Examkin

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

67 questions

All types67Multiple choice33Numeric34
Question 1Question →
Dik koordinat düzleminde, kk bir gerçek sayı olmak üzere
f(x)=x3−3x2−6x+kf(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + k
eğrisinin yerel ekstremum noktalarından geçen doğru, bu eğriye x=ax = a (a>0a > 0) apsisli noktasında teğet olan doğruya paraleldir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Yerel ekstremum noktalarından geçen doğrunun eğimi −6-6 olduğundan, paralel teğet doğrusunun eğimi de f′(a)=−6f'(a) = -6 olmalıdır. Bu denklemin çözülmesiyle a>0a > 0 koşulunu sağlayan değer 22 olarak elde edilir.
Eğrinin yerel ekstremum noktalarından geçen doğrunun eğimi −6-6 olarak bulunur. Paralel doğruların eğimleri eşit olduğundan teğet doğrusunun eğimi olan f′(a)f'(a) değeri de −6-6'ya eşitlenir. Buradan elde edilen pozitif kök aranan sonucu verir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevi alınarak yerel ekstremum noktalarının apsislerini veren denklem elde edilir.
f′(x)=3x2−6x−6=0  ⟹  x2−2x−2=0f'(x) = 3x^2 - 6x - 6 = 0 \implies x^2 - 2x - 2 = 0 elde edilir. Bu denklemin kökleri x1x_1 ve x2x_2 olsun.
Yerel ekstremum noktalarında fonksiyonun birinci türevi sıfıra eşittir.
2
Ekstremum noktalarının ordinatlarını veren ifadeler, derece azaltma yöntemiyle birinci dereceden terimler cinsinden yazılır.
x2=2x+2x^2 = 2x + 2 eşitliği kullanılarak f(x)=−6x+k−2f(x) = -6x + k - 2 bulunur. Dolayısıyla ekstremum noktaları A(x1,−6x1+k−2)A(x_1, -6x_1 + k - 2) ve B(x2,−6x2+k−2)B(x_2, -6x_2 + k - 2) olur.
İki noktadan geçen doğrunun eğimini hesaplamak için ordinat değerlerini sadeleştirmek gerekir.
3
Yerel ekstremum noktalarından geçen doğrunun eğimi (m1m_1) hesaplanır.
m1=(−6x2+k−2)−(−6x1+k−2)x2−x1=−6m_1 = \frac{(-6x_2 + k - 2) - (-6x_1 + k - 2)}{x_2 - x_1} = -6 olarak bulunur.
İki noktası bilinen doğrunun eğim formülü uygulanır.
4
Eğriye x=ax = a apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi (m2m_2) bu eğime eşitlenerek aa değeri çözülür.
f′(a)=−6  ⟹  3a2−6a−6=−6  ⟹  3a(a−2)=0f'(a) = -6 \implies 3a^2 - 6a - 6 = -6 \implies 3a(a-2) = 0 denklemi elde edilir. Buradan a=0a = 0 veya a=2a = 2 bulunur. a>0a > 0 şartından dolayı a=2a = 2'dir.
Paralel doğruların eğimleri eşittir ve teğet doğrusunun eğimi türeve eşittir.

Key Concept

Türevin geometrik yorumu ve yerel ekstremum noktalarından geçen doğrunun eğiminin türev yardımıyla bulunması.
Question 2Question →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x+3x−2f(x) = \frac{x+3}{x-2}
eğrisine üzerindeki x=3x = 3 apsisli noktasından çizilen normal doğrusunun eğimi kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 15\frac{1}{5}

Answer

Eğriye üzerindeki x=3x = 3 apsisli noktasından çizilen normal doğrusunun eğimi 15\frac{1}{5}'tir.
Doğru yanıt olan 15\frac{1}{5} değeri, eğrinin x=3x = 3 noktasındaki türevinin (teğet eğimi olan −5-5) negatif tersi alınarak elde edilir. Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini bulun.
f′(x)=1⋅(x−2)−1⋅(x+3)(x−2)2=−5(x−2)2f'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - 1 \cdot (x+3)}{(x-2)^2} = \frac{-5}{(x-2)^2}
Eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonunda x=3x = 3 değerini yerine yazarak teğet doğrusunun eğimini (mtm_t) bulun.
mt=f′(3)=−5(3−2)2=−5m_t = f'(3) = \frac{-5}{(3-2)^2} = -5
Teğet doğrusunun eğimi, x=3x = 3 noktasındaki türev değeridir.
3
Teğet doğrusu ile normal doğrusunun dik kesişme özelliğini (mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1) kullanarak normal doğrusunun eğimini (mnm_n) hesaplayın.
−5⋅mn=−1⇒mn=15-5 \cdot m_n = -1 \Rightarrow m_n = \frac{1}{5}
Bir eğriye üzerindeki aynı noktadan çizilen teğet ve normal doğruları birbirine diktir, dolayısıyla eğimleri çarpımı −1-1'dir.

Key Concept

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğimi ile diklik ilişkisi (mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1) kullanılarak bulunur.
Question 3Question →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=asin⁡(x)+cos⁡(2x)f(x) = a \sin(x) + \cos(2x)
fonksiyonunun grafiğine x=π6x = \frac{\pi}{6} apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu,
3x−y+5=0\sqrt{3}x - y + 5 = 0
doğrusuna paraleldir.

Buna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

a = 4
Grafiğe üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevidir. İki doğrunun paralel olması eğimlerinin eşit olmasını gerektirir. Buradan hareketle f′(π6)=3f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} eşitliği kurularak doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=acos⁡(x)−2sin⁡(2x)f'(x) = a \cos(x) - 2 \sin(2x)
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonunda x=π6x = \frac{\pi}{6} değerini yerine yazarak teğet doğrusunun eğimini bulun.
f′(π6)=acos⁡(π6)−2sin⁡(π3)=(a−2)32f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = a \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - 2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = (a-2)\frac{\sqrt{3}}{2}
x=π6x = \frac{\pi}{6} apsisli noktadaki teğetin eğim ifadesini elde etmek için trigometrik değerler yerine yazılır.
3
Verilen doğrunun eğimini bulun.
m=3m = \sqrt{3}
4
Teğet doğrusu ile verilen doğrunun paralellik şartını uygulayarak aa değerini çözün.
a=4a = 4
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. Bu nedenle (a−2)32=3(a-2)\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} eşitliğinden a−2=2  ⟹  a=4a-2 = 2 \implies a = 4 elde edilir.

Key Concept

Türevin geometrik yorumu ve paralel doğruların eğim ilişkisi
Question 4Question →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2+axx−1f(x) = \frac{x^2 + ax}{x - 1}
eğrisinin x=2x = 2 apsisli noktasındaki normal doğrusu,
2y−x+4=02y - x + 4 = 0
doğrusuna diktir.

Buna göre, aa kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: −12-\frac{1}{2}

Answer

a değeri -1/2'dir.
Verilen doğrunun eğimi 1/21/2 olduğundan, bu doğruya dik olan normal doğrusunun eğimi −2-2 olur. Teğet doğrusu ile normal doğrusu da birbirine dik olduğundan teğet doğrusunun eğimi olan türev değeri f′(2)=1/2f'(2) = 1/2 olmalıdır. Bölüm kuralı yardımıyla alınan türevde x=2x=2 yazıldığında elde edilen −a-a ifadesi bu eğime eşitlenerek a=−1/2a = -1/2 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen doğrunun eğimini bulma
m=12m = \frac{1}{2}
2y−x+4=0  ⟹  2y=x−4  ⟹  y=12x−22y - x + 4 = 0 \implies 2y = x - 4 \implies y = \frac{1}{2}x - 2 şeklinde düzenlenerek doğrunun eğimi bulunur.
2
Normal doğrusunun eğimini belirleme
mn=−2m_n = -2
Normal doğrusu verilen doğruya dik olduğundan, eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır (mn⋅12=−1  ⟹  mn=−2m_n \cdot \frac{1}{2} = -1 \implies m_n = -2).
3
Türev değeri ile normal eğimi ilişkisini kurma
f′(2)=12f'(2) = \frac{1}{2}
x=2x=2 noktasındaki teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan, eğimleri çarpımı −1-1 olur (f′(2)⋅mn=−1  ⟹  f′(2)⋅(−2)=−1  ⟹  f′(2)=12f'(2) \cdot m_n = -1 \implies f'(2) \cdot (-2) = -1 \implies f'(2) = \frac{1}{2}).
4
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini alıp x=2x=2 yazarak aa'yı çözme
a=−12a = -\frac{1}{2}
Bölümün türevi kuralı uygulanır: f′(x)=(2x+a)(x−1)−(x2+ax)⋅1(x−1)2f'(x) = \frac{(2x+a)(x-1) - (x^2+ax) \cdot 1}{(x-1)^2}. x=2x=2 yazıldığında f′(2)=(4+a)(1)−(4+2a)12=4+a−4−2a=−af'(2) = \frac{(4+a)(1) - (4+2a)}{1^2} = 4+a-4-2a = -a elde edilir. Buradan −a=12  ⟹  a=−12-a = \frac{1}{2} \implies a = -\frac{1}{2} bulunur.

Key Concept

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi mnm_n ve teğet doğrusunun eğimi mt=f′(x0)m_t = f'(x_0) olmak üzere, bu doğrular dik kesiştiği için mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1 bağıntısı geçerlidir. Ayrıca birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir.
Question 5Question →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−3x+4f(x) = x^2 - 3x + 4 parabolünün grafiğine P(0,1)P(0, 1) noktasından çizilen teğet doğrularının eğimleri çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -3

Answer

Teğet doğrularının eğimleri çarpımı −3-3'tür.
Dışarıdaki noktadan çizilen teğetlerin değme noktaları belirlenerek elde edilen eğimlerin çarpımı −3-3'tür. Değme noktaları x0=±3x_0 = \pm\sqrt{3} olup teğet eğimleri m1=23−3m_1 = 2\sqrt{3}-3 ve m2=−23−3m_2 = -2\sqrt{3}-3 şeklinde hesaplanır. Bu değerlerin çarpımı −3-3 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Teğet doğrusunun değme noktasını A(x0,y0)A(x_0, y_0) olarak belirleyip, bu noktanın parabol üzerinde olduğunu yazalım.
y0=x02−3x0+4y_0 = x_0^2 - 3x_0 + 4 elde edilir.
Teğet doğrusunun denklemine ulaşmak için değme noktasının koordinatlarını fonksiyon türünden ifade etmeliyiz.
2
Parabolün türevini alarak değme noktasındaki teğetin eğimini (mm) bulalım.
f′(x)=2x−3  ⟹  m=2x0−3f'(x) = 2x - 3 \implies m = 2x_0 - 3 olur.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
3
A(x0,y0)A(x_0, y_0) noktasından çizilen ve eğimi mm olan, aynı zamanda P(0,1)P(0, 1) noktasından geçen teğet doğrusunun eğim formülünü yazıp x0x_0 değerlerini bulalım.
m=y0−1x0−0  ⟹  2x0−3=x02−3x0+4−1x0  ⟹  2x02−3x0=x02−3x0+3  ⟹  x02=3  ⟹  x0=3m = \frac{y_0 - 1}{x_0 - 0} \implies 2x_0 - 3 = \frac{x_0^2 - 3x_0 + 4 - 1}{x_0} \implies 2x_0^2 - 3x_0 = x_0^2 - 3x_0 + 3 \implies x_0^2 = 3 \implies x_0 = \sqrt{3} veya x0=−3x_0 = -\sqrt{3} bulunur.
İki noktası bilinen doğrunun eğim formülü ile türevden elde edilen eğimi birbirine eşitleyerek teğet noktalarının apsislerini elde ederiz.
4
Bulunan x0x_0 apsis değerlerini teğet eğimi formülünde (m=2x0−3m = 2x_0 - 3) yerine yazarak teğet doğrularının eğimlerini (m1m_1 ve m2m_2) bulalım ve çarpalım.
m1=23−3m_1 = 2\sqrt{3} - 3 ve m2=−23−3m_2 = -2\sqrt{3} - 3 olur. Eğimler çarpımı: m1⋅m2=(23−3)(−23−3)=−(23−3)(23+3)=−((23)2−32)=−(12−9)=−3m_1 \cdot m_2 = (2\sqrt{3} - 3)(-2\sqrt{3} - 3) = -(2\sqrt{3} - 3)(2\sqrt{3} + 3) = -((2\sqrt{3})^2 - 3^2) = -(12 - 9) = -3 olarak bulunur.
Soruda bizden istenen teğet doğrularının eğimleri çarpımını hesaplamak.

Key Concept

Bir eğriye dışındaki bir noktadan çizilen teğet doğrularının denklemlerini ve eğimlerini türev yardımıyla bulma.
Question 6Question →

f(x)=ax2−6x+5f(x) = ax^2 - 6x + 5 parabolünün x=1x = 1 apsisli noktasındaki normal doğrusu, x−2y+1=0x - 2y + 1 = 0 doğrusuna paraleldir.

Buna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

a parametresinin değeri 2 olmalıdır.
Parabolün teğetinin eğimi, o noktadaki türeve eşittir. Normal doğrusu verilen doğruya paralel olduğundan eğimleri eşittir ve teğet ile normal dik olduğundan teğet eğimi -2 olarak bulunur. Buradan türev değeri -2'ye eşitlenerek a = 2 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen doğrunun eğimini bulmak için denklem düzenlenir.
y=12x+12y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} elde edilir ve doğrunun eğimi m=12m = \frac{1}{2} olarak bulunur.
Normal doğrusunun eğimini belirlemek için paralel olduğu doğrunun eğimine ihtiyaç vardır.
2
Normal doğrusunun eğimi belirlenir.
mn=12m_n = \frac{1}{2} olur.
Paralel doğruların eğimleri eşittir.
3
Teğet doğrusunun eğimi (mtm_t) hesaplanır.
mt=−2m_t = -2 bulunur.
Aynı noktadaki teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır (mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1).
4
Fonksiyonun türevi alınıp x=1x = 1 noktasındaki teğet eğimine eşitlenerek aa değeri bulunur.
f′(x)=2ax−6  ⟹  f′(1)=2a−6=−2  ⟹  a=2f'(x) = 2ax - 6 \implies f'(1) = 2a - 6 = -2 \implies a = 2 elde edilir.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.

Key Concept

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet ve normal doğrularının eğimleri sırasıyla o noktadaki türeve ve türevin negatif çarpmaya göre tersine eşittir.
Question 7Question →
f(x)=x2−4x+6f(x) = x^2 - 4x + 6

fonksiyonunun grafiğine x=4x = 4 apsisli noktas��ndan çizilen teğetin eğimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 44

Answer

Teğet doğrusunun eğimi 44 olarak bulunur.
Doğru cevap olan seçenekte teğetin eğimi 44 olarak verilmiştir. Bir fonksiyona x=x0x = x_0 noktasından çizilen teğetin eğimi f′(x0)f'(x_0) değerine eşittir. f(x)=x2−4x+6f(x) = x^2 - 4x + 6 fonksiyonunun türevi f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4 olup, x=4x = 4 noktasındaki teğet eğimi f′(4)=2(4)−4=4f'(4) = 2(4) - 4 = 4 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktanın apsisindeki türev değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonunda x=4x = 4 değerini yerine yazarak eğimi hesaplayın.
f′(4)=2(4)−4=8−4=4f'(4) = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4
Teğetin çizildi��i noktanın apsisi x=4x = 4 olduğundan, teğetin eğimi mt=f′(4)m_t = f'(4) olur.

Key Concept

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktanın apsisindeki türev değerine eşittir (mt=f′(x0)m_t = f'(x_0)).
Question 8Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı

f(x)=x2+5xf(x) = x^2 + 5x

fonksiyonunun grafiğine x=−1x = -1 noktasında teğet olan doğrunun eğimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Eğrinin belirtilen noktadaki teğetinin eğimi 3'tür.
Türevin geometrik yorumuna göre, bir fonksiyonun grafiğine x=x0x = x_0 apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi f′(x0)f'(x_0) değeridir. f(x)=x2+5xf(x) = x^2 + 5x fonksiyonunun türevi f′(x)=2x+5f'(x) = 2x + 5 olup, x=−1x = -1 için bu değer f′(−1)=3f'(-1) = 3 olur.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=2x+5f'(x) = 2x + 5
Bir fonksiyona herhangi bir noktadan ��izilen teğet doğrusunun eğimi, o noktanın apsisindeki türev değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonunda teğet noktasının apsisi olan x=−1x = -1 değerini yerine yazın.
f′(−1)=3f'(-1) = 3
x=−1x = -1 noktasındaki teğet doğrusunun eğimi f′(−1)f'(-1) değerine karşılık gelir.

Key Concept

Bir fonksiyonun grafiğine x=x0x = x_0 noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevinin değerine (f′(x0)f'(x_0)) eşittir.
Question 9Question →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−6x2+8x−3f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x - 3 eğrisine çizilen ve y=8x+5y = 8x + 5 doğrusuna paralel olan teğet doğrularının yy eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -38

Answer

Teğet doğrularının yy eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı −38-38'dir.
Doğru cevap olan −38-38 sayısı, paralel teğetlerin eğrinin üzerindeki apsislerinin türev yardımıyla bulunup teğet denklemlerinin yazılması ve bu doğruların yy-kesenlerinin ordinatlarının toplanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen doğrunun eğimini belirlemek ve teğet doğrularının eğimiyle eşitlemek.
Teğet doğrularının eğimi m=8m = 8 olmalıdır.
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.
2
Fonksiyonun türevini alıp teğet eğimi olan 88'e eşitleyerek teğet noktalarının apsislerini bulmak.
x1=0x_1 = 0 ve x2=4x_2 = 4 doğruları elde edilir.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
3
Apsis değerlerini fonksiyonda yerine yazarak teğet noktalarının ordinatlarını hesaplamak.
f(0)=−3f(0) = -3 ve f(4)=−3f(4) = -3. Teğet noktaları P1(0,−3)P_1(0, -3) ve P2(4,−3)P_2(4, -3)'tür.
Değme noktaları fonksiyonun grafiği üzerinde yer aldığından fonksiyon denklemini sağlarlar.
4
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülüyle teğet doğrularının denklemlerini yazıp yy eksenini kestikleri ordinatları bulmak.
Birinci teğet doğrusunun yy-keseni −3-3, ikinci teğet doğrusunun yy-keseni −35-35'tir.
Teğet denklemlerinde x=0x = 0 yazılarak doğruların yy eksenini kestiği noktalar belirlenir.
5
Bulunan yy-keseni değerlerini toplamak.
(−3)+(−35)=−38(-3) + (-35) = -38.
Soruda bizden teğet doğrularının yy eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı istenmiştir.

Key Concept

Türevin geometrik yorumu uyarınca, bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Paralel doğruların eğimleri eşittir.
Question 10Question →
f(x)=x2−3x+1f(x) = x^2 - 3x + 1

fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen normal doğrusunun eğimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: −1-1

Answer

Normal doğrusunun eğimi −1-1 olur.
Fonksiyonun türevi alınıp teğet noktası olan x=2x = 2 değeri yerine yazıldığında teğet doğrusunun eğimi mt=1m_t = 1 olarak bulunur. Bir eğriye aynı noktadan çizilen teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır. Buradan normal doğrusunun eğimi mn=−1mt=−1m_n = -\frac{1}{m_t} = -1 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun birinci mertebeden türevi bulunur.
f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3
Bir eğrinin herhangi bir noktasındaki teğetinin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
2
x=2x = 2 apsisli nokta türev fonksiyonunda yerine yazılarak teğet doğrusunun eğimi (mtm_t) hesaplanır.
mt=f′(2)=2(2)−3=1m_t = f'(2) = 2(2) - 3 = 1
Teğet doğrusunun eğimini bulmak için apsis değeri türevde yerine yazılır.
3
Teğet ve normal doğrularının dikliği kullanılarak normal doğrusunun eğimi (mnm_n) bulunur.
mn=−1mt=−11=−1m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1} = -1
Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1'dir (mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1).

Key Concept

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet ve normal doğrularının eğimleri çarpımı −1-1'dir.
Question 11Question →
f(x)=x3−4x2+3f(x) = x^3 - 4x^2 + 3 fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: -4

Answer

Türevin geometrik yorumuna göre, bir eğrinin üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Bu fonksiyonun x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi −4-4 olarak bulunur.
Bir fonksiyonun x=ax = a noktasındaki teğetinin eğimi f′(a)f'(a) değeridir. f(x)=x3−4x2+3f(x) = x^3 - 4x^2 + 3 fonksiyonunun türevi f′(x)=3x2−8xf'(x) = 3x^2 - 8x olur. Bu türevde x=2x = 2 yazıldığında f′(2)=3(2)2−8(2)=12−16=−4f'(2) = 3(2)^2 - 8(2) = 12 - 16 = -4 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=3x2−8xf'(x) = 3x^2 - 8x
Teğetin eğimini bulmak amacıyla öncelikle fonksiyonun türev fonksiyonu elde edilir.
2
Türev fonksiyonunda xx yerine 22 yazılır.
f′(2)=−4f'(2) = -4
İstenen noktadaki teğetin eğimi, türevin o noktadaki değerine eşit olduğundan x=2x = 2 değeri türev fonksiyonunda yerine yerleştirilir.

Key Concept

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
Question 12Question →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−53xf(x) = x^3 - \frac{5}{3}x
fonksiyonunun grafiğine üzerindeki bir P(p,f(p))P(p, f(p)) noktasından çizilen teğet doğrusu, bu grafiği başka bir Q(q,f(q))Q(q, f(q)) noktasında kesmektedir.

PP ve QQ noktalarından grafiğe çizilen teğet doğruları birbirine dik olduğuna göre, pp sayısının pozitif değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Show answer & explanation

Answer: 176\frac{\sqrt{17}}{6}

Answer

kök 17 bölü 6 olan ifade
Doğru cevap olan ifade, f(x)f(x) eğrisinin PP noktasındaki teğetinin eğriyi kestiği diğer noktanın Q(−2p,f(−2p))Q(-2p, f(-2p)) olduğunu gösterdikten sonra, bu iki noktadaki teğetlerin eğimleri olan 3p2−533p^2 - \frac{5}{3} ve 12p2−5312p^2 - \frac{5}{3} değerlerinin çarpımını −1-1'e eşitleyerek elde edilen denklemin pozitif köklerinden biridir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alarak herhangi bir xx apsisli noktadaki teğet eğimi formülünü bulunuz.
f′(x)=3x2−53f'(x) = 3x^2 - \frac{5}{3}
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
P(p,f(p))P(p, f(p)) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini yazınız.
y−(p3−53p)=(3p2−53)(x−p)  ⟹  y=(3p2−53)x−2p3y - (p^3 - \frac{5}{3}p) = (3p^2 - \frac{5}{3})(x - p) \implies y = (3p^2 - \frac{5}{3})x - 2p^3
Teğet doğrusunun denklemi, eğimi ve üzerindeki PP noktası kullanılarak y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0) formülüyle elde edilir.
3
Teğet doğrusu ile eğrinin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri ortak çözünüz.
x3−53x=(3p2−53)x−2p3  ⟹  x3−3p2x+2p3=0  ⟹  (x−p)2(x−q)=0x^3 - \frac{5}{3}x = (3p^2 - \frac{5}{3})x - 2p^3 \implies x^3 - 3p^2 x + 2p^3 = 0 \implies (x-p)^2(x-q) = 0
Teğet noktası çift katlı kök olduğundan denklem (x−p)2(x−q)=0(x-p)^2(x-q) = 0 biçiminde çarpanlarına ayrılır. Buradan kökler toplamı ilişkisinden 2p+q=0  ⟹  q=−2p2p + q = 0 \implies q = -2p elde edilir.
4
PP ve QQ noktalarındaki teğet doğrularının eğimlerini bulunuz.
m1=3p2−53m_1 = 3p^2 - \frac{5}{3} ve m2=3(−2p)2−53=12p2−53m_2 = 3(-2p)^2 - \frac{5}{3} = 12p^2 - \frac{5}{3}
Her iki noktadaki teğetlerin eğimleri, o noktaların apsis değerlerinin türev fonksiyonunda yerine yazılmasıyla hesaplanır.
5
Teğetlerin birbirine dik olması şartını uygulayarak pp için denklemi çözünüz.
m1⋅m2=−1  ⟹  (3p2−53)(12p2−53)=−1  ⟹  324p4−225p2+34=0m_1 \cdot m_2 = -1 \implies (3p^2 - \frac{5}{3})(12p^2 - \frac{5}{3}) = -1 \implies 324p^4 - 225p^2 + 34 = 0
Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir. Elde edilen denklem p2p^2 değişkenine göre ikinci dereceden bir denkleme dönüştürülür.
6
Elde edilen denklemi çarpanlarına ayırarak pp değerlerini bulunuz.
(36p2−17)(9p2−2)=0  ⟹  p2=1736(36p^2 - 17)(9p^2 - 2) = 0 \implies p^2 = \frac{17}{36} veya p2=29p^2 = \frac{2}{9}
Pozitif pp değerleri 176\frac{\sqrt{17}}{6} veya 23\frac{\sqrt{2}}{3} olarak bulunur. Seçeneklerde bu değerlerden ilki mevcuttur.

Key Concept

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğrisi ile kesişim noktalarının tespiti ve türev ile teğet eğimi ilişkisi.
Estimated Time:3m 0s
Question 13Question →
f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 fonksiyonunun grafiğine, bu grafiğin yy eksenini kestiği noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 15\frac{1}{5}

Answer

15\frac{1}{5}
Grafiğin yy eksenini kestiği nokta x=0x = 0 apsisli noktadır. Fonksiyonun bu noktadaki teğet eğimi f′(0)=−5f'(0) = -5 olarak bulunur. Teğet ile normal doğruları birbirine dik olduğundan normal doğrusunun eğimi 15\frac{1}{5} olur.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun yy eksenini kestiği noktanın apsisini belirleme.
Apsis değeri x=0x = 0 olarak bulunur.
Bir fonksiyonun grafiğinin yy eksenini kestiği noktada her zaman x=0x = 0 olur.
2
Fonksiyonun türevini alarak bu noktadaki teğet doğrusunun eğimini hesaplama.
f′(x)=2x−5f'(x) = 2x - 5 türev fonksiyonunda x=0x = 0 yazılarak teğet doğrusunun eğimi mt=f′(0)=−5m_t = f'(0) = -5 bulunur.
Fonksiyonun o noktadaki türev değeri, grafiğe o noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimine eşittir.
3
Teğet eğiminden faydalanarak normal doğrusunun eğimini bulma.
mt⋅mn=−1  ⟹  −5⋅mn=−1  ⟹  mn=15m_t \cdot m_n = -1 \implies -5 \cdot m_n = -1 \implies m_n = \frac{1}{5} elde edilir.
Birbirine dik olan teğet ve normal doğrularının eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır.

Key Concept

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet ve normal doğrularının eğimleri arasındaki ilişki ile türev ilişkisi.
Question 14Question →

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=x3−3x2+x+1f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 1

eğrisine üzerindeki farklı AA ve BB noktalarından çizilen teğet doğruları birbirine paraleldir.

Bu teğet doğruları arasındaki uzaklık 410\frac{4}{\sqrt{10}} birim olduğuna göre, bu paralel teğet doğrularının eğimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -0.5

Answer

Paralel teğet doğrularının eğimi −0.5-0.5 olarak bulunur.
Doğru eğim değeri olan −0.5-0.5, paralel teğet doğrularının geometrik simetrisi ve aralarındaki uzaklık bağıntısı çözüldüğünde elde edilen tek gerçel çözümdür.

Step-by-Step Solution

1
Türev fonksiyonunun bulunması ve paralel teğet şartının yazılması
f′(x)=3x2−6x+1f'(x) = 3x^2 - 6x + 1 olup, teğet noktalarının apsisleri aa ve bb için 3x2−6x+(1−m)=03x^2 - 6x + (1 - m) = 0 denklemi elde edilir.
Teğet doğruları paralel olduğundan teğet noktalarındaki türev değerleri (eğimleri) eşit ve mm olmalıdır.
2
Simetri merkezinin kullanılması ve değişken dönüşümü yapılması
a+b=2a+b=2 olduğundan a=1−da = 1-d ve b=1+db = 1+d tanımlanır. Kökler çarpımı bağıntısından m=3d2−2m = 3d^2 - 2 bağıntısı elde edilir.
Apsislerin simetriğini kullanarak teğet doğrularının denklemlerini daha kolay ve sade bir şekilde ifade etmek hedeflenir.
3
Paralel teğet doğrularının denklemlerinin oluşturulması
L1:y=mx−2d3L_1: y = mx - 2d^3 ve L2:y=mx+2d3L_2: y = mx + 2d^3 denklemleri elde edilir.
İki paralel doğrunun denklemi arasındaki sabit terim farkını bulmak için teğet noktaları doğru denklemlerinde yerine yazılır.
4
Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülünün uygulanması
4d3m2+1=410⇒10d6=m2+1\frac{4d^3}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{10}} \Rightarrow 10d^6 = m^2 + 1 denklemi kurulur.
Doğrular arasındaki uzaklığın belirtilen değere eşit olması bağıntısı kurulur.
5
Elde edilen denklemin çözülmesi ve eğimin bulunması
u=d2u = d^2 için 10u3−9u2+12u−5=010u^3 - 9u^2 + 12u - 5 = 0 denklemi çözülerek u=1/2u = 1/2 ve buradan m=−1/2m = -1/2 elde edilir.
Değişken değiştirme ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle teğet doğrusunun eğimi olan mm değeri hesaplanır.

Key Concept

Türevin geometrik yorumu, paralel teğet doğruları, iki paralel doğru arasındaki uzaklık ve simetri özellikleri.
Estimated Time:4m 0s
Question 15Question →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−2x+af(x) = x^2 - 2x + a
g(x)=−x2+4x+bg(x) = -x^2 + 4x + b
fonksiyonlarının grafikleri olan paraboller verilmiştir.

f(x)f(x) parabolünün tepe noktasından g(x)g(x) parabolüne çizilen te��et doğruları birbirine diktir.

Buna göre, aa ile bb gerçel sayıları arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: a−b=214a - b = \frac{21}{4}

Answer

a−b=214a - b = \frac{21}{4} bağıntısıdır.
a−b=214a - b = \frac{21}{4} bağıntısı doğrudur çünkü f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T(1,a−1)T(1, a-1) olarak belirlendikten sonra bu noktadan geçen teğet doğrularının eğimleri çarpımı −1-1 olarak alındığında elde edilen kökler toplamı ve çarpımı ilişkisi bizi doğrudan bu sonuca ulaştırmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
f(x)=x2−2x+af(x) = x^2 - 2x + a parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulunuz.
Parabolün tepe noktasının apsisi r=−−22(1)=1r = -\frac{-2}{2(1)} = 1 ve ordinatı k=f(1)=12−2(1)+a=a−1k = f(1) = 1^2 - 2(1) + a = a - 1 olur. Dolayısıyla tepe noktası T(1,a−1)T(1, a - 1) noktasıdır.
g(x)g(x) fonksiyonuna bu noktadan teğetler çizileceği için başlangıç noktamız tepe noktasıdır.
2
g(x)=−x2+4x+bg(x) = -x^2 + 4x + b parabolüne üzerindeki bir P(t,g(t))P(t, g(t)) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini yazınız.
g′(x)=−2x+4g'(x) = -2x + 4 olduğundan teğetin eğimi m=−2t+4m = -2t + 4 olur. Teğet doğrusunun denklemi y−(−t2+4t+b)=(−2t+4)(x−t)y - (-t^2 + 4t + b) = (-2t + 4)(x - t) olarak bulunur.
Teğet doğrusunun genel denklemini kurmak için türevden yararlanılır.
3
Teğet doğrusunun T(1,a−1)T(1, a - 1) noktasından geçmesi koşulunu uygulayarak tt değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemi elde ediniz.
(a−1)−(−t2+4t+b)=(−2t+4)(1−t)(a - 1) - (-t^2 + 4t + b) = (-2t + 4)(1 - t) ifadesi düzenlendiğinde t2−2t+(5−a+b)=0t^2 - 2t + (5 - a + b) = 0 denklemi elde edilir.
TT noktası teğet doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları doğru denklemini sağlamak zorundadır.
4
Teğet doğrularının birbirine dik olması koşulunu (m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1) uygulayarak aa ve bb arasındaki ilişkiyi belirleyiniz.
m1⋅m2=(−2t1+4)(−2t2+4)=4t1t2−8(t1+t2)+16=−1m_1 \cdot m_2 = (-2t_1 + 4)(-2t_2 + 4) = 4t_1 t_2 - 8(t_1 + t_2) + 16 = -1 olur. Bir önceki adımda elde edilen denklemden kökler toplamı t1+t2=2t_1 + t_2 = 2 ve kökler çarpımı t1t2=5−a+bt_1 t_2 = 5 - a + b değerleri yerine yazılırsa: 4(5−a+b)−8(2)+16=−1  ⟹  20−4a+4b=−1  ⟹  4a−4b=21  ⟹  a−b=2144(5 - a + b) - 8(2) + 16 = -1 \implies 20 - 4a + 4b = -1 \implies 4a - 4b = 21 \implies a - b = \frac{21}{4} bağıntısı bulunur.
Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir ve bu durum kök-katsayı ilişkileriyle çözülebilir.

Key Concept

Bir eğriye dışındaki bir noktadan çizilen teğet doğrularının denklemlerinin oluşturulması ve bu doğruların birbirine dik olması durumunda eğimler çarpımının -1'e eşitlenmesi.
Question 16Question →
f(x)=x2−x+4f(x) = x^2 - x + 4 eğrisinin x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Verilen fonksiyonun belirtilen noktadaki teğetinin eğimi 5'tir.
Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun teğet noktasındaki birinci türev değeridir. f′(x)=2x−1f'(x) = 2x - 1 olup, x=3x = 3 için bu değer f′(3)=5f'(3) = 5 olur.

Step-by-Step Solution

1
Türev fonksiyonunun bulunması
f′(x)=2x−1f'(x) = 2x - 1
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki birinci türev değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonunda x = 3 değerinin yerine yazılması
f′(3)=2(3)−1=5f'(3) = 2(3) - 1 = 5
Teğet noktasının apsisi 3 olduğu için türevde x yerine 3 yazılarak teğet doğrusunun eğimi (m) elde edilir.

Key Concept

Türevin geometrik yorumuna göre bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o nokmadaki türevine eşittir.
Estimated Time:45s
Question 17Question →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 parabolüne üzerindeki olmayan P(0,−7)P(0, -7) noktasından çizilen teğet doğrularının parabolü kestiği (teğet değme) noktalar AA ve BB olarak adlandırılıyor.

Buna göre; köşeleri PP, AA ve BB noktaları olan PABPAB üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

Köşeleri P(0,−7)P(0, -7), A(2,−3)A(2, -3) ve B(−2,5)B(-2, 5) olan PABPAB üçgeninin alanı 1616 birimkaredir.
Parabole dışındaki P(0,−7)P(0, -7) noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları A(2,−3)A(2, -3) ve B(−2,5)B(-2, 5) olarak bulunur. Köşeleri PP, AA ve BB olan üçgenin alanı koordinat metodu ile 1616 birimkare olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Parabolün türevini alarak teğet noktasındaki eğimi ifade etme.
f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 olduğundan, tt apsisli teğet noktasındaki teğet doğrusunun eğimi m=2t−2m = 2t - 2 olur.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
Teğet doğrusunun denklemini yazma ve dışındaki P(0,−7)P(0, -7) noktasını bu denklemde yerine yazarak teğet noktalarının apsislerini bulma.
−7−(t2−2t−3)=(2t−2)(0−t)  ⟹  t2=4  ⟹  t=2-7 - (t^2 - 2t - 3) = (2t - 2)(0 - t) \implies t^2 = 4 \implies t = 2 ve t=−2t = -2 elde edilir.
Teğet doğrusu P(0,−7)P(0, -7) noktasından geçtiği için bu noktanın koordinatları teğet doğrusunun denklemini sağlamak zorundadır.
3
Teğet noktaları AA ve BB'nin koordinatlarını belirleme.
t=2t = 2 için A(2,−3)A(2, -3) ve t=−2t = -2 için B(−2,5)B(-2, 5) noktaları elde edilir.
Teğet noktalarının ordinatlarını bulmak için apsis değerleri parabol denkleminde yerine yazılır.
4
Köşe koordinatları bilinen PABPAB üçgeninin alanını hesaplama.
Alan(PAB)=12∣2(12)−(−2)(−4)∣=16\text{Alan}(PAB) = \frac{1}{2} |2(12) - (-2)(-4)| = 16 birimkare bulunur.
Köşeleri P(0,−7)P(0, -7), A(2,−3)A(2, -3) ve B(−2,5)B(-2, 5) olan üçgenin alanı, koordinat düzleminde determinant yöntemi veya vektörel alan formülüyle hesaplanabilir.

Key Concept

Parabole dışındaki bir noktadan çizilen teğet doğrularının denklemlerinin bulunması ve analitik düzlemde köşe koordinatları bilinen üçgenin alan hesabı.
Question 18Question →

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=4xf(x) = \frac{4}{x}

eğrisine üzerindeki x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen normal doğrusunun eğimi kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

Eğrinin x=2x = 2 noktasındaki normal doğrusunun eğimi 11'dir.
Fonksiyonun türevi f′(x)=−4x2f'(x) = -\frac{4}{x^2} olarak bulunur. x=2x = 2 apsisli noktadaki teğetin eğimi mt=f′(2)=−1m_t = f'(2) = -1'dir. Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır. Buradan normalin eğimi mn=1m_n = 1 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=−4x2f'(x) = -\frac{4}{x^2}
Bir eğrinin üzerindeki bir noktadaki teğetinin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Teğet noktasının apsisi olan x=2x = 2 değerini türev fonksiyonunda yerine yazarak teğet doğrusunun eğimini (mtm_t) hesaplayın.
mt=f′(2)=−422=−1m_t = f'(2) = -\frac{4}{2^2} = -1
Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun teğet noktasındaki türev değeridir.
3
Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine dik olduğu için eğimleri çarpımının −1-1 olması kuralını kullanarak normal doğrusunun eğimini (mnm_n) bulun.
mt⋅mn=−1  ⟹  −1⋅mn=−1  ⟹  mn=1m_t \cdot m_n = -1 \implies -1 \cdot m_n = -1 \implies m_n = 1
Dik doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir.

Key Concept

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğiminin çarpmaya göre tersinin ters işaretlisidir.
Question 19Question →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5 parabolünün x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğet doğrusunun xx eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Teğet doğrusunun xx eksenini kestiği noktanın apsisi 2'dir.
Parabolün x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi f′(3)=2f'(3) = 2 olup teğet noktası (3,2)(3, 2)'dir. Teğet doğrusunun denklemi y=2x−4y = 2x - 4 olarak elde edilir. Bu doğrunun xx eksenini kestiği noktayı bulmak için y=0y = 0 yazıldığında x=2x = 2 değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Teğet noktasının y-koordinatını bulmak
y=2y = 2 (f(3)=2f(3) = 2)
Teğet noktasının koordinatlarını belirlemek gerekir.
2
Fonksiyonun türevini almak
f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4
Teğet doğrusunun eğimini bulmak için türev fonksiyonu gereklidir.
3
Türevde x=3x = 3 yazarak teğet eğimini hesaplamak
m=2m = 2
Bir noktadaki teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
4
Teğet doğrusunun denklemini oluşturmak
y=2x−4y = 2x - 4
Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü (y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)) uygulanır.
5
Teğet doğrusunun xx eksenini kestiği noktayı bulmak
x=2x = 2
Bir doğrunun xx eksenini kestiği noktada ordinat değeri sıfırdır (y=0y = 0).

Key Concept

Türevin geometrik yorumu gereğince bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
Question 20Question →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 eğrisi üzerindeki A(a,f(a))A(a, f(a)) noktasından çizilen teğet doğrusu, bu eğriyi başka bir BB noktasında kesmektedir. BB noktasından eğriye çizilen teğet doğrusunun eğimi 99 ve a>1a > 1 olduğuna göre, AA noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Apsisi a=2a = 2 olan AA noktasının koordinatları toplamı 22'dir.
Koşulları sağlayan teğet noktası A(2,0)A(2, 0) olarak bulunur ve koordinatları toplamı 22 olur.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x elde edilir.
Eğri üzerindeki herhangi bir noktadan çizilen teğetin eğimini bulmak için türev fonksiyonu gereklidir.
2
A(a,f(a))A(a, f(a)) noktasındaki teğet doğrusunun eğriyi kestiği diğer nokta B(b,f(b))B(b, f(b)) olarak belirlenir ve kökler toplamı ilişkisi kurulur.
2a+b=3  ⟹  b=3−2a2a + b = 3 \implies b = 3 - 2a bulunur.
Kübik bir fonksiyona teğet olan doğru ile fonksiyonun kesişim noktalarının apsisleri toplamı, x3−3x2+⋯=0x^3 - 3x^2 + \dots = 0 denkleminden 2a+b=32a + b = 3 olur (aa teğet noktası olduğundan çift katlı köktür).
3
B(b,f(b))B(b, f(b)) noktasındaki teğet eğimi kullanılarak bb değerleri hesaplanır.
f′(b)=9  ⟹  3b2−6b=9  ⟹  b2−2b−3=0  ⟹  b=3f'(b) = 9 \implies 3b^2 - 6b = 9 \implies b^2 - 2b - 3 = 0 \implies b = 3 veya b=−1b = -1 bulunur.
BB noktasından çizilen teğetin eğimi 99 olarak verilmiştir.
4
a>1a > 1 koşulu kullanılarak uygun aa değeri seçilir.
b=3  ⟹  a=0b = 3 \implies a = 0 (koşulu sağlamaz), b=−1  ⟹  a=2b = -1 \implies a = 2 (koşulu sağlar) olarak bulunur.
Soruda teğet noktasının apsisi aa'nın 11'den büyük olduğu belirtilmiştir.
5
AA noktasının koordinatları belirlenir ve toplamı hesaplanır.
A(2,f(2))=A(2,0)A(2, f(2)) = A(2, 0) noktası ve koordinatlar toplamı 2+0=22 + 0 = 2 bulunur.
AA noktasının ordinatı f(2)=23−3(22)+4=0f(2) = 2^3 - 3(2^2) + 4 = 0 şeklindedir.

Key Concept

Bir kübik eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğriyle ikinci kesim noktası ve teğet eğimi ilişkisi.
Page 1 / 4Next
Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal) Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin