x)f(x) = g(x^2 - 3x)
fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri çarpımı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

f fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri çarpım�� 3'tür.
Bileşke fonksiyonun türevi zincir kuralı ile f′(x)=(2x−3)g′(x2−3x)f'(x) = (2x - 3)g'(x^2 - 3x) olarak bulunur. gg fonksiyonunun yerel ekstremum noktası yalnızca −2-2 olduğundan g′(−2)=0g'(-2) = 0 olur. Dolayısıyla f′(x)=0f'(x) = 0 denklemini sağlayan değerler 2x−3=0  ⟹  x=1,52x - 3 = 0 \implies x = 1,5 ile x2−3x=−2  ⟹  x=1x^2 - 3x = -2 \implies x = 1 ve x=2x = 2 değerleridir. İşaret tablosu incelendiğinde bu üç değerin de tek katlı kök olduğu ve türevin işaretini değiştirdiği görülür. Bu nedenle her üçü de yerel ekstremum noktalarının apsisleridir. Çarpımları ise 1⋅1,5⋅2=31 \cdot 1,5 \cdot 2 = 3 yapar.

Step-by-Step Solution

1
Bileşke fonksiyonun türevini almak için zincir kuralını uygulayın.
f′(x)=(2x−3)⋅g′(x2−3x)f'(x) = (2x - 3) \cdot g'(x^2 - 3x) elde edilir.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (g(u))′=u′⋅g′(u)(g(u))' = u' \cdot g'(u) şeklindedir.
2
Türevi sıfır yapan kritik noktaları belirleyin.
2x−3=0  ⟹  x=322x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2} ve g′(x2−3x)=0g'(x^2 - 3x) = 0 denklemleri elde edilir.
Yerel ekstremum noktaları türevi sıfır yapan veya türevin tanımlı olmadığı noktalarda aranır.
3
gg fonksiyonunun tek yerel ekstremum noktasının apsisi olan −2-2 değerini kullanarak g′(x2−3x)=0g'(x^2 - 3x) = 0 denklemini çözün.
x2−3x=−2  ⟹  x2−3x+2=0  ⟹  (x−1)(x−2)=0  ⟹  x=1x^2 - 3x = -2 \implies x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-1)(x-2) = 0 \implies x = 1 veya x=2x = 2 elde edilir.
gg fonksiyonunun türevlenebilir olduğu ve tek yerel ekstremum noktasının apsisinin −2-2 olduğu bilgisi, g′(u)=0  ⟺  u=−2g'(u) = 0 \iff u = -2 olduğunu gösterir.
4
Kritik noktaların türevin işaretini değiştirip değiştirmediğini kontrol edin ve apsislerin çarpımını hesaplayın.
x=1x = 1, x=32x = \frac{3}{2} ve x=2x = 2 noktalarının her birinde f′(x)f'(x) işaret değiştirir. Apsisler çarpımı: 1⋅32⋅2=31 \cdot \frac{3}{2} \cdot 2 = 3 bulunur.
Türevin tek katlı köklerinde fonksiyonun artanlıktan azalanlığa veya azalanlıktan artanlığa geçişi gerçekleştiği için bu noktaların tümü yerel ekstremum noktasıdır.

Key Concept

Bileşke fonksiyonun türevi ve yerel ekstremum noktalarının bulunması
Estimated Time:2m 0s
Question 38Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=2x3−3(a+2)x2+12ax+1f(x) = 2x^3 - 3(a+2)x^2 + 12ax + 1
fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi 44 olduğuna göre, bu fonksiyonun yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 43

Answer

Yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı 43'tür.
Türevin işaret tablosundan yerel minimum apsisinin 4 olması için parametrenin 4 olması gerektiği bulunur. Bu durumda yerel maksimum noktası (2, 41) olur ve koordinatları toplamı 43 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alalım.
f′(x)=6x2−6(a+2)x+12af'(x) = 6x^2 - 6(a+2)x + 12a
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaların�� bulmak için öncelikle fonksiyonun türevi hesaplanmalıdır.
2
Türevi sıfıra eşitleyen kritik noktaları çarpanlara ayırarak bulalım.
6(x2−(a+2)x+2a)=0  ⟹  6(x−2)(x−a)=06(x^2 - (a+2)x + 2a) = 0 \implies 6(x-2)(x-a) = 0. Kökler x=2x = 2 ve x=ax = a olarak bulunur.
Türevi sıfır yapan noktalar fonksiyonun yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin işaret tablosunu inceleyerek yerel minimum noktasının apsisini belirleyelim.
Soruda yerel minimum noktasının apsisi 44 olarak verilmiştir. Eğer a<2a < 2 olsaydı, yerel minimum noktası x=2x = 2 olurdu. Dolayısıyla a>2a > 2 olmalıdır ve yerel minimum noktası x=a=4x = a = 4 olur. Bu durumda yerel maksimum noktası x=2x = 2 apsisli noktadır.
Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır ve işaretin eksiye geçip sonra artıya döndüğü yer yerel minimumdur.
4
a=4a = 4 değerini fonksiyonda yerine yazarak fonksiyonun denklemini güncelleyelim.
f(x)=2x3−18x2+48x+1f(x) = 2x^3 - 18x^2 + 48x + 1
Fonksiyonun yerel maksimum noktasının ordinatını hesaplayabilmek için fonksiyonun tam denklemini elde etmemiz gerekir.
5
Yerel maksimum noktasının ordinatını ve koordinatları toplamını bulalım.
Yerel maksimum apsisi x=2x = 2 olduğuna göre ordinat f(2)=2(8)−18(4)+48(2)+1=41f(2) = 2(8) - 18(4) + 48(2) + 1 = 41 olur. Koordinatlar toplamı ise 2+41=432 + 41 = 43 olarak hesaplanır.
Yerel maksimum noktasının koordinatları (2,41)(2, 41) şeklindedir.

Key Concept

Türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının bulunması ve türevin işaret tablosunun yorumlanması.
Question 39Question →
Tanım kümesi R∖{3}\mathbb{R} \setminus \{3\} olan
f(x)=x2+axx−3f(x) = \frac{x^2 + ax}{x - 3}
fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi 99'dur.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 0

Answer

Yerel maksimum noktas��nın koordinatları toplamı 00'dır.
Fonksiyonun türevi alınıp yerel minimum noktasının apsisi olan 99 yerine yazıldığında a=9a = 9 bulunur. Buradan türevin diğer kökü olan yerel maksimum noktasının apsisi x=−3x = -3 olarak elde edilir. Bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında yerel maksimum noktasının koordinatları (−3,3)(-3, 3) olur. Bu koordinatların toplamı −3+3=0-3 + 3 = 0 değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Bölümün türevi kuralını uygulayarak fonksiyonun türevi olan f′(x)f'(x) ifadesini elde ederiz.
f′(x)=(2x+a)(x−3)−(x2+ax)(x−3)2=x2−6x−3a(x−3)2f'(x) = \frac{(2x+a)(x-3) - (x^2+ax)}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 3a}{(x-3)^2}
Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle türev fonksiyonunun işaretini incelememiz gerekir.
2
Yerel minimum noktasının apsisi 99 olduğuna göre, bu noktada türev sıfıra eşit olmalıdır (f′(9)=0f'(9) = 0).
92−6(9)−3a=0  ⟹  81−54−3a=0  ⟹  3a=27  ⟹  a=99^2 - 6(9) - 3a = 0 \implies 81 - 54 - 3a = 0 \implies 3a = 27 \implies a = 9
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevi sıf��rdır.
3
a=9a = 9 değerini türev fonksiyonunda yerine yazıp türevi sıfır yapan diğer kritik noktayı buluruz.
f′(x)=x2−6x−27(x−3)2=(x−9)(x+3)(x−3)2=0  ⟹  x=9 veya x=−3f'(x) = \frac{x^2 - 6x - 27}{(x-3)^2} = \frac{(x-9)(x+3)}{(x-3)^2} = 0 \implies x = 9 \text{ veya } x = -3
Türevin işaret değiştirdiği noktaları belirlemek için türevin tüm köklerini bulmamız gerekir.
4
f′(x)f'(x) türev fonksiyonunun işaret tablosunu oluşturarak yerel maksimum noktasını tespit ederiz.
x<−3x < -3 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan), −3<x<3-3 < x < 3 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan), 3<x<93 < x < 9 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan) ve x>9x > 9 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan). Buna göre, x=−3x = -3 noktası yerel maksimum noktasıdır.
Türevin işareti pozitiften negatife geçtiği nokta yerel maksimum noktasıdır.
5
Yerel maksimum noktasının ordinatını ve koordinatları toplamını hesaplarız.
y=f(−3)=(−3)2+9(−3)−3−3=−18−6=3y = f(-3) = \frac{(-3)^2 + 9(-3)}{-3 - 3} = \frac{-18}{-6} = 3 olur. Koordinatlar toplamı: x+y=−3+3=0x + y = -3 + 3 = 0 bulunur.
Bizden yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı istendiği için apsis ve elde ettiğimiz ordinat değerini toplarız.

Key Concept

Bölüm durumundaki fonksiyonların türevi yardımıyla yerel ekstremum noktalarının bulunması ve koordinat analizi.
Question 40Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b
fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları koordinat düzleminde y=−2x+5y = -2x + 5 doğrusu üzerindedir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Doğru cevap 5'tir.
Türev alınarak elde edilen yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 2'dir. Bu noktalar doğru denklemi üzerinde yer aldığından ordinatları toplamı 6 olur. Fonksiyon tanımından elde edilen ordinat toplamı ifadesi 2a + 2b - 4 olup bu ifade 6'ya eşitlendiğinde a + b = 5 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alarak yerel ekstremum noktalarının apsislerinin sağladığı denklemi belirlemek.
f′(x)=3x2−6x+a=0f'(x) = 3x^2 - 6x + a = 0 denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2 fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleridir.
Bir fonksiyonun türevlenebilir olduğu noktalarda yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşittir.
2
Kökler toplamı ve kökler çarpımı ilişkilerini yazmak.
x1+x2=2x_1 + x_2 = 2 ve x1⋅x2=a3x_1 \cdot x_2 = \frac{a}{3}
İkinci dereceden bir denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki ilişkileri kullanmak gerekir.
3
Yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamını doğrunun denklemini kullanarak ifade etmek.
y1+y2=−2(x1+x2)+10=−2(2)+10=6y_1 + y_2 = -2(x_1 + x_2) + 10 = -2(2) + 10 = 6 elde edilir.
Ekstremum noktaları doğru üzerinde yer aldığı için doğrunun denklemini sağlamak zorundadır.
4
Fonksiyon tanımını kullanarak yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamını a ve b cinsinden yazıp eşitlemek.
y1+y2=(x13+x23)−3(x12+x22)+a(x1+x2)+2b=(8−2a)−3(4−2a3)+2a+2b=2a+2b−4y_1 + y_2 = (x_1^3 + x_2^3) - 3(x_1^2 + x_2^2) + a(x_1 + x_2) + 2b = (8 - 2a) - 3(4 - \frac{2a}{3}) + 2a + 2b = 2a + 2b - 4. Buradan 2a+2b−4=6  ⟹  a+b=52a + 2b - 4 = 6 \implies a + b = 5 bulunur.
Ordinatların fonksiyon tanımıyla elde edilen değeri ile doğru denklemiyle elde edilen değerinin eşitlenmesiyle a + b toplamına ulaşılır.

Key Concept

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının koordinatları, hem fonksiyonun kendisini hem de noktaların üzerinde bulunduğu doğrunun denklemini sağlar.
PreviousPage 2 / 3Next
Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 2 | Examkin